Equações polinomiais

Em 2025, a prova do PAS 3 descreveu uma fábrica de carros elétricos cuja produção anual de dois modelos seguia dois polinômios de grau 4, $p_1(x) = 2x^4 - x^3 - 10x^2 + 234$ e $p_2(x) = x^4 - x^3 + 5x^2 + 250$, e pediu, num item de resposta numérica, quantos carros do primeiro modelo saíam no ano em que as duas produções coincidiam. A pergunta é uma equação de grau 4, $p_1(x) = p_2(x)$, e ninguém a resolve “por fórmula” numa prova. Quem a fechou fez três coisas: reconheceu que, passando tudo para um lado, só sobravam potências pares de $x$; trocou $x^2$ por uma letra nova e resolveu uma equação do 2.º grau; e jogou fora a solução que não servia, porque um ano não tem quadrado negativo. Onze anos antes, em 2014, a banca deu uma cúbica $2x^3 + ax^2 + bx + c$ com uma única raiz real, $7$, disse que $5 + 2i$ também era raiz e afirmou algo sobre o coeficiente $a$. Nenhuma divisão, nenhuma fórmula: quem sabia que $5 - 2i$ vinha junto e que a soma das três raízes está escrita no coeficiente $a$ julgou o item em duas linhas.

É disso que esta página trata: a equação $p(x) = 0$ e o que se pode saber de suas raízes. Quantas raízes existem e em que regime contá-las; como uma raiz à mostra rebaixa o grau e deixa uma quadrática; onde procurar a primeira raiz quando ninguém a entrega; o que os coeficientes já contam sobre soma, produto e somas de produtos das raízes (as relações de Girard); por que, em coeficientes reais, raízes não reais andam aos pares e o que isso garante; a biquadrática e as equações que viram quadráticas com uma substituição; as raízes com condição (em progressão, dupla, simétricas, dependentes de um parâmetro); a leitura de raízes num gráfico; e um contexto físico em que uma biquadrática aparece por conta própria. O polinômio como objeto, com grau, valor numérico, divisão, teorema do resto e o dispositivo de Briot-Ruffini explicado passo a passo, está na página de polinômios, que esta página toma como pré-requisito; o número $i$, o conjugado, a forma polar e as raízes de $z^n = w$ estão na página de números complexos; a parábola como função, com vértice e sinal, na página de função quadrática. Aqui, cada uma dessas coisas é ferramenta, não assunto.

Toda equação de grau n tem exatamente n raízes, se você souber onde contar

Uma equação do 2.º grau com $\Delta < 0$ “não tem raiz”. Essa frase, repetida desde o 9.º ano, é falsa em metade: ela não tem raiz real. Nos números complexos, $x^2 + 9 = 0$ tem duas raízes, $3i$ e $-3i$, e a conta fecha: grau 2, duas raízes. O que vale para o grau 2 vale para qualquer grau, e é o resultado que organiza toda esta página.

A palavra que decide a contagem é multiplicidade: o número de vezes que o fator $(x - r)$ aparece na forma fatorada. Em $p(x) = (x + 3)(x - 1)^3(x^2 + 4)$, o grau é $1 + 3 + 2 = 6$ e há seis raízes com multiplicidade: $-3$ (simples), $1$ três vezes (raiz tripla) e $2i$ e $-2i$ (as de $x^2 + 4$). Mas há só quatro raízes distintas ($-3$, $1$, $2i$, $-2i$) e só duas raízes reais distintas ($-3$ e $1$). Três contagens, três respostas, e a prova escolhe uma delas no enunciado: “raízes”, “raízes distintas”, “raízes reais”. Ler o adjetivo antes de contar vale mais do que qualquer técnica desta página.

Duas consequências do teorema aparecem na prova com frequência e merecem nome. A primeira: um polinômio de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes reais distintas, e pode ter menos, inclusive nenhuma, como $x^4 + 16$, que é positivo para todo $x$ real. A segunda, que depende de os coeficientes serem reais, é o par conjugado, tratado numa seção própria adiante: as raízes não reais só aparecem em pares, e por isso um grau ímpar sempre deixa pelo menos uma raiz real.

