Progressão geométrica (PG)

Um mutirão de reflorestamento começa modesto: 3 mudas no primeiro dia. O combinado com os voluntários é que cada dia plante o dobro do dia anterior, e a sequência de plantio fica 3, 6, 12, 24. Quem organiza quer saber duas coisas: quantas mudas vão ao chão no décimo dia, e quantas terão sido plantadas, no total, até lá. A prova do PAS 1 de dezembro de 2025 fez uma pergunta do mesmo tipo, com o fator virado para baixo: um peixe-limpador retira 50% dos parasitas de um tubarão-lixa a cada sessão de limpeza, a partir de 800, e o item afirmava que, depois da quarta sessão, restaria menos de 2,5% da quantidade inicial. Nenhum dos dois enunciados traz fórmula. O que os dois trazem é um fator que se repete, dobrar num caso e cair à metade no outro, aplicado uma vez a cada passo.

As duas situações são o mesmo objeto: uma lista de números em que se multiplica sempre pelo mesmo fator para passar de um termo ao seguinte. É a progressão geométrica, ou PG. Esta página é sobre como reconhecer uma PG e classificar a sua razão, como chegar a qualquer termo sem escrever os anteriores, por que os termos de uma PG caem sobre uma curva exponencial, como somar dez termos ou infinitos termos em uma linha, e onde a banca planta o erro. A progressão aritmética, que soma em vez de multiplicar, e a função exponencial, que é a PG sem degraus, têm páginas próprias; aqui aparecem como vizinhas e como contraste.

Somar ou multiplicar: a pergunta que vem antes da fórmula

Uma sequência é uma lista ordenada $a_1, a_2, a_3, \ldots$; o índice diz a posição, o número diz o valor. Em $(3, 6, 12, 24, \ldots)$, o 24 é o valor do quarto termo: $a_4 = 24$. Antes de qualquer fórmula, a pergunta é: o que se faz para passar de um termo ao seguinte? Em $(5, 9, 13, 17)$ soma-se 4 sempre: é PA. Em $(3, 6, 12, 24)$ soma-se 3, depois 6, depois 12, mas multiplica-se por 2 sempre: é PG. Um enunciado que diz “dobra a cada dia”, “cresce 12% ao ano”, “perde metade a cada sessão”, “diminui 60% ao mês” está descrevendo uma PG sem usar o nome, porque cada uma dessas frases é um fator fixo: $\times 2$, $\times 1{,}12$, $\times 0{,}5$, $\times 0{,}4$.

Repare na última linha: perder 60% é ficar com 40%, e o fator é $0{,}4$, não $0{,}6$. Esse é o primeiro lugar em que a prova tropeça o candidato.

O que faz uma sequência ser geométrica

Para decidir se uma lista é PG, divida cada termo pelo anterior e compare todos os quocientes. Em 2021 a prova deu as frequências do acorde de Lá menor, 440 Hz, 528 Hz e 660 Hz, e afirmou que estavam em progressão geométrica. Teste: $528/440 = 1{,}2$ e $660/528 = 1{,}25$. Dois quocientes diferentes, não é PG, e o item era E. O mesmo item dizia que as frequências do acorde de Lá maior, 440, 550 e 660 Hz, estavam em PA: aí sim, $550 - 440 = 660 - 550 = 110$. A primeira metade da afirmação estava certa e a segunda, errada; o julgamento é da frase inteira.

Há uma PG degenerada que vale conhecer para não cair nela: com $q = 0$ a sequência é $a_1, 0, 0, 0, \ldots$, e a partir do terceiro termo não dá para recuperar a razão dividindo ($a_3/a_2$ seria zero por zero). Provas não cobram isso; livros costumam exigir termos não nulos justamente para que $q = a_{n+1}/a_n$ sempre funcione.

Termo geral: n − 1 fatores, não n

No mutirão, o primeiro dia (3 mudas) e o segundo (6) estão separados por uma dobra; o terceiro fica a duas dobras do começo; o décimo, a nove. O número de multiplicações fica sempre uma unidade atrás da posição, porque o primeiro termo é o ponto de partida e não foi multiplicado por nada.

