Fenômenos ondulatórios

Quando uma onda encontra uma fronteira, atravessa uma abertura ou se combina com outra, sua forma e sua distribuição de energia podem mudar. Reflexão, refração, difração e interferência descrevem aspectos distintos dessas interações. Uma mesma situação pode apresentar vários deles: numa abertura, parte da energia é refletida, parte transmitida, e a onda transmitida se espalha por difração.

Superposição: some a grandeza física correta

Em um meio aproximadamente linear, a perturbação resultante da presença de duas ondas é a soma das perturbações que cada uma produziria separadamente. Numa corda, somam-se deslocamentos transversais com sinais; no ar, variações de pressão; na luz, campos elétricos vetoriais. Essa é a regra de superposição.

Dois pulsos que se cruzam numa corda não se comportam como duas pedras colidindo. Durante a sobreposição, a corda assume a soma dos deslocamentos. Depois, no modelo ideal, os pulsos continuam com suas formas e sentidos originais. Um pulso de +3 cm sobreposto a outro de −2 cm produz +1 cm naquele ponto e instante. Essa soma local não informa, sozinha, o formato em todos os outros pontos.

A superposição de amplitudes não implica soma direta de intensidades em qualquer caso. Como a intensidade depende do quadrado da amplitude, há termos de interferência quando existe relação de fase definida. Para fontes independentes com fases variando rapidamente, a média pode eliminar esses termos; então as intensidades médias se somam. Essa diferença será essencial para comparar duas lâmpadas comuns e duas ondas coerentes de um mesmo laser.

Reflexão: retorno e condições da extremidade

Na reflexão, uma onda retorna à região de onde veio. Para frentes planas incidentes sobre uma superfície plana, o ângulo de reflexão iguala o de incidência, ambos medidos em relação à normal à superfície. Um raio a 30° da superfície está a 60° da normal; trocar essas referências muda a resposta.

Numa corda com extremidade idealmente fixa, o deslocamento da extremidade deve permanecer zero. A onda refletida precisa cancelar a incidente ali. Por isso, um pulso transversal positivo se reflete invertido, como pulso negativo. A inversão corresponde a uma mudança de fase de $\pi$ na descrição harmônica do deslocamento.

Numa extremidade livre ideal, o pulso de deslocamento se reflete sem inversão. O movimento da ponta é permitido; a condição física é diferente. Não basta dizer que “toda reflexão inverte” ou que “nenhuma reflexão muda a fase”. Na acústica, uma extremidade fechada pode ser nó de deslocamento e ventre de pressão: a conclusão também depende de qual grandeza está sendo representada.

Se duas cordas se unem, em geral ocorrem simultaneamente reflexão e transmissão. No caso ideal de mesma tração, a corda de maior densidade linear tem maior impedância transversal e menor velocidade. Um pulso que chega à corda mais pesada apresenta reflexão de deslocamento invertida; no sentido oposto, a reflexão não se inverte. A divisão de energia depende das propriedades dos dois lados. Amplitude menor não implica automaticamente a mesma proporção de energia menor, pois as impedâncias podem diferir.

Refração: frequência e comprimento de onda

Ao atravessar uma interface estacionária entre regiões com velocidades de propagação diferentes, a onda transmitida conserva a frequência da excitação, no modelo linear com meios invariantes no tempo. A oscilação na fronteira precisa manter continuidade temporal: não pode completar, simultaneamente, números diferentes de ciclos por segundo de cada lado.

Assim,

$$f_2=f_1,\qquad\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{v_2}{v_1}.$$

Se um som de 500 Hz passa de uma região onde $v_1=340$ m/s para outra onde $v_2=1500$ m/s, seu comprimento muda de 0,68 m para 3,0 m. A frequência continua 500 Hz. Isso não é privilégio da luz: ondas mecânicas também refratam.

A conservação da frequência precisa dessas condições. Interfaces em movimento, meios variáveis no tempo e processos não lineares podem modificar frequências. No problema escolar habitual de passagem entre dois meios em repouso, essas situações não estão presentes. Já no efeito Doppler há movimento relativo relevante, e a comparação é outra.

A geometria da refração e a lei de Snell

Quando a frente de onda chega obliquamente a uma fronteira, partes dela entram no novo meio em instantes diferentes. Se a velocidade muda, a frente gira e a direção de propagação se altera. Para a geometria plana usual,

$$\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}.$$

Os ângulos são medidos com a normal. Se a onda diminui de velocidade, o raio transmitido se aproxima da normal; se aumenta, afasta-se. Na incidência normal, os dois ângulos são zero: velocidade e comprimento podem mudar sem desvio de direção. Portanto, definir refração apenas como “desvio” exclui indevidamente esse caso.

