Guia de estudo · Revisado em 04/10/2026
A prova do PAS 3 de 2025 deu três expressões de uma fábrica de carros elétricos e perguntou se a produção do segundo ano cobria a demanda e se o total produzido era "sempre divisível" pela demanda; a de 2022 deu três números de desmatamento e afirmou qual seria o quarto. O que um polinômio é, como se avalia, divide e fatora, e o que ele consegue prever sem que ninguém resolva equação nenhuma?
Em 2025, a prova do PAS 3 descreveu uma fábrica de carros elétricos com três expressões: e para as quantidades produzidas de dois modelos no ano , e para a demanda. Um item perguntava se a produção do segundo ano dava conta da demanda; o seguinte afirmava que o total produzido era “sempre um número divisível” pela demanda. Nenhum dos dois pedia que se achasse raiz de coisa alguma: o primeiro se resolve trocando por 2, o segundo cai com um único ano de conta. Três anos antes, em 2022, a banca deu os números do desmatamento da Amazônia Legal em 2019, 2020 e 2021 e afirmou qual seria o de 2022, “projetado por um polinômio do segundo grau”. Quem conhecia a assinatura de um polinômio de grau 2 numa tabela confirmou o número em três linhas.
É disso que esta página trata: o polinômio como objeto, e não a equação. O que ele é e o que não é; como se lê o grau e os coeficientes; o que significa avaliar e o que significa ser raiz; quando duas expressões são o mesmo polinômio; como se somam, multiplicam e, sobretudo, dividem, com o teorema do resto e o dispositivo de Briot-Ruffini; o que a forma fatorada mostra, inclusive a multiplicidade de uma raiz e o jeito como o gráfico toca o eixo; e, por fim, o polinômio como modelo de dados: ler um gráfico deslocado, reconhecer o grau pelas diferenças e prever o próximo valor. Resolver equações de grau 3 e 4, contar raízes complexas e usar as relações entre coeficientes e raízes é assunto da página de equações polinomiais; o número e seus parentes vivem na página de números complexos; a parábola como função, com vértice e sinal, está na página de função quadrática e aparece aqui só como polinômio de grau 2.
Uma loja cobra, por um lote de peças, um valor que depende de de várias maneiras: um custo fixo, um custo por peça, um desconto proporcional ao quadrado do lote. Somando tudo, aparece algo como . Essa expressão é um polinômio: potências inteiras e não negativas de , cada uma multiplicada por um número, e nada mais. Já , , e não são, e o motivo é sempre o expoente ou a operação: tem expoente negativo, tem expoente fracionário, tem o no lugar errado e não é potência de nada.
Um polinômio na variável é uma expressão do tipo , em que é inteiro não negativo e os números são os coeficientes. Quando , o grau de é (o maior expoente com coeficiente não nulo), é o coeficiente líder e é o termo independente, a parcela sem . Um número sozinho, como , é um polinômio de grau 0. O polinômio nulo, com todos os coeficientes iguais a zero, não tem grau: ele é a exceção de todas as regras de contagem que vêm adiante.
A ordem em que as parcelas aparecem não muda o polinômio, mas muda a facilidade de ler. Em , a primeira providência é reescrever em ordem decrescente de expoente, a forma reduzida: . Agora o grau salta aos olhos (4), o líder é , o termo independente é , e o lembra que o grau 3 está presente com coeficiente zero. Cinco coeficientes, do grau 4 ao grau 0: . Vale escrever o zero; o dispositivo de divisão da seção sobre Briot-Ruffini dá resultado errado para quem o pula.
parece ter grau 3, mas os dois termos cúbicos se cancelam e sobra , de grau 1. Grau é o maior expoente que sobrevive à redução. O mesmo cuidado vale para expressões escritas como produto: é , grau 0, e não grau 4.
Um polinômio também pode ter mais de uma variável, como a área de um retângulo ou o volume ; o grau de cada parcela é a soma dos expoentes, e o grau do polinômio é o maior deles. Nesta página, salvo aviso, a variável é uma só e os coeficientes são números reais.
A pergunta mais frequente sobre um polinômio é a mais simples: quanto ele vale em determinado número. Em , o custo de um lote de 100 peças é . Trocar a variável pelo número e fazer a conta, respeitando potências e sinais, é calcular o valor numérico. A segunda pergunta é a inversa, e tem nome próprio: para que valores da variável a expressão se anula?
