Espelhos

Guia de estudo · Revisado em 16/09/2026

BNCC · EM13CNT103

Por que o espelho do provador, mais baixo que você, mostra você da cabeça aos pés sem que precise recuar, enquanto a etiqueta refletida continua ao contrário a qualquer distância, e por que a mesma colher polida mostra você pequeno e de cabeça para baixo pelo lado de dentro e direito pelo lado de fora, sempre?

O que você vai aprender

Enunciar as duas leis da reflexão medindo os ângulos a partir da normal, distinguir reflexão especular de difusa e relacionar a lei da reflexão ao princípio do tempo mínimo de Fermat.
Construir a imagem de um objeto num espelho plano pelos prolongamentos dos raios refletidos e recitar sua ficha: virtual, direita, do mesmo tamanho, simétrica e enantiomorfa, sabendo por que 'isomorfa', 'real' e 'depende da distância' são erros.
Calcular distâncias objeto–imagem (2d) e velocidades relativas (2v) no espelho plano e explicar por que o tamanho aparente muda sem que o tamanho da imagem mude.
Determinar o comprimento mínimo de um espelho de corpo inteiro (metade da altura) e a posição de suas bordas, justificando por semelhança de triângulos por que o resultado não depende da distância; descrever o campo visual de um espelho plano.
Aplicar as regras da translação (imagem anda 2d) e da rotação (raio refletido gira 2θ) de um espelho plano e a fórmula N = 360°/α − 1 para a associação de dois espelhos, com os casos 90°, 60° e 45°.
Identificar os elementos de um espelho esférico (C, R, V, eixo principal, F) e usar f = R/2 nas condições de Gauss, reconhecendo a aberração esférica e o papel do espelho parabólico.
Traçar os quatro raios notáveis e construir geometricamente a imagem nos cinco casos do espelho côncavo e no caso único do convexo, ligando cada caso a uma aplicação.
Resolver a equação de Gauss 1/f = 1/p + 1/p′ e o aumento A = −p′/p com a convenção de sinais, nos dois sentidos (dado o espelho, achar a imagem; dada a imagem, achar o espelho), e ler o sinal de p′ como a natureza da imagem.
Explicar por que o retrovisor é convexo, o espelho de maquiagem é côncavo usado dentro do foco, o farol tem a lâmpada no foco, o forno solar concentra no foco e o telescópio refletor usa um espelho primário côncavo.
Resolver os itens do PAS sobre espelhos (2009/49, 2012/81–82, 2013/109–110, 2014/109–110, 2015/84–85, 2017/103 e 105, 2021/101–103) reconhecendo os erros plantados: R no lugar de f, F no lugar de C, convexo com imagem real, isomorfa no lugar de enantiomorfa.

No provador de uma loja, você recua três passos e a sua imagem parece encolher; volta, e ela cresce de novo. Mas a etiqueta da camisa, refletida, continua com as letras ao contrário e do mesmo tamanho ilegível, perto ou longe. E o espelho da parede é mais baixo que você e, mesmo assim, mostra você da cabeça aos pés, sem que precise se afastar para “caber”. Agora pegue uma colher de sopa bem polida: pelo lado de dentro, de longe, você aparece pequeno e de cabeça para baixo; aproxime até quase encostar no nariz e a imagem vira, fica direita e maior. Pelo lado de fora, você aparece sempre direito e sempre pequeno, a qualquer distância. Quatro observações de cinco minutos, e todas saem de uma única regra sobre como a luz volta de uma superfície lisa, mais um ponto chamado foco.

Esta página é a do assunto espelhos: as leis da reflexão, o espelho plano com tudo o que ele faz com a imagem (simetria, tamanho, campo visual, espelho de corpo inteiro, translação, rotação, associação de dois espelhos) e os espelhos esféricos, côncavo e convexo, com a construção geométrica das imagens, a equação de Gauss com a convenção de sinais e as aplicações que a banca gosta de citar: retrovisor, espelho de maquiagem, farol, forno solar, telescópio refletor. O que a luz faz ao atravessar uma superfície, com Snell e a reflexão total, está em refração da luz (página em preparação); as lentes, o olho e os óculos, em lentes e visão (página em preparação); a propagação retilínea, as sombras e a cor dos objetos, em princípios da óptica geométrica. A reflexão como fenômeno de qualquer onda, inclusive do som, está em fenômenos ondulatórios; aqui ela entra pelo caso que rende itens: a luz e o espelho.

Duas leis, uma régua: como a luz volta de uma superfície

Toda superfície devolve parte da luz que recebe. A diferença entre uma parede branca e um espelho não está em quanto refletem (uma parede caiada reflete mais luz que muitos espelhos), mas em como. A parede é rugosa na escala do comprimento de onda da luz: raios paralelos que chegam a ela saem espalhados em todas as direções, e por isso vemos a parede de qualquer lugar da sala, mas não vemos nada refletido nela. É a reflexão difusa. O espelho é liso nessa escala: raios paralelos que chegam saem paralelos, cada um obedecendo à mesma regra, e por isso ele forma imagens. É a reflexão especular (de speculum, espelho em latim). Uma poça de água parada, a superfície de um lago sem vento, o vidro de uma vitrine e a tela apagada de um celular fazem o mesmo papel.

As duas leis da reflexão

Tome o ponto em que um raio de luz atinge a superfície e trace ali a normal, a reta perpendicular à superfície. Chame de ângulo de incidência $i$ o ângulo entre o raio que chega e a normal, e de ângulo de reflexão $r$ o ângulo entre o raio que sai e a normal. Então:

O raio incidente, o raio refletido e a normal estão no mesmo plano.
O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência: $r = i$ .

Os ângulos se medem a partir da normal, nunca a partir da superfície. Um raio que chega fazendo 30° com o espelho tem ângulo de incidência de 60°; ele sai fazendo 60° com a normal do outro lado, e o ângulo entre o raio que chegou e o que saiu é $60° + 60° = 120°$ . Um raio que chega ao longo da própria normal ( $i = 0$ ) volta sobre si mesmo.

Dois painéis. À esquerda, um espelho plano horizontal com a normal tracejada vertical no ponto de incidência; um raio incidente azul chega pela esquerda fazendo ângulo i com a normal e um raio refletido laranja sai pela direita fazendo ângulo r igual a i com a normal; os arcos dos dois ângulos estão marcados como iguais, e um rótulo indica 30 graus com o espelho igual a 60 graus com a normal. À direita, uma superfície rugosa desenhada com pequenos dentes recebe cinco raios paralelos e devolve cinco raios em direções diferentes, rotulada reflexão difusa, enquanto acima dela uma superfície lisa devolve os cinco raios paralelos, rotulada reflexão especular. — As duas leis da reflexão medem tudo a partir da normal: $r = i$ . Numa superfície lisa (especular) raios paralelos saem paralelos e formam imagem; numa superfície rugosa (difusa) saem espalhados, e é isso que nos deixa ver os objetos, sem vê-los "refletidos". Diagrama autoral.

