Física quântica

Gire devagar o dimmer de uma lâmpada incandescente antiga, num quarto escuro. No começo o filamento não mostra nada, mas a mão aproximada do bulbo já sente calor; um pouco mais de corrente e surge um vermelho fosco, que vira laranja, depois amarelo e, na potência máxima, o branco levemente amarelado da lâmpada acesa. Uma câmera térmica apontada para o bulbo ainda apagado já o mostrava luminoso, porque o filamento tépido emitia infravermelho, que o olho não vê. Troque a lâmpada por um tubo com hidrogênio rarefeito e passe uma corrente: o gás acende rosa, e um prisma mostra que esse rosa não é um arco-íris contínuo, mas quatro linhas finas, uma vermelha, uma azul-esverdeada e duas violetas, sempre nos mesmos lugares. Duas cores, dois enigmas. A cor de um corpo aquecido, medida com precisão em Berlim nos anos 1890, não cabia em nenhuma fórmula da física clássica, que previa emissão infinita no ultravioleta. As linhas do hidrogênio obedeciam a uma regra numérica descoberta por um professor de escola em 1885, e ninguém sabia por quê. Para fechar as duas contas, a física teve de aceitar, entre 1900 e 1927, que a energia é trocada em degraus, que o elétron no átomo só pode ter certas energias e que, no fundo, ele não tem trajetória, apenas probabilidades.

Esta é a página da física quântica: a radiação térmica e a lei de Wien como ponte, a catástrofe do ultravioleta e o quantum de Planck, o fóton como ideia, o átomo de Bohr com seus níveis, raios, raias e energia de ionização, os íons hidrogenoides, a quantização além de Bohr (números quânticos, exclusão de Pauli, tabela periódica), o princípio da incerteza, a função de onda e as interpretações (Copenhague, EPR, Bell e o Nobel de 2022) e as tecnologias que vivem disso. O que já tem página própria fica lá: a equação $K_{\max} = hf - W$, o potencial de corte e o gráfico de Millikan estão em efeito fotoelétrico; a hipótese de de Broglie, a fenda dupla e a complementaridade, em dualidade onda-partícula; o espectro eletromagnético e $c = \lambda f$, em ondas eletromagnéticas; a lei de Stefan-Boltzmann e as trocas de calor por radiação, em propagação de calor; a narrativa com datas, de Röntgen à bomba, em história da física moderna; e o modelo de Bohr visto pela Química, com os modelos de Dalton a Rutherford, em modelos atômicos. No PAS, o assunto aparece nas três etapas: como “noção” de física moderna na 1.ª (a incerteza como limite da natureza), como formalismo de Bohr e de Planck na matriz da 2.ª e, na 3.ª, como história da ciência e como interpretação, com um estoque real de itens concentrado nas provas de 2008, 2013, 2018 e 2021.

Brasa, filamento e estrela: a radiação térmica e a lei de Wien

Basta ter temperatura acima do zero absoluto para que um corpo irradie: ele emite ondas eletromagnéticas de todos os comprimentos simultaneamente, sem precisar de corrente, de chama ou de luz externa, e esse brilho de origem puramente térmica é a radiação térmica. Com a temperatura, o que muda é como a energia se reparte entre os comprimentos de onda. A um corpo a 300 K (a temperatura de uma sala ou de uma pessoa), quase toda a emissão está no infravermelho; a 1 000 K, uma fração pequena já invade o vermelho visível e a brasa “brilha”; a 3 000 K (filamento de lâmpada), a emissão visível é amarelada; a 6 000 K (superfície do Sol), o pico cai no meio do visível e a luz parece branca; a 12 000 K, o pico está no ultravioleta e o que sobra no visível é mais azul do que vermelho. A cor em que um corpo quente brilha funciona, portanto, como leitura de temperatura.

O modelo ideal para estudar isso é o corpo negro: um objeto que absorve toda a radiação que recebe, sem refletir nada, e que por isso emite só o que a sua temperatura dita. Na prática, uma cavidade com um furo pequeno é um corpo negro quase perfeito (a luz que entra pelo furo se perde lá dentro), e estrelas, filamentos e brasas se afastam pouco o bastante desse ideal para que a lei do corpo negro traduza a cor delas em temperatura. Em 1893, Wilhelm Wien encontrou a regra do pico.

Exemplo resolvido 1 (a temperatura do Sol). O espectro solar tem o máximo perto de 500 nm, no verde-azulado. Qual a temperatura da superfície? Pela lei de Wien, $T = b/\lambda_{\max} = 2{,}898 \times 10^{-3}/(5{,}0 \times 10^{-7}) = 5\,800$ K. Conferência: $5\,800 \times 5{,}0 \times 10^{-7} = 2{,}9 \times 10^{-3}$ m·K. O item 108 do PAS 3 de 2013 deu exatamente esses dados e afirmou que “a temperatura estimada do Sol é 7.000 K”: errado, porque a conta dá 5 800 K. Repare que o olho humano é mais sensível justamente em torno de 555 nm, perto do pico do Sol; não é coincidência, é seleção natural operando sob a luz disponível.

Exemplo resolvido 2 (o corpo humano e a câmera térmica). Pele a 37 °C, isto é, $T = 310$ K: $\lambda_{\max} = 2{,}898 \times 10^{-3}/310 = 9{,}35 \times 10^{-6}$ m, uns 9 µm. Isso é infravermelho médio, vinte vezes mais longo que o vermelho visível (0,7 µm). Por isso ninguém brilha no escuro para o olho, e por isso a câmera térmica, sensível entre 8 e 14 µm, enxerga pessoas de noite: ela está olhando o pico da emissão de um corpo a 310 K. Uma lâmpada incandescente, com filamento a 2 700 K, tem $\lambda_{\max} = 1{,}07$ µm, ainda no infravermelho: a maior parte da energia elétrica vira calor radiante invisível, e só uns 5 % viram luz, o que explica o rendimento baixo e a troca pelos LEDs.