Em 2010, a banca deu três polinômios, $P(x) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$, $Q(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ e $R(x) = x^6 - 1$, e afirmou, num item só, duas coisas: que $P$ e $Q$ têm cada um pelo menos uma raiz real, e que $R$ só tem raízes reais. A primeira parte segue do grau ímpar; a segunda cai porque $x^6 = 1$ só tem $1$ e $-1$ como soluções reais, e as outras quatro raízes de $R$ são complexas não reais: item errado, por metade. O mesmo bloco afirmou que $P$ “possui quatro raízes complexas não reais, duas a duas conjugadas”: agrupando, $P(x) = x^4(x - 1) + x^2(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(x^4 + x^2 + 1)$, e o fator de grau 4 nunca zera num real ($x^4 + x^2 + 1 \geq 1$), logo suas quatro raízes são não reais e, em coeficientes reais, formam dois pares conjugados. Certo. Os dois itens juntos são a lição da seção: contar em $\mathbb{C}$, e só depois perguntar quantas são reais.

Uma raiz à mostra rebaixa o grau

O teorema do fator, da página de polinômios, diz que $r$ é raiz de $p$ se, e somente se, $x - r$ divide $p(x)$. Para a equação, isso é uma máquina de rebaixar grau: conhecida uma raiz $r$, $p(x) = (x - r)\,q(x)$ com $q$ de grau $n - 1$, e as outras raízes de $p$ são as raízes de $q$. Numa cúbica, $q$ é uma quadrática, e quadrática se resolve. Numa quártica com duas raízes conhecidas, dois rebaixamentos deixam uma quadrática também.

Exemplo 1. Resolver $x^3 - 7x^2 + 7x + 15 = 0$ sabendo que $-1$ é raiz. Conferindo: $(-1)^3 - 7(1) + 7(-1) + 15 = -1 - 7 - 7 + 15 = 0$. Briot-Ruffini com $r = -1$ e coeficientes $1, -7, 7, 15$: desce o $1$; $1 \cdot (-1) - 7 = -8$; $-8 \cdot (-1) + 7 = 15$; $15 \cdot (-1) + 15 = 0$. Resto zero, como tinha de ser, e quociente $x^2 - 8x + 15$, cujas raízes têm soma $8$ e produto $15$: $3$ e $5$. As três raízes são $-1$, $3$ e $5$, e $p(x) = (x + 1)(x - 3)(x - 5)$. Conferência pelo termo independente: $(1)(-3)(-5) = 15$, que é o $15$ da equação.

Exemplo 2. A equação $x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24 = 0$ tem raízes $-1$ e $2$. Quais são as outras? Primeiro rebaixamento, por $x + 1$: coeficientes $1, -2, -13, 14, 24$ e $r = -1$ dão $1, -3, -10, 24$ e resto $0$; sobra $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$. Segundo, por $x - 2$: $1, -3, -10, 24$ com $r = 2$ dão $1, -1, -12$ e resto $0$; sobra $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$. Raízes: $-1$, $2$, $4$ e $-3$. Quatro raízes para o grau 4, nenhuma repetida. A conferência mais rápida é a soma: $-1 + 2 + 4 - 3 = 2$, e o coeficiente de $x^3$ é $-2$; a seção sobre Girard explica por que esses dois números têm de ser opostos.

Como achar a primeira raiz quando ninguém a entrega

A cúbica da prova quase sempre chega com uma raiz dada, mas as listas de exercícios não têm essa gentileza, e saber onde procurar poupa tentativas. Há três buscas baratas, e as três partem de uma observação simples: se $r$ é raiz, substituir $r$ dá zero, logo o custo de testar um candidato é uma conta de valor numérico.

Exemplo 3. Resolver $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0$. Não é mônico: os candidatos racionais são $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ (divisores de $6$) divididos por $1$ ou $2$, isto é, $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm\tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{3}{2}$. Soma dos coeficientes: $2 - 3 - 11 + 6 = -6 \neq 0$, então $1$ não serve; $p(-1) = -2 - 3 + 11 + 6 = 12$, nem $-1$. Testando $3$: $54 - 27 - 33 + 6 = 0$. Briot-Ruffini por $x - 3$: $2, -3, -11, 6$ com $r = 3$ dão $2, 3, -2$ e resto $0$; sobra $2x^2 + 3x - 2 = 0$, com $\Delta = 9 + 16 = 25$ e raízes $\frac{-3 \pm 5}{4}$, isto é, $\tfrac{1}{2}$ e $-2$. Raízes: $3$, $\tfrac{1}{2}$ e $-2$. Repare que $\tfrac{1}{2}$ estava na lista de candidatos justamente por causa do líder $2$: num mônico ela não existiria.