Essas leis não são um capricho da luz. Elas saem do comportamento de qualquer onda ao encontrar um obstáculo (a página de fenômenos ondulatórios mostra a mesma regra para ondas na água e para o som, o eco) e também de um princípio mais geral, que a banca já cobrou com nome e sobrenome: o princípio de Fermat, ou do tempo mínimo. Entre todos os caminhos que a luz poderia percorrer de um objeto até um observador tocando um espelho plano, o que ela de fato percorre é o de menor tempo; e, como no mesmo meio a velocidade não muda, é também o de menor comprimento. Se você desenhar vários caminhos do objeto ao olho com uma reflexão no espelho e medir, o mais curto é exatamente aquele em que os dois ângulos com a normal são iguais. Foi isso que a 2.ª etapa de 2014 perguntou: “O Princípio de Mínima Ação explica por que, na situação em questão, são iguais os ângulos que os raios incidente e refletido fazem com a normal em relação ao espelho.” Gabarito C. O item vizinho pedia para ordenar os tempos de quatro caminhos desenhados, e nós o lemos na seção “Como a banca pergunta”.

O que o espelho plano faz com a imagem

Ponha um objeto pontual (a ponta acesa de um palito, digamos) diante de um espelho plano e siga dois raios que saem dele e refletem. Os raios refletidos divergem, isto é, se afastam um do outro; nenhum deles se cruza de novo. Mas, se você os prolongar para trás, para dentro do espelho, os prolongamentos se cruzam num ponto atrás da superfície, e é de lá que a luz parece vir para quem olha. Esse ponto é a imagem. Como nenhum raio de luz passa por ele (atrás do espelho há parede), a imagem é virtual.

A ficha do espelho plano

Para qualquer objeto real diante de um espelho plano, a imagem é:

virtual: formada pelos prolongamentos dos raios refletidos, atrás do espelho; não pode ser projetada numa tela colocada ali, porque ali não chega luz;
simétrica ao objeto em relação ao plano do espelho: a imagem fica à mesma distância do espelho que o objeto, um de cada lado ( $d' = d$ ), e o segmento objeto–imagem é perpendicular ao espelho;
do mesmo tamanho do objeto ( $i = o$ , ampliação $A = +1$ );
direita: não fica de cabeça para baixo;
enantiomorfa: tem a forma do objeto, mas não é superponível a ele, como a mão direita e a mão esquerda. A simetria troca frente por trás; a troca aparente de esquerda por direita é consequência disso.

A distância entre uma pessoa e a própria imagem é $2d$ : a 3 m do espelho, ela está a 6 m da imagem; se avança 1 m, a imagem avança 1 m do outro lado, e a separação cai para 4 m. Se ela caminha para o espelho a 1 m/s, a imagem se aproxima dela a 2 m/s.

Espelho plano vertical no centro. À esquerda, uma seta azul vertical representa o objeto, a uma distância d do espelho; à direita, uma seta tracejada da mesma altura representa a imagem, à mesma distância d atrás do espelho. Do topo do objeto saem dois raios cheios: um incide perpendicularmente ao espelho e volta sobre si mesmo; o outro reflete no espelho, com a normal tracejada e os ângulos iguais marcados, e chega a um olho desenhado à esquerda embaixo; os prolongamentos tracejados dos dois raios refletidos se cruzam no topo da imagem. Uma cota indica que a distância objeto–imagem é 2d, e uma nota diz imagem virtual, direita, mesmo tamanho, simétrica. — A imagem no espelho plano nasce dos prolongamentos dos raios refletidos: virtual, simétrica ( $d' = d$ ), do mesmo tamanho e direita. O olho recebe raios divergentes e os lê como se viessem de um ponto atrás do espelho. Diagrama autoral.

Repare no que a ficha não diz. Ela não diz que a imagem “parece menor de longe”. A imagem de uma pessoa de 1,60 m mede 1,60 m a qualquer distância; o que encolhe quando você se afasta é o ângulo com que a imagem é vista, exatamente como um amigo do outro lado da rua “parece menor” sem ter mudado de tamanho. A 2.ª etapa de 2013 desenhou uma jovem de 1,60 m diante do espelho e afirmou: “Na situação apresentada, o tamanho da imagem refletida depende da distância que a jovem mantenha do espelho.” Gabarito E. Tamanho aparente e tamanho da imagem são coisas diferentes, e o item mora nessa diferença.

A ficha também não diz “isomorfa”. Em 2017, num texto sobre espelhos que distorcem, a banca escreveu: “A imagem de um objeto real formada por um espelho plano é virtual, isomorfa e do mesmo tamanho do objeto.” Duas palavras certas cercando uma errada. Isomorfo seria “da mesma forma e superponível”; a imagem é enantiomorfa, a forma espelhada, a que só se superpõe ao objeto depois de virada do avesso. Gabarito E. Quatro anos depois, sobre a fotografia Atrás da estação Saint Lazare, de Cartier-Bresson, em que um homem salta sobre uma poça e a água parada faz de espelho, a mesma palavra apareceu no sentido correto: o homem e o reflexo são simétricos em relação à superfície da água (item 101, C) e apresentam enantiomorfismo (item 102, C); a semelhança entre eles não é “astigmatismo”, que é um defeito de visão, não uma propriedade de espelhos (item 103, E).

"O espelho troca a esquerda pela direita"

Levante a mão direita diante do espelho: a imagem levanta a mão que está do mesmo lado que a sua direita. O que o espelho inverte é frente e trás: o que aponta para o espelho, na imagem, aponta para você. A troca de esquerda por direita é o que você percebe ao imaginar-se no lugar da imagem, virando 180° para encará-la; a letra impressa na camiseta aparece invertida porque a frente virou trás, não porque o espelho “sabe” onde é a esquerda. Isso é o enantiomorfismo: mesma forma, orientação oposta, sem superposição possível por deslocamento ou giro. E, sim, a imagem virtual se vê e se fotografa: a câmera recebe os mesmos raios divergentes que o olho e forma, no sensor, uma imagem real da imagem virtual. Virtual não é “inexistente”; é “não projetável no lugar onde parece estar”.

Metade da altura, a qualquer distância

Para ver os próprios pés no espelho, o raio que sai do pé e chega ao seu olho precisa tocar o espelho em algum ponto. Qual? Pelas leis da reflexão, com $r = i$ , o triângulo formado pelo pé, pelo olho e pelo ponto de reflexão tem dois ângulos iguais com a normal, e o ponto de reflexão fica exatamente na metade da altura entre o pé e o olho. O mesmo vale para o topo da cabeça: o raio que vem de lá toca o espelho na metade da distância vertical entre o topo da cabeça e o olho. Logo, o espelho só precisa cobrir, na vertical, da metade da distância olho–pé (abaixo do olho) até a metade da distância olho–topo (acima do olho). Somando, metade da altura da pessoa.

Uma pessoa esquematizada de 1,60 metro de altura, com os olhos a 1,50 metro do chão, de frente para um espelho plano vertical; à direita do espelho, a imagem simétrica tracejada. Um raio sai do pé da imagem até o olho da pessoa e toca o espelho a 0,75 metro do chão; outro raio sai do topo da cabeça da imagem até o olho e toca o espelho a 1,55 metro do chão. A faixa do espelho entre esses dois pontos está destacada e cotada como 80 centímetros, metade de 1,60; cotas laterais marcam 0,10 metro dos olhos ao topo e 1,50 metro dos olhos ao chão, e uma nota diz que a faixa não muda com a distância ao espelho. — Espelho de corpo inteiro: cada ponto do corpo é visto no ponto médio entre ele e o olho, então basta cobrir metade da altura, com a borda superior a meio caminho entre os olhos e o topo da cabeça. Afaste-se ou aproxime-se: os pontos médios acompanham e a faixa fica a mesma. Diagrama autoral.

