Determinantes

O determinante associa um número a uma matriz quadrada. Esse número informa se a transformação linear pode ser desfeita e, no plano, mede a mudança de área com sinal de orientação. Ele também ajuda a estudar sistemas lineares. Um determinante não é uma matriz menor nem a soma de todos os seus elementos: possui regras próprias, cuja interpretação evita muitas contas desnecessárias.

Ordem dois: cálculo e sinal

Para a matriz A com linhas $(a,b)$ e $(c,d)$, o determinante é $\det A=ad-bc$. Multiplique as entradas da diagonal principal e subtraia o produto da diagonal secundária. A ordem da subtração importa.

Se A tem linhas $(3,1)$ e $(2,4)$, então $\det A=12-2=10$. Trocar as duas linhas produz determinante $2-12=-10$. O módulo ficou igual, mas a orientação foi invertida. Já multiplicar apenas a primeira linha por 2 dobra o determinante: o novo valor é 20.

O determinante usual é definido para matrizes quadradas. Uma tabela $2\times3$ pode representar dados e participar de produtos, mas não possui determinante nesse sentido.

Ordem três e regra de Sarrus

Para uma matriz com linhas $(a,b,c)$, $(d,e,f)$ e $(g,h,i)$, Sarrus resulta em $aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$. São três produtos somados e três subtraídos. Repetir as duas primeiras colunas ajuda a visualizar esses produtos, sem alterar a matriz original.

Considere as linhas $(1,2,0)$, $(0,3,1)$ e $(2,0,4)$. Os produtos positivos somam $1\cdot3\cdot4+2\cdot1\cdot2+0=16$. Os três produtos subtraídos são zero. Logo, o determinante é 16. Outra conferência consiste em subtrair duas vezes a primeira linha da terceira: a última linha vira $(0,-4,4)$. A expansão pela primeira coluna dá $3\cdot4-1\cdot(-4)=16$.

Sarrus é uma regra específica da ordem três. Repetir colunas em uma matriz de ordem quatro não fornece uma extensão válida do procedimento.

Propriedades que economizam trabalho

Trocar duas linhas muda o sinal. Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k. Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante. As mesmas propriedades valem para colunas.

Uma linha nula ou duas linhas proporcionais tornam o determinante zero. Em uma matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal principal. Escalonar pode simplificar muito o cálculo, desde que você acompanhe as trocas e multiplicações realizadas.

Se toda uma matriz de ordem n é multiplicada por k, cada uma das n linhas recebe esse fator: $\det(kA)=k^n\det A$. Por exemplo, se A é de ordem três e tem determinante 5, então $\det(2A)=8\cdot5=40$, não 10. Também valem $\det(A^T)=\det A$ e $\det(AB)=\det A\det B$ para matrizes quadradas da mesma ordem.

O que isso decide em um sistema

Para um sistema quadrado $AX=B$, determinante não nulo garante uma única solução para qualquer coluna B. Equivale à existência de $A^{-1}$. Se o determinante é zero, é preciso continuar a análise: o sistema pode não ter solução ou pode ter infinitas.

Compare $x+y=2$ junto de $2x+2y=4$ com a mesma primeira equação junto de $2x+2y=5$. A matriz dos coeficientes tem determinante zero nos dois casos. No primeiro, qualquer par $(t,2-t)$ resolve; no segundo, a segunda equação contradiz o dobro da primeira. O determinante dos coeficientes não observa sozinho essa diferença nos termos independentes.

Cramer com uma verificação completa

Quando $\det A\ne0$, a regra de Cramer dá $x_j=\det A_j/\det A$. A matriz $A_j$ substitui a coluna j de A pelos termos independentes, conservando a ordem das demais colunas.

No sistema $2x+y=7$ e $x-y=2$, o determinante principal é $-2-1=-3$. Para x, o numerador vale $7(-1)-2(1)=-9$, portanto x=3. Para y, vale $2(2)-1(7)=-3$, portanto y=1. A substituição confere ambas as equações: 7 e 2. Se o denominador for zero, essas divisões não podem ser usadas para classificar automaticamente o sistema.

Área e independência

Dois vetores do plano formam as colunas de uma matriz. O módulo do determinante é a área do paralelogramo gerado; a área do triângulo é metade disso. Para $(3,1)$ e $(1,2)$, o determinante vale 5, então as áreas são 5 e 2,5 unidades quadradas.

Três pontos determinam qual polinômio?

Para procurar $p(x)=ax^2+bx+c$ que passe por três pontos $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$, substitua cada par na expressão. O sistema é linear nas incógnitas a, b e c, mesmo que apareçam quadrados das abscissas conhecidas. Sua matriz tem linhas $(x_0^2,x_0,1)$, $(x_1^2,x_1,1)$ e $(x_2^2,x_2,1)$.

O determinante dessa matriz é

$$-(x_1-x_0)(x_2-x_0)(x_2-x_1).$$

Se as abscissas são distintas duas a duas, nenhum fator é zero: existe um único polinômio de grau no máximo dois que interpola os dados. Isso não garante a≠0. Três pontos alinhados podem determinar uma função afim, e três ordenadas iguais determinam uma função constante.

Por exemplo, os pontos (0,1), (1,4) e (2,15) dão $c=1$, $a+b+c=4$ e $4a+2b+c=15$. Substituindo c, obtemos $a+b=3$ e $2a+b=7$; portanto a=4 e b=−1. O resultado $p(x)=4x^2-x+1$ devolve 1, 4 e 15 nas três abscissas. O determinante vale −2. Mantendo as abscissas e trocando as ordenadas para 1, 3 e 5, o mesmo determinante não nulo dá a=0, b=2 e c=1: solução única, mas sem parábola.

Um determinante em um modelo de circuito

Considere a matriz de coeficientes de um sistema de correntes de malha, com linhas $(3,-1,-2)$, $(-1,6,-3)$ e $(-2,-3,6)$. A expansão pela primeira linha fornece

$$\det A=3(36-9)+(-6-6)-2(3+12)=81-12-30=39.$$

Assim, esse sistema linear tem solução única para qualquer coluna de tensões fornecida. Dobrar todos os coeficientes multiplica o determinante por oito: $\det(2A)=8\cdot39=312$. A conclusão vale para esse modelo com matriz inversível; não precisa de uma afirmação geral sobre todo circuito físico. A montagem das equações exige ainda identificar as malhas e adotar uma convenção de sinais.