Exemplo resolvido 3 (a cor das estrelas). Betelgeuse, no ombro de Órion, tem superfície a cerca de 3 500 K: $\lambda_{\max} \approx 830$ nm, infravermelho próximo; do que sobra no visível, o vermelho domina, e ela se vê avermelhada. Rigel, no pé da mesma constelação, está a cerca de 12 000 K: $\lambda_{\max} \approx 240$ nm, no ultravioleta; no visível sobra mais azul que vermelho, e ela é azulada. Sirius, a estrela mais brilhante do céu noturno, tem o máximo perto de 290 nm: $2{,}898 \times 10^{-3}/2{,}9 \times 10^{-7} = 10\,000$ K, pico no ultravioleta próximo e brilho branco-azulado. E a radiação cósmica de fundo, o eco térmico do universo jovem tratado em cosmologia, tem espectro de corpo negro a 2,725 K: $\lambda_{\max} = 1{,}06$ mm, micro-ondas, como o nome diz.

A curva que a física clássica não fechava: a catástrofe do ultravioleta

A lei de Wien diz onde fica o pico, mas não desenha a curva inteira. Nos anos 1890, o Instituto Imperial de Física e Tecnologia de Berlim, pressionado pela indústria de lâmpadas, que precisava de um padrão de luz, mediu com precisão a emissão do corpo negro comprimento de onda por comprimento de onda, do visível ao infravermelho distante. Nenhuma fórmula reproduzia tudo. A de Wien (1896) acertava as ondas curtas e errava as longas. A de Lord Rayleigh (1900, completada por James Jeans em 1905) partia do que a física clássica sabia de melhor: a radiação na cavidade é um conjunto de ondas estacionárias, e a teoria cinética manda dar a cada modo de vibração a mesma energia média, $kT$. Como existem mais modos possíveis quanto menor o comprimento de onda, o resultado é

$$u(\lambda, T) = \frac{8\pi k T}{\lambda^{4}},$$

uma intensidade que cresce sem limite quando $\lambda \to 0$. Somando todos os comprimentos de onda, a energia dentro de qualquer forno seria infinita, e um forno a 300 K deveria brilhar em ultravioleta e raios X. É a catástrofe do ultravioleta, nome dado por Paul Ehrenfest em 1911. A lei de Rayleigh-Jeans funciona bem nas ondas longas (rádio, micro-ondas) e falha de modo grotesco nas curtas; a curva tracejada da figura acima mostra as duas coisas.

Max Planck, professor em Berlim, encontrou em outubro de 1900 uma fórmula que ajustava as duas pontas, por interpolação, e passou dois meses tentando deduzi-la. Em 14 de dezembro de 1900, numa reunião da Sociedade Alemã de Física, apresentou a dedução, e ela exigia uma hipótese estranha.

Por que ninguém tinha notado antes que a energia vem em degraus? Porque o degrau é minúsculo. Um pêndulo que oscila a 1 Hz troca energia em pacotes de $6{,}6 \times 10^{-34}$ J, contra os milijoules da oscilação: a escada tem $10^{30}$ degraus e parece uma rampa. Para a luz visível, com $f \approx 5 \times 10^{14}$ Hz, o degrau é $3 \times 10^{-19}$ J, e essa quantia, ainda invisível em joules, é da mesma ordem das energias que prendem os elétrons nos átomos, uns poucos elétron-volts. É na interação da luz com a matéria que a quantização aparece.

Planck não gostou da própria hipótese. Ele a tratou como artifício de contagem, passou anos tentando removê-la e, numa carta de 1931, chamou-a de “um ato de desespero”. Quem levou o quantum a sério foi Einstein, em 1905, ao propor que a própria luz viaja em grãos, os fótons, e usá-los para explicar o efeito fotoelétrico; a história está contada em história da física moderna. Planck recebeu o Nobel de 1918 (entregue em 1919); Wien, o de 1911; Einstein, o de 1921, pelo fotoelétrico, não pela relatividade. O texto-base de um bloco do PAS 3 de 2013 escreveu a cronologia com as palavras certas: “para a elaboração da teoria quântica, foram necessárias aproximadamente três décadas e a contribuição de vários cientistas. Os primeiros passos nessa direção foram dados, em 1900, por Planck, cujos estudos sobre a radiação do corpo negro culminaram no desenvolvimento da Física Quântica.”

O fóton e as ordens de grandeza: quanto vale um quantum em cada faixa

A hipótese de Planck era sobre a troca de energia; a de Einstein, sobre a luz em si. O fóton é o quantum da radiação eletromagnética de frequência $f$: uma onda de luz só entrega ou recebe energia em pacotes de $E = hf$, e um feixe é uma chuva desses pacotes. Dois números descrevem o feixe, e eles não se misturam: o fluxo de fótons por segundo, que determina a intensidade, e a energia $hf$ de cada fóton, fixada pela frequência. Essa divisão de tarefas é o coração do efeito fotoelétrico e está desenvolvida na página dele. Aqui interessa a régua.

Exemplo resolvido 4 (um fóton em cada faixa). Rádio FM a 100 MHz: $E = 6{,}63 \times 10^{-34} \times 10^{8} = 6{,}6 \times 10^{-26}$ J $= 4{,}1 \times 10^{-7}$ eV, menos de um milionésimo de elétron-volt. Micro-ondas do forno, 2,45 GHz: $1{,}6 \times 10^{-24}$ J $= 1{,}0 \times 10^{-5}$ eV. Infravermelho de 10 µm: $1\,240/10\,000 = 0{,}12$ eV. Vermelho de 700 nm: $1\,240/700 = 1{,}77$ eV; violeta de 400 nm: $3{,}1$ eV. Ultravioleta de 250 nm: $5{,}0$ eV. Raios X de 0,1 nm: $1\,240/0{,}1 = 12\,400$ eV $= 12{,}4$ keV. Raios gama de 1 MeV: $\lambda = 1\,240/10^{6} = 1{,}24 \times 10^{-3}$ nm, mil vezes menor que um átomo. A fronteira entre radiação não ionizante e ionizante fica em torno de 10 eV, porque arrancar um elétron de um átomo custa de 4 a 25 eV (13,6 eV no hidrogênio): rádio, micro-ondas, infravermelho e visível não ionizam, por mais intensos que sejam; ultravioleta distante, raios X e gama ionizam fóton a fóton.

