Poliedros

Guia de estudo · Revisado em 03/10/2026

Uma bola de futebol tem 32 gomos, um cristal de granada tem 30 arestas e 20 vértices, um vírus tem casca de 20 triângulos: quantas costuras, quantas faces, quantos cantos cada um tem? Como contar os elementos de um sólido sem desenhá-lo, e por que só existem cinco poliedros regulares?

O que você vai aprender

Definir poliedro (sólido fechado por polígonos planos), nomear faces, arestas e vértices, distinguir poliedros de corpos redondos, decidir se um poliedro é convexo e nomeá-lo pelo número de faces (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro).
Deduzir, para um prisma e para uma pirâmide de base com n lados, as contagens V = 2n, A = 3n, F = n + 2 e V = n + 1, A = 2n, F = n + 1, e usá-las de trás para a frente para descobrir n.
Contar arestas pela soma dos lados de todas as faces dividida por 2 e pela soma dos graus dos vértices dividida por 2, e usar a paridade dessas somas para julgar se uma descrição de poliedro é possível.
Aplicar a relação de Euler V − A + F = 2 para achar o elemento que falta, verificar uma contagem e julgar itens, sabendo que ela vale para todo poliedro convexo (e para os não convexos sem furo) e falha num sólido com túnel.
Calcular a soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo por S = (V − 2) · 360° e a quantidade de diagonais de um poliedro pela contagem combinatória (pares de vértices menos arestas menos diagonais de faces).
Listar os cinco poliedros de Platão com faces, arestas, vértices e faces por vértice, justificar por que não existe um sexto (a soma dos ângulos num vértice precisa ficar abaixo de 360°) e reconhecer os pares duais (cubo–octaedro, dodecaedro–icosaedro, tetraedro consigo mesmo).
Contar os elementos de sólidos truncados (bola de futebol, cubo e octaedro truncados) e ler figuras de poliedros compostos ou recortados, como o cubo com octaedro do PAS 1 de 2009 e o cubo entalhado de Escher do PAS 1 de 2022, decidindo o que a figura garante e o que o texto do item afirma.

Em 2022, o PAS 1 pendurou cinco itens numa xilogravura de Escher, Metamorphosis I, em que fileiras de cubos em perspectiva viram casas. A figura II recortava, dessa gravura, um cubo de lado $\ell$ do qual se tirou um cubo menor, de lado $\ell/2$ , num dos cantos, e o item 99 afirmava: “o poliedro destacado na figura II é convexo, portanto, caso se defina $V$ como o número de vértices, $A$ como o número de áreas e $F$ como o número de faces desse poliedro, o teorema de Euler imporá que $V - A + F = 2$ ”. Em 2017, o ENEM havia descrito um cristal de granada como “um poliedro com 30 arestas e 20 vértices” e perguntado quantas faces o modelo do mineralogista teria. Os dois itens vivem da mesma ideia: num sólido fechado por polígonos, os números de vértices, arestas e faces não são independentes. Dados dois, o terceiro vem de uma conta de uma linha; e o item de Escher, lido com cuidado, erra duas vezes no caminho, porque um cubo com um canto arrancado não é convexo e porque $A$ conta arestas, não áreas.

Esta página é sobre esses números. O que é um poliedro e o que não é; como contar vértices, arestas e faces de prismas e pirâmides em função do número de lados da base; por que somar os lados de todas as faces conta cada aresta duas vezes; a relação de Euler, $V - A + F = 2$ , com o que ela garante e onde ela falha; por que só existem cinco poliedros regulares; o que a dualidade entre o cubo e o octaedro tem a ver com um bloco inteiro do PAS 1 de 2009; como contar os gomos, as costuras e os cantos de uma bola de futebol; e quantas diagonais atravessam um sólido. As seções, as planificações e as áreas das superfícies ficam em Geometria espacial, e os volumes, em Volume de prismas e cilindros e Volume de pirâmides e cones; aqui, o assunto é a estrutura.

Um sólido feito só de polígonos

Uma caixa de sapato, uma pirâmide do Egito, um dado de vinte faces e um cristal de pirita têm algo em comum que uma bola, uma lata e um cone não têm: a superfície inteira é feita de pedaços planos com contorno poligonal. Cada pedaço plano é uma face; o segmento em que duas faces se encontram é uma aresta; o ponto em que três ou mais arestas se encontram é um vértice. Essa é a estrutura de todo poliedro, e a geometria desta página é a geometria dessas três listas.

Poliedro, elementos e convexidade

Um poliedro é um sólido limitado por um número finito de polígonos planos, as faces, de modo que cada lado de uma face é lado de exatamente uma outra face. Os lados das faces são as arestas do poliedro; os vértices das faces, os vértices do poliedro. Em cada aresta se encontram duas faces, e em cada vértice se encontram pelo menos três faces (e três arestas).

Um poliedro é convexo quando, tomados dois pontos quaisquer dele, o segmento que os une fica inteiro dentro do sólido; de modo equivalente, o plano de cada face deixa o poliedro todo de um mesmo lado. Um canto arrancado, uma reentrância ou um túnel tornam o poliedro não convexo.

Os nomes vêm do número de faces, em grego: tetraedro (4), pentaedro (5), hexaedro (6; o cubo é um hexaedro), heptaedro (7), octaedro (8), decaedro (10), dodecaedro (12), icosaedro (20). O nome diz quantas faces há, não que forma elas têm: uma pirâmide de base pentagonal e um prisma de base quadrada são ambos hexaedros.

Cilindro, cone e esfera não são poliedros: têm superfície curva, e a base circular de um cilindro não é um polígono. Um prisma de base com cem lados parece um cilindro de longe e continua sendo poliedro, com cem faces laterais retangulares. A fronteira entre as duas famílias não está na aparência; está na pergunta “a superfície é toda feita de polígonos planos?”.

Três sólidos em perspectiva. À esquerda, um prisma de base pentagonal com uma face, uma aresta e um vértice apontados por setas e nomeados. No centro, um cubo com um cubo menor retirado de um canto superior, com um segmento ligando dois pontos das paredes do entalhe que passa pelo espaço vazio, fora do sólido, indicando que o poliedro não é convexo. À direita, um bloco em forma de moldura quadrada, com um furo quadrado no meio, com os números dezesseis vértices, trinta e duas arestas e dezesseis faces, e a conta V menos A mais F igual a zero. — Face, aresta e vértice num prisma; um cubo entalhado, que não é convexo porque um segmento entre dois pontos do sólido pode sair dele; e uma moldura com furo, em que a relação de Euler dá 0, não 2. Diagrama autoral.

O cubo entalhado de Escher ilustra a convexidade pelo avesso. Tome um ponto na parede esquerda do entalhe e outro na parede direita: o segmento que os liga atravessa o espaço vazio de onde o cubinho foi retirado, e portanto sai do sólido. Basta um par de pontos assim para o poliedro não ser convexo, e foi por isso que a afirmação “é convexo” do item 99 já nascia falsa. Repare que a figura em perspectiva engana: o entalhe parece um cubinho apoiado no canto, e é preciso ler o texto (“recorte de um cubo menor”) para saber que ele é um buraco.

Vértice de figura não é vértice de poliedro

Numa figura em perspectiva, há pontos onde linhas se cruzam no papel sem que nada se encontre no espaço: a aresta da frente passa por cima da aresta de trás e o cruzamento no desenho não é vértice de nada. E uma diagonal traçada numa face, como as de um cubo de Escher, não vira aresta, porque não separa duas faces do sólido. Conte vértices e arestas pela estrutura (onde faces se encontram), nunca pelas linhas do desenho. Na prova, a contagem segura é a que se faz sem olhar para a figura: pelos nomes dos sólidos e pelas relações desta página.

