Cônicas

Aponte um lápis de madeira e passe uma lâmina pela ponta. Corte reto, perpendicular ao lápis: a fatia é um círculo. Incline a lâmina um pouco: a fatia vira um oval com duas pontas iguais, uma elipse. Incline mais, até a lâmina ficar paralela a uma das arestas da ponta: o corte já não fecha, e o contorno é uma parábola. Incline ainda mais e o contorno abre mais depressa, uma hipérbole, que teria um segundo ramo se o lápis fosse apontado dos dois lados e os dois cones se tocassem pela ponta. É a mesma ponta e a mesma lâmina: o que muda a curva é só o ângulo.

Esse experimento de 30 segundos é o que Menecmo fez, por volta de 350 a.C., quando precisou de curvas novas para duplicar o cubo, e o que Apolônio de Perga organizou um século depois num tratado em oito livros, de onde vêm os nomes elipse, parábola e hipérbole. Dezoito séculos mais tarde, Kepler descobriu que os planetas percorrem elipses com o Sol num foco, e Newton explicou por quê. Hoje a mesma família de curvas está na antena de TV, no espelho do Hubble, no refletor de 305 m que ficou encravado numa depressão do terreno em Porto Rico e na máquina que quebra pedras nos rins sem cortar a pele. Esta página percorre as cônicas pelos dois lados em que a prova as cobra: como seções do cone, classificadas pelo ângulo, e como curvas do plano cartesiano, com focos, equações e uma conta que diz onde fica o receptor da antena. A parábola como gráfico de função fica em Função quadrática; a circunferência e os seus itens de centro e raio, em Equação da circunferência; as órbitas, em Leis de Kepler e órbitas. Aqui, o assunto é a família inteira.

Duas ferramentas que vão aparecer o tempo todo

A distância entre dois pontos. Todas as definições desta página são frases sobre distâncias, e a única fórmula de que elas precisam é a de Distâncias na geometria analítica: entre $P(x_1, y_1)$ e $Q(x_2, y_2)$,

$$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$

De $(3, 2{,}4)$ a $(4, 0)$: $\sqrt{1 + 5{,}76} = \sqrt{6{,}76} = 2{,}6$. De $(3, 2{,}4)$ a $(-4, 0)$: $\sqrt{49 + 5{,}76} = \sqrt{54{,}76} = 7{,}4$. Guarde esses dois números: eles somam 10, e isso vai importar daqui a duas seções.

O cone e os seus ângulos. Um cone circular reto tem um vértice $V$, um eixo (a reta que passa por $V$ e pelo centro da base) e as geratrizes, os segmentos de reta que vão do vértice à borda da base. Toda geratriz faz com o eixo o mesmo ângulo $\alpha$, o semiângulo de abertura; o ângulo de abertura do cone, o que aparece numa seção pelo eixo, é $2\alpha$. Um cone de abertura $60°$ tem $\alpha = 30°$: a seção pelo eixo é um triângulo equilátero (o cone equilátero de Geometria espacial). Para as cônicas, o cone é pensado como superfície, sem tampa e sem fim, e com duas folhas: prolongue as geratrizes para além do vértice e aparece um segundo cone, de ponta-cabeça, encostado no primeiro pela ponta. É essa segunda folha que dá o segundo ramo da hipérbole.

O ângulo de um plano com o eixo. Chame de $\beta$ o ângulo entre o plano de corte e o eixo do cone, de $0°$ (plano paralelo ao eixo) a $90°$ (plano perpendicular ao eixo, paralelo à base). A classificação da próxima seção é uma comparação entre $\beta$ e $\alpha$, e só isso.

Um cone, um plano e quatro curvas

Fixe o cone e gire o plano de corte, sem passar pelo vértice. Com $\beta = 90°$, o plano é paralelo à base e a seção é uma circunferência. Diminua $\beta$ um pouco: o plano continua atravessando todas as geratrizes de uma folha, a curva continua fechada, mas alongada, e é uma elipse; quanto menor $\beta$, mais comprida. No instante em que $\beta$ iguala $\alpha$, o plano fica paralelo a exatamente uma geratriz, nunca a alcança, e a curva deixa de fechar: é a parábola. Com $\beta$ menor que $\alpha$, o plano está mais em pé que as geratrizes e, prolongado, atravessa também a outra folha: aparecem dois ramos, um em cada folha, a hipérbole.

Repare no que a tabela não usa: ela não olha a curva. Olha o plano. Esse é o método para a prova, porque a figura do item raramente mostra a seção com clareza e o enunciado sempre descreve o plano (“paralelo à base”, “perpendicular a uma geratriz”, “paralelo ao eixo”). Traduza a descrição num ângulo, compare com $\alpha$ e pronto.

Exemplo resolvido 1: classificar sem desenhar. Um cone tem ângulo de abertura de $70°$. Classifique a seção por um plano que evita o vértice e (a) faz $50°$ com o eixo; (b) faz $35°$ com o eixo; © é paralelo ao eixo; (d) é perpendicular a uma geratriz.