Relações de Girard: os coeficientes já sabem a soma e o produto

Expanda $(x - r_1)(x - r_2)$: dá $x^2 - (r_1 + r_2)\,x + r_1 r_2$. O coeficiente de $x$ é a soma das raízes com o sinal trocado, e o termo independente é o produto. Quem já resolveu quadráticas “por soma e produto” usou isso. O mesmo acontece em qualquer grau, porque a forma fatorada é um produto de $n$ fatores e cada coeficiente da expansão é uma soma de produtos das raízes, tomadas uma a uma, duas a duas, três a três, com sinais que alternam.

Exemplo 4. As raízes de $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ são $-1$, $2$ e $3$ (teste: $-1 - 4 - 1 + 6 = 0$; $8 - 16 + 2 + 6 = 0$; $27 - 36 + 3 + 6 = 0$). Girard confere: soma $-1 + 2 + 3 = 4 = -(-4)$; pares $(-1)(2) + (-1)(3) + (2)(3) = -2 - 3 + 6 = 1$, o coeficiente de $x$; produto $(-1)(2)(3) = -6 = -(6)$. Agora o que Girard faz de útil: responder sobre as raízes sem conhecê-las. A soma dos quadrados das raízes de qualquer cúbica $x^3 + bx^2 + cx + d$ é $(r_1 + r_2 + r_3)^2 - 2(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3) = b^2 - 2c$; aqui, $16 - 2 = 14$, e de fato $1 + 4 + 9 = 14$. A soma dos inversos é $\frac{r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3}{r_1 r_2 r_3} = \frac{c}{-d} = \frac{1}{-6}$, e de fato $-1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{6}$.

Exemplo 5 (o caminho inverso). Qual é a equação mônica de grau 3 cujas raízes são $2$, $-1$ e $5$? Soma $6$, pares $2(-1) + 2(5) + (-1)(5) = -2 + 10 - 5 = 3$, produto $-10$. Pela alternância de sinais: $x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = 0$. Conferindo com a raiz $2$: $8 - 24 + 6 + 10 = 0$. Montar a equação pelas raízes é o que a prova faz quando pede “o polinômio cujas raízes são…” e é o caminho mais curto para um item em que as raízes vêm no enunciado e os coeficientes são a incógnita.

A prova de 2014 é o retrato disso. O bloco dizia que $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ tem coeficientes racionais e que $7$ é sua única raiz real. Um item supunha $5 + 2i$ raiz e afirmava $a > -20$. Com coeficientes reais, $5 - 2i$ é raiz também, e a soma das três é $7 + 5 + 5 = 17$. Girard com líder $2$: $-\frac{a}{2} = 17$, logo $a = -34$, que não é maior que $-20$. Errado. O limiar $-20$ foi colocado entre o $-17$ de quem esquece o líder e o $-34$ correto. Outro item do bloco supunha que $\alpha + \beta i$, com $\alpha$ e $\beta$ inteiros, fosse raiz, dava $c = -14$ e afirmava $\alpha + \beta < 2$. O produto das raízes é $7(\alpha + \beta i)(\alpha - \beta i) = 7(\alpha^2 + \beta^2)$ e, por Girard, vale $-\frac{c}{2} = 7$. Então $\alpha^2 + \beta^2 = 1$ com inteiros e $\beta \neq 0$ (a raiz não é real): $\alpha = 0$ e $\beta = \pm 1$, e $\alpha + \beta = \pm 1 < 2$. Certo. Nenhum dos dois itens exigiu achar uma raiz.

Com coeficientes reais, as raízes não reais andam em pares

Resolver $x^2 - 4x + 5 = 0$ dá $x = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = 2 \pm i$. As duas raízes têm a mesma parte real e partes imaginárias opostas: são conjugadas. Não é coincidência da fórmula de Bhaskara, é propriedade de todo polinômio com coeficientes reais, e ela decide itens inteiros.

A hipótese “coeficientes reais” não é enfeite. O polinômio $x - i$ tem coeficiente independente $-i$, tem raiz $i$ e não tem raiz $-i$. A prova de 2016 afirmou, em um item isolado dentro de um bloco sobre uma estrela de cinco pontas: “se $z$ for uma raiz complexa de um polinômio com coeficientes reais, então $\bar{z}$ também será raiz desse polinômio”. Certo, palavra por palavra, e a hipótese está no meio da frase.

