Ondas

Uma onda permite que uma perturbação alcance lugares distantes de onde foi produzida. A corda vibra, o som atravessa o ar e a luz chega do Sol: existem diferenças fundamentais entre esses processos, mas todos admitem descrições que relacionam espaço, tempo e transferência de energia. O primeiro passo é distinguir o movimento da perturbação do movimento dos elementos que participam dela.

Perturbação, energia e matéria

Ao levantar rapidamente uma extremidade de uma corda esticada, você cria uma deformação que se desloca. Um pequeno pedaço marcado da corda sobe e desce quando a deformação passa, mas não acompanha o pulso até a outra extremidade. A interação entre trechos vizinhos transmite o movimento e a energia. Uma onda mecânica exige essas propriedades do meio: inércia e algum mecanismo de restituição ao equilíbrio.

A frase escolar “ondas transportam energia, não matéria” descreve bem a propagação ideal em que cada elemento oscila em torno do equilíbrio, sem acompanhar a onda. Ela não deve ser transformada numa proibição universal de transporte de massa em fenômenos reais. Ondas de superfície podem coexistir com correntes e produzir uma pequena deriva; a arrebentação envolve transporte de água. O que não se pode fazer é identificar automaticamente a velocidade de uma crista com a velocidade da água.

Uma folha na superfície pode, portanto, oscilar enquanto as cristas passam e também se deslocar lentamente se houver corrente. Para interpretar a observação, separe o movimento associado à onda do escoamento médio. O mesmo cuidado evita dizer que o ar sai do alto-falante e percorre todo o caminho até o ouvido com a velocidade do som.

Pulsos, ondas periódicas e classificação

Um pulso é uma perturbação localizada, como uma única elevação numa corda. Uma fonte que repete o movimento pode produzir um trem de ondas periódico. Período e frequência únicos fazem sentido para uma repetição regular; uma explosão ou uma fala complexa contém muitas frequências e não precisa ser uma senoide perfeita.

As ondas mecânicas dependem de meio material: ondas em cordas, som e ondas de superfície. As eletromagnéticas correspondem à propagação de campos elétrico e magnético e podem atravessar o vácuo. A luz não precisa de ar para alcançar a Terra. O som não atravessa um espaço perfeitamente vazio porque falta o meio que transmite compressões e rarefações.

Na classificação geométrica, compare a direção de oscilação com a direção de propagação. Uma onda transversal apresenta oscilação perpendicular à propagação, como a deformação lateral de uma corda. Numa onda longitudinal, a oscilação é paralela, como o deslocamento das partículas do ar numa onda sonora. Uma onda superficial na água, em geral, combina movimentos horizontais e verticais; não é rigoroso tratá-la sempre como puramente transversal.

Também se pode considerar a dimensão da propagação: uma corda oferece aproximadamente uma direção espacial; a superfície de um lago é um exemplo aproximadamente bidimensional; o som de uma fonte pequena pode se espalhar pelo espaço tridimensional. Dimensão de propagação não é o número de direções em que uma partícula consegue vibrar.

Amplitude, comprimento de onda, período e frequência

A amplitude $A$ é o valor máximo da perturbação em relação ao equilíbrio. Numa corda, pode ser um deslocamento medido em metros. Num som, pode-se usar amplitude de deslocamento ou de variação de pressão; numa onda eletromagnética, amplitude do campo elétrico. É necessário identificar a grandeza do eixo vertical antes de atribuir uma unidade à amplitude.

O comprimento de onda $\lambda$ é o menor intervalo espacial entre dois pontos equivalentes de um padrão periódico, no mesmo instante. Numa senoide, duas cristas consecutivas estão separadas por $\lambda$, enquanto uma crista e o vale seguinte estão separados por $\lambda/2$. Dois cruzamentos consecutivos do eixo também se separam por $\lambda/2$, mas têm inclinações opostas.

O período $T$ é o tempo de uma oscilação completa em um ponto. A frequência é o número de ciclos por segundo:

$$f=\frac{1}{T}.$$

Uma frequência de 50 Hz corresponde a $T=0,020$ s, e não a 50 s. Para reduzir o efeito de uma medição de tempo pouco precisa, pode-se cronometrar vários ciclos: se 20 ciclos duram 8,0 s, o período médio é 0,40 s e a frequência é 2,5 Hz. Contar 20 cristas incluindo a primeira e a última fornece apenas 19 intervalos entre cristas; a contagem precisa corresponder ao que efetivamente foi medido.

Por que a velocidade vale comprimento de onda vezes frequência?