Exemplo resolvido 1: o mutirão que dobra. No primeiro dia, 3 mudas; a cada dia, planta-se o dobro do dia anterior. Quantas mudas vão ao chão no 10.º dia? Esse número passa de 2 000?

Estratégia: PG com $a_1 = 3$ e $q = 2$; entre o 1.º e o 10.º dia há $10 - 1 = 9$ dobras.

Resolução: $a_{10} = 3 \cdot 2^9 = 3 \cdot 512 = 1\,536$ mudas. Não passa de 2 000: num item de julgamento, E.

Conferência: listando, $3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1\,536$; o décimo é 1 536. Quem usa $2^{10}$ chega a $3\,072$, que é o 11.º dia, e responde que passa de 2 000: o expoente errado inverte o julgamento. O limiar foi posto de propósito entre $3 \cdot 2^9$ e $3 \cdot 2^{10}$, e é assim que a banca separa quem contou fatores de quem contou termos.

A prova cobra exatamente essa contagem. Em 2011, num navio em que Alex empilhava caixas em pilhas cujas quantidades formavam uma PG com $b_1 = 1$, o item dizia: “se a terceira pilha continha 4 caixas, então a quinta continha 32”. De $b_1 = 1$ a $b_3 = 4$ há dois fatores: $q^2 = 4$, $q = 2$ (as caixas são positivas). De $b_3$ a $b_5$ há mais dois: $b_5 = 4 \cdot 2^2 = 16$, não 32. Item E. Quem chega a 32 fez $2^5$, contando cinco fatores entre o primeiro e o quinto termo.

Dois termos distantes. Se $a_2 = 6$ e $a_5 = 162$, então $a_5/a_2 = q^3 = 27$ e $q = 3$; daí $a_1 = a_2/q = 2$ e $a_8 = a_5 \cdot q^3 = 162 \cdot 27 = 4\,374$. Quando o expoente que sobra é par, a razão tem dois sinais possíveis: de $a_1 = 3$ e $a_3 = 12$ vem $q^2 = 4$, e $q = 2$ ou $q = -2$; só o contexto (caixas, pessoas, dinheiro) ou um termo a mais decide.

Os pontos de uma PG caem sobre uma curva exponencial

Escreva o termo geral de outro jeito: $a_n = a_1 q^{\,n-1} = \dfrac{a_1}{q} \cdot q^{\,n}$. Isso é $f(n) = A \cdot q^{\,n}$ com $A = a_1/q$: uma função exponencial da posição, avaliada só em $n = 1, 2, 3, \ldots$ A razão da PG é a base da exponencial; os pontos $(n, a_n)$ caem todos sobre a curva $y = A q^x$, mas a PG só ocupa os de abscissa inteira. Por isso a PG é chamada de exponencial discreta: a curva existe para todo $x$ real, e a sequência recolhe dela um único ponto por posição, o 1.º, o 2.º, o 3.º, como quem sobe uma rampa pisando só nos degraus marcados.

A tradução vale nos dois sentidos, e a prova cobrou os dois. De exponencial para PG: em 2021, no PAS 2, uma população de bactérias sob antibiótico seguia $Q(t) = Q_0 \cdot e^{-kt}$, e o item afirmava que $Q(1), Q(2), \ldots, Q(n)$ formam uma PG de razão $e^{-k}$. Certo: $Q(t+1)/Q(t) = e^{-k(t+1)}/e^{-kt} = e^{-k}$, o mesmo quociente para todo $t$. Toda exponencial lida em instantes igualmente espaçados vira PG, com razão igual à base elevada ao espaçamento. De PG para exponencial: uma produção que cresce 12% ao ano é a PG de razão $1{,}12$ e, ao mesmo tempo, a função $P(t) = P_0 \cdot 1{,}12^{\,t}$; a diferença é só se o tempo é contado em anos inteiros ou em qualquer instante.