Exemplo 6. Sabe-se que $2 + i$ é raiz de $x^3 - 7x^2 + 17x - 15 = 0$. Quais são as outras? Os coeficientes são reais, então $2 - i$ é raiz. A terceira sai por Girard: a soma das três é $7$, logo $r_3 = 7 - (2 + i) - (2 - i) = 3$. Conferência: $27 - 63 + 51 - 15 = 0$. Caminho alternativo, por divisão: o par conjugado dá o fator $(x - 2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5$, e $x^3 - 7x^2 + 17x - 15$ dividido por $x^2 - 4x + 5$ é $x - 3$, com resto zero. Mais longo, mesma resposta. Em 2015, o item foi exatamente este molde: “$1 + i$ e o número real $x_0$ são raízes de $z^3 - 5z^2 + 8z - 6 = 0$; $x_0$ é inferior a $4$”. Soma das raízes $5$, par $1 \pm i$ somando $2$, logo $x_0 = 3$. Certo.

Exemplo 7 (montar pelo par). O polinômio mônico de grau 3 com coeficientes reais que tem raízes $2 \pm 3i$ e $-1$ é $(x + 1)\,[(x - 2)^2 + 9] = (x + 1)(x^2 - 4x + 13) = x^3 - 3x^2 + 9x + 13$. Girard confere o termo independente: produto das raízes $= (4 + 9)(-1) = -13 = -a_0$, logo $a_0 = 13$. Em 2017, com duas linhas de bonde desenhadas no plano complexo, a banca deu $P(z) = z^4 + Az^3 + Bz^2 + Cz + D$ de coeficientes reais com raízes $z_1 = 3 + 8i$ (Tijuca) e $z_2 = 3 - 3i$ (Lapa) e afirmou $D = 1\,314$. As quatro raízes são $z_1$, $\bar{z}_1$, $z_2$, $\bar{z}_2$; grau par e líder $1$: $D$ é o produto, $|z_1|^2 \cdot |z_2|^2 = (9 + 64)(9 + 9) = 73 \cdot 18 = 1\,314$. Certo, sem calcular $A$, $B$ ou $C$.

Biquadrática: uma quadrática disfarçada

Uma equação de grau 4 em que só aparecem $x^4$, $x^2$ e o termo independente é uma quadrática em $x^2$. Trocar $x^2$ por uma letra a rebaixa para o 2.º grau; resolvida, cada valor da letra devolve as raízes em $x$ por raiz quadrada. O cuidado inteiro está no caminho de volta.

Exemplo 8. $x^4 + 3x^2 - 28 = 0$. Com $y = x^2$ a equação vira $y^2 + 3y - 28 = 0$, cujas raízes são $4$ e $-7$ (soma $-3$, produto $-28$). Passando o filtro: de $y = 4$ saem $x = 2$ e $x = -2$; de $y = -7$ não sai raiz real nenhuma, só o par $\pm i\sqrt{7}$. Raízes reais: $-2$ e $2$; raízes em $\mathbb{C}$: $\pm 2$ e $\pm i\sqrt{7}$, quatro, como manda o grau. Quem “dobra tudo” e responde quatro raízes reais errou no filtro. Agora $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$: $y^2 - 10y + 9 = 0$ dá $y = 1$ ou $y = 9$, os dois positivos: raízes $\pm 1$ e $\pm 3$, quatro reais. Soma zero, produto $(1)(-1)(3)(-3) = 9$, o termo independente, como Girard prevê para grau par e líder $1$.

O item de 2025 que abre esta página é a biquadrática com contexto. Igualar $p_1(x) = p_2(x)$ dá $2x^4 - x^3 - 10x^2 + 234 = x^4 - x^3 + 5x^2 + 250$, ou seja, $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$: o $x^3$ cancela, e sobra uma biquadrática. Com $y = x^2$: $y^2 - 15y - 16 = 0$, raízes $y = 16$ e $y = -1$. O $-1$ morre no filtro; $x^2 = 16$ dá $x = \pm 4$, e o contexto ($x \geq 1$ anos) deixa $x = 4$. A resposta pedida não era o ano, e sim a produção: $p_1(4) = 2 \cdot 256 - 64 - 160 + 234 = 522$. Conferindo pelo outro lado, $p_2(4) = 256 - 64 + 80 + 250 = 522$. Se as duas contas não batessem, o erro estaria na raiz.