Prismas e pirâmides: contar em função de n

As duas famílias mais frequentes nas provas são os prismas e as pirâmides, e nelas a contagem sai de uma única variável: o número $n$ de lados da base. Em vez de decorar que o prisma hexagonal tem 18 arestas, vale deduzir, porque a dedução serve para qualquer $n$ e funciona de trás para a frente, quando o item dá a contagem e esconde a base.

Num prisma de base com $n$ lados há duas bases iguais e $n$ faces laterais, uma para cada lado da base. Vértices: $n$ na base de baixo e $n$ na de cima, $V = 2n$ . Arestas: $n$ na base de baixo, $n$ na de cima e $n$ verticais ligando vértices correspondentes, $A = 3n$ . Faces: $F = n + 2$ .

Numa pirâmide de base com $n$ lados há a base e $n$ faces triangulares que se encontram no vértice de cima (o ápice). Vértices: os $n$ da base mais o ápice, $V = n + 1$ . Arestas: $n$ na base e $n$ laterais subindo ao ápice, $A = 2n$ . Faces: $F = n + 1$ .

As contagens das duas famílias

sólido	$V$	$A$	$F$	$V - A + F$
prisma de base com $n$ lados	$2n$	$3n$	$n + 2$	$2n - 3n + n + 2 = 2$
pirâmide de base com $n$ lados	$n + 1$	$2n$	$n + 1$	$n + 1 - 2n + n + 1 = 2$

As fórmulas não dependem das medidas: um prisma reto e um prisma oblíquo de mesma base têm a mesma contagem, e um paralelepípedo torto tem os 8 vértices, as 12 arestas e as 6 faces do cubo. A última coluna já anuncia a relação de Euler, que a próxima seção generaliza.

Um prisma reto de base pentagonal e uma pirâmide de base quadrada em perspectiva, com arestas ocultas tracejadas. Sob o prisma: V igual a 10, A igual a 15, F igual a 7, e 10 menos 15 mais 7 igual a 2. Sob a pirâmide: V igual a 5, A igual a 8, F igual a 5, e 5 menos 8 mais 5 igual a 2. Ao lado, as fórmulas gerais V igual a 2n, A igual a 3n, F igual a n mais 2 para o prisma e V igual a n mais 1, A igual a 2n, F igual a n mais 1 para a pirâmide. — As contagens de um prisma e de uma pirâmide saem do número n de lados da base. Nas duas famílias, V − A + F dá 2 para todo n. Diagrama autoral.

Exemplo resolvido 1: descobrir a base pela contagem. Um prisma tem 24 arestas. Quantas faces ele tem? E uma pirâmide com 24 arestas, quantos vértices?

Estratégia: nas duas famílias, a contagem é função de $n$ ; iguale a fórmula ao dado e resolva para $n$ .

Resolução: prisma, $3n = 24$ , $n = 8$ : base octogonal, $F = 8 + 2 = 10$ faces (e $V = 16$ ). Pirâmide, $2n = 24$ , $n = 12$ : base com 12 lados, $V = 12 + 1 = 13$ vértices (e $F = 13$ ).

Conferência: prisma, $16 - 24 + 10 = 2$ ; pirâmide, $13 - 24 + 13 = 2$ . Um prisma com 25 arestas não existe (25 não é múltiplo de 3), nem uma pirâmide com 25 (não é par): o item que afirmar um deles está errado antes de qualquer conta.

Duas variações aparecem com frequência. O tronco de pirâmide (a pirâmide sem a ponta, cortada por um plano paralelo à base) tem a mesma contagem do prisma, $V = 2n$ , $A = 3n$ , $F = n + 2$ , porque a estrutura é a mesma: duas bases com $n$ lados e $n$ faces laterais, só que trapezoidais. E a bipirâmide (duas pirâmides coladas pela base, como o octaedro, que é a bipirâmide de base quadrada) tem $V = n + 2$ , $A = 3n$ , $F = 2n$ : a base desaparece como face e vira um polígono interno.

Cada aresta é contada duas vezes

Quando o sólido não é prisma nem pirâmide, a contagem de arestas tem um atalho que vale para qualquer poliedro: somar os lados de todas as faces. Um tetraedro truncado (um tetraedro com os quatro cantos cortados) tem 4 faces triangulares e 4 hexagonais. Somando lados, $4 \times 3 + 4 \times 6 = 36$ . Mas uma aresta é, por definição, o lado comum a duas faces: na soma anterior, cada aresta apareceu duas vezes, uma vez em cada face que a contém. Logo há $36 \div 2 = 18$ arestas.

Contagem pelas faces e contagem pelos vértices

Pelas faces: se o poliedro tem $F_3$ faces triangulares, $F_4$ quadrangulares, $F_5$ pentagonais e assim por diante,

2A = 3F_3 + 4F_4 + 5F_5 + \cdots

Essa soma, feita lado a lado por todas as faces, é sempre par, porque é o dobro do número de arestas.

Pelos vértices: o grau de um vértice é o número de arestas que chegam a ele (igual ao número de faces que se encontram ali). Como cada aresta tem duas pontas, a soma dos graus de todos os vértices também é $2A$ . Se todos os vértices têm o mesmo grau $g$ , então $gV = 2A$ .

Na bola de futebol, em cada costura se encontram dois gomos, e em cada canto, três gomos: as duas contagens são a mesma ideia vista de dois lados.

A paridade é um critério de existência que a banca gosta de testar. O ITA perguntou, em 2024, se existe um poliedro “formado por 3 faces triangulares e as demais faces quadrangulares”. Não existe: a soma dos lados seria $9 + 4F_4$ , um número ímpar, e a soma dos lados é sempre $2A$ . Nenhuma relação de Euler foi necessária; a dupla contagem sozinha derruba a afirmação. O mesmo teste diz que um poliedro só com faces triangulares tem número par de faces (porque $3F = 2A$ obriga $F$ a ser par): o tetraedro tem 4, o octaedro 8, o icosaedro 20, e não há poliedro de 7 triângulos.

A contagem pelos vértices exige um cuidado: só se usa um grau único quando todos os vértices são iguais. Numa pirâmide de base quadrada, o ápice tem grau 4 e cada vértice da base tem grau 3; a soma dos graus é $4 + 4 \times 3 = 16 = 2 \times 8$ arestas, e quem usasse “grau 4 para todos” acharia 10 arestas, que a pirâmide não tem. Nos poliedros regulares e nos sólidos de cantos iguais (bola de futebol, cubo truncado), o grau único funciona; nos outros, some vértice a vértice.

A relação de Euler: três números amarrados

Conte os três números em alguns poliedros que você já conhece. Cubo: $V = 8$ , $A = 12$ , $F = 6$ ; $8 - 12 + 6 = 2$ . Tetraedro: $4 - 6 + 4 = 2$ . Prisma triangular: $6 - 9 + 5 = 2$ . Pirâmide de base hexagonal: $7 - 12 + 7 = 2$ . Tetraedro truncado, da seção anterior: $V = 12$ (cada um dos 4 cantos cortados virou 3 vértices), $A = 18$ , $F = 8$ ; $12 - 18 + 8 = 2$ . O resultado não muda, e não é coincidência.