Estratégia: ache $\alpha$, ache $\beta$ em cada caso e compare.

Resolução: $\alpha = 70° \div 2 = 35°$. (a) $\beta = 50° > 35°$: elipse. (b) $\beta = 35° = \alpha$: parábola. © $\beta = 0° < 35°$: hipérbole. (d) Um plano perpendicular a uma geratriz faz com o eixo o ângulo complementar ao da geratriz, $\beta = 90° - 35° = 55° > 35°$: elipse.

Conferência: no caso (d), se o cone fosse mais aberto, com $\alpha = 60°$, o mesmo plano perpendicular à geratriz daria $\beta = 30° < 60°$, hipérbole. A resposta de (d) depende da abertura do cone, e é exatamente essa dependência que o PAS 2 explorou em 2009: a seção pelo vértice perpendicular à base (o triângulo da abertura) era obtusângula, portanto $2\alpha > 90°$ e $\alpha > 45°$; o plano perpendicular a uma geratriz tinha $\beta = 90° - \alpha < 45° < \alpha$, e a seção era um ramo de hipérbole, item certo. “Um ramo”, e não dois, porque o item falava num cone de uma folha só, o sólido de sempre; o segundo ramo mora na folha que esse cone não tem.

A seção de um cilindro por um plano inclinado também é uma elipse, e a seção de uma esfera por qualquer plano é uma circunferência, nunca uma elipse; os dois casos estão em Geometria espacial. O cone é especial porque é o único desses sólidos que produz a família inteira.

A elipse: dois pregos, um barbante e um lápis

Cravar dois pregos numa tábua, amarrar neles as pontas de um barbante frouxo e correr um lápis mantendo o barbante esticado desenha uma elipse. É o método do jardineiro, usado para traçar canteiros ovais, e ele contém a definição inteira: em todo ponto do traçado, a soma das distâncias aos dois pregos é o comprimento do barbante, que não muda.

Por que $a^2 = b^2 + c^2$? Ponha o lápis no vértice $A_2$ do eixo maior: a distância a $F_2$ é $a - c$ e a distância a $F_1$ é $a + c$, soma $2a$, como tinha de ser; isso mostra que o semieixo maior é mesmo $a$. Agora ponha o lápis no vértice $B_1$ do eixo menor: por simetria, as distâncias aos dois focos são iguais, cada uma vale $a$, e o triângulo $OB_1F_1$ é retângulo em $O$, com catetos $b$ e $c$ e hipotenusa $a$. Pitágoras fecha a conta. A relação é a primeira coisa a escrever em qualquer item de elipse, e ela tem o sinal de menos quando se isola $c$: $c^2 = a^2 - b^2$.

Exemplo resolvido 2: do barbante aos números. Os pregos estão a 6 cm um do outro e o barbante, preso neles, tem 10 cm. Qual a largura e a altura da elipse desenhada, e qual a excentricidade?

Estratégia: o barbante é $2a$; a distância entre os pregos é $2c$; $b$ sai de Pitágoras.

Resolução: $2a = 10$, $a = 5$; $2c = 6$, $c = 3$; $b^2 = 25 - 9 = 16$, $b = 4$. A elipse tem $2a = 10$ cm de comprimento e $2b = 8$ cm de altura, e $e = 3/5 = 0{,}6$.

Conferência: no ponto mais alto, o barbante vai do prego esquerdo ao lápis e volta ao prego direito em duas pernas iguais de 5 cm: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, certo. Se os pregos fossem cravados no mesmo ponto ($c = 0$), o barbante dobrado daria um raio de 5 cm e a curva seria uma circunferência: a circunferência é a elipse de focos coincidentes, com $a = b$ e $e = 0$.

Dois cuidados de leitura. O eixo maior é o que contém os focos, sempre; se a figura é mais alta que larga, os focos estão na vertical. E “distância focal” é a distância entre os focos, $2c$, não a distância do centro a um foco, que é $c$. Um item que troque uma pela outra dobra ou divide a resposta ao meio.

A equação reduzida da elipse

Coloque o centro na origem e os focos no eixo $x$, $F_1(-c, 0)$ e $F_2(c, 0)$. A definição $d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a$, escrita com a fórmula da distância, é

$$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a.$$

Isolar uma raiz, elevar ao quadrado, isolar a raiz que sobra e elevar ao quadrado outra vez leva, depois de simplificar, a $(a^2 - c^2)\,x^2 + a^2 y^2 = a^2(a^2 - c^2)$. Como $a^2 - c^2 = b^2$, dividir tudo por $a^2 b^2$ dá a forma que se usa.

Ler uma equação é um procedimento de quatro passos: identificar $a^2$ (o maior denominador) e $b^2$; decidir a direção do eixo maior pela variável que fica sobre $a^2$; calcular $c = \sqrt{a^2 - b^2}$; escrever vértices e focos e desenhar. No sentido inverso, de elementos para equação, basta saber dois dos três números $a$, $b$, $c$ e a direção.