Exemplo resolvido: a jovem de 2013. Uma jovem de 1,60 m, com os olhos 10 cm abaixo do topo da cabeça (logo a 1,50 m do chão), quer ver a imagem completa num espelho plano vertical. Conta: para ver os pés, o espelho precisa descer até $1{,}50/2 = 0{,}75$ m do chão; para ver o topo da cabeça, precisa subir até $1{,}50 + 0{,}10/2 = 1{,}55$ m. Comprimento mínimo: $1{,}55 - 0{,}75 = 0{,}80$ m. Conferência: $1{,}60/2 = 0{,}80$ m, metade da altura. Foi o item tipo C de 2013, gabarito D (80 cm), e as opções erradas (65, 70, 75 cm) são para quem divide o número errado ou desconta os 10 cm dos olhos duas vezes.

A geometria por trás da metade é a semelhança de triângulos da página de Tales: o ponto de reflexão é o ponto médio da vertical porque a imagem está tão longe do espelho quanto a pessoa, e uma reta que vai da imagem ao olho cruza o plano do espelho a meio caminho. Como a proporção não envolve a distância ao espelho, o resultado não depende de quanto você se afasta. Um espelho de 85 cm serve a qualquer pessoa de até 1,70 m; um de 80 cm não serve a alguém de 1,80 m, mesmo que ela recue até a outra parede: recuando, os pontos médios recuam junto, e a faixa necessária continua com 90 cm. A ideia de que “de longe cabe mais” vale para o ambiente refletido, que de fato aparece em maior extensão, e não para o próprio corpo.

Campo visual de um espelho plano

O campo visual é a região do espaço cujos pontos podem ser vistos refletidos por um observador fixo. Constrói-se assim: marque a imagem $O'$ do olho do observador (simétrica ao olho em relação ao espelho) e trace de $O'$ retas pelas bordas do espelho; a região à frente do espelho delimitada por essas retas é o campo. Quanto mais perto do espelho estiver o olho, mais aberto o cone, e mais coisas do ambiente aparecem. É por isso que um espelho pequeno perto do rosto mostra a sala inteira atrás de você, e o mesmo espelho longe mostra só um pedaço. O tamanho do seu corpo que aparece, porém, é fixado pela regra da metade e não muda com a distância.

Mova o espelho: a imagem anda o dobro

Duas situações em que o espelho se mexe, e não o objeto, decidem itens que parecem difíceis e não são.

Translação e rotação de um espelho plano

Translação. Se o espelho se afasta do objeto de uma distância $d$ (perpendicularmente ao próprio plano), a imagem se afasta do objeto de $2d$ . Razão: antes, objeto e imagem estavam a $x$ do espelho cada um, separados por $2x$ ; depois, a $x + d$ cada um, separados por $2(x + d)$ . Em velocidades: espelho a $v$ em relação ao objeto parado, imagem a $2v$ .

Rotação. Se o espelho gira um ângulo $\theta$ em torno de um eixo no seu plano, mantido fixo o raio incidente, o raio refletido gira $2\theta$ . Razão: a normal gira $\theta$ , então o ângulo de incidência muda $\theta$ ; como o ângulo de reflexão acompanha, o raio refletido se desvia de $\theta$ pelo lado da normal e de mais $\theta$ pela lei $r = i$ : $2\theta$ no total.

Dois painéis. À esquerda, translação: um objeto pontual fixo e um espelho plano vertical em duas posições, a inicial em traço cheio e a final tracejada, afastada d para a direita; as duas imagens correspondentes estão marcadas atrás do espelho, com cotas mostrando que a imagem se deslocou 2d. À direita, rotação: um raio incidente fixo chega a um espelho em duas posições que diferem por um ângulo teta, marcado com arco; os dois raios refletidos saem em direções que diferem por 2 teta, marcado com arco maior, e as duas normais tracejadas mostram o giro de teta. — Translação de $d$ move a imagem de $2d$ ; rotação de $\theta$ gira o raio refletido de $2\theta$ . Nos dois casos o fator 2 vem da simetria: o que o espelho faz, a imagem faz "do outro lado". Diagrama autoral.

O fator 2 da rotação é a base de instrumentos antigos e atuais. O galvanômetro de espelho do século XIX colava um espelhinho na bobina que girava: um giro minúsculo da bobina virava um giro dobrado de um ponto luminoso numa escala a metros de distância. O sextante dos navegadores mede a altura do Sol pela rotação de um espelho e traz a escala graduada já com o dobro dos ângulos. Nos scanners de código de barras e nos projetores a laser, um pequeno espelho oscilante varre o feixe por um ângulo duas vezes maior que o seu.

Exemplo resolvido. Um raio de luz incide num espelho plano com ângulo de incidência de 20°. Gira-se o espelho de 15° em torno de um eixo que passa pelo ponto de incidência, no sentido que aumenta o ângulo de incidência. Conta: a normal gira 15°, o novo ângulo de incidência é $20° + 15° = 35°$ , o novo ângulo de reflexão também é 35°. O ângulo entre incidente e refletido passou de $2 \times 20° = 40°$ para $2 \times 35° = 70°$ . Como o incidente não se mexeu, o refletido girou $70° - 40° = 30°$ , o dobro dos 15° do espelho. Conferência: $2\theta = 2 \times 15° = 30°$ .

Dois espelhos, muitas imagens

Dois espelhos planos que formam um ângulo $\alpha$ entre si multiplicam as imagens: a imagem de um vira objeto para o outro, e assim por diante, até que uma imagem caia atrás dos dois espelhos e não possa mais ser refletida.

Número de imagens em dois espelhos a α

Quando $360°/\alpha$ é um número inteiro $n$ , o número de imagens é

N = \frac{360°}{\alpha} - 1.

Se $n$ for par, o resultado vale para qualquer posição do objeto entre os espelhos; se $n$ for ímpar, vale para o objeto sobre a bissetriz do ângulo (fora dela, aparece uma imagem a mais, $N = n$ ). Casos de prova: $\alpha = 90°$ dá 3 imagens; $\alpha = 60°$ dá 5; $\alpha = 45°$ dá 7; $\alpha = 30°$ dá 11. Dois espelhos paralelos ( $\alpha \to 0$ ) dão, em princípio, infinitas imagens, cada uma mais distante e mais fraca que a anterior, porque cada reflexão perde um pouco de luz.

Dois espelhos planos formando 60 graus, desenhados como segmentos espessos que partem de um vértice comum, com um objeto pontual laranja entre eles sobre a bissetriz. Um círculo tracejado centrado no vértice passa pelo objeto; sobre ele estão marcadas cinco imagens azuis, igualmente espaçadas a 60 graus, e o próprio objeto completa seis pontos ao redor do círculo. Um rótulo diz 360 dividido por 60 menos 1 igual a 5 imagens, e o setor atrás dos dois espelhos aparece hachurado com a nota de que a última imagem cai onde nenhum espelho a alcança. — Dois espelhos a 60°: as imagens se distribuem sobre uma circunferência centrada no vértice, e a última cai atrás dos espelhos, onde não há mais reflexão. $360°/60° - 1 = 5$ . Diagrama autoral.

Todas as imagens ficam sobre uma circunferência centrada no vértice dos espelhos e que passa pelo objeto, porque cada reflexão preserva a distância ao plano do espelho e, portanto, ao vértice. Esse é o desenho do caleidoscópio (três espelhos a 60° formam um padrão de simetria hexagonal) e o do provador com dois espelhos em ângulo, que deixa você ver as próprias costas. Um caso particular vale a pena guardar: em dois espelhos a 90°, uma das três imagens, a que fica “no canto”, é formada por dupla reflexão e é isomorfa ao objeto, não enantiomorfa, porque duas trocas frente–trás se cancelam. É a imagem em que você se vê como os outros o veem, com a parte do cabelo do lado certo.