Relação de Euler

Para todo poliedro convexo (e, mais geralmente, para todo poliedro sem furos, cuja superfície possa ser deformada numa esfera),

V - A + F = 2,

em que $V$ é o número de vértices, $A$ o de arestas e $F$ o de faces. A mesma relação se escreve $V + F = A + 2$ . Dados dois dos três números, o terceiro está determinado: $A = V + F - 2$ , $V = A - F + 2$ , $F = A - V + 2$ .

Leonhard Euler comunicou a relação numa carta a Goldbach em 1750 e a publicou em 1758; um manuscrito de Descartes, de cerca de 1630 e perdido por dois séculos, já continha um resultado equivalente. O lado esquerdo, $V - A + F$ , chama-se característica de Euler da superfície: vale 2 para a esfera e para tudo que se deforma nela, e vale 0 para uma superfície com um furo, como a de uma rosquinha.

Por que a relação vale? A ideia da demonstração cabe em três gestos e vale a pena conhecer, porque explica a condição de validade. Retire uma face do poliedro convexo e estique o que sobrou sobre o plano, como quem abre a superfície por um buraco: fica um mapa plano com os mesmos $V$ vértices, as mesmas $A$ arestas e $F - 1$ regiões, mais a região externa, que faz as vezes da face retirada. Nesse mapa, triangule cada região traçando diagonais: cada diagonal nova acrescenta uma aresta e uma região, e $V - A + F$ não muda. Depois, vá desmontando o mapa pela borda, triângulo a triângulo: ora se retira uma aresta e uma região (uma face que tinha um lado na borda), ora se retira um vértice, duas arestas e uma região (uma ponta), e nas duas operações $V - A + F$ continua o mesmo. No fim sobra um único triângulo, com $3 - 3 + 1 = 1$ , que, somado à face retirada no começo, dá 2. A deformação sobre o plano é o passo que exige um sólido sem furo; é ele que falha numa moldura.

Painel com quatro sólidos e suas contagens, cada um com a conta V menos A mais F escrita embaixo: tetraedro, 4 menos 6 mais 4 igual a 2; cubo, 8 menos 12 mais 6 igual a 2; octaedro, 6 menos 12 mais 8 igual a 2; tetraedro truncado, com 4 hexágonos e 4 triângulos, 12 menos 18 mais 8 igual a 2. À direita, a mesma conta como regra: dados dois dos números, o terceiro é determinado, com as três formas A igual a V mais F menos 2, V igual a A menos F mais 2 e F igual a A menos V mais 2. — Quatro poliedros diferentes, a mesma soma. A relação de Euler transforma a contagem de um sólido inteiro em uma equação de uma incógnita. Diagrama autoral.

A relação tem dois usos na prova. O primeiro é achar o que falta: a granada do ENEM, com 30 arestas e 20 vértices, tem $F = A - V + 2 = 30 - 20 + 2 = 12$ faces. Repare no que a relação diz e no que não diz: com 12 faces e 30 arestas, a soma dos lados é 60, cinco por face, e a estrutura é a de um dodecaedro de faces pentagonais (a pirita cristaliza assim, com pentágonos não regulares). A granada real costuma cristalizar como dodecaedro rômbico, 12 losangos com 24 arestas e 14 vértices, que também tem 12 faces e também obedece à relação ( $14 - 24 + 12 = 2$ ); Euler conta elementos, não decide a forma das faces. O segundo uso é julgar uma contagem: um item que afirme que certo poliedro convexo tem 10 vértices, 15 arestas e 8 faces está errado, porque $10 - 15 + 8 = 3$ . Combinada com a dupla contagem da seção anterior, a relação resolve itens em que só se conhecem os tipos de face.

Exemplo resolvido 2: do tipo das faces ao número de vértices. Um poliedro convexo tem 4 faces triangulares e 5 faces quadrangulares, e nenhuma outra. Quantos vértices ele tem?

Estratégia: as faces dão $F$ e, pela dupla contagem, $A$ ; Euler dá $V$ .

Resolução: $F = 4 + 5 = 9$ . Soma dos lados: $4 \times 3 + 5 \times 4 = 12 + 20 = 32$ ; $A = 32 \div 2 = 16$ . Euler: $V = A - F + 2 = 16 - 9 + 2 = 9$ vértices.

Conferência: $9 - 16 + 9 = 2$ , e a soma dos lados deu par, como tinha de dar. Um sólido assim existe: a casinha de brinquedo, um cubo com um telhado em pirâmide de base quadrada, tem 1 quadrado no chão, 4 retângulos nas paredes e 4 triângulos no telhado, com 4 vértices no chão, 4 no beiral e 1 na cumeeira. Mas a conta não precisou do exemplo: a relação garante o resultado para qualquer poliedro convexo com essas faces, e é essa a sua força na prova.

A soma dos ângulos de todas as faces

Há uma consequência da relação de Euler que a banca pode cobrar como item de limiar: a soma de todos os ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo. Cada face com $n_i$ lados contribui com $(n_i - 2) \times 180°$ , como todo polígono convexo (a dedução está em Ângulos e polígonos). Somando sobre as $F$ faces, $\sum (n_i - 2) \times 180° = (\sum n_i - 2F) \times 180°$ . Mas $\sum n_i = 2A$ (cada aresta é lado de duas faces), e então a soma é $(2A - 2F) \times 180° = (A - F) \times 360°$ . Pela relação de Euler, $A - F = V - 2$ :

S = (V - 2) \times 360°.

No cubo, $S = 6 \times 360° = 2\,160°$ , e de fato são 6 faces quadradas com $360°$ cada. No icosaedro, 20 triângulos somam $20 \times 180° = 3\,600° = (12 - 2) \times 360°$ . A fórmula depende só de $V$ , e vale para qualquer poliedro convexo, regular ou não.

Euler não é certificado de existência

A relação é uma condição necessária: todo poliedro convexo a satisfaz, mas nem toda tripla que a satisfaz é um poliedro. O ITA de 2024 propôs “um poliedro convexo com 7 vértices, 16 arestas e 11 faces”: $7 - 16 + 11 = 2$ , a relação fecha, e mesmo assim o sólido não existe. O motivo é outra desigualdade: cada face tem pelo menos 3 lados, então $2A \geq 3F$ , ou seja, $32 \geq 33$ , falso. Do mesmo modo, cada vértice tem grau pelo menos 3, então $2A \geq 3V$ . Diante de uma tripla, verifique as três coisas: Euler, $2A \geq 3F$ e $2A \geq 3V$ . Se o item afirmar, além dos números, uma forma precisa (regular, com tais faces), a relação não confirma a forma; ela só confere a contagem.

Onde a relação falha, e onde não falha

A condição “convexo” é suficiente, não necessária. O cubo entalhado de Escher não é convexo e, ainda assim, obedece à relação: seus vértices são os 8 do cubo original menos o canto arrancado, mais 7 novos (3 nas arestas, 3 nas faces, 1 no fundo do entalhe), $V = 14$ ; suas faces são as 6 do cubo (três delas viraram hexágonos em L) mais as 3 paredes do entalhe, $F = 9$ ; e as arestas, pela dupla contagem, $(3 \times 6 + 6 \times 4) \div 2 = 42 \div 2 = 21$ . Então $14 - 21 + 9 = 2$ . Um entalhe num canto não muda a característica, porque a superfície continua deformável numa esfera e todas as faces continuam polígonos comuns (as três faces em L são hexágonos, sem furo).