Exemplo resolvido 3: ler e conferir. Descreva a elipse $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ e verifique a definição no ponto $(3,\ 2{,}4)$.

Estratégia: denominadores dão $a$ e $b$; Pitágoras dá $c$; a definição se confere somando duas distâncias.

Resolução: $a^2 = 25$ sob $x^2$, logo eixo maior horizontal com $a = 5$; $b = 3$; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$. Vértices $(\pm 5, 0)$ e $(0, \pm 3)$; focos $(\pm 4, 0)$; $e = 4/5 = 0{,}8$. O ponto $(3,\ 2{,}4)$ está na curva: $9/25 + 5{,}76/9 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$.

Conferência: as distâncias calculadas na primeira seção, 2,6 até $(4, 0)$ e 7,4 até $(-4, 0)$, somam 10, que é $2a$. A definição e a equação dizem a mesma coisa sobre o mesmo ponto.

Exemplo resolvido 4: eixo vertical e centro fora da origem. (a) Que curva é $9x^2 + 4y^2 = 36$? (b) E $\dfrac{(x + 1)^2}{25} + \dfrac{(y - 3)^2}{16} = 1$?

Resolução: (a) Dividindo por 36: $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$. O maior denominador, 9, está sob $y^2$: eixo maior vertical, $a = 3$, $b = 2$, $c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$. Vértices $(0, \pm 3)$ e $(\pm 2, 0)$, focos $(0, \pm\sqrt{5})$, $e = \sqrt{5}/3 \approx 0{,}75$. (b) Centro $(-1, 3)$; $a = 5$ na direção $x$, $b = 4$, $c = 3$. Focos em $(-1 \pm 3,\ 3)$, isto é, $(2, 3)$ e $(-4, 3)$; vértices do eixo maior em $(4, 3)$ e $(-6, 3)$; do menor, em $(-1, 7)$ e $(-1, -1)$.

Conferência: em (a), o ponto $(0, 3)$ dista $3 - \sqrt{5}$ de um foco e $3 + \sqrt{5}$ do outro, soma 6 = $2a$. Em (b), o ponto $(-1, 7)$ dista $\sqrt{9 + 16} = 5 = a$ de cada foco, como todo vértice do eixo menor.

A parábola: um foco e uma reta, à mesma distância

A parábola tem um foco só, e o papel do segundo foco é feito por uma reta. Pegue um ponto $F$ e uma reta $d$ que não passa por ele; os pontos do plano que estão tão longe de $F$ quanto de $d$ formam a parábola. O ponto da curva mais perto de $d$ é o vértice $V$, a meio caminho entre $F$ e $d$; a reta perpendicular a $d$ que passa por $F$ é o eixo de simetria; a distância $p = VF$ (igual à distância de $V$ a $d$) é o parâmetro e fixa a abertura: $p$ pequeno, curva fechada e apertada; $p$ grande, curva aberta.

De onde vem $y^2 = 4px$: com $F(p, 0)$ e $d$ a reta $x = -p$, a distância de $P(x, y)$ ao foco é $\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$ e a distância à reta é $x + p$ (o ponto está à direita de $d$). Igualando e elevando ao quadrado: $(x - p)^2 + y^2 = (x + p)^2$, e os termos $x^2$ e $p^2$ cancelam, sobrando $y^2 = 4px$. Uma única elevação ao quadrado, sem raiz sobrando: é a dedução mais curta das três.

Exemplo resolvido 5: foco e diretriz a partir da equação. Encontre o foco e a diretriz de $y^2 = 12x$ e confira a definição no ponto $(3, 6)$.

Estratégia: compare com $y^2 = 4px$ para ler $p$.

Resolução: $4p = 12$, $p = 3$. A curva abre para a direita, o foco é $F(3, 0)$ e a diretriz é $x = -3$. O ponto $(3, 6)$ pertence à curva, pois $36 = 12 \times 3$.

Conferência: distância ao foco, $\sqrt{(3 - 3)^2 + 6^2} = 6$; distância à diretriz, $3 - (-3) = 6$. Iguais. Repare que a corda da parábola que passa pelo foco, perpendicular ao eixo, mede $4p = 12$ (de $(3, -6)$ a $(3, 6)$): é um atalho para desenhar a abertura certa.

Exemplo resolvido 6: onde fica o receptor de uma antena. O perfil de um refletor parabólico tem abertura (distância entre as bordas) $L = 2{,}4$ m e profundidade (do fundo à linha das bordas) $h = 0{,}30$ m. A que distância do fundo deve ficar o receptor?

Estratégia: o receptor fica no foco; ponha o vértice na origem, o eixo em $y$ e a borda no ponto $(L/2, h)$.