A mesma ideia resolve equações que não são biquadráticas mas têm um bloco repetido. Exemplo 9. $(x^2 - 5x)^2 - 2(x^2 - 5x) - 24 = 0$. Com $u = x^2 - 5x$: $u^2 - 2u - 24 = 0$, logo $u = 6$ ou $u = -4$. De volta: $x^2 - 5x - 6 = 0$ dá $x = 6$ ou $x = -1$; $x^2 - 5x + 4 = 0$ dá $x = 1$ ou $x = 4$. Quatro raízes reais distintas: $-1$, $1$, $4$ e $6$. A prova de 2012 fez isso com duas curvas de hormônios: igualar as expressões $8 + \frac{3(x - 12)^2(x - 28)^2}{1\,000}$ e $2 + \frac{(x - 12)^2(x - 28)^2}{100}$ dá, com $k = (x - 12)^2(x - 28)^2$, a equação $6 = \frac{10k - 3k}{1\,000}$, isto é, $7k = 6\,000$, e o item afirmava exatamente que os instantes de igualdade são as soluções de $7(x - 12)^2(x - 28)^2 = 6\,000$. Certo; a prova não pediu para resolver. Quem quisesse contar as raízes reais faria $u = (x - 12)(x - 28)$: $u = \pm\sqrt{6\,000/7} \approx \pm 29{,}3$, e cada nível corta a parábola $u(x)$, cujo mínimo é $-64$ em $x = 20$, em dois pontos: quatro raízes reais.

Há ainda o caso em que o termo independente falta: $x$ é fator comum, e $0$ é raiz. Exemplo 10. $x^3 + 2x^2 - 8x = 0$ é $x(x^2 + 2x - 8) = x(x + 4)(x - 2) = 0$: raízes $0$, $-4$ e $2$. Em 2018, num mapa do Rio Grande do Sul em que cada cidade era um ponto $(x, y)$ identificado com $z = x + iy$, a banca afirmou que “apenas para uma” das cidades o número complexo era raiz de $z^3 - 12z = 0$. Fatorando, $z(z^2 - 12) = 0$: raízes $0$, $2\sqrt{3}$ e $-2\sqrt{3}$, as três reais, as duas últimas irracionais ($\approx \pm 3{,}46$). A tabela trazia Porto Alegre $(200, 0)$, Candelária $(20, 35)$, Agudo $(-25, 40)$, Santa Maria $(-80, 30)$, Pelotas $(40, -220)$, Santana do Livramento $(-280, -90)$, Cruz Alta $(-84, 187)$ e Caxias do Sul $(210, 80)$, nenhuma em $(\pm 3{,}46;\ 0)$; a única raiz presente é a origem, Cachoeira do Sul. Certo. Equações da forma $z^n = w$ com $w$ qualquer, como $z^5 = -1$, têm $n$ raízes dispostas num polígono regular e são assunto da página de números complexos; aqui elas entram só como fatores, como na seção seguinte.

Fatorar por blocos: quando as raízes vêm em grupos

A forma fatorada não precisa ser feita de fatores de grau 1. Se um conjunto de raízes é o conjunto das soluções de $z^5 = -1$, o fator que as reúne é $z^5 + 1$; se outro conjunto é o das soluções de $z^5 = L^5$, o fator é $z^5 - L^5$. Um polinômio cujas raízes são exatamente a união dos dois conjuntos é o produto $(z^5 + 1)(z^5 - L^5)$, de grau 10, e expandir dá $z^{10} + (1 - L^5)z^5 - L^5$. Foi o item tipo C de 2016, na estrela de cinco pontas cujos vértices internos resolviam $z^5 = -1$ e cujos vértices externos resolviam $z^5 = L^5$, com $L = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$: entre quatro opções que só diferiam nos sinais, a certa era $z^{10} + (1 - L^5)z^5 - L^5$. Quem tentou escrever dez fatores de grau 1 não terminou; quem multiplicou dois blocos terminou em uma linha.

Exemplo 11. Qual polinômio mônico de grau 5 tem como raízes as três raízes cúbicas de $8$ e os dois números $\pm 3i$? Os três primeiros são as soluções de $x^3 = 8$, reunidas em $x^3 - 8$; os outros dois, de $x^2 = -9$, reunidas em $x^2 + 9$. Produto: $(x^3 - 8)(x^2 + 9) = x^5 + 9x^3 - 8x^2 - 72$. Grau 5, cinco raízes, uma real ($2$) e quatro não reais em dois pares conjugados, como o grau ímpar e os coeficientes reais exigem.

