Juros simples e compostos

Uma fatura de R$ 500 fica esquecida no rotativo do cartão, a 12% ao mês. Quem soma percentuais responde depressa: doze meses, 144%, a dívida chega a R$ 1 220. O contrato diz outra coisa. O primeiro mês acrescenta R$ 60; o segundo, 12% de R$ 560, que são R$ 67,20; o terceiro, R$ 75,26, e a cada mês a parcela acrescentada é maior que a anterior. Ao fim de um ano a dívida é $500 \cdot 1{,}12^{12} \approx 1\,948$ reais, quase o quádruplo. Os R$ 728 que a intuição não viu são o juro sobre o juro: a diferença entre somar sempre a mesma quantia (juros simples, uma reta) e multiplicar sempre pelo mesmo fator (juros compostos, uma curva).

Na mesma semana, uma loja oferece “10% de desconto à vista ou duas vezes sem juros”. As duas frases falam do mesmo dinheiro, e a segunda esconde um juro de 25% ao mês. Esta página é sobre enxergar esse tipo de conta: o que uma porcentagem faz com um número, as quatro letras de qualquer problema de juros, os dois regimes lado a lado, a conversão de taxas entre mês e ano, a escolha entre pagar à vista ou parcelar, a leitura de uma tabela de financiamento, o desconto que a inflação aplica a tudo e os erros que o PAS/UnB já transformou em item. A fatura e a loja voltam ao longo das seções, sempre com os mesmos números.

Porcentagem é um fator, não uma soma

“Por cento” quer dizer “a cada cem”: $20\% = 20/100 = 0{,}20$. Calcular 20% de R$ 350 é multiplicar: $0{,}20 \cdot 350 = 70$. Até aqui, nada de novo. A ideia que organiza toda a página vem em seguida: aumentar uma quantia em 20% é multiplicá-la por $1{,}20$, e diminuir em 20% é multiplicá-la por $0{,}80$. O número que multiplica se chama fator.

O fator resolve o que a soma de percentuais erra: variações sucessivas se multiplicam. Um preço que sobe 20% e depois cai 20% não volta ao lugar: $1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96$, ficou 4% abaixo. Dois descontos de 20% não são 40%: $0{,}80 \cdot 0{,}80 = 0{,}64$, o desconto acumulado é de 36%. Três aumentos de 50% multiplicam por $1{,}5^3 = 3{,}375$, e não por $2{,}5$. Foi exatamente esse o item do PAS 1 de 2008: uma maçã que passa por cooperativa, atacadista e feirante, com 50% de acréscimo em cada etapa, chega ao consumidor por mais de 3 vezes o preço inicial (gabarito Certo).

Duas leituras que a banca gosta de misturar. A primeira é porcentagem de porcentagem: se o óleo diesel tem 5% de biodiesel e o girassol responde por 3% desse biodiesel, a participação do girassol no diesel é $0{,}03 \cdot 0{,}05 = 0{,}0015$, isto é, 0,15% (PAS 1 2013, item 63: “inferior a 2%”, Certo). A segunda é ponto percentual contra percentual: uma taxa que passa de 4% para 6% subiu 2 pontos percentuais, mas subiu 50% em termos relativos ($6/4 = 1{,}5$). Quando o item pergunta “que percentual deve ser subtraído de 35,6% para chegar a 25,2%”, a resposta é a diferença $35{,}6 - 25{,}2 = 10{,}4$ pontos, porque os dois números estão na mesma base (PAS 1 2010, item 55).

Exemplo resolvido 1 (o carro de 2016). Um carro com preço de tabela de R$ 56 000 é vendido com R$ 6 000 de desconto e a loja lucra 25% sobre o custo. Que lucro teria se vendesse pela tabela? Preço de venda: $56\,000 - 6\,000 = 50\,000$. Lucro de 25% sobre o custo $c$ significa $1{,}25\,c = 50\,000$, logo $c = 40\,000$. Vendendo a R$ 56 000, o fator sobre o custo seria $56\,000/40\,000 = 1{,}40$: lucro de 40%. Conferência: 40% de 40 000 são 16 000, e $40\,000 + 16\,000 = 56\,000$. Repare que o lucro se calcula sobre o custo, não sobre o preço de venda; quem divide 16 000 por 56 000 acha 28,6% e erra o item.