Resolução: a parábola é $x^2 = 4py$ e passa por $(1{,}2;\ 0{,}30)$: $1{,}44 = 4p \times 0{,}30 = 1{,}2p$, logo $p = 1{,}2$ m. O receptor fica a 1,2 m do fundo, acima da linha das bordas, que está a 0,30 m.

Conferência: em geral, $(L/2)^2 = 4ph$ dá $p = \dfrac{L^2}{16h}$. Com $L = 2{,}4$ e $h = 0{,}3$: $5{,}76 \div 4{,}8 = 1{,}2$. Para o radiotelescópio de Arecibo, com $L = 305$ m e $h = 51$ m, a mesma conta dá $p = 93\,025 \div 816 \approx 114$ m, e é por isso que a plataforma do receptor pendia de cabos a mais de 100 m acima do prato. Uma antena rasa (profundidade pequena) tem o foco longe; uma antena funda tem o foco perto, dentro do prato.

A hipérbole: a diferença é constante

Troque a soma pela diferença e a elipse vira hipérbole. Dois focos, $F_1$ e $F_2$, a uma distância $2c$ um do outro, e um número $2a$ menor que $2c$: os pontos cuja diferença de distâncias aos focos vale $2a$ (em módulo, para pegar os dois lados) formam dois ramos, cada um abraçando um foco. Na vida real, é a curva do som de um avião supersônico no chão, o perfil das torres de resfriamento das usinas termelétricas (uma hipérbole girada em torno do eixo vertical) e a trajetória de um cometa que passa pelo Sol uma vez e nunca volta.

As assíntotas têm uma construção que resolve o esboço em um minuto. Desenhe o retângulo de referência: largura $2a$ (de $-a$ a $a$ em $x$) e altura $2b$ (de $-b$ a $b$ em $y$), centrado na origem. As diagonais desse retângulo, prolongadas, são as assíntotas $y = \pm\frac{b}{a}x$. Os vértices estão no meio dos lados verticais do retângulo, e os focos, um pouco além, a uma distância $c$ do centro, que é exatamente a metade da diagonal do retângulo (porque $c^2 = a^2 + b^2$). A curva sai de cada vértice e se cola às diagonais. Quando $a = b$, o retângulo é um quadrado, as assíntotas são perpendiculares ($y = \pm x$) e a hipérbole chama-se equilátera; girada de $45°$, ela vira $xy = k$, o gráfico de $y = k/x$, que é uma hipérbole mesmo sem parecer. Foi essa a resposta de um item do ENEM de 2017, em que a equação $(p + a)(v + b) = K$ de um fisiologista descrevia a velocidade de contração de um músculo: um ramo de hipérbole.

Exemplo resolvido 7: ler uma hipérbole e conferir a definição. Descreva $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ e verifique a definição no ponto $P(5,\ 2{,}25)$.

Estratégia: $a^2$ é o denominador do termo positivo; $c^2 = a^2 + b^2$ (com mais); assíntotas pelo retângulo.

Resolução: $a = 4$, $b = 3$, $c = \sqrt{16 + 9} = 5$. Vértices $(\pm 4, 0)$, focos $(\pm 5, 0)$, assíntotas $y = \pm\frac{3}{4}x$, $e = 5/4 = 1{,}25$. O ponto está na curva: $25/16 - 5{,}0625/9 = 1{,}5625 - 0{,}5625 = 1$.

Conferência: $d(P, F_2) = \sqrt{0 + 2{,}25^2} = 2{,}25$ e $d(P, F_1) = \sqrt{10^2 + 2{,}25^2} = \sqrt{105{,}0625} = 10{,}25$. Diferença: $8 = 2a$. Os mesmos números 3, 4 e 5 da elipse do exemplo 3 aparecem aqui com os papéis trocados: lá, $c = 4$ saiu de $25 - 9$; aqui, $c = 5$ sai de $16 + 9$. É a diferença entre o sinal de menos e o de mais na equação.

Como ler uma equação do 2.º grau e desenhar a curva em um minuto

Toda equação $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$, sem termo em $xy$, descreve uma cônica com os eixos paralelos aos eixos coordenados (ou um caso degenerado). O tipo se decide pelos coeficientes dos quadrados, antes de qualquer conta:

Exemplo resolvido 8: completar quadrados. Identifique e descreva (a) $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$ e (b) $9x^2 - 4y^2 - 18x - 16y - 43 = 0$.

Resolução: (a) Coeficientes 4 e 9, mesmo sinal: elipse. Agrupando, $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11$. Completando: $4\,[(x - 2)^2 - 4] + 9\,[(y + 1)^2 - 1] = 11$, isto é, $4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 11 + 16 + 9 = 36$. Dividindo por 36: $\dfrac{(x - 2)^2}{9} + \dfrac{(y + 1)^2}{4} = 1$. Centro $(2, -1)$, $a = 3$ na horizontal, $b = 2$, $c = \sqrt{5}$, focos $(2 \pm \sqrt{5},\ -1)$.