Exemplo resolvido 5 (quantos fótons por segundo). Um apontador laser verde de 1 mW a 532 nm: cada fóton tem $E = 1\,240/532 = 2{,}33$ eV $= 3{,}73 \times 10^{-19}$ J; a taxa é $10^{-3}/(3{,}73 \times 10^{-19}) = 2{,}7 \times 10^{15}$ fótons por segundo. Uma lâmpada LED de 10 W de luz visível (energia média 2,5 eV por fóton) despeja $2{,}5 \times 10^{19}$ fótons por segundo. Números assim explicam por que a luz do cotidiano parece contínua: o grão existe, mas chega aos quatrilhões. O item 106 do PAS 3 de 2011 fez essa conta para a luz de 500 nm sobre uma folha, e ele está resolvido em dualidade onda-partícula.

O código de barras dos átomos: espectros de linhas e a fórmula de Balmer

A luz do Sol ou de um filamento, passada por um prisma, dá um espectro contínuo: todas as cores, sem buracos, a curva de corpo negro da seção anterior. A luz de um gás rarefeito excitado por uma descarga elétrica (o tubo de hidrogênio, a lâmpada de sódio dos postes antigos, o letreiro de néon) dá outra coisa: um espectro de linhas (ou de raias), poucas cores separadas por escuridão, cada uma num comprimento de onda exato. O hidrogênio mostra quatro linhas no visível: vermelha em 656 nm, azul-esverdeada em 486 nm, violeta em 434 nm e violeta em 410 nm. O sódio, duas amarelas quase juntas, em 589,0 e 589,6 nm. O néon, dezenas entre o laranja e o vermelho. O conjunto de raias é uma impressão digital: Bunsen e Kirchhoff descobriram o césio (1860) e o rubídio (1861) só pelas linhas, e, em 1868, o hélio foi descoberto no espectro do Sol antes de ser encontrado na Terra. Se a luz branca atravessa o gás frio, acontece o inverso: aparecem linhas escuras exatamente nos mesmos comprimentos de onda, o espectro de absorção, que é como se lê a composição química das estrelas.

Ninguém sabia por que as linhas ficavam onde ficavam até 1885, quando Johann Balmer, professor de escola em Basileia, encontrou por tentativa uma fórmula que reproduzia as quatro linhas visíveis do hidrogênio e previa outras. Johannes Rydberg a generalizou em 1888:

$$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_f^{2}} - \frac{1}{n_i^{2}}\right), \qquad R = 1{,}097 \times 10^{7}\ \text{m}^{-1},$$

com $n_f$ e $n_i$ inteiros e $n_i > n_f$. As quatro linhas visíveis têm $n_f = 2$ e $n_i = 3, 4, 5, 6$. A fórmula funcionava, previu as séries no ultravioleta (Lyman, 1906, $n_f = 1$) e no infravermelho (Paschen, 1908, $n_f = 3$), e ninguém sabia o motivo. O átomo de Rutherford, de 1911, um núcleo minúsculo com elétrons em volta, piorava o mistério: um elétron em órbita é uma carga acelerada, deveria irradiar sem parar, perder energia e cair no núcleo em $10^{-11}$ s, emitindo um contínuo durante a queda. O átomo de Rutherford não podia existir, e os átomos existem.

O átomo de Bohr: três postulados e uma escada de energias

Niels Bohr, dinamarquês de 27 anos que acabara de trabalhar com Rutherford em Manchester, publicou em 1913 a solução, cortando o nó com o quantum de Planck. Ele não explicou por que o elétron não cai; postulou que não cai, e a partir daí deduziu a fórmula de Balmer, com o valor numérico certo de $R$ a partir de $h$, da carga e da massa do elétron. Era a prova de que o quantum morava dentro do átomo.

Repare no que a dedução fornece. Os raios crescem com $n^{2}$: a segunda órbita tem $4 a_0 = 2{,}12$ Å, a terceira $9 a_0 = 4{,}77$ Å; o átomo excitado é muito maior que o átomo no fundamental, e um átomo de hidrogênio com $n = 100$ (eles existem, em nuvens interestelares rarefeitas) tem 0,5 µm de raio, tamanho de bactéria. As energias caem com $1/n^{2}$: os degraus da escada ficam cada vez mais próximos quando se sobe. E a constante de Rydberg sai da teoria, $R = 13{,}6\ \text{eV}/(hc)$, com o valor medido: foi esse acerto numérico que convenceu Einstein de que Bohr estava no caminho. Em 1914, James Franck e Gustav Hertz bombardearam vapor de mercúrio com elétrons e viram que os átomos só aceitavam energia em porções de 4,9 eV, exatamente o primeiro degrau do mercúrio: os níveis eram reais, independentemente da luz. Bohr recebeu o Nobel de 1922; Franck e Hertz, o de 1925.

Exemplo resolvido 6 (a raia vermelha do hidrogênio). O elétron desce do nível 3 para o 2. Diferença: $E_3 - E_2 = -1{,}51 - (-3{,}40) = 1{,}89$ eV. Frequência do fóton: $f = E/h = 1{,}89/(4{,}14 \times 10^{-15}) = 4{,}57 \times 10^{14}$ Hz. Comprimento de onda: $\lambda = 1\,240/1{,}89 = 656$ nm, a raia H-alfa, vermelha, a mais conhecida do céu, que pinta de rosa as nebulosas e as protuberâncias solares. O item 78 do PAS 3 de 2008 afirmou que essa frequência é “maior que $5 \times 10^{14}$ Hz”: errado, $4{,}6 \times 10^{14}$ é menor. Quem arredonda 1,89 eV para 2 eV e $4{,}14$ para 4 obtém $5 \times 10^{14}$ e erra o item por arredondar antes de comparar com o limiar. Conferência pela régua: $656 \times 1{,}89 = 1\,240$.