Raízes com condição: progressões, raiz dupla e parâmetros

Um molde clássico de lista e de prova entrega uma informação sobre as raízes no lugar de uma raiz: “estão em progressão aritmética”, “uma é o dobro da outra”, “a equação tem raiz dupla”, “duas raízes são simétricas”. Em todos esses casos, Girard transforma a condição numa raiz concreta, e o rebaixamento faz o resto.

Exemplo 12. As raízes de $x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0$ estão em progressão aritmética. Chamando-as de $r - d$, $r$, $r + d$, a soma é $3r = 9$, logo $r = 3$. Conferindo: $27 - 81 + 69 - 15 = 0$. Rebaixando por $x - 3$: $1, -9, 23, -15$ com $r = 3$ dão $1, -6, 5$, e $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$. Raízes $1$, $3$, $5$: razão $2$. Pelo produto: $r(r^2 - d^2) = 15$ dá $3(9 - d^2) = 15$, $d^2 = 4$, mesmo resultado.

Exemplo 13. Para que valores de $k$ a equação $x^3 - 3x + k = 0$ tem raiz dupla? Raízes $r$, $r$, $s$. Não há termo em $x^2$: $2r + s = 0$, logo $s = -2r$. Pares: $r^2 + 2rs = -3$, isto é, $r^2 - 4r^2 = -3$, $r^2 = 1$, $r = \pm 1$. Produto: $r^2 s = -k$, logo $k = -r^2 s = 2r$: $k = 2$ (raízes $1$, $1$, $-2$) ou $k = -2$ (raízes $-1$, $-1$, $2$). Conferindo $k = 2$: $x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)$, e $1 - 3 + 2 = 0$. No gráfico de $y = x^3 - 3x$, esses são os dois valores de $-k$ em que a reta horizontal passa pelo máximo ou pelo mínimo local e tangencia a curva.

Exemplo 14. A equação $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$ tem duas raízes simétricas. A terceira, então, é a soma total, $2$; conferindo, $8 - 8 - 18 + 18 = 0$. Rebaixando por $x - 2$: $1, -2, -9, 18$ dão $1, 0, -9$, e $x^2 - 9 = 0$ devolve o par $\pm 3$. (O agrupamento $x^2(x - 2) - 9(x - 2)$ chega ao mesmo lugar.)

Quando a equação vem da física: o sistema massa-mola

Biquadráticas não nascem só em listas. Um bloco preso a uma mola, puxado e solto, oscila com uma frequência que depende da constante $k$ da mola e da massa $m$ do bloco, e a condição que a determina é $m\omega^2 = k$, uma equação do 2.º grau em $\omega$ (a frequência angular, em rad/s) com uma única raiz positiva, $\omega = \sqrt{k/m}$. Ponha dois blocos iguais entre três molas iguais, parede–mola–bloco–mola–bloco–mola–parede, e a condição para os dois oscilarem no mesmo ritmo vira uma equação em que $\omega$ aparece à quarta e ao quadrado. Chamando $\kappa = k/m$ (a razão entre a constante da mola e a massa), ela se escreve

$$\omega^4 - 4\kappa\,\omega^2 + 3\kappa^2 = 0.$$

É uma biquadrática em $\omega$, e suas duas raízes positivas são as duas frequências possíveis do conjunto, os chamados modos normais. A física dá nome a cada uma: no modo de frequência menor, os blocos avançam e recuam juntos, e a mola central viaja com eles sem mudar de comprimento; no modo de frequência maior, eles se aproximam e se afastam, e é a mola central, comprimida e esticada pelos dois lados, que endurece o conjunto e acelera o ritmo. A física fornece a equação; a matemática desta página a resolve.