Há dois jeitos de a relação falhar, e a prova já usou um deles. O primeiro é uma face com furo. O ENEM PPL de 2019 mostrou um bloco retangular com uma cavidade retangular aberta no meio da face de cima e perguntou qual relação valia ali. A face de cima virou uma moldura, um retângulo com um buraco retangular no meio, que não é um polígono comum. Contando: $V = 16$ (8 do bloco, 4 na boca da cavidade, 4 no fundo), $A = 24$ (12 do bloco, 4 na boca, 4 verticais na cavidade, 4 no fundo) e $F = 11$ (6 do bloco, contando a moldura como uma face, mais 4 paredes e o fundo da cavidade); $16 - 24 + 11 = 3$ , e a resposta do item era $V + F = A + 3$ . Basta traçar uma aresta extra ligando a borda externa à borda interna da moldura, cortando-a num polígono comum, para $A$ passar a 25 e a soma voltar a 2: o que faltava era a face em forma de anel, não a convexidade.

O segundo é o túnel. Uma moldura de quadro feita de quatro barras (um bloco atravessado de lado a lado por um furo quadrado, com a face de cima e a de baixo divididas em quatro trapézios) tem $V = 16$ , $A = 32$ , $F = 16$ : $16 - 32 + 16 = 0$ . A superfície de uma moldura é a de uma rosquinha, e a relação de Euler, para ela, dá zero, não 2. Esse contraexemplo vem sempre com a palavra “túnel”, “furo” ou “atravessa”.

Só existem cinco poliedros regulares

Chama-se regular o poliedro que satisfaz duas exigências ao mesmo tempo: as faces são, todas, cópias de um mesmo polígono regular, e cada vértice reúne a mesma quantidade de faces. As duas condições são necessárias: um poliedro feito só de triângulos equiláteros iguais pode ter vértices de grau 3 e vértices de grau 4 (a bipirâmide triangular, com 6 faces, é assim) e não é regular. Com as duas condições, sobram exatamente cinco sólidos, conhecidos desde a Antiguidade: Teeteto os estudou no século IV a.C., Platão os associou aos elementos no Timeu, e o livro XIII dos Elementos de Euclides demonstra que não há um sexto.

Os sólidos de Platão

sólido	faces	$F$	$V$	$A$	faces por vértice	ângulos num vértice
tetraedro	triângulos	4	4	6	3	$3 \times 60° = 180°$
hexaedro (cubo)	quadrados	6	8	12	3	$3 \times 90° = 270°$
octaedro	triângulos	8	6	12	4	$4 \times 60° = 240°$
dodecaedro	pentágonos	12	20	30	3	$3 \times 108° = 324°$
icosaedro	triângulos	20	12	30	5	$5 \times 60° = 300°$

Em todos, $V - A + F = 2$ . No Timeu, Platão associou o tetraedro ao fogo, o cubo à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao universo, exatamente a associação que o texto-base do PAS 1 de 2009 reproduziu.

Os cinco poliedros regulares em perspectiva, com arestas ocultas tracejadas, da esquerda para a direita: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Sob cada um, o número de faces, vértices e arestas: 4, 4, 6; 6, 8, 12; 8, 6, 12; 12, 20, 30; 20, 12, 30; e o número de faces em cada vértice: 3, 3, 4, 3, 5. — Os cinco sólidos de Platão. Dois pares têm os números de faces e de vértices trocados (cubo e octaedro; dodecaedro e icosaedro), e o tetraedro tem os dois iguais: é o prenúncio da dualidade. Diagrama autoral.

Por que não há um sexto? O argumento usa um fato sobre os cantos de um sólido convexo: os ângulos das faces que se encontram num vértice somam menos de 360°. Se somassem exatamente 360°, as faces ficariam planas em torno do vértice, como ladrilhos num piso, e não haveria canto; se somassem mais, as faces não caberiam. Num poliedro regular, as faces são iguais e há pelo menos três em cada vértice; é só testar os polígonos regulares um a um.

Triângulos equiláteros (60° cada): 3 por vértice somam 180°, 4 somam 240°, 5 somam 300°, todas abaixo de 360°; 6 somariam 360° e fechariam o plano (a malha de triângulos). Três possibilidades: tetraedro, octaedro, icosaedro.
Quadrados (90° cada): 3 por vértice somam 270°; 4 somariam 360° (o piso de azulejos). Uma possibilidade: o cubo.
Pentágonos regulares (108° cada): 3 por vértice somam 324°; 4 somariam 432°, impossível. Uma possibilidade: o dodecaedro.
Hexágonos regulares (120° cada): 3 por vértice já somam 360°, a colmeia plana; não fecham sólido nenhum. Polígonos com mais lados têm ângulos ainda maiores e também não servem.

São cinco casos, e cada um corresponde a um sólido que de fato existe. A mesma conta dos ângulos no vértice explica, do outro lado, por que só três polígonos regulares ladrilham o plano; a página de ângulos e polígonos faz essa versão plana.

Os cinco sólidos entre os seis planetas

Em 1596, Johannes Kepler publicou o Mysterium Cosmographicum, em que explicava as distâncias dos seis planetas então conhecidos encaixando os cinco sólidos regulares um dentro do outro, cada um inscrito na esfera de um planeta e circunscrito à do planeta seguinte: entre Saturno e Júpiter, o cubo; entre Júpiter e Marte, o tetraedro; e assim até Mercúrio. O modelo não resistiu às medidas de Tycho Brahe, e o próprio Kepler o abandonou ao descobrir as órbitas elípticas, mas a pergunta por trás dele (por que seis planetas e cinco sólidos?) foi o que o pôs a trabalhar. O texto-base do PAS 1 de 2009 cita essa teoria antes de apresentar o seu poliedro.

Dualidade: o cubo e o octaedro trocam de lugar

Na tabela dos sólidos de Platão, o cubo tem 6 faces e 8 vértices; o octaedro, 8 faces e 6 vértices; os dois têm 12 arestas. O dodecaedro tem 12 faces e 20 vértices; o icosaedro, 20 faces e 12 vértices; os dois têm 30 arestas. Não é acaso: marque o centro de cada face de um cubo e ligue os centros das faces vizinhas. Os seis centros são os vértices de um octaedro, com uma aresta para cada par de faces vizinhas do cubo, isto é, para cada aresta do cubo. Faça o mesmo com o octaedro: os centros das 8 faces são os vértices de um cubo. Os dois sólidos são duais: faces de um correspondem a vértices do outro, e arestas a arestas. Dodecaedro e icosaedro formam o outro par dual, e o tetraedro é dual de si mesmo (os centros das 4 faces de um tetraedro formam outro tetraedro, menor e de cabeça para baixo).

À esquerda, um cubo em perspectiva com um octaedro desenhado dentro, cujos seis vértices são os centros das seis faces do cubo, e a legenda: 6 faces do cubo, 6 vértices do octaedro; 12 arestas em cada um. À direita, o poliedro do PAS 1 de 2009: um cubo e um octaedro do mesmo centro, com as arestas de um cruzando as do outro nos pontos médios; os oito cantos do cubo sobressaem do octaedro como pequenos tetraedros e os seis vértices do octaedro sobressaem do cubo como pirâmides de base quadrada; a parte comum, no meio, é um cuboctaedro de 8 triângulos e 6 quadrados. Legenda com as contagens do sólido inteiro: 26 vértices, 72 arestas, 48 faces, e 26 menos 72 mais 48 igual a 2. — À esquerda, a dualidade: o octaedro mora dentro do cubo, com um vértice no centro de cada face. À direita, o cubo e o octaedro no mesmo tamanho, com as arestas se cruzando ao meio: o sólido do bloco de 2009 do PAS 1. Diagrama autoral.