(b) Coeficientes 9 e $-4$, sinais contrários: hipérbole. $9(x^2 - 2x) - 4(y^2 + 4y) = 43$; $9\,[(x - 1)^2 - 1] - 4\,[(y + 2)^2 - 4] = 43$; $9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 = 43 + 9 - 16 = 36$; $\dfrac{(x - 1)^2}{4} - \dfrac{(y + 2)^2}{9} = 1$. Centro $(1, -2)$, termo positivo em $x$: ramos para a esquerda e para a direita, $a = 2$, $b = 3$, $c = \sqrt{13}$, vértices $(1 \pm 2,\ -2)$, assíntotas $y + 2 = \pm\frac{3}{2}(x - 1)$.

Conferência: em (a), o ponto $(5, -1)$ (centro mais $a$ em $x$) satisfaz a equação original: $100 + 9 - 80 - 18 - 11 = 0$. Em (b), o vértice $(3, -2)$: $81 - 16 - 54 + 32 - 43 = 0$. Quando a conta de completar quadrados sai errada, o vértice não fecha a equação original; vale sempre testar um.

A circunferência é o caso $A = C$ e tem página própria, Equação da circunferência; aqui ela aparece como a elipse de excentricidade zero, e nos itens que a combinam com uma elipse, como o das flores do cerrado do PAS 3 de 2020, lido mais adiante.

Excentricidade: um número que diz a forma

Duas elipses podem ter tamanhos diferentes e a mesma forma, como duas fotos da mesma moeda em escalas diferentes. O que decide a forma é o quociente $e = c/a$, a fração do semieixo maior que a distância centro–foco ocupa: ele não muda quando a figura é ampliada, e por isso é a medida certa de “quanto achatada”. Com $c = 0$ os focos coincidem e a curva é uma circunferência, $e = 0$. Conforme $c$ cresce e se aproxima de $a$, os focos caminham para as pontas e a elipse se achata, até que em $c = a$ ela viraria um segmento. Do outro lado de 1 estão as hipérboles: $c > a$, $e > 1$, e quanto maior $e$, mais abertos os ramos (mais perto das assíntotas, que se aproximam de uma reta perpendicular ao eixo). A parábola fica exatamente na fronteira, $e = 1$.

As órbitas dos planetas são pouco excêntricas: Terra, $e = 0{,}017$; Marte, $0{,}093$; Mercúrio, o mais excêntrico, $0{,}206$. Desenhadas em escala, todas parecem circunferências com o Sol um pouco fora do centro, e é esse “um pouco fora” que os itens de prova exploram, pedindo a distância entre o Sol e o segundo foco ($2c = 2ea$) ou a diferença entre afélio e periélio ($2c$ também). Os cometas de período longo têm $e$ perto de 1 (Halley, $0{,}967$), e um objeto que passa pelo Sol com $e > 1$ está numa hipérbole e não volta. A física dessas trajetórias está em Leis de Kepler e órbitas.

Exemplo resolvido 9: a órbita de um cometa. Um cometa tem periélio de 0,6 UA e afélio de 5,4 UA. Determine $a$, $c$, $e$ e a largura máxima da órbita.

Estratégia: periélio e afélio somam $2a$ e diferem de $2c$.

Resolução: $2a = 0{,}6 + 5{,}4 = 6$, $a = 3$ UA; $2c = 5{,}4 - 0{,}6 = 4{,}8$, $c = 2{,}4$ UA; $e = 2{,}4/3 = 0{,}8$; $b = \sqrt{9 - 5{,}76} = \sqrt{3{,}24} = 1{,}8$ UA, largura máxima $2b = 3{,}6$ UA.

Conferência: $a(1 - e) = 3 \times 0{,}2 = 0{,}6$ e $a(1 + e) = 3 \times 1{,}8 = 5{,}4$, os dois dados. Uma órbita de 6 UA de comprimento e 3,6 de largura: é o oval do terceiro desenho da figura.

Por que o foco se chama foco: a propriedade refletora

A palavra foco é o latim para lareira, e foi Kepler quem a escolheu, em 1604, porque os raios que chegam a uma parábola paralelos ao eixo saem todos para o mesmo ponto, como o calor que se junta no fogo. A geometria por trás disso é a definição: em cada ponto $P$ da parábola, a reta tangente faz ângulos iguais com o segmento $PF$ e com a perpendicular à diretriz por $P$, e a lei da reflexão (ângulo de incidência igual ao de reflexão, em Espelhos) faz o resto. O mesmo acontece com ondas de rádio, luz, som e ondas de choque: qualquer coisa que se reflita numa superfície obedece.