Considere uma crista de uma onda periódica progressiva. Após um período, o padrão avançou um comprimento de onda. Assim, a velocidade de propagação do padrão é

$$v=\frac{\lambda}{T}=\lambda f.$$

A expressão pode ser reorganizada conforme a pergunta, mas as unidades devem permanecer coerentes. Para $\lambda=4,0$ m e $T=2,0$ s, temos $v=2,0$ m/s. Para uma onda com $\lambda=150$ m e $T=10$ s, temos $v=15$ m/s. A conversão para quilômetros por hora fornece $15\times3,6=54$ km/h.

Uma outra situação mistura quilômetros e horas: tomando $\lambda=100$ km e $v=700$ km/h, obtém-se $T=1/7$ h, aproximadamente 8,6 min. O resultado não é menor que cinco minutos. O cálculo usa diretamente os dados fornecidos; não exige supor que qualquer onda oceânica tenha esse comprimento ou essa velocidade.

A relação $v=\lambda f$ não determina, sozinha, o que causa a velocidade. Numa corda ideal, tensão e densidade linear determinam $v$; uma mudança da frequência de excitação ajusta $\lambda$. Não se conclui que aumentar a frequência necessariamente aumenta a velocidade no mesmo meio.

Um gráfico no espaço e outro no tempo

Um gráfico $y\times x$ é uma fotografia da corda em certo instante. Dele se extraem amplitude e comprimento de onda, mas não o período sem informação adicional. Um gráfico $y\times t$ acompanha um ponto fixo da corda; dele se extraem amplitude e período, mas não o comprimento de onda diretamente.

Suponha que uma fotografia mostre cristas em $x=0,50$ m e $x=2,50$ m, com amplitude 3,0 cm. Então $\lambda=2,0$ m. Um registro temporal do mesmo sistema mostra máximos sucessivos em 0,10 s e 0,50 s: $T=0,40$ s, $f=2,5$ Hz e $v=5,0$ m/s. A amplitude continua 3,0 cm; não participa dessa conta de velocidade.

Uma curva desenhada como senoide não revela, por sua aparência, se o eixo horizontal é espaço ou tempo. Ler nome, escala e unidade dos eixos precede qualquer identificação de $\lambda$ ou $T$. Se o gráfico mostra pressão, um valor negativo pode representar pressão relativa ao equilíbrio, e não pressão absoluta negativa.

Equação de uma onda e sentido da propagação

Uma onda harmônica progressiva pode ser descrita por

$$y(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi_0),\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad\omega=2\pi f.$$

O argumento do cosseno é a fase. O número de onda $k$ tem unidade rad/m e a frequência angular $\omega$, rad/s. A constante $\phi_0$ fixa a posição inicial do padrão. A amplitude, frequência e comprimento de onda não substituem essa informação inicial quando se quer calcular o deslocamento em um ponto e instante específicos.

Para acompanhar uma crista, mantenha a fase constante: $kx-\omega t+\phi_0=\text{constante}$. Daí $x=(\omega/k)t+\text{constante}$: o padrão se move no sentido positivo de $x$. Com $kx+\omega t$, ele se move no sentido negativo, admitindo $k$ e $\omega$ positivos. O sinal só pode ser interpretado depois que a convenção da expressão foi identificada.

Por exemplo, em unidades SI,

$$y=0,020\cos(\pi x-4\pi t),$$

a amplitude é 2,0 cm, $\lambda=2$ m, $f=2$ Hz e $v=4$ m/s, para a direita. Após 0,125 s, uma crista avançou 0,50 m. O período é 0,50 s. Em $x=0$ e $t=0,125$ s, o argumento vale $-\pi/2$ e o deslocamento é zero: isso não significa que a partícula esteja em repouso.

Velocidade da onda não é velocidade da partícula

No exemplo anterior, cada elemento da corda oscila verticalmente, enquanto a onda se propaga horizontalmente. A velocidade transversal instantânea de um elemento é a taxa de variação de $y$ com o tempo. Para a expressão adotada,

$$u_y=A\omega\sin(kx-\omega t+\phi_0).$$

Seu módulo máximo é $A\omega$. No exemplo, vale $0,020\times4\pi\approx0,251$ m/s, diferente dos 4 m/s do padrão. Nos extremos do deslocamento, a velocidade transversal é zero; ao passar pelo equilíbrio, seu módulo é máximo.

A aceleração transversal é $a_y=-\omega^2y$. Esses resultados descrevem o movimento harmônico de um ponto e não a aceleração horizontal da crista. Uma crista pode avançar com velocidade constante enquanto os pontos da corda estão continuamente acelerando em sua oscilação.