A dualidade vira figura de prova quando os dois sólidos são postos no mesmo centro e no mesmo tamanho, de modo que as arestas de um cruzem as do outro nos pontos médios. Foi exatamente o sólido do PAS 1 de 2009. Vale entender a sua anatomia, porque é um exercício completo de contagem num poliedro não convexo.

Pense no cubo de aresta $a$ e no octaedro cujos vértices estão sobre os eixos que atravessam os centros das faces do cubo, a uma distância $a$ do centro. A aresta do octaedro liga dois vértices vizinhos, como $(a, 0, 0)$ e $(0, a, 0)$ , e passa pelo ponto $(a/2, a/2, 0)$ , que é o ponto médio de uma aresta vertical do cubo: as arestas se cruzam ao meio, como o enunciado pedia. A aresta do octaedro mede, por Pitágoras, $a\sqrt{2}$ , irracional sempre que $a$ é inteiro, e esse era o item 79, certo.

Agora as peças. Cada um dos 8 cantos do cubo fica fora do octaedro: é um tetraedro pequeno, cortado do canto por um plano que passa pelos pontos médios das três arestas que saem daquele vértice. Esse tetraedro tem três faces que são triângulos retângulos isósceles (pedaços das faces do cubo, com o ângulo reto no canto) e uma face que é um triângulo equilátero (o pedaço da face do octaedro que o cortou, de lado $a\sqrt{2}/2$ ). Não é um tetraedro regular, e são 8, não 12: o item 77, que afirmava “doze tetraedros regulares”, estava errado. Cada um dos 6 vértices do octaedro fica fora do cubo: é uma pirâmide de base quadrada, com a base apoiada numa face do cubo (os quatro vértices da base são os pontos médios dos quatro lados dessa face) e quatro faces laterais que são triângulos equiláteros, pedaços das faces do octaedro. O ápice dessa pirâmide é o vértice do octaedro, que está sobre a reta perpendicular à face do cubo pelo centro dela, reta paralela às quatro arestas do cubo perpendiculares a essa face; o item 76 afirmava isso e estava certo. Por fim, a parte comum ao cubo e ao octaedro é um cuboctaedro: 8 triângulos equiláteros (um para cada canto do cubo) e 6 quadrados (um para cada face do cubo), 12 vértices (os 12 pontos de cruzamento das arestas) e 24 arestas.

A superfície do sólido inteiro é feita das faces visíveis das peças: $8 \times 3 = 24$ triângulos retângulos isósceles e $6 \times 4 = 24$ triângulos equiláteros, exatamente o que o item 78 afirmava, certo. Faces, $F = 48$ . Vértices: os 8 do cubo, os 6 do octaedro e os 12 cruzamentos, $V = 26$ . Arestas pela dupla contagem: $48 \times 3 \div 2 = 72$ (ou diretamente: cada aresta do cubo e do octaedro foi partida ao meio, $24 + 24$ , mais as 24 arestas do cuboctaedro, onde face de cubo encontra face de octaedro). E $26 - 72 + 48 = 2$ : a relação de Euler vale, apesar de o sólido ser estrelado e não convexo, porque não tem furo. Os 14 vértices que sobressaem (8 do cubo e 6 do octaedro) são os vértices de um dodecaedro rômbico, o mesmo sólido da granada: ligando-os, o poliedro de 2009 fica embrulhado num cristal.

Truncar: cortar cantos e contar de novo

Truncar um poliedro é cortar cada vértice por um plano, retirando uma pequena pirâmide. Os sólidos que resultam são os que aparecem em bolas, luminárias, troféus e moléculas, e a prova gosta deles porque a contagem exige raciocínio em vez de memória. A regra é uma só: ao cortar um vértice de grau $g$ , ele some e no lugar dele aparecem $g$ vértices novos, uma face nova com $g$ lados e $g$ arestas novas; as faces antigas ganham um lado a mais para cada canto cortado, mas continuam sendo as mesmas faces. Se os cortes não se encontram (cada um tira menos da metade de cada aresta), vale:

V' = gV \ \text{(se todos os vértices têm grau } g\text{)}, \qquad A' = A + gV, \qquad F' = F + V.

Como a soma dos graus de todos os vértices é $2A$ , as duas primeiras valem mesmo com graus diferentes na forma $V' = 2A$ e $A' = 3A$ : o sólido truncado tem o triplo das arestas do original.

Dois painéis. À esquerda, um cubo em perspectiva com um dos cantos cortado por um plano, mostrando o triângulo equilátero que aparece no lugar do vértice; abaixo, o cubo com os oito cantos cortados, o cubo truncado, com 6 octógonos e 8 triângulos, e as contagens V igual a 24, A igual a 36, F igual a 14. À direita, um icosaedro e, ao lado, o icosaedro truncado em projeção, com um pentágono central cercado por cinco hexágonos, a bola de futebol, com as contagens 12 pentágonos mais 20 hexágonos, V igual a 60, A igual a 90, F igual a 32. — Truncar troca cada vértice por uma face nova. O cubo truncado e o icosaedro truncado (a bola de futebol) saem da mesma regra, e nos dois a relação de Euler fecha em 2. Diagrama autoral.

O cubo truncado, do troféu do ENEM de 2015, mantém as 6 faces do cubo, agora octógonos, e ganha 8 triângulos, um por canto: $F = 6 + 8 = 14$ faces (14 cores, no item). Vértices: cada um dos 8 cantos, de grau 3, vira 3 vértices, $V = 24$ . Arestas: as 12 do cubo, encurtadas, mais $8 \times 3 = 24$ novas, $A = 36$ . Euler: $24 - 36 + 14 = 2$ . O tetraedro truncado da luminária do ENEM de 2019 tem 4 hexágonos (as faces originais, com os três cantos cortados) e 4 triângulos: $V = 12$ , $A = 18$ , $F = 8$ . O octaedro truncado do ENEM PPL de 2024 tem 8 hexágonos e 6 quadrados (os vértices do octaedro têm grau 4, e cada um vira um quadrado): $V = 6 \times 4 = 24$ , $A = 12 + 24 = 36$ , $F = 14$ .

E a bola de futebol. O icosaedro tem 12 vértices de grau 5, 30 arestas e 20 triângulos. Cortando os 12 cantos, cada um vira um pentágono (12 pentágonos, os gomos pretos da bola clássica) e cada triângulo, com os três cantos cortados, vira um hexágono (20 hexágonos, os gomos brancos). Faces: $12 + 20 = 32$ gomos. Vértices: $12 \times 5 = 60$ . Arestas: $30 + 60 = 90$ costuras. Conferência por outro caminho: cada um dos 60 cantos da bola reúne exatamente três gomos (um pentágono e dois hexágonos), de modo que a soma dos graus dos vértices é $60 \times 3 = 180 = 2 \times 90$ ; e $60 - 90 + 32 = 2$ . Esse sólido se chama icosaedro truncado, e a bola de 32 gomos, lançada como modelo oficial na Copa de 1970, é a sua versão costurada e inflada.