Exemplo resolvido 7 (as quatro de Balmer e o limite da série). Todas chegam em $n = 2$: $4 \to 2$ dá $-0{,}85 + 3{,}40 = 2{,}55$ eV e $\lambda = 486$ nm (H-beta, azul-esverdeada); $5 \to 2$ dá $-0{,}544 + 3{,}40 = 2{,}86$ eV e 434 nm (H-gama, violeta); $6 \to 2$ dá $-0{,}378 + 3{,}40 = 3{,}02$ eV e 410 nm (H-delta, violeta). As seguintes ($7 \to 2$, 397 nm; $8 \to 2$, 389 nm) já estão no ultravioleta próximo, e a série se acumula no limite $\infty \to 2$: $3{,}40$ eV, 365 nm. A série de Lyman, que chega em $n = 1$, começa em $2 \to 1$: $10{,}2$ eV, 121,6 nm (Lyman-alfa, ultravioleta) e termina em 13,6 eV, 91,2 nm. É por isso que o hidrogênio frio é transparente ao visível: para absorver uma cor visível, o elétron precisaria partir do nível 2, e no gás frio quase todos estão no nível 1.

Energia de salto não é energia de ionização: ler o diagrama de níveis

O diagrama de níveis é o objeto que a banca imprime, e os dois números que aparecem lado a lado nele são a origem do erro mais plantado do assunto. A energia de uma raia é a diferença entre dois níveis; a energia de ionização a partir de um nível é o que falta para chegar a zero, $|E_n|$. No hidrogênio, do nível 2 ao nível 1 a raia vale 10,2 eV; arrancar o elétron que está no nível 2 custa 3,4 eV. São saltos diferentes: um desce até o chão, o outro sobe até o teto.

Exemplo resolvido 8 (o bloco de Varèse, PAS 3 2008). O texto-base deu $E_n = E_0/n^{2}$, $r_1 = 0{,}53$ Å, $h = 4{,}14 \times 10^{-15}$ eV·s e o diagrama com $-13{,}60$, $-3{,}40$ e $-1{,}51$ eV. Item 77: “o raio da órbita para o nível $n = 2$ vale 2,12 Å”. Certo: $r_2 = 2^{2} \times 0{,}53 = 2{,}12$ Å. Item 79: “a quantidade de energia necessária para ionizar um elétron que está no nível $n = 2$ é 10,2 eV”. Errado: ionizar do nível 2 custa $|E_2| = 3{,}40$ eV; os 10,2 eV são a raia $2 \to 1$, lida no mesmo diagrama. Item 81, tipo B: “calcule o módulo da energia, em eV, do nível $n = 4$; multiplique por 1.000”. $|E_4| = 13{,}6/16 = 0{,}85$ eV; marcação 850. Conferência: $0{,}85 \times 16 = 13{,}6$.

Exemplo resolvido 9 (absorção e excitação por colisão). Um átomo de hidrogênio no fundamental recebe um fóton de 12,1 eV. Que acontece? Procura-se um nível com $E_n = -13{,}6 + 12{,}1 = -1{,}5$ eV: é o nível 3. O fóton é absorvido e o átomo sobe ao nível 3; ao voltar, pode emitir um só fóton de 12,1 eV ($3 \to 1$, Lyman-beta, 102,6 nm) ou dois, de 1,89 eV ($3 \to 2$, vermelho) e 10,2 eV ($2 \to 1$). Um fóton de 11 eV, em vez disso, não é absorvido: não há nível em $-2{,}6$ eV, e o fóton passa. Um fóton de 15 eV é absorvido e ioniza, e o elétron sai com $15 - 13{,}6 = 1{,}4$ eV de energia cinética, porque acima de zero não há degraus, qualquer energia serve. Com elétrons em vez de fótons (a descarga do tubo), o elétron incidente pode ceder só parte da sua energia: um elétron de 11 eV excita o átomo ao nível 2 e segue com 0,8 eV.

Íons hidrogenoides: o mesmo átomo com Z ao quadrado

O modelo de Bohr vale para qualquer sistema de um só elétron em torno de um núcleo de carga $+Ze$: o hidrogênio ($Z = 1$), o He⁺ ($Z = 2$), o Li²⁺ ($Z = 3$), o C⁵⁺ ($Z = 6$). Refazendo a dedução com a força $k Z e^{2}/r^{2}$, a carga maior puxa o elétron para mais perto e para mais fundo:

$$r_n = \frac{n^{2}}{Z}\,a_0, \qquad E_n = -13{,}6\ \text{eV}\,\frac{Z^{2}}{n^{2}}.$$

O He⁺ tem $E_1 = -54{,}4$ eV e raio $0{,}26$ Å; a sua raia $2 \to 1$ vale 40,8 eV (30,4 nm, ultravioleta extremo), quatro vezes a do hidrogênio. O C⁵⁺ tem $E_1 = -13{,}6 \times 36 = -490$ eV: a raia $2 \to 1$ vale 367 eV, já na faixa dos raios X moles, e o raio da primeira órbita é $0{,}53/6 = 0{,}088$ Å. O item 25 do PAS 3 de 2018 pendurou isso num soneto de Augusto dos Anjos (“Eu, filho do carbono e do amoníaco, / Monstro de escuridão e rutilância”) e afirmou: “após ser excitado eletronicamente, o íon carbono C⁺⁵ (hidrogenoide) rutila, ou seja, emite fótons ou luz, durante seu retorno ao estado fundamental”. Certo: despojado de cinco dos seus seis elétrons, o carbono fica com um só, cabe no esquema de Bohr com $Z = 6$ e, uma vez excitado, emite fótons ao descer de nível; “rutila” é o verbo do poema para “brilha”. Fator $Z^{2}$ é o que separa as raias do He⁺ das do H, e foi assim que, em 1913, Bohr explicou linhas vistas em estrelas que se atribuíam erradamente ao hidrogênio.