Dessa identidade sai um fato que a banca já transformou em item: com $q > 1$ a PG sobe em curva, devagar nas primeiras posições e sem freio depois, e nenhuma PA, por maior que seja a sua razão, consegue permanecer à frente dela indefinidamente. A seção “PA × PG” desenvolve isso com o item de 2023.

Termo médio geométrico e interpolação

Duas propriedades saem direto do termo geral e economizam contas.

A razão áurea de 2024 é a propriedade do termo médio em pedra: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}$ é o mesmo que $b^2 = ac$, ou seja, $b$ é a média geométrica de $a$ e $c$, e $(a, b, c)$ é uma PG. Num item de três termos com uma incógnita, é a conta mais curta: se $(4, x, 9)$ é PG de termos positivos, então $x^2 = 36$ e $x = 6$.

Interpolar (ou inserir) meios geométricos entre dois números é completar uma PG que os tenha como extremos. Inserir $k$ meios entre $a$ e $b$ cria uma PG de $k + 2$ termos, com $k + 1$ fatores: $q^{\,k+1} = b/a$.

Exemplo resolvido 2: inserir meios geométricos. Uma escala de zoom vai de 2× a 162× em cinco níveis igualmente espaçados em fator (cada nível multiplica o anterior pela mesma quantidade). Quais são os três níveis intermediários?

Estratégia: três meios geométricos entre 2 e 162; os fatores são $3 + 1 = 4$.

Resolução: $q^4 = 162/2 = 81$, logo $q = 3$ (fatores de zoom são positivos). Os níveis intermediários são $6, 18$ e $54$.

Conferência: $2, 6, 18, 54, 162$ tem cinco termos e quatro quocientes iguais a 3. Se alguém tomasse $q^3 = 81$ (três fatores para três meios), acharia $q = \sqrt[3]{81} \approx 4{,}33$ e o terceiro meio cairia em $2 \cdot 4{,}33^3 = 162$, que é o extremo, não um meio. O termo do meio, 18, é a média geométrica dos extremos: $\sqrt{2 \cdot 162} = \sqrt{324} = 18$. Bate.

Somar sem somar: multiplique tudo pela razão

De volta ao mutirão: quantas mudas foram plantadas, ao todo, nos dez primeiros dias? Dá para somar $3 + 6 + 12 + \cdots + 1\,536$ termo a termo, mas existe um atalho de duas linhas. Escreva a soma, multiplique a linha inteira pela razão e subtraia uma da outra: as parcelas do meio se anulam aos pares.

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{\,n-1} \\ q\,S_n &= \phantom{a_1 +\ } a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{\,n-1} + a_1 q^{\,n} \\ \hline q\,S_n - S_n &= a_1 q^{\,n} - a_1 \end{aligned}$$

Cada termo da primeira linha, exceto o primeiro, aparece também na segunda; sobram só o último da segunda e o primeiro da primeira. Logo $(q - 1) S_n = a_1 (q^n - 1)$.

Exemplo resolvido 3: o total do mutirão. $a_1 = 3$, $q = 2$, $n = 10$. Quantas mudas ao fim de dez dias, e o mutirão passa de 3 000?

Estratégia: soma finita de PG com $q \neq 1$; a potência necessária é $q^n = 2^{10} = 1\,024$.

Resolução: $S_{10} = 3 \cdot \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 1\,023 = 3\,069$ mudas. Passa de 3 000: num item de julgamento, C.

Conferência: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 + 768 + 1\,536 = 3\,069$, que é $3 \cdot 1\,023$, três unidades abaixo de $3 \cdot 2^{10} = 3\,072$. E $3\,072$ é justamente $a_{11}$: o 11.º dia, sozinho, plantaria mais do que os dez primeiros juntos. Numa PG de razão 2 isso é regra, não coincidência, e a diferença é sempre $a_1$ ($a_{n+1} - S_n = a_1$); para qualquer $q \geq 2$ com termos positivos, o termo seguinte supera a soma de tudo o que veio antes. É um resultado que contraria quem está acostumado a somar. Com $1 < q < 2$ (como $1{,}12$) a curva continua subindo, mas o termo seguinte já não vence o acumulado: em $4, 6, 9$ (razão $1{,}5$), $4 + 6 = 10 > 9$.