Quatro letras que toda conta de juros usa

Emprestar, aplicar, financiar e parcelar são a mesma operação vista de lados diferentes: alguém usa um dinheiro que não é seu por um tempo e paga por isso. O preço desse uso é o juro.

Antes de aplicar qualquer fórmula, alinhe as unidades. “1,5% ao mês durante 2 anos” é $i = 0{,}015$ com $t = 24$, e não $t = 2$. “12% ao ano durante 6 meses” pede ou converter a taxa para o mês (a seção sobre taxas mostra como) ou escrever $t = 0{,}5$ ano. Metade dos erros do assunto nasce aqui, antes de qualquer conta.

Juros simples: a PA do dinheiro

Emprestar R$ 500 a juros simples de 2% ao mês significa que todo mês a dívida cresce os mesmos R$ 10 (2% de 500), não importa quanto ela já tenha crescido. Depois de um mês, 510; de dois, 520; de três, 530. Os saldos formam uma progressão aritmética de razão 10, e o montante é uma função afim do tempo.

Exemplo resolvido 2 (o empréstimo de R$ 1 200). R$ 1 200 a juros simples de 2% ao mês por 10 meses. Juro mensal: $1\,200 \cdot 0{,}02 = 24$ reais. Em 10 meses: $J = 240$; montante $M = 1\,440$. Como função: $M(t) = 1\,200 + 24t$. Pergunta ao contrário: em quantos meses a dívida dobra? $24t = 1\,200$ dá $t = 50$ meses, que é $1/0{,}02$. Conferência: $M(50) = 1\,200 + 1\,200 = 2\,400$.

Na prova, os juros simples aparecem quase sempre ao contrário: o item dá capital, montante e prazo e pede a taxa, ou dá a taxa e pede o prazo. A conta é a mesma fórmula isolada: $i = (M - C)/(C\,t)$ e $t = (M - C)/(C\,i)$. No PAS 1 de 2016, R$ 10 000 renderam R$ 2 000 em 25 meses. Juro por mês: $2\,000/25 = 80$ reais; taxa: $80/10\,000 = 0{,}8\%$ ao mês, abaixo de 1% (item 53, Errado). Há dois descuidos que mudam o julgamento: tomar o montante de R$ 12 000 como base da divisão, quando a base é o capital de R$ 10 000, e tratar os 20% acumulados no prazo inteiro como se fossem a taxa de um mês, pulando a divisão pelos 25 meses.

Onde o regime simples existe fora da sala de aula: multas por atraso de contas de consumo (um percentual fixo, sem capitalização), juros de mora em alguns contratos e boletos, e os “juros de um dia” de empréstimos muito curtos. Em praticamente todo o resto, do cartão ao financiamento da casa, o regime é composto.

Juros compostos: a PG do dinheiro

Volte à fatura de R$ 500 a 12% ao mês e refaça a conta nos dois regimes. Num contrato de juros simples, a base de cálculo seria sempre o capital inicial, e cada mês somaria os mesmos R$ 60: 560, 620, 680. O cartão não funciona assim. A base de cálculo do cartão é o saldo devedor do momento, que já contém os juros anteriores: 560; depois 12% de 560, que dá 627,20; depois 12% de 627,20, que dá 702,46. Repare na coincidência do primeiro mês, 560 nos dois, e na separação que começa no segundo e nunca mais se fecha. Os saldos do cartão formam uma progressão geométrica de razão 1,12, e o montante é uma função exponencial do tempo.