O valor numérico de em é o número obtido ao substituir por . Um número é raiz (ou zero) de quando . Três valores se leem direto na forma reduzida, sem conta: , o termo independente; , a soma de todos os coeficientes; e , a soma dos coeficientes com os sinais dos graus ímpares trocados. Consequência imediata: é raiz exatamente quando a soma dos coeficientes é zero, e é raiz exatamente quando o termo independente é zero.
Verificar se um número dado é raiz não exige técnica nenhuma: substitua. Esse reflexo vale mais do que qualquer método, porque a prova pede muito mais conferir do que achar. É raiz de ? . É. E também é, porque o termo independente é zero. Nenhuma equação foi resolvida.
Exemplo resolvido 1: a fábrica de 2025. Com , e , o item 27 afirmava: “Caso se assuma que metade dos veículos demandados no segundo ano foram do tipo 1, então é correto concluir que a quantidade de veículos fabricados nesse ano foi suficiente para atender à demanda.”
Estratégia: identificar o ano (), avaliar as três expressões e comparar produção com demanda, tipo a tipo.
Resolução: veículos demandados; metade de cada tipo, 125 e 125. Produção: e . Como e , a produção de cada tipo cobre a metade que lhe cabe. Item certo.
Conferência: a parcela mais fácil de errar é em , que vale e não ; refeita a conta, o total supera a demanda inteira, 250, com folga. O item mede leitura de três funções e uma substituição; procurar raízes aqui seria tempo perdido.
Nenhuma calculadora calcula elevando ao cubo, depois ao quadrado e somando. Ela usa a forma aninhada : parte do coeficiente líder, multiplica por , soma o coeficiente seguinte, e repete até o termo independente. Para : ; ; . Três multiplicações em vez de seis, e nenhuma potência. Esse esquema, conhecido como método de Horner, é exatamente a conta do dispositivo de Briot-Ruffini, e é por isso que o último número daquele dispositivo é o valor numérico .
Em e os valores coincidem em : os dois dão 4. Em , não: 9 contra 5. Coincidir num ponto, ou em vários, não faz duas expressões serem o mesmo polinômio; o que faz é a igualdade coeficiente a coeficiente, e tem um que não tem.
Dois polinômios são idênticos (iguais para todo valor de ) quando têm o mesmo grau e os mesmos coeficientes, grau a grau. Em particular, um polinômio é o polinômio nulo quando todos os seus coeficientes são zero. Uma consequência que organiza boa parte desta página: um polinômio não nulo de grau tem no máximo raízes reais; logo, se um polinômio de grau no máximo se anula em valores diferentes, ele é o polinômio nulo, e dois polinômios de grau no máximo que coincidem em pontos são idênticos.
A última frase é o que permite dizer que três pontos determinam uma parábola, ideia que a seção sobre modelos usa. Antes disso, ela serve para achar coeficientes desconhecidos: expande-se um lado, compara-se com o outro, grau a grau.
Exemplo resolvido 2: coeficientes por identidade. Para que valores de e vale para todo ?
Estratégia: expandir o produto, escrever na forma reduzida e igualar os coeficientes de mesmo grau.
Resolução: . Termo independente: , logo . Coeficiente de : .
Conferência: em dá , e em dá . Um ponto não prova a identidade, mas um ponto que falhasse a derrubaria; como passou, e a conta grau a grau fechou, está certo.
As operações seguem as regras da álgebra que você já usa, com uma atenção ao grau. Na soma e na subtração, agrupam-se os termos de mesmo grau; o sinal de menos distribui por todas as parcelas do segundo polinômio. No produto, cada termo de um fator multiplica cada termo do outro, e depois se reduz.
Para polinômios não nulos e , o grau do produto é a soma dos graus: , porque os coeficientes líderes se multiplicam e nunca dão zero. O grau da soma é no máximo o maior dos dois graus, e pode ser menor quando os termos de maior grau se cancelam: , grau 1, soma de dois polinômios de grau 4.
A prova gosta da palavra “necessariamente” nesse ponto: “a soma de dois polinômios de grau 4 é necessariamente de grau 4” é falsa, e um único contraexemplo, como o do conceito acima, encerra o julgamento. Já “o produto de dois polinômios de grau 4 tem grau 8” é sempre verdadeira.