Com $v_1=20$ m/s, $v_2=10$ m/s e $\theta_1=30°$, temos $\sin\theta_2=(10/20)\sin30°=0,25$, logo $\theta_2\approx14,5°$. Se a frequência é 2 Hz, os comprimentos de onda são 10 m e 5 m. A geometria e a relação fundamental chegam à mesma interpretação: frentes mais próximas no meio mais lento.

Para luz, usando $n=c/v$, a expressão se torna $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. Quando a luz passa de maior para menor índice, pode haver um ângulo limite além do qual não existe raio refratado propagante no segundo meio, nas condições ideais de reflexão total. Para $n_1=1,50$ e $n_2=1,00$, $\sin\theta_c=2/3$ e $\theta_c\approx41,8°$. Abaixo desse ângulo costuma haver reflexão parcial e transmissão. O cálculo de imagens por lentes e espelhos pertence a outro recorte de óptica.

Difração: a onda se espalha

Difração é o espalhamento associado à passagem por aberturas e bordas. O princípio de Huygens oferece uma construção: pontos de uma frente funcionam como fontes secundárias, cuja combinação forma a frente seguinte. Atrás de uma abertura estreita, a onda não fica limitada à projeção geométrica da abertura.

A comparação importante é a razão entre o comprimento de onda $\lambda$ e a dimensão característica $a$ da abertura. Se $a$ é muito maior que $\lambda$, o espalhamento angular tende a ser pequeno; se as escalas são comparáveis, fica pronunciado. A difração não “desliga” quando a abertura é grande: apenas pode ser pouco perceptível na escala de observação.

Para uma fenda simples ideal, observada longe, os mínimos de intensidade satisfazem $a\sin\theta=m\lambda$, com $m=1,2,\ldots$. Se uma luz de 600 nm atravessa uma fenda de 0,20 mm, o primeiro mínimo ocorre com $\sin\theta=0,003$. Num anteparo a 2,0 m e para ângulos pequenos, sua distância ao centro é aproximadamente 6,0 mm; a largura do máximo central, entre os primeiros mínimos, é aproximadamente 12 mm.

O som de baixa frequência tem comprimento de onda maior no mesmo ar, podendo se espalhar mais em torno de portas e obstáculos de dimensões usuais. Isso não significa que todo som grave atravesse qualquer barreira: absorção, transmissão pelo material e geometria também participam. A difração explica parte da audição além de uma esquina; não exige que a onda tenha atravessado diretamente a parede.

Interferência: fase e diferença de caminho

Duas ondas coerentes mantêm uma relação de fase estável. Para fontes em fase, mesma frequência e propagação no mesmo meio, a diferença entre os caminhos até um ponto determina uma diferença de fase:

$$\Delta\phi=\frac{2\pi\Delta r}{\lambda}.$$

Há reforço máximo quando $\Delta r=m\lambda$. Há oposição de fase quando $\Delta r=(m+1/2)\lambda$. O cancelamento completo exige também amplitudes iguais e, para campos vetoriais, orientações compatíveis. Com amplitudes diferentes, o mínimo não precisa ser zero. Se as fontes já emitem defasadas, essa defasagem inicial deve ser somada à diferença produzida pelo caminho.

Para ondas de comprimento 0,80 m emitidas em fase, caminhos de 3,0 m e 4,6 m diferem em 1,6 m, ou dois comprimentos: o ponto recebe reforço. Caminhos de 3,0 m e 4,2 m diferem em 1,2 m, ou um comprimento e meio: há oposição. Com amplitudes iguais de 2 mm, a amplitude resultante ideal vale 4 mm no primeiro caso e zero no segundo.

Onde a intensidade desaparece por interferência destrutiva, a energia não foi universalmente destruída. O padrão redistribui o fluxo, com regiões de reforço e enfraquecimento; em ondas estacionárias, também há intercâmbio de energia cinética e potencial. A análise completa exige a região toda e suas fronteiras.

Ondas estacionárias: nós que não caminham

A superposição de ondas harmônicas de mesma frequência, amplitude e velocidade, propagando-se em sentidos opostos, pode produzir

$$y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t).$$

O fator espacial fixa a amplitude em cada ponto. Os nós têm amplitude nula; os ventres têm amplitude máxima. Dois nós consecutivos ficam separados por $\lambda/2$, assim como dois ventres consecutivos. Entre um nó e o ventre mais próximo há $\lambda/4$.