A prova de 2015 fez exatamente essa pergunta com desmatamento: uma área desmatada em um dia, e a cada dia seguinte o dobro do dia anterior, até a área ficar completamente desmatada em 8 dias; o item afirmava que “metade da área já havia sido desmatada no sexto dia”. Em unidades do primeiro dia, o total é $S_8 = 2^8 - 1 = 255$; ao fim do sexto dia, $S_6 = 63$, menos de um quarto; ao fim do sétimo, $S_7 = 127$, ainda um pouco menos da metade. A metade só é atingida durante o oitavo dia: item E. Em 2014, a produção de suínos de uma região crescia 12% ao ano de 2013 a 2016, partindo de 120 toneladas, e o item dizia que o total do período seria inferior a 500 toneladas: $S_4 = 120 \cdot \dfrac{1{,}12^4 - 1}{0{,}12}$, com $1{,}12^2 = 1{,}2544$ e $1{,}12^4 \approx 1{,}5735$, dá $120 \cdot 4{,}779 \approx 573{,}5$ toneladas. Superior a 500: E. Quem esquece o crescimento e soma quatro anos de 120 toneladas acha 480, abaixo de 500, e marca C; quem soma os percentuais ($120 \cdot 1{,}36 = 163{,}2$ em 2016, em vez de $120 \cdot 1{,}12^3 \approx 168{,}6$) acha um total de $566{,}4$ toneladas, acerta o julgamento por conta errada, e num limiar mais apertado erraria.

Duas estruturas de blocos cúbicos, em 2020, cruzaram as duas somas: a primeira com 12 blocos de arestas em PA de razão $-0{,}05$ m a partir de 1 m; a segunda com 10 blocos de arestas em PG de razão $0{,}9$, e a prova fornecia $0{,}9^{10} \approx 0{,}35$. Altura da primeira: $a_{12} = 1 - 11 \cdot 0{,}05 = 0{,}45$ e $S_{12} = (1 + 0{,}45) \cdot 12 / 2 = 8{,}7$ m. Altura da segunda: $S_{10} = \dfrac{1 - 0{,}9^{10}}{1 - 0{,}9} = \dfrac{0{,}65}{0{,}1} = 6{,}5$ m. A primeira é mais alta: C. Quando a potência necessária não vem impressa no comando, desconfie do caminho; quando vem, ela é o mapa da conta.

Somar infinitos termos e chegar a um número

Divida um quadrado de área 1 pela metade; depois uma das metades pela metade; depois um dos quartos pela metade; e assim sem fim. As peças têm áreas $\dfrac12, \dfrac14, \dfrac18, \dfrac1{16}, \ldots$, uma PG de razão $\dfrac12$. Somadas todas, preenchem o quadrado inteiro, e nada mais: a soma de infinitas parcelas positivas é exatamente 1. É o paradoxo de Zenão resolvido: Aquiles percorre metade da distância, depois metade do que falta, depois metade do que falta, e o total das infinitas etapas é a distância inteira, não infinito.

O que torna isso possível é que, com $|q| < 1$, a potência $q^n$ míngua rumo a zero quando $n$ cresce: $(1/2)^{10} \approx 0{,}001$, $(1/2)^{20} \approx 0{,}000001$. Na fórmula da soma finita escrita como $S_n = a_1 \dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$, o $q^n$ desaparece e sobra um número fixo.