O que Bohr acerta e onde o modelo falha

O balanço honesto do modelo de 1913 é parte do conteúdo, porque a banca gosta de perguntar “o modelo de Bohr explica X?”.

Acerta: o espectro do hidrogênio e dos íons hidrogenoides, com a constante de Rydberg deduzida das constantes fundamentais; o tamanho do átomo ($a_0 \approx 0{,}5$ Å, a ordem de grandeza certa dos átomos); a energia de ionização do hidrogênio (13,6 eV, medida); a ideia, confirmada por Franck e Hertz, de que os átomos têm níveis discretos; a estabilidade da matéria como postulado; a relação entre quantização e $h$, que de Broglie explicaria em 1924: uma órbita só é permitida quando o seu perímetro contém um número inteiro de comprimentos de onda do elétron, $2\pi r = n\lambda$, assunto da página de dualidade.

Falha: em todo átomo com dois ou mais elétrons (o hélio neutro já não sai; a repulsão entre elétrons não cabe no modelo); nas intensidades das raias (o modelo diz onde elas ficam, não quão brilhantes são, nem quais transições são proibidas); na estrutura fina (cada raia do hidrogênio é, vista de perto, um par de linhas muito próximas, que Sommerfeld remendou em 1916 com órbitas elípticas e relatividade); no efeito Zeeman anômalo (desdobramento das linhas num campo magnético); e, no fundo, na própria noção de órbita: o elétron não percorre uma trajetória circular com posição e velocidade definidas a cada instante, o que o princípio da incerteza, abaixo, proíbe. Bohr sabia que o modelo era provisório, um andaime até a teoria completa, a mecânica quântica de 1925–1926, que reproduz $E_n = -13{,}6/n^{2}$ para o hidrogênio sem postular órbita nenhuma e explica tudo o que o modelo de 1913 não explicava. O raio de Bohr sobrevive nela como a distância mais provável entre o elétron e o próton no estado fundamental, não como o raio de um círculo.

Além de Bohr: números quânticos, exclusão de Pauli e a tabela periódica

Na mecânica quântica, o elétron no átomo não tem órbita, tem um orbital: uma região em que a probabilidade de encontrá-lo é alta, descrita pela função de onda (seção adiante). O estado do elétron é rotulado por quatro números quânticos, e a quantização de Bohr é só o primeiro deles.

A tabela periódica é a consequência. Os elétrons de um átomo se distribuem pelos níveis de baixo para cima, dois por orbital, respeitando Pauli; quando uma camada se completa, o próximo elétron começa outra, mais longe e mais frouxa, e o elemento volta a se comportar como o do começo da linha anterior. Os períodos de 2, 8, 8, 18, 18, 32 elementos são a contagem de orbitais que vão sendo preenchidos ($1s$; $2s\,2p$; $3s\,3p$; $4s\,3d\,4p$; …), e as propriedades químicas, decididas pelos elétrons da camada mais externa (os de valência), repetem-se de período em período. Sem exclusão de Pauli, todos os elétrons cairiam no orbital $1s$, todos os átomos seriam esferas minúsculas e quimicamente iguais, e não haveria ligação química, nem tabela, nem química. A distribuição eletrônica em detalhe (regra de Hund, diagrama de Linus Pauling, exceções) é assunto da Química; aqui fica o ponto físico: a tabela periódica é a quantização mais o princípio de exclusão.

O princípio da incerteza: um limite da natureza, não do aparelho

Em 1927, Werner Heisenberg mostrou que a nova mecânica continha uma regra que nenhuma física anterior tinha: certas duplas de grandezas não podem ter valores definidos ao mesmo tempo. A dupla mais famosa é posição e quantidade de movimento.

Exemplo resolvido 10 (o elétron no átomo). Prenda um elétron numa região do tamanho de um átomo, $\Delta x = 1 \times 10^{-10}$ m. Então $\Delta p \geq \hbar/(2\Delta x) = 1{,}055 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-10}) = 5{,}3 \times 10^{-25}$ kg·m/s, e $\Delta v = \Delta p/m = 5{,}3 \times 10^{-25}/(9{,}1 \times 10^{-31}) = 5{,}8 \times 10^{5}$ m/s. A velocidade do elétron na primeira órbita de Bohr é $2{,}2 \times 10^{6}$ m/s: a incerteza é da mesma ordem que a própria velocidade. Falar em “órbita” com posição e velocidade definidas a cada instante não faz sentido para esse elétron; o que existe é a nuvem de probabilidade. A mesma conta explica por que o átomo não desaba: espremer o elétron numa região menor ($\Delta x$ menor) obriga a um momento maior, isto é, a uma energia cinética maior, da ordem de $\hbar^{2}/(2 m \,\Delta x^{2})$; a atração elétrica puxa para dentro, a incerteza empurra para fora, e o equilíbrio das duas se dá justamente em $\Delta x \approx a_0 = 0{,}53$ Å, com energia $-13{,}6$ eV. O estado fundamental é o compromisso entre Coulomb e Heisenberg.