Dividir 23 por 5 dá quociente 4 e resto 3, e a frase completa é , com a condição de que a sobra seja menor que 5 (se sobrassem 5, cabia mais uma volta). Polinômios se dividem com a mesma gramática, dividendo igual a divisor vezes quociente mais sobra, e o que muda é o critério de parada: em vez de comparar tamanhos, comparam-se graus.
Para todo polinômio e todo divisor há um único par de polinômios, o quociente e o resto , com e, além disso, ou . Quando , o grau do quociente é ; quando , o quociente é zero e o resto é o próprio . O resto de uma divisão por um polinômio de grau 2 tem grau no máximo 1: pode ser da forma , pode ser uma constante, pode ser zero. Resto zero é o que se chama divisível.
O método da chave reproduz a divisão longa de inteiros. Divide-se o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, obtendo o primeiro termo do quociente; multiplica-se esse termo pelo divisor inteiro; subtrai-se do dividendo; repete-se com o que sobrou, até que o grau do que sobra fique menor que o do divisor.
Exemplo resolvido 3: método da chave. Divida por .
Estratégia: o grau do quociente será e o resto terá grau no máximo 1. Dois passos.
Resolução: ; ; subtraindo de : . Segundo passo: ; ; subtraindo: . Grau 1, menor que 2: pare. Quociente , resto .
Conferência: . Fecha com o dividendo. A conferência pela identidade é obrigatória: um sinal trocado na subtração é o erro mais comum do método, e ele só aparece aqui.
é uma igualdade de polinômios, verdadeira para qualquer . Dividir os dois lados por e escrever já exige . Em , o lado direito vale 2 em e o esquerdo não existe ali. Simplificar uma fração não devolve os valores que o denominador proibiu.
Quando o divisor é , de grau 1, o resto tem grau menor que 1: é uma constante. E essa constante tem um nome. Na identidade , basta fazer : o produto some, porque , e sobra . O resto da divisão por é o valor numérico de em . Para achar o resto, não é preciso dividir: substitua.
Teorema do resto. Dividir por deixa resto . Com um divisor , , o resto passa a ser : o valor de no número que anula o divisor.
Teorema do fator. divide exatamente quando , e vice-versa: raiz dá fator, fator dá raiz. “Divisível por ” e “ é raiz” são a mesma afirmação com palavras diferentes.
Exemplo resolvido 4: resto sem dividir. Qual é o resto da divisão de por ?
Estratégia: , então e o resto é . O sinal é a única armadilha.
Resolução: . Resto .
Conferência: quem calcula encontra o resto da divisão por , outro divisor. Vale escrever o divisor como antes de substituir. Para um divisor , por exemplo, o resto de é ; e, de fato, .
Exemplo resolvido 5: coeficiente que garante a divisibilidade. Para que valor de o polinômio é divisível por ?
Estratégia: divisível por significa . Uma equação em .
Resolução: , logo e .
Conferência: com , ; expandindo, . O quociente apareceu na conferência, e a próxima seção mostra como obtê-lo em uma linha.
O teorema do fator transforma qualquer pergunta sobre divisibilidade por numa pergunta sobre raiz, e às vezes a pergunta sobre raiz se responde com o sinal, sem conta nenhuma. Foi o caso em 2012, num bloco que descrevia os níveis de dois hormônios ao longo de um ciclo de 28 dias por funções definidas em dois trechos. A progesterona era dada por para e para .
Exemplo resolvido 6: divisível por algum x − r? O item 112 de 2012 afirmava: “A função é divisível por algum monômio , em que .”
Estratégia: traduzir pelo teorema do fator: existe no intervalo com ? Olhar o sinal de em cada trecho.
Resolução: no primeiro trecho vale 2. No segundo, é 2 mais um quadrado dividido por 100, portanto . Em nenhum ponto de a função se anula: não há raiz, logo não há fator . Item errado.
Conferência: os únicos candidatos a zerar o quadrado são e , e neles vale exatamente 2. A pergunta usava a palavra “divisível” para testar se o aluno a traduz em “raiz”; quem tentou armar uma divisão por um genérico não tinha por onde começar.