Velocidade em uma corda esticada

Para pequenas deformações transversais numa corda uniforme, flexível e tensionada, o modelo ideal fornece

$$v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu}},\qquad \mu=\frac{m}{L},$$

em que $F_T$ é a força de tração e $\mu$ é a massa por unidade de comprimento. A tração fornece a restituição e a massa oferece inércia. Aumentar a tração torna a transmissão mais rápida; aumentar a densidade linear a torna mais lenta, mantendo as outras condições.

Uma corda de densidade linear $0,010$ kg/m sob tração de 100 N tem $v=100$ m/s. Excitada a 50 Hz, apresenta $\lambda=2,0$ m. Se a tração quadruplicar para 400 N, a velocidade dobra para 200 m/s; com a frequência mantida, o comprimento de onda dobra para 4,0 m. Aumentar a tração quatro vezes não quadruplica a velocidade, porque a dependência é uma raiz quadrada.

Aumentar apenas a amplitude, dentro da aproximação linear, não muda essa velocidade. Em amplitudes grandes, a própria tração pode variar e o modelo deixar de ser adequado. Por isso, “a velocidade independe da amplitude” deve ser entendida com as condições físicas, não como regra sobre todo fenômeno não linear.

Energia, intensidade e espalhamento

A amplitude não é uma energia: suas unidades geralmente são outras. Em diversos modelos lineares, mantendo frequência e propriedades do meio, a energia ou potência média é proporcional a $A^2$. Dobrar a amplitude quadruplica essa grandeza; reduzir a amplitude à metade leva a um quarto. Se a frequência também mudar, a comparação exige a expressão completa do modelo.

Para a corda harmônica ideal, por exemplo, a potência média é $\overline P=\mu\omega^2A^2v/2$. A frequência angular aparece ao quadrado. A afirmação “duas ondas de mesma amplitude têm a mesma potência” não decorre dessa fórmula sem igualdade dos outros fatores.

A intensidade é potência por área perpendicular à propagação. Se uma fonte pontual emite igualmente em todas as direções, sem perdas no meio, a potência se distribui por uma esfera de área $4\pi r^2$. Então $I=P/(4\pi r^2)$. A quatro vezes a distância, a intensidade fica dezesseis vezes menor. Uma corda, um guia de ondas e uma fonte direcional têm outras geometrias; não se aplica automaticamente a lei esférica a todos eles.

Ondas na água, profundidade e dispersão

Na superfície da água, gravidade e tensão superficial podem fornecer forças restauradoras. Ondas de diferentes escalas não obedecem necessariamente à mesma expressão de velocidade. Para ondas gravitacionais longas em água rasa em comparação com o comprimento de onda, um modelo de pequena amplitude fornece $v\approx\sqrt{gh}$, sendo $h$ a profundidade.

O qualificativo “rasa” é relativo: uma onda com centenas de quilômetros de comprimento pode satisfazer a condição mesmo em oceano com quilômetros de profundidade. Para $g=10$ m/s² e $h=4000$ m, a expressão dá 200 m/s, ou 720 km/h. Em $h=100$ m, dá aproximadamente 31,6 m/s. Com período mantido em 600 s, os comprimentos correspondentes são 120 km e 19 km. O alongamento temporal do ciclo não precisa mudar para que as cristas se aproximem no espaço.

A aproximação da costa pode aumentar a altura e a inclinação da onda, mas não se obtém sua amplitude final apenas de $v=\lambda f$. Reflexão, geometria da costa, dissipação e quebra interferem. A descrição institucional da NOAA sobre tsunamis ajuda a distinguir a escala dessas ondas da escala de ondas geradas pelo vento.

Um meio é dispersivo quando a velocidade de fase depende da frequência. Nesse caso, componentes de um pulso podem se separar e mudar sua forma. A velocidade de uma crista e a velocidade de um pacote de ondas podem ser diferentes; a relação $v=\lambda f$ continua descrevendo cada componente periódica. A discussão detalhada das interações está em fenômenos ondulatórios.

Um roteiro para resolver sem trocar as grandezas

Identifique a onda e o meio, depois separe grandezas espaciais e temporais. Registre o que foi mantido constante: tensão, densidade, frequência, profundidade ou quantidade de ciclos. Escolha uma relação que contenha essas informações e só então substitua números com unidades coerentes. Ao final, verifique proporções e ordens de grandeza.

Se uma fonte passa a oscilar duas vezes mais rápido numa corda com a mesma tração e densidade, a velocidade permanece a mesma e o comprimento cai à metade. Se a onda passa a outra corda em uma ligação estacionária, a frequência transmitida permanece igual à da excitação e o comprimento se ajusta à nova velocidade. Se o próprio observador se move, a frequência por ele medida pode mudar: esse é outro problema, tratado em acústica. Distinguir esses cenários é mais útil do que decorar que uma grandeza “sempre” aumenta ou diminui.