A colher e o foco na metade do raio

Um espelho esférico é um pedaço (uma calota) de uma esfera com uma das faces polida. Se a face refletora é a de dentro, como o lado côncavo da colher, o espelho é côncavo; se é a de fora, como o dorso da colher, é convexo. Toda a geometria dos dois sai de meia dúzia de nomes.

Elementos de um espelho esférico e a distância focal

Centro de curvatura $C$ : o centro da esfera de que o espelho é um pedaço; raio de curvatura $R$ : o raio dessa esfera.
Vértice $V$ : o ponto central da calota, o “meio” do espelho.
Eixo principal: a reta que passa por $C$ e por $V$ . Qualquer reta que passe por $C$ é uma normal ao espelho, porque toda reta que sai do centro de uma esfera fura a superfície perpendicularmente.
Foco principal $F$ : o ponto do eixo em que se cruzam (côncavo) ou de que parecem divergir (convexo) os raios que chegam paralelos ao eixo. Distância focal $f = \overline{VF}$ .

Para raios próximos do eixo e pouco inclinados, as chamadas condições de Gauss (também “condições de nitidez”), o foco fica na metade do raio de curvatura:

f = \frac{R}{2}.

No côncavo o foco é real (à frente do espelho, a luz passa por ele: dá para acender um papel ali). No convexo o foco é virtual (atrás do espelho; os raios refletidos apenas parecem vir dele).

De onde vem a metade? Tome um raio paralelo ao eixo que atinge o espelho côncavo num ponto $I$ . A normal em $I$ é a reta $IC$ . O raio refletido faz com $IC$ o mesmo ângulo $\theta$ que o incidente fazia, e o incidente, sendo paralelo ao eixo, fazia com $IC$ o mesmo ângulo $\theta$ que $IC$ faz com o eixo. Assim, o triângulo $CFI$ tem dois ângulos iguais a $\theta$ : é isósceles, com $\overline{FI} = \overline{FC}$ . Se $I$ está perto do vértice, $\overline{FI} \approx \overline{FV}$ , e então $\overline{FV} \approx \overline{FC}$ : o foco fica a meio caminho entre $V$ e $C$ . A aproximação “ $I$ perto do vértice” é a condição de Gauss.

Dois painéis. À esquerda, um espelho côncavo desenhado como um arco com a face refletora voltada para a esquerda; sobre o eixo principal horizontal estão marcados o vértice V no arco, o foco F e o centro de curvatura C, com cotas f e R igual a 2f. Quatro raios notáveis coloridos chegam pela esquerda: um paralelo ao eixo reflete passando por F; um que passa por F reflete paralelo ao eixo; um que passa por C volta sobre si mesmo; um que atinge V reflete simetricamente em relação ao eixo. À direita, um espelho convexo com a face refletora voltada para a esquerda; F e C ficam atrás do espelho, à direita, e os mesmos quatro raios chegam pela esquerda: o paralelo reflete como se viesse de F, o dirigido a F reflete paralelo, o dirigido a C volta sobre si mesmo e o que atinge V reflete simetricamente; os prolongamentos atrás do espelho são tracejados. — Elementos e raios notáveis. No côncavo, $F$ e $C$ estão à frente, e o foco é real; no convexo, atrás, e o foco é virtual. Em ambos, $f = R/2$ nas condições de Gauss. Diagrama autoral.

A banca gosta dessa metade porque ela é fácil de errar de propósito. Em 2012, um texto sobre geração de energia com “espelhos côncavos de Gauss” que concentram a radiação solar em motores Stirling postos no foco afirmou: “Se o raio de curvatura do espelho de Gauss for de 9 m, então o motor de Stirling, para localizar-se no foco, deve ser posicionado no eixo principal do espelho, a 3 m do vértice.” Metade de 9 m são 4,5 m, não 3 m: gabarito E. Em 2015, o telescópio Hubble, com espelho primário “em forma da calota de uma esfera de 2 m de raio”, rendeu: “Caso não existisse o espelho secundário, o foco do telescópio mostrado na figura estaria a 1 m do vértice do espelho primário.” $f = 2/2 = 1$ m: gabarito C.

Um esclarecimento que evita confusão: raios longe do eixo, num espelho esférico muito aberto, não passam pelo mesmo foco; depois de refletidos, cruzam o eixo um pouco antes dele, mais perto do espelho, e a imagem de um ponto vira uma mancha. É a aberração esférica. Por isso faróis, antenas e telescópios sérios usam espelhos parabólicos, cuja forma leva todos os raios paralelos ao eixo a um único foco, sem aproximação. Nas condições de Gauss, porém, esfera e parábola se comportam do mesmo jeito, e é com a esfera que a prova trabalha.

A colher, os dois lados

A colher de sopa é o laboratório de bolso do assunto. Pelo lado de dentro (côncavo), de longe você se vê pequeno e de cabeça para baixo: está além do centro de curvatura, a imagem é real, invertida e menor, e fica no ar entre você e a colher; os seus olhos a enxergam porque os raios que a formam seguem divergindo depois dela. Aproxime a colher: a imagem cresce, fica gigantesca e borrada quando você passa pelo foco e, mais perto ainda, vira, direita e aumentada, atrás da colher. Pelo lado de fora (convexo), nada disso acontece: sempre direito, sempre menor, sempre “dentro” da colher. Uma bola de Natal espelhada mostra a sala inteira do mesmo modo.

Quatro raios desenham qualquer imagem

Para localizar a imagem de um ponto não é preciso conta: bastam dois raios de trajeto conhecido saindo desse ponto. Onde os refletidos se cruzarem (ou onde os prolongamentos se cruzarem), está a imagem.

Os raios notáveis

Raio paralelo ao eixo principal reflete-se passando pelo foco (côncavo) ou como se viesse do foco (convexo).
Raio que passa (ou se dirige) pelo foco reflete-se paralelo ao eixo. É o anterior lido de trás para a frente: a luz faz o mesmo caminho nos dois sentidos.
Raio que passa (ou se dirige) pelo centro de curvatura reflete-se sobre si mesmo, porque chegou ao longo de uma normal.
Raio que atinge o vértice reflete-se simetricamente em relação ao eixo principal, porque ali a normal é o próprio eixo: no vértice o espelho se comporta como um espelho plano.

O quarto raio foi item em 2012: “Um raio de luz incidente sobre o vértice do espelho côncavo tem reflexão simétrica em relação ao eixo principal do espelho.” Gabarito C.

Com os raios 1 e 3 (ou 1 e 2) saindo do topo de um objeto em forma de seta apoiado no eixo, a imagem do topo é o cruzamento, e a imagem do pé fica sobre o eixo, na mesma vertical. Cinco posições do objeto diante do espelho côncavo dão cinco imagens diferentes, e é este o quadro que a prova espera pronto na cabeça.