A prova de 2025 (item 28) julgou “sempre divisível” o total produzido, , em relação à demanda . A frase é sobre números, ano a ano, e cai no primeiro ano: e , com . Item errado. Repare que o caminho inverso também não vale: dividido por dá quociente e resto 2, portanto o polinômio não é divisível; mesmo assim, em os valores são 2 e 2, e é exato. Divisão exata de valores num ponto e divisibilidade dos polinômios são perguntas de mundos diferentes; o enunciado diz em qual mundo você está.
O método da chave funciona para qualquer divisor, mas para o divisor existe um atalho que cabe numa linha de números. Escrevem-se os coeficientes do dividendo em ordem decrescente de grau, sem pular grau (zero onde faltar), e o número à esquerda. Desce-se o primeiro coeficiente; a partir daí, cada número da linha de baixo é o anterior multiplicado por , somado ao coeficiente de cima. A linha de baixo contém, da esquerda para a direita, os coeficientes do quociente (de grau uma unidade menor que o do dividendo) e, por último, o resto.
Exemplo resolvido 7: o dispositivo. Divida por .
Estratégia: coeficientes (o é o grau 1, que falta) e .
Resolução: desce o . Depois: ; ; . Linha de baixo: . Quociente , resto .
Conferência: teorema do resto: . Bate. E . Quem esquece o zero do grau 1 obtém e “resto” 10, que não é : a conferência pelo valor numérico denuncia o erro na hora.
Por que o dispositivo funciona? Porque ele é a forma aninhada do polinômio, a mesma que a calculadora usa: . Avaliar em de dentro para fora produz exatamente , depois , depois , depois , e os três números intermediários são os coeficientes do quociente. Dividir por e avaliar em são a mesma conta.
Dois cuidados completam o método. O divisor precisa estar na forma : para , o número à esquerda é . E, para um divisor com , divide-se por e depois se divide o quociente por ; o resto não muda.
Exemplo resolvido 8: divisor com coeficiente líder diferente de 1. Divida por .
Estratégia: . Briot-Ruffini com e depois o quociente dividido por 2.
Resolução: coeficientes . Desce o ; ; ; . Por : quociente , resto . Por : quociente , resto . Logo .
Conferência: . Divisível, como o resto zero já dizia, e é raiz de : .
Um uso frequente do dispositivo é rebaixar o grau quando uma raiz é conhecida: se é raiz, dividir por dá resto zero e um quociente de grau menor, que carrega as demais raízes. Para , a soma dos coeficientes é , então é raiz; Briot-Ruffini com dá , e . O que fazer com o quociente quando ele tem grau 2 ou mais, e como garantir que não falta raiz, é a matéria da página de equações polinomiais.
Paolo Ruffini publicou a regra em 1804, na Itália, como parte de um trabalho sobre a impossibilidade de resolver por fórmula a equação de grau 5; Charles Briot, francês, a divulgou em livros didáticos do século XIX, e no Brasil os dois nomes ficaram colados. A conta em si é mais antiga: o esquema de “multiplica e soma” para avaliar polinômios aparece no tratado de Qin Jiushao, de 1247, e William Horner o redescobriu em 1819. É o mesmo algoritmo que roda dentro de uma calculadora.
esconde suas raízes; as expõe. Um produto é zero exatamente quando um dos fatores é zero, então as raízes são e , lidas sem conta. A forma fatorada diz ainda uma coisa que a forma expandida não diz: o fator aparece duas vezes. Essa repetição é a multiplicidade, e ela tem consequência tanto na contagem quanto no desenho do gráfico.
Pelo teorema do fator, cada raiz real de fornece um fator , e dividir por ele rebaixa o grau. Repetindo o processo, um polinômio de grau com raízes reais se escreve
em que é a multiplicidade da raiz (quantas vezes seu fator aparece) e é um polinômio sem raízes reais (ou a constante 1). A soma não passa de : um polinômio de grau tem no máximo raízes reais, contadas com multiplicidade. Raiz de multiplicidade 1 é simples; 2, dupla; 3, tripla. Em há dois valores distintos de raiz, e , mas três raízes se cada uma for contada tantas vezes quanto a sua multiplicidade. (Que a contagem fecha exatamente em quando se admitem raízes complexas é o Teorema Fundamental da Álgebra, tratado na página de equações polinomiais.)