Exemplo resolvido 3 (R$ 2 000 a 2% ao mês por 3 meses). Fator por mês: 1,02. Fator acumulado: $1{,}02^3 = 1{,}061208$. Montante: $2\,000 \cdot 1{,}061208 = 2\,122{,}42$ reais; juro: R$ 122,42. A juros simples seriam $2\,000 \cdot 0{,}06 = 120$ reais de juro e montante R$ 2 120. A diferença de R$ 2,42 é pequena porque a taxa é baixa e o prazo é curto: é o juro que os juros do primeiro e do segundo mês renderam. Conferência mês a mês: 2 040; 2 040 mais 2% de 2 040 (40,80) dá 2 080,80; mais 2% de 2 080,80 (41,62) dá 2 122,42.

A conta pesada de juros compostos é a potência, e a banca sabe disso. Nos itens do PAS a potência vem impressa no comando (“considere $1{,}1^{10} = 2{,}59$”) e o trabalho é reconhecer onde encaixá-la. No financiamento habitacional de 2022, R$ 100 000 a 10% ao ano por 10 anos: dívida total $100\,000 \cdot 2{,}59 = 259\,000$ reais, e o resto do item era uma PA de parcelas (a seção sobre financiamento retoma). Quando a potência não vem impressa e o expoente é pequeno, calcule à mão ($1{,}1^3 = 1{,}331$); quando é grande, o item ou dá um logaritmo ou está mal feito, como o item 55 de 2016, que pedia $(1+i)^{19}$ a partir de $(1+i)^9 = 1{,}2$ e acabou anulado.

A reta contra a curva: quando cada regime vence

Os dois regimes partem do mesmo capital e rendem o mesmo juro no primeiro período, $C\,i$. A partir do segundo, o composto rende mais, porque o juro do período anterior passou a render também. Com $C = 500$ e $i = 12\%$ ao ano:

Três leituras do gráfico valem por toda a teoria. Primeira: para $t > 1$ e taxa positiva, o composto sempre supera o simples, e a vantagem cresce sem limite, porque nenhuma reta acompanha uma exponencial. Segunda: no começo os dois quase se confundem. Em 2 anos a diferença é de R$ 7,20 em R$ 620; a curva parece uma reta por vários períodos, e só depois dispara. Terceira, mais fina: para uma fração de período ($0 < t < 1$), a reta fica ligeiramente acima da curva, porque $(1+i)^t < 1 + it$ nesse trecho; é por isso que alguns contratos curtos usam juro simples proporcional dentro do mês. Na prova, essa terceira leitura aparece raramente; as duas primeiras aparecem sempre.

Quanto tempo para dobrar? No simples, $t = 1/i$: 100% dividido pela taxa (a 2% ao mês, 50 meses; a 10% ao ano, 10 anos). No composto, é preciso resolver $(1+i)^t = 2$, uma equação exponencial cuja solução exata pede um logaritmo: $t = \log 2 / \log(1+i)$. Sem calculadora, vale a regra do 70: a $i\%$ por período, o capital dobra em cerca de $70/i$ períodos. A 10% ao ano, 7 anos ($1{,}1^7 \approx 1{,}95$); a 2% ao mês, 35 meses ($1{,}02^{35} \approx 2{,}00$); a 7% ao ano, 10 anos. A regra funciona bem para taxas de até uns 15% e é o que separa, no rotativo do cartão a 12%, “a dívida dobra em seis meses” de “a dívida dobra em oito meses” ($1/0{,}12 \approx 8{,}3$ no regime simples).

Taxas: proporcional não é equivalente

Uma taxa de 2% ao mês vale quanto ao ano? Depende do regime, e essa é a conversão que mais confunde.

Daqui vem um vocabulário que aparece em contratos e em itens de prova. Uma taxa nominal é uma taxa anunciada em um período e capitalizada em outro: “24% ao ano com capitalização mensal” não significa 24% ao ano; significa $24/12 = 2\%$ ao mês, aplicados doze vezes, o que dá uma taxa efetiva de 26,82% ao ano. A taxa nominal é uma convenção de anúncio; a efetiva é a que o dinheiro paga. Sempre que um enunciado disser “ao ano, capitalizados mensalmente”, divida por 12 para achar a taxa do período e trabalhe com ela.