Cinco painéis em sequência, cada um com o mesmo espelho côncavo, o eixo principal, os pontos F e C marcados e um objeto seta azul; a imagem correspondente está em laranja. Painel 1, objeto além de C: imagem real, invertida e menor, entre F e C. Painel 2, objeto sobre C: imagem real, invertida e do mesmo tamanho, sobre C. Painel 3, objeto entre C e F: imagem real, invertida e maior, além de C. Painel 4, objeto sobre F: os raios refletidos saem paralelos e a legenda diz imagem imprópria, no infinito. Painel 5, objeto entre F e V: os raios refletidos divergem e seus prolongamentos tracejados se cruzam atrás do espelho, imagem virtual, direita e maior. Em cada painel dois raios notáveis estão traçados: o paralelo ao eixo que reflete por F e o que passa por C e volta sobre si mesmo. — Os cinco casos do espelho côncavo. A fronteira é o foco: além dele a imagem é real e invertida (menor, igual ou maior conforme o objeto esteja depois, sobre ou antes de $C$ ); sobre o foco não há imagem; aquém do foco a imagem é virtual, direita e maior. Diagrama autoral.

objeto (côncavo)	imagem	onde	uso
além de $C$ ( $p > R$ )	real, invertida, menor	entre $F$ e $C$	telescópio refletor, colher de longe
sobre $C$ ( $p = R$ )	real, invertida, igual	sobre $C$	(caso de referência)
entre $C$ e $F$ ( $f < p < R$ )	real, invertida, maior	além de $C$	projeção ampliada num anteparo
sobre $F$ ( $p = f$ )	imprópria (no infinito)	raios paralelos	farol, lanterna, holofote
entre $F$ e $V$ ( $p < f$ )	virtual, direita, maior	atrás do espelho	maquiagem, dentista, barbeiro

O convexo tem um único caso. Como $F$ e $C$ estão atrás do espelho, os raios refletidos de qualquer objeto real divergem, e só os prolongamentos se encontram: a imagem é sempre virtual, direita e menor, e fica entre o vértice e o foco. A 2.ª etapa de 2017 trocou a ficha para ver quem percebia: “Nas condições de nitidez de Gauss, a imagem de um objeto real formada por um espelho esférico convexo é virtual, invertida e maior que o objeto.” Virtual, sim; invertida e maior, nunca. Gabarito E.

Espelho convexo com a face refletora voltada para a esquerda e F e C marcados atrás dele, à direita. Um objeto seta azul alto está à esquerda, longe do espelho; dois raios saem do topo: o paralelo ao eixo reflete afastando-se do eixo, com prolongamento tracejado passando por F atrás do espelho, e o dirigido a C reflete voltando sobre si mesmo. Os prolongamentos se cruzam atrás do espelho, entre V e F, onde está desenhada a imagem laranja, pequena e direita. Uma nota diz imagem sempre virtual, direita e menor, entre V e F, e um segundo objeto mais próximo, em cinza, mostra a imagem também pequena e direita. — O convexo não escolhe: para qualquer objeto real, imagem virtual, direita e menor, entre $V$ e $F$ . Aproxime ou afaste o objeto, e só o tamanho da imagem muda um pouco. Diagrama autoral.

Gauss com sinais

A construção geométrica diz como é a imagem; a equação de Gauss diz onde e quanto. Ela vale para côncavos e convexos, e para lentes também (a página de lentes e visão (página em preparação) a usa com a mesma forma), desde que se respeite uma convenção de sinais.

Equação de Gauss e aumento linear

Com $p$ a distância do objeto ao vértice, $p'$ a distância da imagem ao vértice e $f$ a distância focal,

\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}, \qquad A = \frac{i}{o} = -\frac{p'}{p},

em que $A$ é o aumento linear transversal: a altura da imagem $i$ dividida pela do objeto $o$ .

símbolo	sinal	leitura
$f$	$f > 0$ côncavo; $f < 0$ convexo	$f = R/2$ em módulo
$p$	$p > 0$ para objeto real (à frente do espelho)	é o caso de toda a prova
$p'$	$p' > 0$ : imagem real, à frente, projetável; $p' < 0$ : imagem virtual, atrás	o sinal é a natureza da imagem
$A$	$A > 0$ : direita; $A < 0$ : invertida	$\lvert A \rvert > 1$ maior, $\lvert A \rvert < 1$ menor

Em palavras: o inverso da distância focal é a soma dos inversos das distâncias do objeto e da imagem; a imagem é tantas vezes maior que o objeto quanto $p'$ é maior que $p$ ; e o sinal de menos no aumento traduz o fato de que imagem real de objeto real é invertida.

Escreva a convenção antes da conta, todas as vezes. Quatro exemplos cobrem o que a prova faz com a equação.

Exemplo 1: o espelho de maquiagem. Espelho côncavo com $R = 80$ cm, logo $f = +40$ cm. O rosto está a $p = 20$ cm, dentro do foco. $\dfrac{1}{p'} = \dfrac{1}{40} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{1 - 2}{40} = -\dfrac{1}{40}$ , logo $p' = -40$ cm: imagem virtual, 40 cm atrás do espelho. $A = -\dfrac{(-40)}{20} = +2$ : direita e com o dobro do tamanho. É o quinto caso do quadro, e o sinal de $p'$ chegou sozinho à mesma conclusão que o desenho. Conferência: um espelho de maquiagem que mostrasse o rosto invertido não venderia; $A > 0$ é o esperado.

Exemplo 2: o mesmo espelho, rosto longe. Agora $p = 120$ cm, além de $C$ ( $R = 80$ cm). $\dfrac{1}{p'} = \dfrac{1}{40} - \dfrac{1}{120} = \dfrac{3 - 1}{120} = \dfrac{2}{120}$ , logo $p' = +60$ cm: imagem real, 60 cm à frente, entre $F$ (40) e $C$ (80). $A = -\dfrac{60}{120} = -0{,}5$ : invertida e com metade do tamanho. Primeiro caso do quadro. É por isso que, ao afastar a colher, você se vê pequeno e de cabeça para baixo.

Exemplo 3: o retrovisor. Espelho convexo com $R = 2$ m, logo $f = -1$ m. Um carro está a $p = 10$ m. $\dfrac{1}{p'} = -\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{10} = -\dfrac{11}{10}$ , logo $p' \approx -0{,}91$ m: virtual, 91 cm atrás do espelho. $A = -\dfrac{(-0{,}91)}{10} \approx +0{,}09$ : direita e onze vezes menor. Mude $p$ para 5 m ou 50 m e refaça: $p'$ continua negativo (entre 0 e $-1$ m) e $A$ continua positivo e menor que 1, porque $f$ negativo e $p$ positivo nunca somam zero. Conferência: o convexo não escolhe.

Exemplo 4: o tipo B do dentista. Espelho côncavo de $f = 2$ cm; dente a $p = 1$ cm. Pede-se a ampliação, multiplicada por 100. $\dfrac{1}{p'} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{1} = -\dfrac{1}{2}$ , logo $p' = -2$ cm e $A = -\dfrac{(-2)}{1} = 2$ . Marcação: 200. Se o seu $A$ der negativo com o objeto dentro do foco, há erro de sinal: refaça.

O caminho inverso também aparece: dada a imagem, achar o espelho. Um objeto a 30 cm de um espelho produz imagem real, invertida e duas vezes maior; qual é a distância focal? $A = -2 = -p'/p$ dá $p' = 60$ cm (positivo, real, coerente). $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{60} = \dfrac{3}{60}$ , logo $f = 20$ cm, côncavo, e o objeto (30 cm) está de fato entre $F$ (20) e $C$ (40): terceiro caso, imagem maior e além de $C$ . Tudo fecha.

O sinal de p' é a resposta, não um detalhe

Quem esquece que $p' < 0$ significa “imagem virtual, atrás do espelho” acaba dizendo que o espelho de maquiagem projeta o rosto a 40 cm à frente, ou que o retrovisor forma imagem real. Regra: termine toda conta de Gauss com uma frase, “imagem a tantos centímetros atrás/à frente, direita/invertida, maior/menor”, e compare com o quadro dos cinco casos. Se a frase contradisser o quadro, o erro é de sinal. Segundo tropeço frequente: usar $R$ no lugar de $f$ . A equação leva a distância focal; se o enunciado dá o raio de curvatura, divida por 2 antes de qualquer coisa (2012/81 vive disso).