Fatorar é desfazer uma multiplicação, e três ferramentas resolvem quase tudo no ensino médio. Fator comum: . Produtos notáveis: , , . Agrupamento, quando as parcelas se organizam em pares com fator comum: . Para um fator de grau 2 que não se reconhece de olho, a soma e o produto das raízes ou a fórmula resolutiva, assuntos da página de função quadrática.
Exemplo resolvido 9: contar raízes de dois jeitos. Quantas raízes reais distintas tem , e quantas contadas com multiplicidade? Qual é o grau de ?
Estratégia: ler fator a fator. é sempre positivo para real: não contribui com raiz real. dá a raiz com multiplicidade 3; dá , simples.
Resolução: raízes reais distintas: e , duas. Com multiplicidade: quatro. Grau: .
Conferência: o grau 6 e as quatro raízes reais com multiplicidade deixam “vagas”, que correspondem ao fator sem raízes reais. A contagem fecha; o que a prova testa é se você responde à pergunta feita, “distintas” ou “com multiplicidade”, e não à outra.
No gráfico, a multiplicidade se vê. Perto de uma raiz simples, o fator troca de sinal ao passar por , e a curva atravessa o eixo. Perto de uma raiz dupla, é positivo dos dois lados: a curva encosta no eixo e volta, sem trocar de sinal. Multiplicidade ímpar atravessa; par tangencia. Uma raiz tripla atravessa, mas achatando-se junto ao eixo, como na origem.
Há também o que o gráfico faz longe das raízes. Para grande, o termo líder domina todos os outros, e o sinal de é o sinal de . Com grau ímpar, tem sinais opostos em e em : o gráfico vem de um lado do eixo e vai para o outro, logo atravessa o eixo pelo menos uma vez. Logo, com coeficientes reais, grau ímpar garante pelo menos uma raiz real, e isso continua valendo depois de qualquer deslocamento do gráfico, para cima, para baixo ou para o lado, porque deslocar não muda o grau. Com grau par, as duas pontas vão para o mesmo lado, e um deslocamento vertical pode tirar o gráfico do eixo por completo: tem as raízes reais e , mas é positivo em toda a reta. Foi exatamente esse o item 43 do PAS 3 de 2010, que afirmava, para e de grau 5 e , que qualquer translação dos gráficos de e preserva raízes reais, “afirmação que não pode ser feita em relação ao gráfico da função polinomial ”. Certo, e decidido pela paridade do grau, sem uma conta.
Exemplo resolvido 10: raízes compartilhadas, lidas na fatoração. O bloco de 2010 apresentava , e , e dois itens afirmavam: “As raízes de são também raízes de ” (item 40) e “O conjunto das raízes de é disjunto do conjunto das raízes de ” (item 42).
Estratégia: procurar fatorações que liguem os três polinômios. Multiplicar por é a primeira tentativa, porque tem a cara de uma soma de potências.
Resolução: : os termos se cancelam em cascata. Então toda raiz de anula , e o item 40 é certo. Para , agrupamento: , e . Agora, : toda raiz de satisfaz , logo , logo é raiz de ; como não é , é raiz de (pois ). As duas raízes de pertencem a e a : os conjuntos não são disjuntos, e o item 42 é errado.
Conferência: as raízes de não são reais (o discriminante é ), e é por isso que o item é sutil: e não compartilham nenhuma raiz real, e quem só pensa em raízes reais marca certo. “Raiz”, sem adjetivo, inclui as complexas; a página de equações polinomiais trata delas.
Se a diferença entre o preço de uma ação e o preço de abertura do dia, em reais, segue ao longo do pregão, a ação volta ao preço de abertura em dois instantes, e , e não em três. A multiplicidade conta na álgebra; no tempo, no espaço e no gráfico, o que se conta são valores distintos. O comando do item diz qual contagem ele quer.
A matriz do PAS lista, entre as aplicações de polinômios, a previsão de preços e a propagação de doenças, e a banca cumpre: o polinômio chega como preço, como população, como desmatamento, como trajetória. Em todos os casos, as perguntas usam só o que esta página já apresentou, valor numérico e raiz, mais uma ideia nova: a assinatura do grau numa tabela.
Se , o gráfico de é o de erguido de . As raízes de são os instantes em que vale exatamente ; positivo significa acima de . Essa tradução foi o bloco inteiro de 2013, sobre o preço do gás natural nos Estados Unidos depois do gás de xisto. O texto dizia que o preço, em dólares por milhar de pés cúbicos, a partir de 2007, era , com e , e constantes positivas, e trazia o gráfico de no intervalo , com para 2007, para 2008, para 2010 e para 2013.