Em uma corda fixa nas duas pontas, o comprimento deve conter um número inteiro de meios comprimentos de onda: $L=n\lambda_n/2$. Logo $\lambda_n=2L/n$ e $f_n=nv/(2L)$. Para $L=0,60$ m e $v=360$ m/s, o fundamental vale 300 Hz; o segundo modo, 600 Hz; o quarto, 1200 Hz. Seus comprimentos são 1,20 m, 0,60 m e 0,30 m: $\lambda_1=2\lambda_2=4\lambda_4$.

Uma onda estacionária ideal de duas componentes iguais não transporta energia líquida média numa direção ao longo da corda. Isso não significa que não exista energia ou que todos os seus pontos estejam parados. Apenas os nós permanecem imóveis; os outros pontos oscilam. Instrumentos reais precisam receber energia para compensar perdas e irradiar som.

Batimentos: a interferência muda no tempo

Duas frequências próximas podem produzir uma variação lenta da intensidade, chamada batimento. A soma de duas senoides de mesma amplitude resulta numa oscilação rápida modulada por um fator lento. A frequência das pulsações de intensidade é

$$f_{\text{bat}}=|f_1-f_2|.$$

Para 435 Hz e 415 Hz, são 20 pulsações por segundo, com período de 0,050 s. Para 437 Hz e 442 Hz, a diferença é 5 Hz e o período é 0,20 s. A frequência do batimento não é a frequência da nota principal: o som oscila rapidamente enquanto sua intensidade varia mais devagar.

Durante a afinação, reduzir o número de batimentos indica aproximação entre as frequências. Ouvir cinco batimentos por segundo, entretanto, não informa sozinho se a corda está 5 Hz acima ou abaixo da referência. Uma pequena alteração controlada permite observar se a diferença aumenta ou diminui.

Ressonância e amortecimento

Um sistema oscilante possui frequências naturais determinadas por suas propriedades e condições de contorno. Uma força periódica pode fornecer energia de modo especialmente eficiente quando sua frequência se aproxima de uma frequência de ressonância. A resposta depende também da intensidade da força, do amortecimento e do tempo de excitação.

Num oscilador massa–mola ideal, a frequência natural é $f_0=(1/2\pi)\sqrt{k/m}$. Quadruplicar a massa, mantendo a constante elástica, reduz $f_0$ à metade. Num sistema real amortecido, a curva de amplitude em função da frequência tem um pico de largura finita; seu máximo não precisa coincidir exatamente com a frequência natural do modelo sem perdas.

A taça que vibra com uma nota e uma coluna de ar que reforça certos sons são aplicações. Romper a taça não é consequência inevitável de acertar uma frequência: a amplitude alcançada precisa ser suficiente diante da resistência e das perdas. Ressonância não é sinônimo de batimento; uma se refere à resposta forçada do sistema, o outro à superposição de frequências próximas.

Polarização: orientação de uma oscilação transversal

Uma onda transversal admite diferentes orientações de oscilação perpendiculares à propagação. A polarização descreve essa organização. No caso linear, a oscilação mantém uma direção fixa. Um polarizador ideal transmite a componente alinhada com seu eixo e reduz a componente perpendicular.

Para luz já linearmente polarizada, a lei de Malus fornece $I=I_0\cos^2\theta$, sendo $\theta$ o ângulo entre a polarização incidente e o eixo do analisador. Se $I_0=80$ W/m² e $\theta=60°$, a intensidade transmitida ideal é 20 W/m². Para luz não polarizada incidindo num primeiro polarizador ideal, a média transmitida é metade da intensidade inicial; só depois se aplica a lei de Malus ao segundo.

Uma onda sonora longitudinal simples em ar não apresenta essa liberdade transversal de orientação e não é polarizada como a luz. Em sólidos existem ondas elásticas transversais, portanto é melhor qualificar o meio e o tipo de onda do que afirmar que todo fenômeno acústico possível é estritamente longitudinal.

Identifique o mecanismo antes da fórmula

Um eco envolve retorno por reflexão. A mudança da direção de uma frente ao entrar em água de outra profundidade envolve refração. O espalhamento atrás de uma abertura envolve difração. Regiões estáveis de reforço e cancelamento entre fontes coerentes envolvem interferência. O aumento seletivo da resposta de um objeto excitado envolve ressonância. Um filtro orientacional envolve polarização.

Essas descrições podem coexistir. Num fone com cancelamento ativo, a interferência é produzida numa região e faixa de frequências controladas; não se cancela todo o som de todos os pontos do ambiente. Num litoral, reflexão, refração, difração e dissipação podem atuar juntas. Escolher um fenômeno dominante para um modelo não elimina os demais da realidade. Para aplicações quantitativas sonoras, consulte acústica; para propagação e espectro da luz, ondas eletromagnéticas.