Onde cada espelho trabalha

Cada aplicação é um dos casos do quadro escolhido por uma razão.

Retrovisor externo e espelho de segurança de loja e garagem (convexo): imagem menor para cada objeto significa mais objetos dentro da mesma moldura; o campo de visão é muito maior que o de um espelho plano do mesmo tamanho. O preço é a advertência gravada nos retrovisores americanos, objects in mirror are closer than they appear: como a imagem é menor, o cérebro a lê como mais distante.
Espelho de maquiagem, de barbeiro, de dentista (côncavo, objeto entre $F$ e $V$ ): imagem virtual, direita e ampliada, com $A$ tipicamente entre 2 e 5. Se você afastar o rosto além do foco, a imagem vira: o espelho “estraga” para o uso.
Farol, lanterna, holofote, antena parabólica (côncavo, fonte no foco): raios que saem do foco refletem-se paralelos ao eixo, e a luz vai longe sem se espalhar. A antena faz o caminho inverso: ondas que chegam paralelas de um satélite concentram-se no receptor posto no foco.
Forno solar e usina heliotérmica (côncavo, Sol no infinito): a radiação chega paralela e concentra-se no foco, onde se põe a panela, o motor Stirling (o texto de 2012) ou o tubo com o fluido que vai virar vapor. Temperaturas de centenas de graus com espelhos e nada mais.
Telescópio refletor (côncavo, objeto no infinito): o espelho primário forma no foco uma imagem real, pequena e invertida da estrela; um espelho secundário desvia essa luz para a ocular ou para os instrumentos. Newton construiu o primeiro em 1668; o Hubble tem um primário de 2,4 m e o James Webb, 6,5 m em 18 segmentos hexagonais. Espelhos não sofrem aberração cromática (a reflexão não separa as cores, a refração separa) e podem ser apoiados por trás, o que permite diâmetros que nenhuma lente aguentaria.
Periscópio (dois espelhos planos a 45°): cada reflexão desvia a luz de 90° e a imagem final, depois de duas inversões frente–trás, é direita e isomorfa.

Sobre o Hubble, o item de 2015 que dependia da figura merece o raciocínio completo, porque ele é geometria pura. O primário tem $R = 2$ m e $f = 1$ m; a luz chega paralela e converge para $F$ . O item propunha um espelho secundário plano no ponto médio da distância focal, a 0,5 m do vértice, e afirmava que sua altura deveria ser um quarto da altura $H$ do primário. Mas o cone de luz que sai do primário com largura $H$ se fecha até zero em $F$ : a meio caminho, por semelhança de triângulos, sua largura é $H/2$ , não $H/4$ . Gabarito E. Um espelho de $H/4$ deixaria passar metade da luz por fora.

Como a banca pergunta

Os espelhos são presença regular na 2.ª etapa, quase sempre em pares pendurados num texto de outra área (arte, astronomia, energia). A lista abaixo é a arqueologia do assunto, com o que decidiu cada item.

Ficha do espelho plano, palavra por palavra. 2013/109 (“tamanho depende da distância”, E); 2017/103 (“isomorfa”, E); 2021/101–103 (simétricos, C; enantiomorfismo, C; “astigmatismo”, E). Decide-se recitando a ficha: virtual, direita, mesmo tamanho, simétrica, enantiomorfa.
Espelho de corpo inteiro. 2013/110, tipo C, gabarito D (80 cm para 1,60 m). Metade da altura, borda superior a meio caminho entre olhos e topo.
Fermat e a lei da reflexão. 2014/110 (C) e 2014/109 (E). A figura de 2014 trazia o objeto e o observador à mesma altura, 40 cm acima de um espelho plano, em posições simétricas ( $-40$ cm e $+40$ cm de uma régua), e quatro caminhos $L_1$ a $L_4$ tocando o espelho em $-30$ , $-20$ , $-10$ e $0$ cm. O caminho de menor tempo é o simétrico, que toca o espelho em 0 (ângulos iguais): $L_4$ . Logo $t_4 < t_3 < t_2 < t_1$ , o contrário da ordem afirmada. Ler uma figura de óptica é achar a simetria antes de medir qualquer coisa.
Foco na metade do raio. 2012/81 (9 m → 4,5 m, não 3 m: E); 2015/85 (2 m → 1 m: C). E a normal no vértice, 2012/82 (C).
Ficha do convexo. 2017/105 (“virtual, invertida e maior”: E). Convexo é direita e menor, sem exceção.
Leitura de figura com semelhança. 2015/84 (secundário plano a $f/2$ precisa de $H/2$ , não $H/4$ : E).
Arte e óptica. 2009/49, sobre Um bar no Folies-Bergère, de Manet: o quadro mostra ao fundo um grande espelho, e o reflexo da moça do balcão aparece deslocado muito para a direita, com um cliente refletido diante dela que não existe do lado de cá, e garrafas em posições que não batem com as do balcão. O item afirmava que há no quadro “representação de objetos que viola os princípios da óptica geométrica”: gabarito C, e é um dos casos raros em que a banca pede para aplicar a simetria do espelho plano a uma pintura. A resposta não é uma opinião de crítico: é a ficha da imagem simétrica confrontada com a tela.

Dois itens de 2017 (104 e 109), que perguntavam se o espelho da fotografia “certamente não é plano” e “certamente não é esférico”, foram anulados: a foto não permitia decidir. Guarde a lição: “certamente” num item de leitura de imagem é sinal de que a banca pode estar pedindo mais do que a figura dá.

Os erros que a prova planta

Nove tropeços, um por linha

“A imagem virtual não se vê.” Vê-se e fotografa-se; virtual quer dizer “formada por prolongamentos, não projetável onde parece estar”. Toda imagem de espelho plano é virtual, e você se olha nela todo dia.
“A imagem no espelho plano fica menor de longe.” O tamanho da imagem é o do objeto; o que muda é o ângulo visual (2013/109).
“Isomorfa” e “real” para a imagem do plano: é enantiomorfa e virtual (2017/103).
“O espelho troca esquerda e direita.” Troca frente e trás; a inversão lateral é a leitura que fazemos disso.
Espelho de corpo inteiro que “depende da distância”. É metade da altura, sempre; recuar não faz caber mais do corpo, só mais do ambiente.
Usar $R$ no lugar de $f$ . $f = R/2$ ; 9 m de raio dão foco a 4,5 m (2012/81); 2 m dão 1 m (2015/85).
Confundir $F$ com $C$ nos cinco casos. Sobre $C$ a imagem é igual e invertida; sobre $F$ não há imagem; entre $F$ e $V$ a imagem é virtual e maior.
Convexo que “forma imagem real” ou “invertida e maior” (2017/105). O convexo só faz virtual, direita e menor.
Sinal de $p'$ ignorado. $p' < 0$ é imagem atrás do espelho; $A = -p'/p$ positivo é imagem direita. Termine a conta com a frase completa e compare com o quadro.