A bola, a molécula e a cúpula

O mesmo icosaedro truncado reapareceu em 1985 na química: a molécula $\text{C}_{60}$ , descoberta por Kroto, Curl e Smalley (Nobel de Química de 1996), tem 60 átomos de carbono nos 60 vértices e 90 ligações nas 90 arestas de uma bola de futebol com menos de um nanômetro de diâmetro; o nome fulereno homenageia Buckminster Fuller, o arquiteto que popularizou nos anos 1950 as cúpulas geodésicas, estruturas que nascem de um icosaedro cujas faces são subdivididas em triângulos menores projetados sobre uma esfera. E a lista de obras do PAS traz um terceiro parente: o capsídeo icosaédrico de vírus como o adenovírus, uma casca de proteínas repetidas sobre as 20 faces de um icosaedro, solução que a natureza encontrou para fechar um volume com o mínimo de peças diferentes. Nos três casos, a contagem é a desta página: 20 faces, 30 arestas, 12 vértices, cinco faces em cada vértice.

Quando os cortes vão até o meio das arestas, os planos de cantos vizinhos se encontram, as arestas originais desaparecem e a regra muda: o cubo cortado pelos pontos médios é o cuboctaedro (8 triângulos, 6 quadrados, 12 vértices, 24 arestas), não o cubo truncado. O item costuma dizer “arestas menores do que metade da aresta do cubo” (ENEM 2015) ou “não há interseção entre duas dessas secções” (ENEM PPL 2024) exatamente para fixar o caso em que a regra simples vale. Leia essa frase: ela é a hipótese.

Diagonais: quantas retas atravessam o sólido

Uma diagonal de um poliedro é um segmento que liga dois vértices e não está contido em nenhuma face: nem aresta, nem diagonal de face, mas uma reta que atravessa o interior. A contagem é combinatória, e o raciocínio é o mesmo das diagonais de um polígono, com uma parcela a mais.

Diagonais de um poliedro

Há $\binom{V}{2} = \dfrac{V(V - 1)}{2}$ pares de vértices. Desses segmentos, $A$ são arestas e alguns são diagonais de faces; o resto atravessa o sólido:

D = \binom{V}{2} - A - (\text{diagonais das faces}).

Uma face triangular não tem diagonal; uma quadrangular tem 2; uma pentagonal, 5; uma com $n$ lados, $\dfrac{n(n - 3)}{2}$ . A conta dos pares está em Análise combinatória.

No cubo: $\binom{8}{2} = 28$ pares; 12 arestas; 6 faces quadradas com 2 diagonais cada, 12 diagonais de face; sobram $28 - 12 - 12 = 4$ diagonais, as quatro que ligam vértices opostos passando pelo centro (a medida delas, $a\sqrt{3}$ , está em Geometria espacial). No octaedro: $\binom{6}{2} = 15$ pares, 12 arestas, faces triangulares sem diagonal; $15 - 12 = 3$ diagonais, os três eixos. No tetraedro: $6 - 6 = 0$ . Numa pirâmide qualquer, o número de diagonais é zero, porque todo par de vértices da base está ligado por uma aresta ou por uma diagonal da base, e o ápice está ligado a todos por arestas. Num prisma de base hexagonal: $\binom{12}{2} = 66$ pares, 18 arestas, duas bases hexagonais com 9 diagonais cada e 6 faces laterais retangulares com 2 cada, $18 + 12 = 30$ diagonais de face; $D = 66 - 18 - 30 = 18$ . Há um atalho para prismas: cada vértice da base de baixo vê, na base de cima, $n - 3$ vértices que não estão na mesma face lateral, logo $D = n(n - 3)$ ; para $n = 6$ , 18.

Um cubo em perspectiva com os oito vértices marcados. As doze arestas em traço contínuo, as doze diagonais das faces em traço fino cinza, e as quatro diagonais do cubo, que ligam vértices opostos passando pelo centro, em traço colorido grosso. Ao lado, a conta: 28 pares de vértices, menos 12 arestas, menos 12 diagonais de faces, igual a 4 diagonais. Abaixo, um prisma hexagonal com uma diagonal destacada de um vértice da base de baixo a um vértice não vizinho da base de cima e a fórmula D igual a n vezes n menos 3, igual a 18. — Das 28 retas que ligam pares de vértices do cubo, 12 são arestas, 12 são diagonais de faces e só 4 atravessam o interior. No prisma hexagonal, 18. Diagrama autoral.

Leia como na prova: Platão em 2009 e Escher em 2022

Os dois únicos blocos do PAS que cobraram poliedros vieram com figura, e vale ler os dois como a banca os escreveu. Nenhum item de poliedros apareceu no PAS 2 nem no PAS 3; os dois são do PAS 1 antigo, de quando a geometria espacial ainda estava na primeira etapa, e com o tema migrado para a segunda etapa eles são o melhor retrato do que pode voltar.

O bloco de 2009 (itens 76 a 79). O texto-base é o parágrafo do Timeu (fogo, tetraedro; terra, cubo; água, icosaedro; ar, octaedro; universo, dodecaedro) e a menção a Kepler; a figura é o cubo com o octaedro da seção de dualidade, “obtido a partir da interseção de um octaedro regular com um cubo, de modo que as arestas do octaedro e as do cubo se interceptem nos seus pontos médios, formando diversos tetraedros e pirâmides de bases quadradas”. A palavra “interseção” no texto-base se refere ao cruzamento das arestas; o “poliedro ilustrado” é o sólido inteiro, cubo e octaedro juntos. Os quatro itens exploram a anatomia: o ápice da pirâmide de base quadrada está na reta paralela às quatro arestas perpendiculares à face, pelo centro dela (76, certo); “doze tetraedros regulares” (77, errado: são oito, e não regulares); “24 faces que são triângulos retângulos isósceles e 24 faces que são triângulos equiláteros” (78, certo); aresta do cubo inteira obriga aresta do octaedro irracional, $a\sqrt{2}$ (79, certo). Nenhum dos quatro exige a figura depois que se entende como as peças se encaixam, e é por isso que a página desmontou o sólido peça por peça.

O item 99 de 2022. “O poliedro destacado na figura II é convexo, portanto, caso se defina $V$ como o número de vértices, $A$ como o número de áreas e $F$ como o número de faces desse poliedro, o teorema de Euler imporá que $V - A + F = 2$ .” Gabarito: errado. Há duas falhas no texto do item. O poliedro, um cubo com um cubo menor retirado de um canto, não é convexo, como a seção de convexidade mostrou; e $A$ no teorema é o número de arestas, não “o número de áreas”, que nem faz sentido como contagem. É um item de leitura: o estudante que sabe que a relação vale para o cubo entalhado (vale, $14 - 21 + 9 = 2$ ) ainda assim deve marcar errado, porque o que se julga é a afirmação inteira, com a premissa “é convexo” e com a definição trocada. Os outros itens do bloco (área da superfície do poliedro, item 97, e diagonal do cubo pequeno, item 100) estão em Geometria espacial.

"Portanto" não é prova

A banca gosta de encadear uma premissa falsa a uma conclusão verdadeira com um “portanto”, “logo” ou “assim”. A conclusão $V - A + F = 2$ pode até valer para o sólido da figura; a afirmação “é convexo, portanto vale” continua errada, porque a premissa é falsa e a conclusão não decorre dela. Julgue cada pedaço: a convexidade, a definição de cada letra, a relação. Uma afirmação composta só está certa se todas as partes estão.

Como a banca pergunta

Os itens de poliedros têm três moldes, e os três exigem a mesma competência: traduzir um sólido descrito em palavras numa contagem.