O gráfico impresso: a curva parte, em , de um valor positivo um pouco abaixo de ; sobe até o máximo em ; desce, cruza o eixo e chega ao mínimo em ; sobe, cruza o eixo de novo, faz uma elevação curta e baixa acima do eixo, torna a cruzá-lo para baixo, passa por um vale raso e cruza o eixo pela quarta vez, terminando em ligeiramente acima do eixo. Linhas tracejadas marcam os valores e no eixo e as abscissas , , e . Quatro cruzamentos com o eixo no intervalo desenhado; e o eixo fica à esquerda de , de modo que todo o intervalo desenhado está em .
Exemplo resolvido 11: o gás natural de 2013. O item 94 afirmava que “o preço do gás natural atingiu, nos EUA, por, no máximo, três vezes, o valor exato de 6 dólares”; o 96, que “era superior a 12 dólares o preço do gás natural em 2008”; e o 97, tipo C, perguntava se tem “(A) quatro raízes e todas são reais e positivas; (B) cinco raízes reais e todas são positivas; © cinco raízes reais e, pelo menos, uma delas é negativa; (D) mais que cinco raízes, sendo quatro positivas e, pelo menos, duas, complexas”.
Estratégia: traduzir cada frase para . Preço 6 é , isto é, . Preço em 2008 é . A natureza das raízes sai do grau (5), das pontas (líder positivo) e do gráfico.
Resolução: 94: ocorre nos quatro cruzamentos, então o preço foi exatamente 6 dólares quatro vezes, não “no máximo três”. Errado. 96: , logo . Certo. 97: grau 5 significa cinco raízes no total, o que elimina A e D de saída. As quatro raízes visíveis são positivas (estão à direita do eixo , em ). A quinta tem de ser real, porque o grau é ímpar e coeficientes reais; e, como enquanto quando (líder positivo, grau ímpar), a curva cruza o eixo em algum : a quinta raiz é negativa. Opção C.
Conferência: o enunciado deu e por um motivo, e os dois dados foram usados exatamente para localizar a quinta raiz. O item 95 do mesmo bloco, sobre a raiz de maior módulo, está nos exercícios desta página; ele precisa também de .
Uma grandeza medida em instantes igualmente espaçados, , deixa uma assinatura nas diferenças entre valores consecutivos. Se tem grau 1, as diferenças são constantes. Se tem grau 2, as diferenças mudam, mas as diferenças das diferenças são constantes. O motivo cabe numa linha: , de grau 1; subtrair valores consecutivos de um polinômio derruba o grau em uma unidade, porque os termos líderes se cancelam. Grau 2 vira grau 1 na primeira diferença e constante na segunda.
Para valores de um polinômio de grau , as -ésimas diferenças são constantes, e são a primeira ordem de diferenças que fica constante. Grau 1: primeiras diferenças constantes (é a progressão aritmética). Grau 2: segundas diferenças constantes. Grau 3: terceiras. Para prever o próximo valor, estende-se a tabela de baixo para cima: repete-se a diferença constante, soma-se à última diferença da ordem acima, e assim até o valor.
Exemplo resolvido 12: o desmatamento de 2022. O item 76 do PAS 3 de 2022 dizia: “Supondo-se que o desmatamento em 2022 possa ser projetado por um polinômio do segundo grau sob a forma , em que represente o ano, e de forma tal que os coeficientes , e sejam calculados considerando-se que , e , conclui-se que o desmatamento em 2022 será de 16,4 mil km².”
Estratégia: anos consecutivos, polinômio de grau 2: segundas diferenças constantes. Montar a tabela e estendê-la um passo.
Resolução: diferenças: e . Segunda diferença: . Próxima diferença: . Previsão: . Item certo.
Conferência: pelo caminho longo, com para não carregar números de quatro dígitos: com , , . Então ; ; . Da segunda e da terceira, e ; e . Mesmo número, três vezes mais contas. A troca de variável, aliás, é o cuidado de quem monta o sistema: com direto, os quadrados passam de quatro milhões.