O essencial em meia página

Leis da reflexão: raio incidente, refletido e normal no mesmo plano; $r = i$ , medidos a partir da normal. Raio a 30° do espelho: $i = 60°$ , ângulo entre os raios 120°. Especular (lisa, forma imagem) × difusa (rugosa, permite ver os objetos). Fermat: o caminho real é o de menor tempo, e é o dos ângulos iguais (2014/110).
Espelho plano: imagem virtual, direita, do mesmo tamanho, simétrica ( $d' = d$ ) e enantiomorfa (frente↔trás). Distância objeto–imagem $2d$ ; aproxima-se a $2v$ . Tamanho não depende da distância (2013/109); “isomorfa” é erro (2017/103); “astigmatismo” é defeito de visão, não de espelho (2021/103).
Corpo inteiro: espelho de metade da altura, borda superior a meio caminho entre olhos e topo, independente da distância (1,60 m → 80 cm, 2013/110 D). Campo visual: imagem do olho + bordas do espelho; cresce quando o olho se aproxima.
Translação de $d$ : imagem anda $2d$ (velocidade $2v$ ). Rotação de $\theta$ : raio refletido gira $2\theta$ .
Dois espelhos a $\alpha$ : $N = 360°/\alpha - 1$ (90° → 3; 60° → 5; 45° → 7); paralelos → infinitas; imagens sobre uma circunferência centrada no vértice; a imagem de dupla reflexão a 90° é isomorfa.
Esféricos: côncavo (face interna, $F$ real) × convexo (face externa, $F$ virtual); $C$ , $V$ , eixo, $f = R/2$ nas condições de Gauss (raios paraxiais); espelho aberto → aberração esférica → parabólico.
Raios notáveis: paralelo ↔ foco; pelo centro volta sobre si; no vértice, simétrico ao eixo (2012/82).
Côncavo, cinco casos: além de $C$ : real, invertida, menor; em $C$ : igual; entre $C$ e $F$ : maior; em $F$ : imprópria (farol); entre $F$ e $V$ : virtual, direita, maior (maquiagem). Convexo, um caso: virtual, direita, menor (retrovisor, campo amplo).
Gauss: $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p'}$ , $A = -\dfrac{p'}{p} = \dfrac{i}{o}$ ; $f > 0$ côncavo, $f < 0$ convexo; $p' > 0$ real, $p' < 0$ virtual; $A > 0$ direita. Maquiagem $f = 40$ , $p = 20$ → $p' = -40$ , $A = +2$ ; retrovisor $f = -1$ m, $p = 10$ m → $p' \approx -0{,}91$ m, $A \approx 0{,}09$ ; dentista $f = 2$ , $p = 1$ → $A = 2$ (tipo B: 200).
Aplicações: retrovisor/segurança (convexo); maquiagem/dentista (côncavo, $p < f$ ); farol/antena (fonte ou receptor no foco); forno solar/Stirling (Sol no infinito → foco; 2012); telescópio refletor (Newton 1668; Hubble 2,4 m, $R = 2$ m no item de 2015 → $f = 1$ m; secundário a $f/2$ precisa de $H/2$ ).

Exercícios temporariamente indisponíveis

Não foi possível consultar o banco de questões. O conteúdo da aula continua disponível.

Flashcards temporariamente indisponíveis

Não foi possível consultar os cartões de revisão.

Espelhos planos - Brasil Escola

Brasil Escola Oficial · 7:38

Introdução. Sete minutos e meio do professor Rafael Helerbrock sobre o espelho plano: reflexão regular, formação da imagem pelos prolongamentos dos raios e a ficha da imagem (virtual, direita, mesmo tamanho, simétrica). É o conteúdo das seções “Duas leis, uma régua” e “O que o espelho plano faz com a imagem” em formato de aula, para assistir antes de ler; a descrição do vídeo aponta ainda para textos sobre translação e associação de espelhos planos, assuntos das duas seções seguintes.

ESPELHOS ESFÉRICOS (II) - COMO SE FORMAM AS IMAGENS EM ESPELHOS ESFÉRICOS? - Aula 6 - Prof. Boaro

Professor Boaro · 25:02

Aprofundamento. Vinte e cinco minutos dedicados só à construção geométrica: os raios notáveis e a formação das imagens no côncavo, caso a caso, e no convexo. É a seção “Quatro raios desenham qualquer imagem” desenhada no quadro, com o professor conduzindo cada traçado; assista com o quadro dos cinco casos ao lado e confira, ao final, a ficha única do convexo que derrubou o item PAS 2 2017/105.

Equação de Gauss - Espelhos Esféricos

Física Up - Profa. Carina Vellosa · 8:54

Aplicação. Nove minutos com a equação de Gauss e a convenção de sinais aplicadas a dois problemas enunciados na descrição do vídeo: objeto a 1 cm de um côncavo de foco 0,5 cm (posição e natureza da imagem) e imagem virtual a 50 cm atrás do espelho com objeto a 2 m (achar f e o tipo de espelho). São os dois sentidos da conta da seção “Gauss com sinais”: dado o espelho, achar a imagem; dada a imagem, achar o espelho.

5 EXERCÍCIOS ESPELHOS ESFÉRICOS - Equação de Gauss, aumento, formação de imagens e raios notáveis.

Física e Exercício · 45:40

Resolução. Cinco exercícios de espelhos esféricos resolvidos do início ao fim, com Gauss, aumento linear e raios notáveis, precedidos de uma revisão da teoria (foco real e virtual, centro de curvatura como dobro da distância focal, cinco casos), conforme a descrição detalhada do autor. Use depois dos exercícios desta página para conferir método e sinais nas seções “Gauss com sinais” e “Quatro raios desenham qualquer imagem”; é longo (45 min), então vale pular direto para os exercícios se a teoria já estiver firme.

Espelho plano vertical no centro, com hachura atrás. À esquerda, uma seta azul vertical representa o objeto, a uma distância d do espelho; à direita, uma seta laranja tracejada da mesma altura representa a imagem virtual, à mesma distância d atrás do espelho. Do topo do objeto saem dois raios azuis: um incide perpendicularmente ao espelho e volta sobre si mesmo; o outro reflete no espelho e chega a um olho desenhado à esquerda embaixo; os prolongamentos tracejados laranja dos dois raios refletidos se cruzam no topo da imagem. Cotas indicam d, d e 2d, distância objeto–imagem, e um texto diz imagem virtual, direita, mesmo tamanho, simétrica, enantiomorfa. — A imagem no espelho plano nasce dos prolongamentos dos raios refletidos: virtual, simétrica ( $d' = d$ ), do mesmo tamanho e direita. O olho recebe raios divergentes e os lê como se viessem de um ponto atrás do espelho. Diagrama autoral.

Pessoa esquematizada em azul, de 1,60 m, com olhos a 1,50 m do chão, de frente para um espelho plano vertical cinza; à direita, a imagem simétrica tracejada em laranja. Um raio sai do pé da imagem até o olho e toca o espelho a 0,75 m do chão; outro sai do topo da cabeça da imagem até o olho e toca a 1,55 m. A faixa do espelho entre esses pontos está destacada em verde e cotada como 80 cm = 1,60 / 2, faixa útil. Cotas à esquerda marcam 1,60 m, 0,10 m dos olhos ao topo e 1,50 m dos olhos ao chão; o título diz que cada ponto do corpo é visto no ponto médio entre ele e o olho e que a faixa não muda com a distância. — Espelho de corpo inteiro: cada ponto do corpo é visto no ponto médio entre ele e o olho, então basta cobrir metade da altura, com a borda superior a meio caminho entre os olhos e o topo da cabeça. Afaste-se ou aproxime-se: a faixa fica a mesma (PAS 2 2013/110, 80 cm). Diagrama autoral.