Exemplo resolvido 11 (a bola de futebol). Massa 0,43 kg, posição conhecida com $\Delta x = 1$ µm (um milésimo de milímetro, muito além de qualquer medida prática). Então $\Delta v \geq 1{,}055 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-6} \times 0{,}43) = 1{,}2 \times 10^{-28}$ m/s. Na idade do universo, $4{,}4 \times 10^{17}$ s, essa velocidade deslocaria a bola $5 \times 10^{-11}$ m, menos que um átomo. A incerteza quântica é real para a bola, e irrelevante: por isso a mecânica de Newton funciona no estádio e falha no átomo. A fronteira entre os dois mundos é a massa: o produto $m\,\Delta x\,\Delta v$ tem de ser comparado com $\hbar$, e $\hbar$ é pequeno.

Exemplo resolvido 12 (um elétron caberia no núcleo?). Suponha o elétron preso num núcleo, $\Delta x = 10^{-15}$ m. Então $\Delta p \geq 5{,}3 \times 10^{-20}$ kg·m/s, e a energia correspondente, já relativística, seria $p c \approx 5{,}3 \times 10^{-20} \times 3 \times 10^{8} = 1{,}6 \times 10^{-11}$ J $\approx 100$ MeV, duzentas vezes a energia de repouso do elétron (0,511 MeV) e muito mais do que a atração nuclear poderia segurar. Conclusão: núcleos não contêm elétrons; o elétron da radioatividade beta é criado no instante do decaimento. O princípio da incerteza, usado assim, é uma ferramenta de estimativa, e é esse o uso que a física faz dele.

Função de onda e probabilidade: o que a teoria realmente diz

A mecânica quântica propriamente dita nasceu em dois anos: a mecânica de matrizes de Heisenberg (1925) e a mecânica ondulatória de Schrödinger (1926), que se revelaram equivalentes. Na versão de Schrödinger, o estado de uma partícula é descrito por uma função de onda $\psi$, que obedece a uma equação de onda. A pergunta óbvia, “onda de quê?”, foi respondida por Max Born em 1926: $|\psi|^{2}$ num ponto é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula ali. A teoria não diz onde o elétron está; diz com que chance ele será encontrado em cada lugar, e, para o hidrogênio, essa chance tem o máximo a $0{,}53$ Å do próton no estado fundamental. Born recebeu o Nobel por isso só em 1954.

As interpretações: Copenhague, EPR, o gato, Bell e o Nobel de 2022

As interpretações são leituras diferentes do mesmo formalismo. Elas concordam em todas as previsões experimentais e divergem quanto ao significado: o acaso está nas coisas ou está na nossa falta de informação? A função de onda é um objeto físico ou um catálogo do que sabemos? O que, afinal, uma medição faz?

Copenhague (Bohr e Heisenberg, consolidada nos debates do Congresso Solvay de 1927) é a leitura de referência dos livros: as probabilidades são fundamentais, não um disfarce de variáveis que desconhecemos; uma grandeza que ainda não foi medida simplesmente não possui valor, e é a medição que leva o sistema a um dos resultados admitidos (“colapso” da função de onda); e perguntar “por onde o elétron passou” sem um aparelho que o detecte não tem resposta, porque onda e partícula são descrições complementares, cada uma revelada por um tipo de experimento. Nessa leitura, o acaso é da natureza.

Variáveis ocultas é a linha de Einstein. Em dezembro de 1926 ele escreveu a Born a frase que virou lema: a teoria “diz muito, mas não nos aproxima do segredo do Velho. Em todo caso, estou convencido de que Ele não joga dados.” Para Einstein, a mecânica quântica era incompleta: deveria haver propriedades que ela não descreve e que, conhecidas, restaurariam o determinismo. Em 1935, com Boris Podolsky e Nathan Rosen, ele publicou o argumento EPR: tome duas partículas emaranhadas e separe-as a grande distância; medir uma delas permite prever com certeza o resultado da medição da outra, sem tocá-la; logo, ou esse resultado já estava decidido antes (e a teoria, que não o continha, é incompleta), ou a medição aqui influencia instantaneamente a partícula de lá, uma “ação fantasmagórica a distância” que a relatividade proíbe. No mesmo 1935, Erwin Schrödinger, aliado de Einstein nessa disputa, publicou o experimento mental do gato: um átomo radioativo com 50 % de chance de decair em uma hora aciona um frasco de veneno dentro de uma caixa fechada; se a superposição “decaído + não decaído” vale para o átomo, o gato ficaria “vivo e morto” até alguém abrir a caixa. Schrödinger escreveu isso como objeção, uma redução ao absurdo da passagem do micro ao macro, não como ilustração do que a teoria afirma.

O teste. Durante trinta anos a disputa pareceu filosofia. David Bohm, que foi professor da USP entre 1951 e 1955, mostrou em 1952 que uma teoria de variáveis ocultas completa era possível (a onda-piloto, partículas reais guiadas por uma onda real, determinista, com as mesmas previsões); Hugh Everett propôs em 1957 os muitos mundos, em que a função de onda nunca colapsa: cada resultado possível se realiza, num ramo distinto do universo. Em 1964, John Bell demonstrou que a questão de Einstein era experimental: qualquer teoria de variáveis ocultas locais (sem influência instantânea a distância) obedece a uma desigualdade numérica entre as correlações de pares emaranhados, e a mecânica quântica prevê a violação dessa desigualdade. John Clauser mediu pares de fótons em 1972 e viu a violação; Alain Aspect, em 1982, fechou a brecha de que os detectores pudessem “se comunicar”, trocando a orientação deles em pleno voo dos fótons; Anton Zeilinger, a partir de 1998, fechou outras brechas e usou o emaranhamento para teleportar estados e distribuir chaves criptográficas; em 2015, três grupos fizeram testes sem nenhuma brecha aberta. Os três dividiram o Nobel de Física de 2022 “por experimentos com fótons emaranhados, estabelecendo a violação das desigualdades de Bell e sendo pioneiros da ciência da informação quântica”.