Três aplicações voltam sempre. Os parasitas do tubarão: 800 parasitas, 50% removidos por sessão; removem-se 400, 200, 100, 50, … e o total removido se aproxima de $400/(1 - 1/2) = 800$, o que havia, sem nunca passar disso. As dízimas periódicas: $0{,}272727\ldots = 0{,}27 + 0{,}0027 + 0{,}000027 + \cdots$ é uma PG de $a_1 = 0{,}27$ e $q = 0{,}01$, com soma $\dfrac{0{,}27}{1 - 0{,}01} = \dfrac{0{,}27}{0{,}99} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$; e $0{,}999\ldots = \dfrac{0{,}9}{1 - 0{,}1} = 1$, exatamente. A razão negativa: $6 - 3 + 1{,}5 - 0{,}75 + \cdots$ tem $q = -1/2$, e a soma é $6/(1 + 1/2) = 4$; as somas parciais $6, 3, 4{,}5, 3{,}75, \ldots$ oscilam em torno de 4 e se fecham nele.

A prova usou a soma infinita num tipo B inteiro. Em 2012, os recordes dos 100 metros rasos eram estimados a partir de $9{,}930$ s: o primeiro recorde seria $R_1 = 9{,}930 - a_1$, o segundo $R_2 = R_1 - a_2$, e assim por diante, com $(a_i)$ uma PG de razão $0{,}98$ e $a_1 = 0{,}009$. O item pedia o limite mínimo do tempo, em centésimos de segundo. Todo o desconto acumulado, com infinitos recordes, é $S_\infty = \dfrac{0{,}009}{1 - 0{,}98} = \dfrac{0{,}009}{0{,}02} = 0{,}45$ s, e o limite é $9{,}930 - 0{,}45 = 9{,}48$ s: resposta 948. O item vizinho, de julgamento, dizia que o segundo recorde seria inferior a $9{,}912$ s: $R_2 = 9{,}930 - 0{,}009 - 0{,}009 \cdot 0{,}98 = 9{,}930 - 0{,}01782 = 9{,}91218$, um fio acima de $9{,}912$; item E. O limiar foi escolhido para punir quem arredonda antes de comparar.

PA × PG: somar contra multiplicar

As duas progressões são a mesma pergunta com duas operações. Lado a lado:

Nenhuma PA segura uma PG de razão $q > 1$. Em 2023, o item dizia que, a partir de 2050, as crianças de 0 a 4 anos cresceriam em PG de razão $q > 1$ e os idosos, em PA de razão um milhão por ano, e afirmava que “sempre” haveria menos crianças que idosos. Os idosos partem na frente (dois para cada criança), e um milhão por ano é muito; mas é sempre o mesmo milhão, enquanto a PG multiplica o que já tem. Em algum ano a curva fura a reta, e o “sempre” cai: E. Reta nenhuma segura uma exponencial, por menor que seja $q > 1$ e por maior que seja $r$.

Logaritmo transforma PG em PA. Se $a_n = a_1 q^{\,n-1}$ com termos positivos, então $\log a_n = \log a_1 + (n - 1) \log q$: os logaritmos dos termos formam uma PA de razão $\log q$. É por isso que, em papel de escala logarítmica, uma PG aparece como pontos alinhados; e é a ponte para a página de logaritmos, onde a propriedade do produto faz esse trabalho.

Uma sequência constante $(7, 7, 7, \ldots)$ é as duas coisas ao mesmo tempo: PA de razão $0$ e PG de razão $1$. Fora dela, nenhuma sequência é PA e PG simultaneamente, porque somar um passo fixo e multiplicar por um fator fixo só coincidem quando o passo é zero e o fator é um.

A PG vestida de fenômeno

A PG quase nunca chega com o nome na frente. Ela vem como percentual, como “dobra”, como “meia-vida”, como juro.

Decaimento por fator constante e meia-vida em degraus. “Perde metade a cada intervalo” é PG de razão $1/2$: depois de $k$ intervalos resta $(1/2)^k$ do inicial, e nunca zero. Quatro meias-vidas deixam $1/16 = 6{,}25\%$; foi isso que decidiu o item de 2025: 800 parasitas com remoção de 50% por sessão deixam, após a quarta sessão, $800 \cdot (1/2)^4 = 50$ parasitas, $6{,}25\%$ do inicial, bem acima do “inferior a 2,5%” afirmado. Item E: o limiar afirmado só chegaria na sexta sessão ($1/64 \approx 1{,}6\%$). O mesmo raciocínio serve à depreciação (20% ao ano por três anos deixa $0{,}8^3 = 0{,}512$, ainda mais da metade) e ao carbono-14 (fração $(1/2)^{t/5730}$).