Exemplo resolvido 10: o espelho de latas do aquecedor solar. Numa prova do PAS 2, o perfil de um espelho côncavo era uma parábola com o eixo em $Oy$, concavidade para cima, passando por $A$, $B$ (sobre o eixo $x$, simétricos em relação à origem) e pelo vértice $C(0, -k)$, com $AB = 4k$. (a) Escreva a equação da parábola em função de $k$. (b) Onde fica o foco? © Se, em outra versão do mesmo esquema, o foco é $F(0, 2a)$ e $B = (2\sqrt{3}\,a,\ 0)$, qual é o ângulo $\alpha$ entre o raio vertical que chega em $B$ e o raio refletido $BF$?

Estratégia: vértice em $(0, -k)$ e abertura para cima dão $x^2 = 4p(y + k)$; o ponto $B(2k, 0)$ fixa $p$. Para o ângulo, o raio refletido vai de $B$ ao foco.

Resolução: (a) $AB = 4k$ e simetria dão $A(-2k, 0)$ e $B(2k, 0)$. Em $x^2 = 4p(y + k)$, o ponto $B$ dá $4k^2 = 4pk$, logo $p = k$, e a parábola é $x^2 = 4k(y + k)$, ou $y = \dfrac{x^2}{4k} - k$. (b) O foco está a $p = k$ acima do vértice $(0, -k)$: é a origem. Os canos de água do aquecedor eram postos no centro das latas cortadas, isto é, no foco, onde a luz refletida se concentra. © O raio que chega a $B$ é vertical; o refletido vai de $B(2\sqrt{3}a, 0)$ a $F(0, 2a)$, deslocando-se $2\sqrt{3}a$ na horizontal e $2a$ na vertical. O ângulo com a vertical tem $\tan\alpha = \dfrac{2\sqrt{3}a}{2a} = \sqrt{3}$, logo $\alpha = 60°$ e $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$.

Conferência: em (a), o ponto $A(-2k, 0)$ também satisfaz $4k^2 = 4k \cdot k$. Em ©, o item real afirmava $\cos\alpha > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, o que exigiria $\alpha < 45°$; com $\alpha = 60°$ o item estava errado. Outro item do mesmo bloco pedia a área do triângulo $FBC$ com $C(0, -a)$: base $FC = 3a$ sobre o eixo $y$ e altura $2\sqrt{3}a$, área $3\sqrt{3}a^2 \approx 5{,}2a^2$, maior que $3a^2$, item certo.

Leia como na prova: Arecibo, o Hubble, as flores e os lotes

As cônicas entraram no PAS pelos dois lados, com quatro anos de intervalo entre uma face e a outra. No PAS 2, como curva do cone, a prova pediu classificação, excentricidade e foco (2009) e a equação de uma parábola dada por três pontos, num item de resposta construída (2011). No PAS 3, como curva analítica, pediu a parábola do espelho do Hubble (2010), uma elipse dada pelos vértices junto com uma reta e uma circunferência (2020) e uma elipse deslocada que recortava lotes (2021). Os blocos do PAS 3 estão fora da matriz vigente daquela etapa, mas são o melhor retrato de como a banca combina as cônicas com o resto da geometria analítica, e os três cabem na matriz do PAS 2 pelo lado das propriedades e da leitura de figura.

O bloco de 2009 (PAS 2, itens 95 a 97). O texto-base ia de Menecmo, “curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto com um plano”, até os radiotelescópios, passando por Galileu, Kepler e o telescópio refletor de Newton, “na forma de paraboloide ou hiperboloide”. O item 95 era a classificação da primeira seção desta página. O item 96 trazia a foto de Arecibo e, ao lado, a figura de uma parábola com vértice $O$, uma corda horizontal $AB = 305$ m e o ponto médio $H$ de $AB$ com $OH = 51$ m; afirmava que a distância do foco ao vértice passava de 102 m. Com o vértice na origem, $x^2 = 4py$ e o ponto $(152{,}5;\ 51)$: $p = 152{,}5^2 \div 204 \approx 114$ m. Certo. O item 97 dava as excentricidades de Urano (0,0047) e Netuno (0,0086) e as distâncias médias ao Sol ($2{,}87 \times 10^9$ km e $4{,}5 \times 10^9$ km) e perguntava se a distância do Sol ao outro foco era menor para Urano. Essa distância é $2c = 2ea$: $2 \times 0{,}0047 \times 2{,}87 \times 10^9 \approx 2{,}7 \times 10^7$ km para Urano e $2 \times 0{,}0086 \times 4{,}5 \times 10^9 \approx 7{,}7 \times 10^7$ km para Netuno. Certo, pelos dois fatores: Urano tem $e$ menor e $a$ menor.