Exemplo resolvido 4 (mês para ano e ano para mês). (a) Um cartão cobra 12% ao mês no rotativo. Taxa anual equivalente: $1{,}12^{12}$. Sem calculadora, use $1{,}12^2 = 1{,}2544$, $1{,}12^4 \approx 1{,}5735$, $1{,}12^8 \approx 2{,}476$, $1{,}12^{12} = 1{,}12^8 \cdot 1{,}12^4 \approx 3{,}896$: cerca de 290% ao ano, não 144%. (b) Uma aplicação anuncia 12% ao ano. Taxa mensal equivalente: $1{,}12^{1/12} - 1 \approx 0{,}95\%$. Conferência: $1{,}0095^{12} \approx 1{,}120$. Se alguém dividir 12% por 12 e aplicar 1% ao mês compostos, vai chegar a $1{,}01^{12} \approx 1{,}1268$, isto é, 12,68% ao ano, mais do que o anunciado.

À vista ou parcelado: onde o juro se esconde

“R$ 1 000 em duas vezes sem juros, ou R$ 900 à vista.” A frase promete zero de juro, mas o juro está no desconto que se perde. Quem paga à vista entrega R$ 900 hoje. Quem parcela entrega R$ 500 hoje e R$ 500 daqui a 30 dias. Compare os dois clientes no dia da compra: o segundo pagou R$ 500 e ficou devendo, em valor de hoje, $900 - 500 = 400$ reais, que serão quitados com R$ 500 em um mês. Pagar 500 por uma dívida de 400 é um juro de $500/400 - 1 = 25\%$ ao mês. “Sem juros” é o nome comercial de 25% ao mês.

Exemplo resolvido 5 (desconto ou prazo). Uma geladeira custa R$ 2 400 à vista ou R$ 2 400 em uma parcela única daqui a 30 dias. Um banco paga 1% ao mês na aplicação do cliente. Vale parcelar? Se ele aplicar os R$ 2 400 por um mês, terá R$ 2 424 e pagará R$ 2 400: ganha R$ 24. Parcelar sem acréscimo, quando existe onde aplicar, é vantagem. Agora a loja oferece 5% de desconto à vista: R$ 2 280 hoje ou R$ 2 400 em 30 dias. Pagar 2 400 por 2 280 é juro de $2\,400/2\,280 - 1 \approx 5{,}3\%$ ao mês, muito acima do 1% que o dinheiro rende aplicado: vale pagar à vista. Conferência: os R$ 2 280 aplicados a 1% viram R$ 2 302,80 em um mês, menos que os R$ 2 400 da parcela.

A mesma lógica lê o “desconto de 10% à vista” ao contrário: quem parcela paga $1/0{,}90 \approx 1{,}111$ vezes o preço à vista, um acréscimo de 11,1%, e não de 10%. Fator e inverso de fator, mais uma vez.

Ler uma tabela de financiamento

Um financiamento é uma dívida paga em parcelas, e cada parcela tem duas partes: o juro do período (calculado sobre o saldo devedor daquele momento) e a amortização (a parte que de fato abate a dívida). A tabela abaixo mostra R$ 3 000 a 10% ao mês em três parcelas, com amortização constante de R$ 1 000 (o Sistema de Amortização Constante, SAC, o mais comum em financiamentos habitacionais no Brasil).

O que a tabela ensina. O juro de cada mês incide sobre o saldo, por isso cai a cada parcela; a amortização é o que reduz o saldo; a parcela é a soma dos dois; o juro total (600) não é $3\,000 \cdot 0{,}1 \cdot 3 = 900$, porque a dívida não ficou inteira por três meses. No SAC as parcelas formam uma PA decrescente; no outro sistema comum, a Tabela Price, as parcelas são iguais e a amortização cresce mês a mês. Em qualquer dos dois, a pergunta que resolve o item é sempre a mesma: quanto se deve neste instante?