O que ficou decidido e o que não ficou. A natureza não é descrita por variáveis ocultas locais: nesse ponto Einstein perdeu a aposta. Mas nenhum experimento escolheu entre Copenhague, onda-piloto (que é não local) e muitos mundos, porque as três preveem os mesmos números; a escolha entre elas continua sendo interpretação. E a decoerência, estudada desde os anos 1970, responde ao gato: nenhum objeto do tamanho de um gato fica isolado; moléculas de ar, fótons e a própria caixa colidem com ele bilhões de vezes por segundo, cada colisão registra o estado dele, e a superposição se desfaz numa fração ínfima de segundo; o gato está vivo ou morto muito antes de alguém abrir a caixa, e o que vemos no cotidiano é o mundo clássico que a própria teoria prevê para sistemas grandes e quentes. Superposições macroscópicas só sobrevivem em sistemas muito isolados e frios: é o caso dos circuitos supercondutores em que John Clarke, Michel Devoret e John Martinis observaram tunelamento e níveis de energia quantizados num circuito do tamanho de um chip, trabalho dos anos 1980 que recebeu o Nobel de Física de 2025 e que é a base dos qubits supercondutores.

As tecnologias quânticas: o que já está no seu bolso e o que está por vir

A física quântica não é um assunto de laboratório: é a física de quase tudo o que tem um chip. Cada tecnologia abaixo depende diretamente de um conceito desta página.

• Laser (Maiman, 1960; o princípio da emissão estimulada é de Einstein, 1917). Átomos ou moléculas são bombeados para um nível excitado; um fóton de energia igual ao degrau, ao passar, induz a emissão de outro fóton idêntico (mesma frequência, mesma fase, mesma direção), e dois viram quatro entre dois espelhos. A luz do laser é monocromática porque a sua cor é a altura de um degrau de energia. Fibra óptica, leitor de código de barras, cirurgia de retina, corte de metais, LIDAR de carro.
• LED (diodo emissor de luz; o primeiro visível, vermelho, é de Holonyak, 1962; o azul, de Akasaki, Amano e Nakamura, Nobel de 2014). Num semicondutor, os níveis dos elétrons formam bandas separadas por uma lacuna de energia; quando um elétron cai da banda de condução para a de valência, emite um fóton com energia igual à lacuna: lacuna de 1,8 eV dá vermelho, de 2,7 eV dá azul. O LED branco é um LED azul com uma camada de fósforo que converte parte do azul em amarelo. É a raia de Bohr feita em cristal, e é por isso que o LED não esquenta como o filamento: ele não é um corpo negro, emite só a cor do seu degrau.
• Célula fotovoltaica. O caminho inverso do LED: um fóton com energia maior que a lacuna do silício (1,1 eV, ou seja, $\lambda < 1\,100$ nm) promove um elétron e gera corrente. Fótons do infravermelho distante não têm energia bastante e passam; os do ultravioleta têm de sobra e desperdiçam o excesso em calor. Detalhes em efeito fotoelétrico.
• Transistor e chip (Bardeen, Brattain e Shockley, 1947; Nobel de 1956). O controle da corrente num semicondutor dopado depende da teoria de bandas, que é a mecânica quântica dos elétrons num cristal; um processador de celular tem bilhões deles, e os menores já têm poucos nanômetros, escala em que o tunelamento (o elétron atravessar uma barreira que classicamente não poderia) vira problema de projeto.
• Relógio atômico e GPS. Desde 1967 o segundo é definido por uma transição do átomo de césio-133: 9 192 631 770 oscilações do fóton correspondente. Os satélites do GPS carregam relógios assim, e sem eles (e sem as correções relativísticas) o receptor erraria quilômetros por dia.
• Ressonância magnética. O spin do próton em um campo magnético tem dois níveis, e a transição entre eles é a raia que o aparelho detecta; tem página própria.
• Computação quântica. Um qubit é um sistema de dois níveis que pode estar em superposição; $n$ qubits emaranhados ocupam um espaço de estados de tamanho $2^{n}$, e certos problemas (fatorar números grandes, simular moléculas) teriam solução muito mais rápida. Os protótipos atuais, com centenas de qubits supercondutores ou de íons presos, ainda sofrem com a decoerência e os erros; a correção de erros é a fronteira.
• Criptografia quântica. A distribuição de chaves por fótons individuais ou emaranhados (BB84, 1984; E91, 1991) tem uma propriedade que nenhum sistema clássico tem: espionar é medir, medir perturba, e a perturbação denuncia o espião. Já funciona em fibra e, desde 2017, por satélite.

Como a banca pergunta

O assunto está nas três etapas, com funções diferentes. Na 1.ª etapa a matriz pede noções de física moderna (“espaço-tempo e incerteza”) no plano do conceito e do estatuto das teorias, sem exigir cálculo; nenhum item de incerteza foi cobrado até 2025, e o molde é o item de estatuto (a teoria delimitada, não descartada; a incerteza como limite da natureza, não do aparelho). Na 2.ª etapa, o formalismo de Bohr e de Planck está na matriz desde dezembro de 2022, dentro de “dualidade onda-partícula”, sem item próprio ainda. Na 3.ª etapa está o estoque real, sob matrizes antigas, e é dele que se aprende o estilo:

• O bloco de Varèse (PAS 3 2008, itens 76 a 81). Texto-base sobre a obra Ionisation, o modelo de Bohr, $E_n = E_0/n^{2}$, $r_1 = 0{,}53$ Å, $h$ e $c$ fornecidos, mais o diagrama de níveis ($-13{,}60$, $-3{,}40$, $-1{,}51$, $0$ eV) e a faixa espectral de 4 000 a 7 000 Å. Os itens julgam a conta em frases: o elétron-volt é unidade da física atômica e o joule é o SI (76, C); $r_2 = 2{,}12$ Å (77, C); a raia $3 \to 2$ tem frequência maior que $5 \times 10^{14}$ Hz (78, E); ionizar do nível 2 custa 10,2 eV (79, E); e o tipo B pede $|E_4| \times 1\,000 = 850$ (81). Cinco itens de Física num só texto-base (o 80, sobre a música de Varèse, é de Artes), todos resolvidos com o diagrama impresso.
• As curvas de corpo negro (PAS 3 2013, itens 107 e 108; 2021, item 94). Gráfico de $u(\lambda, T)$ para três temperaturas impresso no caderno, a constante de Wien dada no texto, e a história certa no texto-base (“três décadas”, “Planck, 1900”). Os itens: o pico vai do infravermelho rumo ao ultravioleta quando $T$ sobe (107, C); o Sol com pico em 500 nm está a 7 000 K (108, E, a conta dá 5 800 K); “quanto maior a temperatura, menor o comprimento de onda do máximo”, lido no gráfico (2021/94, C).
• O íon hidrogenoide no soneto (PAS 3 2018, item 25). Física pendurada no poema de Augusto dos Anjos da prova de Literatura: o C⁵⁺ excitado “rutila” ao voltar ao fundamental ©. Lembrete de que a banca usa qualquer texto do caderno.
• A unidade trocada (PAS 3 2021, item 92, anulado). “Radiação com frequência igual a 4,0 eV”: a banca anulou. Quando a unidade vem errada no próprio enunciado, o problema é de fabricação do item, e não uma cilada para o candidato.
• Interpretações da mecânica quântica. Na matriz da 3.ª etapa desde dezembro de 2022, sem item em 18 provas. O molde provável é o item conceitual de atribuição: de quem é a tese enunciada (Copenhague, Einstein, Schrödinger, Bell), com os quatro julgamentos da armadilha acima, e, no registro de “informação e desinformação”, o item que associe “quântico” a terapias ou a poderes da consciência (E).

Espere, na 3.ª etapa, um texto-base de história da ciência ou de divulgação (um aniversário de Planck ou de Bohr, uma notícia de computação quântica, um poema) seguido de dois ou três itens tipo A que julguem conceito e atribuição, e, talvez, um tipo B com Wien ou com os níveis de Bohr e as constantes fornecidas. Na 2.ª etapa, a estreia deve vir pelo diagrama de níveis e por $E = hf$ com $h$ dado.

Os erros que a prova planta

O essencial em meia página

• Radiação térmica: todo corpo emite por estar quente; o corpo negro é o emissor ideal. Wien: $\lambda_{\max} T = 2{,}898 \times 10^{-3}$ m·K; mais quente, pico em onda mais curta. Sol: 500 nm, 5 800 K; corpo humano: 9,4 µm (infravermelho); Sirius (10 000 K): 290 nm. Total $\propto T^{4}$.
• Catástrofe do ultravioleta: Rayleigh-Jeans, $u \propto kT/\lambda^{4}$, dispara nas ondas curtas. Planck (14/12/1900): energia trocada em quanta $E = nhf$; $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J·s $= 4{,}14 \times 10^{-15}$ eV·s. A fórmula de Planck fecha a curva e contém Wien.
• Fóton: $E = hf = hc/\lambda$; $1$ eV $= 1{,}6 \times 10^{-19}$ J; $E\,(\text{eV}) = 1\,240/\lambda\,(\text{nm})$. Rádio $10^{-7}$ eV, visível 1,8 a 3,1 eV, raios X $10^{4}$ eV, gama $10^{6}$ eV; ionizante acima de ~10 eV.
• Espectros de linhas: cada elemento tem suas raias; emissão (gás quente) e absorção (gás frio) nas mesmas posições. Balmer/Rydberg: $1/\lambda = R(1/n_f^{2} - 1/n_i^{2})$.
• Bohr (1913): órbitas com $mvr = n\hbar$; sem radiação na órbita; fóton na transição, $hf = E_i - E_f$. $E_n = -13{,}6/n^{2}$ eV, $r_n = n^{2} \cdot 0{,}53$ Å. Ionizar do nível $n$: $|E_n|$. Raia $3 \to 2$: 1,89 eV, 656 nm, $4{,}6 \times 10^{14}$ Hz; $2 \to 1$: 10,2 eV, 122 nm. Lyman → $n = 1$ (UV); Balmer → $n = 2$ (visível); Paschen → $n = 3$ (IV).
• Hidrogenoides: $E_n = -13{,}6\,Z^{2}/n^{2}$ eV, $r_n = n^{2} a_0/Z$. He⁺: $-54{,}4$ eV; C⁵⁺: $-490$ eV.
• Bohr acerta o H, os hidrogenoides, $a_0$ e os níveis discretos; falha em átomos com mais elétrons, intensidades, estrutura fina e na ideia de órbita.
• Além de Bohr: quatro números quânticos ($n, l, m_l, m_s$); orbital = região de probabilidade; Pauli: dois elétrons por orbital, $2n^{2}$ por camada; a tabela periódica é a consequência.
• Incerteza (Heisenberg, 1927): $\Delta x\,\Delta p \geq \hbar/2$, $\hbar = 1{,}055 \times 10^{-34}$ J·s. Limite da natureza, não do aparelho. Elétron no átomo: $\Delta v \sim 10^{6}$ m/s (sem trajetória); bola: $10^{-28}$ m/s (Newton vale).
• Consenso: função de onda, probabilidades (Born), superposição, emaranhamento (sem mensagens mais rápidas que a luz), previsões testadas. Interpretações: Copenhague (acaso fundamental), variáveis ocultas (Einstein, EPR 1935), onda-piloto (Bohm 1952), muitos mundos (Everett 1957); o gato (1935) é objeção. Bell (1964) + Clauser, Aspect, Zeilinger (Nobel 2022): variáveis ocultas locais excluídas; o resto continua interpretação. Decoerência explica o mundo clássico.
• Tecnologias: laser, LED (fóton = lacuna de energia), célula solar, transistor e chip, relógio atômico/GPS, ressonância magnética, computação e criptografia quânticas. “Quântico” em terapia ou coaching = desinformação.