O Hubble (PAS 3, 2010, itens 129 e 130). A figura punha o espelho primário como uma parábola de eixo $Ox$, vértice $V$ no eixo e abrindo para a direita, passando por $A$ e $D$ sobre o eixo $y$, com diâmetro $AD = 2{,}4$ m; um espelho secundário $BC$ inclinado a $120°$ e a ocular $F$ completavam o esquema. O item 129 afirmava que, escrita como $x = ay^2 + by + c$, a parábola tinha necessariamente $b = 0$: certo, porque o vértice está sobre $Ox$ e a ordenada do vértice de $x = ay^2 + by + c$ é $-b/(2a)$, que só é zero com $b = 0$. O item 130 dizia que, com distância focal de 58 m (distância do vértice ao foco), o vértice ficava à esquerda de $(-1, 0)$. Com $p = 58$, a parábola é $x - x_V = \dfrac{y^2}{232}$, e o ponto $D(0;\ 1{,}2)$ dá $x_V = -\dfrac{1{,}44}{232} \approx -0{,}006$ m. O vértice fica 6 mm à esquerda da origem, e não 1 m: errado. Um espelho de 2,4 m de boca com foco a 58 m é quase plano; é a situação oposta à de Arecibo.

As flores do cerrado (PAS 3, 2020, itens 91 a 93). A caliandra vivia dentro da circunferência $x^2 + y^2 - 6y + 5 = 0$ e o flamboyant dentro de uma elipse desenhada com os vértices em $(\pm 3, 0)$ e $(0, \pm 2)$; em cada foco havia um acampamento, e uma estrada seguia a reta $y = -x + 2$. A elipse é $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$, com $c = \sqrt{5} \approx 2{,}24$, focos $(\pm\sqrt{5}, 0)$. A estrada passa por um acampamento? Em $x = \sqrt{5}$ a reta dá $y = 2 - 2{,}24 \neq 0$; em $x = -\sqrt{5}$, $y = 4{,}24$: não passa, item 91 errado. As regiões não se cruzam? Completando quadrados, a circunferência é $x^2 + (y - 3)^2 = 4$: centro $(0, 3)$, raio 2, portanto desce até $y = 1$, e a elipse sobe até $y = 2$; as duas regiões se sobrepõem, item 92 errado. A área da caliandra é menor? $\pi \times 2^2 = 4\pi$ contra $\pi \times 3 \times 2 = 6\pi$: sim, item 93 certo.

Os lotes (PAS 3, 2021, itens 29 a 31). Uma elipse de equação $\dfrac{(x - 2)^2}{16} + \dfrac{(y - 1)^2}{4} = 1$, os semieixos positivos e três segmentos (as retas $x = 1$ e $x = 3$, do eixo $x$ até a elipse, e a reta $y = 1$, de $x = 3$ até a elipse) delimitavam os lotes $A$ (entre o eixo $y$ e $x = 1$), $B$ (entre $x = 1$ e $x = 3$), $C$ (à direita de $x = 3$, acima de $y = 1$) e $D$ (à direita de $x = 3$, abaixo de $y = 1$). Centro $(2, 1)$, $a = 4$ na horizontal, $b = 2$: o ponto mais alto é $(2, 3)$. O lote $B$ cabe no retângulo $1 \leq x \leq 3$, $0 \leq y \leq 3$, de área 6, e só encosta na linha $y = 3$ num ponto: área menor que 6, item 29 errado. O centro $(2, 1)$ está dentro de $B$; o ponto comum a $B$, $C$ e $D$ é $(3, 1)$: item 30 errado. As interseções com os semieixos positivos: em $x = 0$, $\dfrac{4}{16} + \dfrac{(y - 1)^2}{4} = 1$ dá $(y - 1)^2 = 3$, $y = 1 + \sqrt{3}$; em $y = 0$, $\dfrac{(x - 2)^2}{16} + \dfrac{1}{4} = 1$ dá $(x - 2)^2 = 12$, $x = 2 + 2\sqrt{3}$. A soma pedida no item 31, do tipo C, é $a + b = 3 + 3\sqrt{3}$, a última opção.

Como a banca pergunta

Os itens de cônicas têm cinco moldes, e a maioria cabe numa ou duas linhas de conta.

• Classificar a seção pela descrição do plano. “Plano perpendicular a uma geratriz”, “paralelo ao eixo”, “paralelo à base”, com ou sem o ângulo de abertura do cone (PAS 2 2009). Converta em $\beta$ e compare com $\alpha$.
• Elementos a partir da equação, ou equação a partir dos elementos. Ler $a$, $b$, $c$, focos, vértices e assíntotas em $\dfrac{x^2}{a^2} \pm \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ou $y^2 = 4px$, inclusive com centro deslocado e depois de completar quadrados (PAS 3 2020 e 2021); ou escrever a equação de uma parábola que passa por três pontos dados (PAS 2 2011, tipo D).
• Propriedade refletora em contexto físico. Espelho côncavo de latas, antena, radiotelescópio, farol: onde fica o foco, para onde vai o raio refletido, que ângulo ele faz (PAS 2 2009 e 2011; PAS 3 2010).
• Excentricidade e órbitas. Dadas $e$ e $a$, achar $c$ ou $2c$; dados periélio e afélio, achar $e$; comparar duas órbitas (PAS 2 2009; vestibulares com Plutão e Halley).
• Cônica combinada com reta, circunferência ou área. A reta passa pelo foco? As regiões se cruzam? Qual área é maior? Qual lote contém o centro? (PAS 3 2020 e 2021). Aqui entram as páginas de Equação da circunferência e Distâncias na geometria analítica.