Exemplo 15. Blocos de $m = 1$ kg e molas de $k = 5$ N/m, logo $\kappa = 5$. A equação fica $\omega^4 - 20\omega^2 + 75 = 0$. Com $u = \omega^2$: $u^2 - 20u + 75 = 0$, soma $20$ e produto $75$, logo $u = 5$ ou $u = 15$. Frequências: $\omega = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ rad/s e $\omega = \sqrt{15} \approx 3{,}87$ rad/s; as raízes $-\sqrt{5}$ e $-\sqrt{15}$ não são movimento. Duas conferências antes de responder. Girard na quadrática em $u$: soma $5 + 15 = 20$ e produto $5 \cdot 15 = 75$, os dois coeficientes da equação. E a estrutura: $u^2 - 4\kappa u + 3\kappa^2 = (u - \kappa)(u - 3\kappa)$ para qualquer $\kappa$, de modo que as duas frequências são sempre $\sqrt{\kappa}$ e $\sqrt{3\kappa}$; a primeira é a de um bloco isolado preso a uma mola de constante $k$ (no modo 1 a mola central não trabalha), e a segunda a supera por um fator $\sqrt{3}$ que não depende de $m$ nem de $k$. Se um item pedir “a soma das frequências”, a resposta é $\sqrt{5} + \sqrt{15}$, não $5 + 15$: o quadrado esquecido é o erro mais previsível desse contexto.

Ler o gráfico: cruzar é raiz simples, encostar é raiz dupla

Num gráfico de $y = p(x)$, as raízes reais são os pontos em que a curva encontra o eixo horizontal. Mas o encontro tem dois jeitos, e cada jeito informa a multiplicidade.

Exemplo 16. O gráfico da figura é o de $p(x) = -\frac{1}{20}(x + 2)^2(x - 1)(x - 4)$. Grau 4, líder negativo: a curva desce nas duas pontas. Raízes reais distintas: três ($-2$, $1$, $4$); com multiplicidade: quatro, e nenhuma não real. Na tangência em $-2$ o sinal não troca; entre $1$ e $4$ a curva fica acima do eixo e fora disso, abaixo (exceto no toque). A equação $p(x) = c$, para $c$ pequeno e positivo, tem duas raízes reais, entre $1$ e $4$; para $c$ igual ao máximo local, uma raiz dupla; para $c$ maior, nenhuma real, mas quatro complexas, porque o grau é 4.

Em 2013, a banca desenhou o gráfico de um polinômio de grau 5 com $a_5$, $a_4$ e $a_0$ positivos, cruzando o eixo quatro vezes em instantes positivos, e afirmou que a raiz de maior módulo era negativa e maior, em módulo, que a soma das positivas. A quinta raiz é real (grau ímpar) e negativa, porque $p(0) = a_0 > 0$ e o líder positivo leva a curva a $-\infty$ à esquerda; e, por Girard, a soma das cinco é $-\frac{a_4}{a_5} < 0$, logo a negativa supera em módulo a soma das quatro positivas. Certo. Em 2012, num gráfico de hormônios, o item tipo C perguntava quantas raízes reais tinha $H(x) - C_0$, em que $H$ era a curva do estradiol e $C_0$, um valor fixado no eixo vertical: a resposta era o número de pontos em que a curva encontrava a reta horizontal $y = C_0$ no desenho, quatro. É a regra do nível $c$ em estado puro: “a função vale $c$” é “$F - c$ tem raiz”.

Como a banca pergunta

Os itens de equações polinomiais do PAS 3 repetem poucos moldes, e vale reconhecê-los pelo texto.

• Verificar sem resolver. “O número complexo que representa a pontuação do álcool, $56 + 85i$, é raiz de $x^3 - 112x^2 + 10\,361x$” (2012). Fatore o $x$ e resolva a quadrática: $\Delta = 112^2 - 4 \cdot 10\,361 = -28\,900 = -170^2$, raízes $\frac{112 \pm 170i}{2} = 56 \pm 85i$. Certo. Ou substitua: $(56 + 85i)^2 = -4\,089 + 9\,520i$, e $p(z)/z = (-4\,089 + 9\,520i) - 112(56 + 85i) + 10\,361 = 0$. O álcool só pôde ser raiz de um polinômio real porque o conjugado dele entrou junto.
• Par conjugado como teorema (2016/89) e par conjugado com conta (2014/106: se $r_2 = 1 - i$ é raiz, $r_3 = 1 + i$ e $\frac{r_3}{r_2} = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2i}{2} = i$; certo).
• Girard contra um limiar (2014/104, $a = -34$ contra $-20$; 2014/105, produto $7$ e $\alpha^2 + \beta^2 = 1$).
• Cúbica com raiz à mostra (2015/109; 2018/87 com o fator $z$).
• Biquadrática em contexto (2025/29, resposta $522$), quártica em $u$ (2012/114) e nível $c$ num gráfico (2012/115, 2013/94–97).
• Forma fatorada por blocos (2016/93) e contagem em $\mathbb{C}$ contra contagem em $\mathbb{R}$ (2010/39 e 41).