Dois painéis. À esquerda, translação: um objeto pontual azul fixo e um espelho plano vertical em duas posições, a inicial em traço cheio e a final tracejada, afastada d para a direita; as duas imagens laranja correspondentes estão atrás do espelho, com cotas mostrando x e x e que a imagem se deslocou 2d. À direita, rotação: um raio incidente azul fixo chega a um espelho em duas posições, uma horizontal em verde e outra girada de um ângulo θ em roxo tracejado; as normais tracejadas mostram o giro θ e os dois raios refletidos, laranja e roxo, saem em direções que diferem por 2θ, marcado com um arco. — Translação de $d$ move a imagem de $2d$ ; rotação de $\theta$ gira o raio refletido de $2\theta$ . Nos dois casos o fator 2 vem da simetria: o que o espelho faz, a imagem faz “do outro lado”. Diagrama autoral.

Dois espelhos planos formando 60 graus, desenhados como segmentos verdes espessos que partem de um vértice comum, rotulados espelho 1 e espelho 2, com um objeto pontual laranja entre eles sobre a bissetriz. Uma circunferência tracejada centrada no vértice passa pelo objeto; sobre ela estão marcadas cinco imagens azuis numeradas de 1 a 5, igualmente espaçadas a 60 graus, e o objeto completa seis pontos ao redor. O título diz N = 360° / α − 1 = 360° / 60° − 1 = 5 imagens; o setor atrás dos dois espelhos aparece hachurado com a nota de que a imagem 5 é a última, que nenhum espelho reflete. — Dois espelhos a 60°: as imagens se distribuem sobre uma circunferência centrada no vértice, e a última cai atrás dos espelhos, onde não há mais reflexão. $360°/60° - 1 = 5$ . Diagrama autoral.

Dois painéis. À esquerda, um espelho côncavo desenhado como um arco verde com a face refletora voltada para a esquerda; sobre o eixo principal horizontal estão marcados o vértice V no arco, o foco F e o centro de curvatura C, com cotas f = R/2 e R. Quatro raios coloridos chegam pela esquerda: o azul, paralelo ao eixo, reflete passando por F; o verde, que passa por F, reflete paralelo ao eixo; o roxo, que passa por C, volta sobre si mesmo; o laranja, que atinge V, reflete simetricamente em relação ao eixo. À direita, um espelho convexo com F e C atrás dele, à direita, e os mesmos quatro raios chegando pela esquerda, com os prolongamentos atrás do espelho tracejados. Uma legenda embaixo numera os quatro raios notáveis e nota que f = R/2 vale nas condições de Gauss. — Elementos e raios notáveis. No côncavo, $F$ e $C$ estão à frente e o foco é real; no convexo, atrás, e o foco é virtual. Em ambos, $f = R/2$ nas condições de Gauss. Diagrama autoral.

Cinco painéis empilhados, cada um com o mesmo espelho côncavo à direita, o eixo principal e os pontos C, F e V marcados, um objeto seta azul e a imagem seta laranja; em cada painel estão traçados o raio paralelo ao eixo, que reflete por F, e o raio que passa por C, que volta sobre si. Painel 1, objeto além de C: imagem real, invertida e menor, entre F e C, com p = 420, f = 160, p' = 258, A = −0,62. Painel 2, objeto sobre C: imagem real, invertida e igual, sobre C, A = −1. Painel 3, objeto entre C e F: imagem real, invertida e maior, além de C, p' = 480, A = −2. Painel 4, objeto sobre F: raios refletidos paralelos, imagem imprópria. Painel 5, objeto entre F e V: prolongamentos tracejados se cruzam atrás do espelho, imagem virtual, direita e maior, p' = −206, A = +2,29. — Os cinco casos do espelho côncavo, com os valores de Gauss em cada painel ( $f = 160$ na escala do desenho). A fronteira é o foco: além dele a imagem é real e invertida; sobre ele não há imagem; aquém dele a imagem é virtual, direita e maior. Diagrama autoral.

Espelho convexo verde com a face refletora voltada para a esquerda e os pontos V, F e C marcados sobre o eixo, F e C atrás do espelho. Um objeto seta azul alto está à esquerda; o raio paralelo ao eixo reflete afastando-se do eixo, com prolongamento tracejado passando por F, e o raio dirigido a C reflete voltando sobre si, com prolongamento tracejado até C. Os prolongamentos se cruzam atrás do espelho, entre V e F, onde está a imagem laranja tracejada, pequena e direita. Um segundo objeto cinza, mais próximo do espelho, tem imagem cinza também pequena e direita. O título diz que, para qualquer objeto real, a imagem é virtual, direita e menor, entre V e F, e uma linha traz p = 340, f = −200, p' = −126, A = +0,37 e p = 120, p' = −75, A = +0,62. — O convexo não escolhe: para qualquer objeto real, imagem virtual, direita e menor, entre $V$ e $F$ . Aproxime ou afaste o objeto e só o tamanho da imagem muda um pouco; em Gauss, $f < 0$ e $p > 0$ nunca dão $p' > 0$ . Diagrama autoral.

Rota PAS 2

Ótica geométrica e introdução à física moderna · PAS 2

Fontes desta página

Os materiais abaixo contribuíram para a explicação e os exemplos deste assunto.

Rota PAS 2 — Ótica geométrica e introdução à física moderna · Espelho plano: a imagem do outro lado (conceito, exemplo-guia da loja, itens 2013/109, 2017/103, 2014/110, armadilha 'isomorfa', checagem); Espelhos esféricos: o foco na metade do raio (elementos, f = R/2, Gauss e ampliação com tabela de sinais, exemplo-guia maquiagem e colher, itens 2012/81–82, 2015/85, 2017/105, checagem do retrovisor); Como a banca cobra (histórico dos itens de espelhos); Resolvidos (espelho da loja, espelho do dentista tipo B); Síntese (Espelhos); Protocolo do item de óptica (1) e (2)
Recorte por assunto: só as duas seções de espelhos, os itens de espelhos do histórico e os dois resolvidos correspondentes. Refração, lentes, olho, interação luz-matéria e dualidade ficam nas páginas irmãs. A página acrescenta, ausentes do capítulo, reflexão especular × difusa, campo visual, translação e rotação do espelho, associação de dois espelhos, raios notáveis com os cinco casos desenhados, aberração esférica e o raciocínio do item 2015/84.
Rota PAS 2 — Língua Portuguesa, texto-base de 2017 (Espelho: o reflexo de cada um) · Transcrição do texto-base de Gil Epifânia (prova de 2017), usada para reproduzir verbatim o bloco dos itens 102 a 109
Texto conferido contra a imagem da página 16 do caderno Madeira de 2017 (o texto extraído desse ano é ilegível).
Cadernos e gabaritos oficiais do PAS/UnB (Cebraspe) · PAS 2 2009 (item 49), 2012 (itens 81 e 82), 2013 (itens 109 e 110), 2014 (itens 109 e 110), 2015 (itens 84 e 85), 2017 (itens 103 e 105, do PDF), 2021 (itens 101 a 103, do PDF da Parte 2)
Itens reproduzidos verbatim com os textos-base; gabaritos conferidos em utils/material/PAS/pesquisa/classificacao-pas2/AAAA.json. Figuras de 2013 (p. 14 do caderno Aleijadinho), 2014 (p. 18 do caderno Georgina), 2015 (p. 14 do caderno Taunay), 2017 (p. 16 do caderno Madeira) e 2021 (Parte 2, p. 10) rasterizadas a 130 dpi e descritas em texto neutro. Itens 2017/104 e 109 (anulados) e 2011/89–95 (geometria analítica do espelho côncavo) não entram.