Em todos, o item vem com um limiar (“maior que 102 m”, “inferior a 2,0 m”, “maior do que 6 km²”) ou com uma afirmação de forma (“é uma elipse”, “é um ramo de hipérbole”, “necessariamente $b = 0$”). Faça a conta exata antes de comparar, e julgue a afirmação inteira, não só o número.

Os erros que a banca planta

• Trocar $a$ e $b$ pela ordem na equação. O eixo maior da elipse está na variável que divide por $a^2$, o maior denominador; na hipérbole, $a^2$ é o denominador do termo positivo, maior ou não.
• Somar onde é para subtrair. Elipse: $c^2 = a^2 - b^2$; hipérbole: $c^2 = a^2 + b^2$. Um $c$ maior que $a$ na elipse denuncia o sinal trocado.
• Ler $4p$ como $p$. Em $y^2 = 12x$, $p = 3$. Em $y = ax^2$, $p = 1/(4a)$.
• Pôr a diretriz do lado do foco. Ela fica do lado oposto ao foco, a $p$ do vértice.
• “Excentricidade perto de zero é alongada”. É o contrário: perto de zero é quase circunferência; perto de 1 é quase um segmento.
• Excentricidade maior que 1 numa elipse. Não existe: $e > 1$ é hipérbole.
• Distância focal como $c$. Distância focal é $2c$, entre os dois focos.
• Decidir a seção olhando a curva. A classificação é pelo ângulo do plano; um ramo de hipérbole parece uma parábola.
• Hipérbole com um ramo só “porque a figura mostra um”. Num cone de duas folhas há sempre dois; num cone sólido de uma folha, aparece um.
• Focos marcados “no meio do caminho”. Os focos não estão em ponto algum visível da figura: calculam-se por $c$.
• Esquecer o centro deslocado. Em $\dfrac{(x - 2)^2}{16} + \dfrac{(y - 1)^2}{4} = 1$, os focos são $(2 \pm 2\sqrt{3},\ 1)$, não $(\pm 2\sqrt{3}, 0)$.
• Raio paralelo “converge para o vértice”. Converge para o foco; o vértice é só o ponto mais fundo.
• Área da elipse como $\pi a^2$. É $\pi a b$.

O essencial em meia página

• Cônicas = seções de um cone de duas folhas por um plano que evita o vértice. Com $\alpha$ o semiângulo de abertura e $\beta$ o ângulo do plano com o eixo: $\beta = 90°$ circunferência; $\beta > \alpha$ elipse; $\beta = \alpha$ parábola; $\beta < \alpha$ hipérbole (duas folhas, dois ramos). Pelo vértice: ponto, reta ou duas retas (degeneradas).
• Elipse: $d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a$; $a^2 = b^2 + c^2$; $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ (eixo maior na variável do maior denominador); focos a $c$ do centro, no eixo maior; área $\pi a b$; $e = c/a < 1$.
• Parábola: $d(P, F) = d(P, d)$; $y^2 = 4px$ (foco $(p, 0)$, diretriz $x = -p$) e $x^2 = 4py$ (foco $(0, p)$, diretriz $y = -p$); $p$ = distância foco–vértice; $y = ax^2$ tem $p = 1/(4a)$; foco de um refletor de abertura $L$ e profundidade $h$: $p = L^2/16h$.
• Hipérbole: $|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a$; $c^2 = a^2 + b^2$; $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ (vértices $(\pm a, 0)$, focos $(\pm c, 0)$, assíntotas $y = \pm\frac{b}{a}x$); $a^2$ é o denominador do termo positivo; $e = c/a > 1$.
• Centro em $(h, k)$: troque $x$ por $x - h$ e $y$ por $y - k$; da forma geral, complete quadrados. Tipo pela equação: $A = C$ circunferência; mesmo sinal elipse; sinais contrários hipérbole; um quadrado só parábola.
• Excentricidade $e = c/a$: 0 circunferência, entre 0 e 1 elipse, 1 parábola, acima de 1 hipérbole. Órbita: periélio $a(1 - e)$, afélio $a(1 + e)$, $e = \dfrac{A - P}{A + P}$; distância do Sol ao outro foco $2c = 2ea$.
• Refletora: parábola manda o paralelo ao foco (antena, Arecibo, Hubble) e o foco para o paralelo (farol); elipse manda um foco ao outro, sempre com percurso $2a$ (sussurros, litotripsia); hipérbole devolve ao outro foco (Cassegrain).
• Na prova: classifique pelo plano, não pela figura; leia $a$, $b$, $c$ pela equação e marque os focos você mesmo; faça a conta exata antes do limiar; julgue a afirmação inteira.