A mesma grandeza pode encolher e depois crescer, cada trecho com a sua razão. Em 2017, uma lagoa tinha 25 000 pirarucus, que diminuíam 60% ao mês durante cinco meses; depois, com o manejo, cresciam em PG de razão $4/3$ por mais cinco meses. Primeiro trecho: $25\,000 \cdot 0{,}4^5 = 25\,000 \cdot 0{,}01024 = 256$. Segundo: $256 \cdot (4/3)^5 = 256 \cdot 1\,024/243 \approx 1\,079$. Longe dos “mais de 8 000” afirmados: E. O item paga quem supõe que “60% por cinco meses” zera a lagoa e quem recomeça de 25 000.

Contagem em potências de 2. Em 2009, no PAS 2, uma multidão de 127 pessoas se formava assim: uma pessoa no instante $t_1$, mais duas em $t_2$, mais quatro em $t_3$, mais oito em $t_4$, e assim por diante; o item afirmava que o número $M$ de grupos (de $2^{k-1}$ pessoas cada, $k = 1, \ldots, M$) era 6. A soma $1 + 2 + \cdots + 2^{M-1} = 2^M - 1$; para dar 127, $2^M = 128$ e $M = 7$: E. É a mesma conta dos grãos de trigo no tabuleiro de xadrez: $1 + 2 + \cdots + 2^{63} = 2^{64} - 1$.

Razão escrita de forma estranha. Em 2023, no PAS 2, a temperatura média da Amazônia, partindo de 30 °C, decresceria em PG de razão $\sqrt[100]{5/6}$, e o item dizia que seriam necessários mais de 120 anos para ficar abaixo de 25 °C. Depois de $n$ anos, $T_n = 30 \cdot (5/6)^{n/100}$; ficar abaixo de 25 é $(5/6)^{n/100} < 5/6$, ou seja, $n/100 > 1$, $n > 100$. Cem anos levam exatamente a 25 °C; 101 já bastam. “Mais de 120”: E. A razão parecia assustadora e a conta foi uma comparação de expoentes.

Ler tabelas e gráficos discretos

Uma tabela esconde uma PG quando os quocientes entre linhas consecutivas são iguais, com a mesma ressalva da PA: as posições precisam avançar de um em um. Se a tabela mostra $n = 1, 3, 5$ com valores $3, 12, 48$, os quocientes $12/3 = 4$ e $48/12 = 4$ são iguais, mas correspondem a dois passos cada: $q^2 = 4$ e $q = \pm 2$. Divida o expoente pelo salto de posições antes de concluir, e lembre que expoente par deixa dois sinais possíveis; o termo $a_2$ dessa tabela pode ser $6$ ou $-6$.

Num gráfico de pontos $(n, a_n)$, a PG se reconhece pela curvatura: degraus que aumentam (ou diminuem) sempre na mesma proporção. Não ligue os pontos com uma linha, porque a PG não tem termo $2{,}7$; a curva exponencial por baixo é um apoio para o olho, não parte da sequência. Quando o eixo vertical está em escala logarítmica, a PG vira uma fileira de pontos alinhados, e a razão vira a inclinação, o que é a versão gráfica de “log de PG é PA”.

Um enunciado que diz “os dados sugerem uma PG” pede que você teste, não que aceite. E quando dá uma constante ($0{,}9^{10} \approx 0{,}35$; $\sqrt{5} \approx 2{,}236$), ela é a rota da conta: uma resposta que não a usou raramente é a da banca.