Contagem com dois dados e um escondido. “Um poliedro convexo com 30 arestas e 20 vértices” (ENEM 2017), “um poliedro convexo com 7 faces e 10 vértices”. Euler direto, resposta numérica ou item certo/errado com limiar.
Contagem pelos tipos de face. “12 faces pentagonais e 20 hexagonais” (ACAFE 2024), “5 quadrangulares, 2 hexagonais e 10 triangulares” (UniREDENTOR 2020), “todas as faces são triângulos equiláteros e há 8 vértices” (FUVEST 2021). Dupla contagem para achar $A$ , Euler para achar o resto.
Sólido construído por operação. “Cortes nos vértices de um cubo” (ENEM 2015), “truncamento de um octaedro” (ENEM PPL 2024), “cubo com recorte de um cubo menor” (PAS 1 2022), “cubo e octaedro cujas arestas se cruzam nos pontos médios” (PAS 1 2009). Aqui a figura ajuda, mas a contagem se faz pela regra do truncamento ou pela anatomia das peças.

E o molde de leitura: um item que mistura definição, hipótese e relação (“é convexo, portanto…”, “é regular, logo tem cinco faces por vértice”) e que se julga pedaço a pedaço.

Os erros que a banca planta

Contar lados em vez de arestas. 20 triângulos têm 60 lados, não 60 arestas; são 30 arestas, porque cada uma é lado de duas faces.
Grau único em vértices diferentes. Na pirâmide quadrangular, o ápice tem grau 4 e a base, grau 3; a soma dos graus é 16, não 20.
“Satisfaz Euler, logo existe.” $7 - 16 + 11 = 2$ e o sólido não existe ( $2A \geq 3F$ falha). Euler é necessário, não suficiente.
“Não é convexo, logo Euler falha.” O cubo entalhado e o bloco com cavidade obedecem à relação; só o furo que atravessa a muda (moldura: 0).
“É convexo” aceito sem olhar. Um canto arrancado basta para tirar a convexidade (PAS 1 2022).
$A$ como área. No teorema, $A$ são arestas (PAS 1 2022).
Tetraedro regular onde há tetraedro qualquer. Os cantos do cubo cortados pelos pontos médios são tetraedros com três ângulos retos num vértice, não regulares (PAS 1 2009).
Faces regulares e iguais, logo poliedro regular. Falta a condição dos vértices; a bipirâmide triangular é o contraexemplo.
Seis triângulos num vértice. Somariam 360° e ficariam planos; o máximo é cinco (icosaedro).
Truncar sem ler a hipótese. Se os cortes chegam ao meio das arestas, o resultado é outro sólido (cuboctaedro, não cubo truncado).
Diagonal de face contada como diagonal do sólido. No cubo são 4, não 16.
Aresta do octaedro “igual à do cubo”. Com as arestas cruzando ao meio, ela mede $a\sqrt{2}$ .

O essencial em meia página

Poliedro: sólido fechado por polígonos planos; faces, arestas (duas faces cada), vértices (três ou mais faces cada). Convexo: todo segmento entre dois pontos fica dentro. Nomes pelo número de faces (tetraedro 4, hexaedro 6, octaedro 8, dodecaedro 12, icosaedro 20).
Prisma de base com $n$ lados: $V = 2n$ , $A = 3n$ , $F = n + 2$ (tronco de pirâmide, igual). Pirâmide: $V = n + 1$ , $A = 2n$ , $F = n + 1$ . Bipirâmide: $V = n + 2$ , $A = 3n$ , $F = 2n$ .
Dupla contagem: $2A =$ soma dos lados de todas as faces $=$ soma dos graus dos vértices. A soma é sempre par.
Euler: $V - A + F = 2$ para todo poliedro convexo e para todo poliedro sem furo; moldura com túnel dá 0. Necessário, não suficiente: confira também $2A \geq 3F$ e $2A \geq 3V$ .
Ângulos das faces: $S = (V - 2) \times 360°$ .
Platão: tetraedro (4, 4, 6), cubo (6, 8, 12), octaedro (8, 6, 12), dodecaedro (12, 20, 30), icosaedro (20, 12, 30), na ordem $F$ , $V$ , $A$ . Só cinco, porque os ângulos num vértice somam menos de 360°.
Dualidade: cubo ↔ octaedro, dodecaedro ↔ icosaedro, tetraedro ↔ tetraedro; faces de um são vértices do outro, arestas iguais. Cubo e octaedro com arestas cruzando ao meio: 48 faces (24 + 24), 26 vértices, 72 arestas, aresta do octaedro $a\sqrt{2}$ .
Truncar (cortes que não se encontram): $F' = F + V$ , $V' = gV$ , $A' = A + gV$ . Cubo truncado 14/24/36; tetraedro truncado 8/12/18; octaedro truncado 14/24/36; bola de futebol 32/60/90 (12 pentágonos + 20 hexágonos).
Diagonais: $D = \binom{V}{2} - A -$ diagonais de faces. Cubo 4, octaedro 3, pirâmide 0, prisma $n(n - 3)$ .
Na prova: traduza o sólido em $V$ , $A$ , $F$ ; julgue cada pedaço de uma afirmação composta; e leia a hipótese do corte antes de aplicar a regra.

Exercícios temporariamente indisponíveis

Não foi possível consultar o banco de questões. O conteúdo da aula continua disponível.

Flashcards temporariamente indisponíveis

Não foi possível consultar os cartões de revisão.

Poliedros -- Relação de Euler - Aula 07

Portal da Matemática OBMEP · 12:44

Introdução. O professor Eduardo Corrêa (Portal da Matemática, IMPA/OBMEP) define poliedro, apresenta a relação de Euler V + F = A + 2 para poliedros convexos e a aplica em exemplos: é a seção “A relação de Euler: três números amarrados” em aula, com a contagem de arestas pelas faces que a página chama de dupla contagem.

Sólidos de Platão - Aula 10 - Legendado

Portal da Matemática OBMEP · 15:14

Aprofundamento. Define poliedro regular (faces regulares congruentes e o mesmo número de arestas em cada vértice) e demonstra que existem só cinco sólidos de Platão: é a seção “Só existem cinco poliedros regulares” com a demonstração completa no quadro, versão legendada em português.

Duais de poliedros regulares - Aula 13 - Legendado

Portal da Matemática OBMEP · 7:54

Mecanismo. Liga os centros das faces vizinhas de cada sólido regular e identifica o dual de cada um (cubo e octaedro, dodecaedro e icosaedro, tetraedro consigo mesmo), calculando num caso a aresta do dual: é a seção “Dualidade: o cubo e o octaedro trocam de lugar”, base para ler o sólido do PAS 1 de 2009.

Poliedros -- Número de diagonais - Aula 08

Portal da Matemática OBMEP · 13:28

Aplicação. Constrói o cubo truncado (cada aresta dividida em três partes, uma pirâmide retirada em cada vértice) e calcula o seu número de diagonais: junta as seções “Truncar: cortar cantos e contar de novo” e “Diagonais: quantas retas atravessam o sólido” num único problema resolvido.

ENEM PPL 2019 | Questão 156 Matemática | Poliedros (Relação de Euler)

Professor Mateca · 4:04

Resolução. Resolve a questão do ENEM PPL 2019 sobre o bloco com cavidade retangular no topo, reusada nos exercícios desta página, contando vértices, faces e arestas na figura e chegando a V + F = A + 3: o exemplo da seção “Onde a relação falha, e onde não falha” feito passo a passo.