O protocolo que resolve todos: leia o adjetivo da contagem; substitua antes de resolver; se os coeficientes são reais, complete os pares; se uma raiz está à mostra, rebaixe; se só há potências pares, substitua e filtre; se a pergunta é sobre soma ou produto, Girard; e, no tipo B, releia o comando antes de marcar.

Os erros que mais derrubam

1. Contar no regime errado. “Raízes” é em $\mathbb{C}$ e dá $n$; “raízes reais” pode dar menos; “distintas” ignora a multiplicidade. O item de 2010 sobre $R(x) = x^6 - 1$ caiu em quem achou que seis raízes eram seis raízes reais.
2. Esquecer o líder em Girard. Em $2x^3 + ax^2 + \ldots$, a soma é $-a/2$. O limiar $-20$ de 2014 foi plantado para pegar quem leu $-a$.
3. Trocar o sinal do produto. Em grau ímpar o produto é $-a_0/a_n$; em grau par, $+a_0/a_n$. Em $x^3 - 6x^2 + 3x + 10$, o produto das raízes é $-10$.
4. Completar o par sem a hipótese. O conjugado só é raiz garantida com coeficientes reais; $x - i$ é o contraexemplo mínimo.
5. Não filtrar a biquadrática. $y < 0$ não devolve raiz real; dobrar as duas raízes $y$ e responder “quatro reais” é o erro de 2025.
6. Somar os $y$ em vez dos $x$, ou responder a raiz quando o comando pede o polinômio avaliado nela ($522$, não $4$).
7. Pular o zero do grau ausente no Briot-Ruffini: $x^3 - 7x + 6$ tem coeficientes $1, 0, -7, 6$.
8. Confundir pontos de contato com raízes. Tangência é raiz dupla; raízes não reais não aparecem no gráfico; a reta $y = c$ conta as raízes de $F - c$, não as de $F$.
9. Testar inteiros sem fim. Os candidatos racionais são finitos; esgotados, a raiz é irracional ou o problema pede outra coisa.

O essencial em meia página

• Teorema fundamental da álgebra: grau $n$ = $n$ raízes em $\mathbb{C}$, com multiplicidade; $p(x) = a_n \prod (x - r_k)$. Três contagens: com multiplicidade, distintas, reais.
• Raiz ⇔ fator: $p(r) = 0 \Leftrightarrow (x - r) \mid p(x)$. Raiz conhecida: Briot-Ruffini rebaixa o grau; resolva a quadrática que sobra; volte ao contexto.
• Primeira raiz: candidatos $\pm\frac{\text{div}(a_0)}{\text{div}(a_n)}$; soma dos coeficientes zero ⇒ $1$ é raiz; agrupamento.
• Girard: soma $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$, pares $+\frac{a_{n-2}}{a_n}$, trios $-\frac{a_{n-3}}{a_n}$, …, produto $(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$. Na cúbica mônica $x^3 + bx^2 + cx + d$: soma $-b$, pares $c$, produto $-d$. Soma dos quadrados $= (\text{soma})^2 - 2(\text{pares})$.
• Coeficientes reais: $\alpha + \beta i$ raiz ⇒ $\alpha - \beta i$ raiz; fator $(x - \alpha)^2 + \beta^2$; grau ímpar ⇒ raiz real; $z\bar{z} = |z|^2$.
• Biquadrática: $y = x^2$; $y > 0$ dá $\pm\sqrt{y}$, $y = 0$ dá $0$ dupla, $y < 0$ dá $\pm i\sqrt{|y|}$; soma dos $x$ é zero; corte pelo contexto. Bloco repetido: $u =$ bloco.
• Condições: PA ⇒ raiz do meio $= -\frac{b}{3a}$; simétricas ⇒ terceira $= -\frac{b}{a}$; raiz dupla ⇒ $r, r, s$ em Girard.
• Gráfico: ímpar cruza, par tangencia; $F = c$ ⇔ raiz de $F - c$; translação não muda o grau.
• Massa-mola acoplado: com $\kappa = k/m$, $\omega^4 - 4\kappa\omega^2 + 3\kappa^2 = 0$, $\omega^2 = \kappa$ ou $3\kappa$; a resposta é $\omega$, não $\omega^2$.