Os seis erros que a banca planta

1. Multiplicar a razão $n$ vezes em vez de $n - 1$. Mutirão (6 mudas no 2.º dia, $3 \cdot 2^9$ no 10.º), caixas de 2011 ($b_5 = 16$, não 32), solubilidade de 2013 ($n = 51$). Entre o primeiro e o $n$-ésimo termo há $n - 1$ fatores; ao interpolar $k$ meios, $k + 1$ fatores.
2. Somar PG como PA, ou confundir $a_n$ com $S_n$. A soma da PG vem de $a_1 (q^n - 1)/(q - 1)$, nunca da média dos extremos; e “no 10.º dia” é $a_{10}$, “até o 10.º dia” é $S_{10}$. Em 2015 a metade da área só veio no oitavo dia, não no sexto.
3. Usar a soma infinita com $|q| \geq 1$. $a_1/(1 - q)$ exige $-1 < q < 1$. Fora daí a soma explode ou oscila, e a fórmula devolve um número sem sentido (como $-1$ para $1 + 2 + 4 + \cdots$).
4. Tratar a razão como diferença, ou o percentual como razão. “Cai 20%” é $q = 0{,}8$, não $0{,}2$; “diminui 60%” é $0{,}4$. E a razão de $(a, b, c)$ é $b/a$, o seguinte sobre o anterior: na catedral de 2024, $1/\varphi < 1$, PG decrescente.
5. Esquecer o sinal quando o expoente é par. De $q^2 = 4$ saem $q = 2$ e $q = -2$; só o contexto elimina um. Uma PG de razão negativa alterna sinais e não tem curva exponencial por baixo.
6. Somar percentuais. Dois anos a 10% não são 20%, são $1{,}1^2 = 1{,}21$; quatro anos a 12% não são 48%. Cada percentual incide sobre o valor já modificado: é exatamente isso que faz a sequência ser geométrica.

O essencial em meia página

• PG: sequência em que $a_{n+1} = a_n \cdot q$ para todo $n$; a razão é o quociente $a_{n+1}/a_n$. Com $a_1 > 0$: $q > 1$ crescente, $0 < q < 1$ decrescente, $q = 1$ constante, $q < 0$ alternante. “Cresce $i\%$” é $q = 1 + i$; “perde $i\%$” é $q = 1 - i$.
• Termo geral: $a_n = a_1 q^{\,n-1}$; entre dois termos, $a_n = a_m q^{\,n-m}$. Conte fatores: são um a menos que os termos.
• Exponencial discreta: $a_n = (a_1/q) \cdot q^n$ é uma função exponencial de base $q$ avaliada só nos inteiros; exponencial lida em instantes igualmente espaçados é PG. Nenhuma PA segura uma PG com $q > 1$.
• Propriedades: $a_n^2 = a_{n-1} a_{n+1}$ (média geométrica); três termos em PG são $x/q, x, xq$; equidistantes dos extremos têm produto $a_1 a_n$. Interpolar $k$ meios: $q^{\,k+1} = b/a$.
• Soma finita: $S_n = a_1 \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ para $q \neq 1$ (dedução: $qS_n - S_n$); $S_n = n a_1$ para $q = 1$. Com termos positivos e $q \geq 2$, o próximo termo pesa mais que a soma de todos os anteriores (não vale para $1 < q < 2$).
• Soma infinita: $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}$ somente se $|q| < 1$. Dízimas periódicas, quadrado dividido pela metade, parasitas do tubarão, limite dos recordes (948).
• PA × PG: soma contra multiplicação; log de PG é PA; sequência constante é as duas.
• Contexto: juros compostos (saldos em PG de razão $1 + i$), crescimento e decaimento percentual, meia-vida em degraus ($(1/2)^k$ nunca zera), depreciação, contagens $2^M - 1$.
• Tabelas: teste todos os quocientes; posições puladas dão $q^{\Delta n}$ e expoente par deixa dois sinais.
• Limiar: calcule o exato e compare depois ($6{,}25\%$ não é inferior a $2{,}5\%$; $9{,}91218$ não é inferior a $9{,}912$; 101 anos não são “mais de 120”).