Bola de futebol de gomos pretos e brancos ao lado de cinco dados de madeira em forma de tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro e de um cristal de granada com faces em losango. — Gomos, faces e cristais: a bola, os cinco sólidos regulares e a granada têm em comum uma superfície feita só de polígonos, e por isso obedecem à mesma conta de vértices, arestas e faces.

Cinco dados translúcidos azuis em forma de tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro sobre feltro verde, com um dado de dez faces afastado. — Os dados de RPG são os cinco sólidos de Platão; o de dez faces, afastado, não é regular: seus vértices não são todos iguais.

Capsídeo viral em forma de icosaedro com vinte faces triangulares nítidas, ao lado de um vírus em forma de bastonete desfocado. — O capsídeo icosaédrico, da obra do PAS sobre a geometria dos vírus: 20 faces, 30 arestas, 12 vértices, cinco faces em cada vértice, com uma única proteína repetida muitas vezes.

Cúpula geodésica de barras metálicas brancas e vidro, vista de baixo, com a malha triangular e os nós onde cinco ou seis barras se encontram. — A cúpula geodésica nasce de um icosaedro com as faces subdivididas em triângulos: os nós onde cinco barras se encontram são os 12 vértices do icosaedro original.

Cristal de granada vermelho com faces em losango ao lado de um cristal de pirita dourado com faces pentagonais, sobre fundo preto. — Dois dodecaedros da natureza: a granada, com 12 losangos, 24 arestas e 14 vértices; a pirita, com 12 pentágonos, 30 arestas e 20 vértices. A relação de Euler fecha nos dois.

Close de uma bola de futebol de couro com um gomo pentagonal preto cercado por cinco gomos hexagonais brancos e costuras visíveis. — Em cada canto da bola se encontram exatamente três gomos: um pentágono e dois hexágonos. São 60 cantos, 90 costuras e 32 gomos, e 60 − 90 + 32 = 2.

Bloco de madeira em forma de moldura quadrada com um túnel que o atravessa, ao lado de um cubo de madeira com um canto entalhado. — O cubo entalhado ainda obedece a V − A + F = 2; a moldura com túnel não: para ela a conta dá 0. O furo que atravessa é o que muda a relação.

Modelo de arame com um cubo azul e um octaedro laranja de mesmo centro, com as arestas se cruzando ao meio e formando uma estrela de pontas. — O sólido do PAS 1 de 2009: cubo e octaedro com as arestas se cruzando ao meio. Oito cantos do cubo viram tetraedros, seis pontas do octaedro viram pirâmides, e a superfície soma 48 triângulos.

Rota PAS 2

Geometria espacial: sólidos, cônicas e projeções · PAS 2

Fontes desta página

Os materiais abaixo contribuíram para a explicação e os exemplos deste assunto.

Rota PAS 2 — Geometria espacial: sólidos, cônicas e projeções · Poliedros: contar vértices, arestas e faces sem desenhar (conceito, exemplo-guia da bola e do icosaedro, 'Na prova', obra 'A geometria e sua relação com as estruturas dos vírus', checagem do prisma hexagonal); Como a banca cobra (histórico: nenhum item de poliedros no PAS 2; 2022/99 e 2009/76–78 do PAS 1 antigo); Resolvidos (itens 6 e 7, icosaedro); Banco de treino T8 a T10 (capsídeo icosaédrico); síntese
Recorte por assunto: só poliedros, contagem de elementos, relação de Euler, poliedros regulares, dualidade e truncamentos. Seções, planificações, áreas de superfície, cônicas, esfera e projeções do mesmo capítulo pertencem às páginas geometria-espacial, conicas e geometria-da-esfera; volumes ficam nas páginas de volume. O capítulo foi usado como fonte de fatos e de itens: os exemplos, os números e a sequência expositiva desta página são próprios.
Cadernos e gabaritos oficiais do PAS/UnB (Cespe/Cebraspe) · PAS 1: 2009 (itens 76, 77, 78 e 79, bloco do Timeu de Platão: poliedro obtido de um cubo e um octaedro regular cujas arestas se cruzam nos pontos médios), 2022 (item 99, bloco da gravura Metamorphosis I de Escher: 'teorema de Euler' num poliedro recortado)
Itens reproduzidos verbatim; gabaritos conferidos nos GAB oficiais (2009: 76 C, 77 E, 78 C, 79 C; 2022: 99 E) e nas classificações pesquisa/classificacao/2009.json e 2022.json. Nenhum item de poliedros ou relação de Euler existe nas provas do PAS 2 e do PAS 3 (busca por poliedro, Euler, vértices, arestas, faces, Platão, tetraedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro e bola de futebol nas três classificações).
Cadernos em PDF (figuras dos itens) · PAS 1 2009, página 13 do caderno (p. 14 do PDF), figura do poliedro cubo + octaedro, renderizada a 150 dpi; PAS 1 2022, página 11 do PDF, figuras I e II da gravura de Escher com os rótulos A a M e as medidas ℓ e ℓ/2, renderizada a 150 dpi
As duas figuras foram descritas em texto neutro no campo text das questões, com a topologia completa (quais peças sobram do cubo e do octaedro, quais faces têm que forma; qual cubo foi retirado de qual vértice).

simulador

GeoGebra — Construção dos poliedros de Platão e suas planificações (em português)

Material GeoGebra de Ramina Samoa, em português, com os cinco sólidos regulares construídos em 3D e as suas planificações. Gire cada sólido e conte faces, vértices e arestas na tela para conferir a tabela da seção "Só existem cinco poliedros regulares" e ver, no dodecaedro e no icosaedro, por que 12 e 20 trocam de lugar.

ferramenta

GeoGebra — Calculadora 3D (em português)

Ferramenta gratuita de geometria em três dimensões. Os comandos Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro (a partir de dois pontos) desenham os sólidos de Platão; com Pirâmide e Prisma sobre um polígono qualquer, teste as contagens V = 2n, A = 3n, F = n + 2 e V = n + 1, A = 2n, F = n + 1 da seção de prismas e pirâmides com o n que quiser.

artigo

Clubes de Matemática da OBMEP — Um pouco sobre poliedros

Texto dos Clubes de Matemática da OBMEP com a definição rigorosa de poliedro em três condições (cada lado é lado de exatamente uma outra face; duas faces se cortam num lado, num vértice ou em nada; a superfície é conexa) e uma atividade com 16 figuras para decidir o que é e o que não é poliedro. Complementa a seção "Um sólido feito só de polígonos" com os casos de fronteira que a página só menciona.

artigo

Portal da OBMEP (IMPA) — Módulo Geometria Espacial 1: fundamentos e poliedros

Módulo do Portal da Matemática, do professor Eduardo Corrêa, cuja segunda parte é dedicada aos poliedros: relação de Euler, número de diagonais, sólidos de Platão (com as duas demonstrações de que são só cinco), um problema no octaedro regular e os duais, com material teórico e listas de exercícios resolvidos. Os quatro vídeos do Portal recomendados nesta página saem daqui.

oficial

PAS/UnB — Provas e gabaritos oficiais

Página oficial do Programa de Avaliação Seriada da UnB com os cadernos e gabaritos de todas as etapas. Os dois blocos de poliedros desta página estão nos cadernos do PAS 1 de 2009 (itens 76 a 79, com a figura colorida do cubo com o octaedro) e de 2022 (itens 95 a 100, com as figuras da gravura de Escher); as figuras só podem ser vistas lá.