O item não afirma que o desmatamento de 2022 foi de 16,4 mil km²; afirma o que a parábola ajustada a três pontos projeta. Um polinômio que passa por três dados é uma escolha de modelo, e três pontos podem ser ajustados por infinitas curvas de outros tipos. A conta é certa; a confiança no número depende de o fenômeno continuar se comportando como nos três anos medidos, e isso o polinômio não garante.
Pela identidade de polinômios, dois polinômios de grau no máximo 2 que coincidem em três pontos são o mesmo: três pontos determinam um polinômio de grau 2, assim como dois pontos determinam uma reta. Achá-lo é resolver três equações nos três coeficientes. Quando um dos dados é o vértice, o ponto de máximo ou de mínimo em , a forma já traz duas das três condições embutidas, e sobra um único número a determinar.
Exemplo resolvido 13: a quadrática com máximo em 2010. O item 93 do PAS 3 de 2023, tipo B, vinha com um gráfico da população de imigrantes mexicanos nos Estados Unidos, em milhões, de 1910 a 2010, de dez em dez anos: 0,22; 0,48; 0,64; 0,35; 0,45; 0,57; 0,76; 2,19; 4,28; 9,16 e 11,73. O comando: “Suponha que a população anual de imigrantes entre 2000 e 2010 seja dada pela função quadrática , em milhões, em que , e são constantes e cujo valor máximo corresponde ao ano de 2010. Nesse caso, calcule, em milhões, a população registrada no ano de 2004. Multiplique o valor encontrado por 10.”
Estratégia: vértice em 2010, com lido no gráfico; o único coeficiente livre sai de . Depois, avaliar em 2004.
Resolução: . Em : , logo . Em : . Vezes 10: ; desprezada a parte fracionária, 108.
Conferência: negativo confirma que 2010 é máximo, e não mínimo. E 2004 está mais perto de 2010 do que 2000, então tem de ficar entre e , mais perto do segundo: passa no teste. Quem expande com na casa dos milhares resolve o mesmo problema com números enormes; a forma com vértice é a escolha de quem lê o enunciado antes de calcular.
Em 2012, um bloco sobre futebol desenhava o campo num plano cartesiano com a linha de gol sobre o eixo , o canto oposto em e, portanto, a linha de meio de campo na reta . O item 81 afirmava: “Se, em uma partida de futebol, um jogador se deslocar em uma trajetória descrita pela função , em que , então, nesse deslocamento, o atleta não cruzará a linha de meio do campo.”
Exemplo resolvido 14: cruzar a linha é f(y) = 50 ter solução.
Estratégia: a trajetória tem dado em função de ; cruzar a linha é existir no intervalo com , ou, mais simples, passar de um lado para o outro de 50. Avaliar em alguns valores inteiros do intervalo.
Resolução: , à esquerda da linha. , em cima da linha. , à direita. Do outro lado do intervalo, , bem à direita, e , de novo sobre a linha. A trajetória começa à direita da linha (), vai para a esquerda ( dá ) e volta para a direita: cruza a linha de meio de campo, duas vezes. Item errado.
Conferência: nenhuma equação de grau 4 foi resolvida; bastou avaliar em inteiros e notar que uma curva contínua que vale 46 num ponto e 70 em outro passa por 50 entre eles. O menor valor de no intervalo fica perto de , em torno de , mas isso é mais do que o item exige.
Não foi possível consultar o banco de questões. O conteúdo da aula continua disponível.
Não foi possível consultar os cartões de revisão.
Os materiais abaixo contribuíram para a explicação e os exemplos deste assunto.
Recorte por assunto: o polinômio como objeto (grau, valor numérico, identidade, operações, divisão, fatoração, multiplicidade, modelo). A resolução de equações de grau 3 e 4, as relações entre coeficientes e raízes, o par conjugado e o Teorema Fundamental da Álgebra ficam na página equacoes-polinomiais; números complexos, na página numeros-complexos.
Gabaritos e caminhos de resolução dos itens reais de 2010, 2022 e 2025 reusados nesta página.
Conferência de gabaritos dos moldes de divisão, resto, grau e multiplicidade.
Itens reproduzidos verbatim; figuras de 2012, 2013 e 2023 descritas a partir da imagem do caderno (utils/material/PAS/provas/); gabaritos conferidos em utils/material/PAS/pesquisa/classificacao-pas3/AAAA.json.