Exemplo resolvido 6 (PAS 1 2022, item 42). Um trabalhador financia R$ 100 000 a juros compostos de 10% ao ano por 10 anos, com parcelas mensais que “diminuem linearmente”, e o item dá $1{,}1^{10} = 2{,}59$. O caminho que a banca montou: a dívida total capitalizada é $100\,000 \cdot 2{,}59 = 259\,000$ reais; “diminuem linearmente” significa que cada uma das 120 parcelas abate a mesma fatia do total, isto é, o saldo cai em PA até zero. Depois de 30 parcelas pagas, restam $90/120 = 3/4$ do total: $259\,000 \cdot 3/4 = 194\,250$, que dividido por 1 000 e sem a parte fracionária dá 194. Conferência: $194\,250 + 30 \cdot (259\,000/120) = 194\,250 + 64\,750 = 259\,000$. Num financiamento real ninguém capitaliza dez anos de juros sobre um valor que vai sendo pago; o que o item pede é reconhecer a estrutura (um total fixo abatido em PA) e executá-la.

Inflação: o dinheiro que cresceu no papel

Uma aplicação rendeu 12% no ano. Se os preços subiram 5% no mesmo ano, o dinheiro não comprou 12% a mais: comprou o que o fator $1{,}12/1{,}05 \approx 1{,}0667$ indica, cerca de 6,67% a mais. O rendimento de 12% é o valor nominal; os 6,67% são o ganho real.

Deflacionar é fator ao contrário, e por isso pertence a esta página. Um salário de R$ 2 000 que passou para R$ 2 100 (mais 5%) enquanto a inflação foi de 8% perdeu poder de compra: $1{,}05/1{,}08 \approx 0{,}972$, queda real de 2,8%. A Calculadora do Cidadão do Banco Central faz essa conta com os índices oficiais (IPCA, INPC), e o item de prova costuma fazê-la com uma inflação hipotética “de $x\%$ ao ano” durante $t$ anos, isto é, com um fator $(1 + x)^t$ igual ao dos juros compostos.

Como a banca escreve: potência impressa, limiar e comando

A matriz do PAS nomeia a comparação dos dois regimes no orçamento da família, e a banca a cobra de três jeitos. O primeiro é o tipo B com potência impressa: o item dá $1{,}1^{10} = 2{,}59$ (2022) ou pede “divida o valor por 1 000 e despreze a parte fracionária”; a conta é curta, e o trabalho é encaixar a potência no lugar certo e executar o comando à letra. O segundo é o item de taxa ou prazo no regime simples (2016, item 53): capital, montante e prazo dados, taxa pedida; isole a incógnita e compare com o limiar do item (“superior a 1%”). O terceiro é a variação percentual de dados reais com um limiar: o preço do barril de petróleo que “mais que triplicou” entre 2003 e 2008 ($98{,}58/31{,}11 \approx 3{,}17$, Certo, PAS 3 2009), o investimento em renováveis “44% maior” ($252/175 = 1{,}44$, Certo, PAS 2 2012), a população que “aumentou 50% a cada 50 anos” por 150 anos ($1{,}5^3 = 3{,}375$, aumento de 237,5%, “superior a 230%”, Certo, PAS 2 2022).

Em todos, o protocolo é o mesmo. Escreva o fator antes de qualquer conta. Conte os períodos na unidade da taxa. Decida se a variação é simples (somar) ou composta (multiplicar). Calcule o valor exato e compare com o limiar do item, sem arredondar cedo: em 2009, o item 61 do PAS 3 projetava o barril Brent com aumentos anuais de 36,57% por dois anos, $99{,}04 \cdot 1{,}3657^2 \approx 184{,}7$ dólares, e o limiar era 186 (Errado por pouco mais de um dólar).

Os erros que a banca já transformou em item

• Somar percentuais sucessivos. 20% e 20% de desconto valem 36%; três aumentos de 50% valem 237,5%, não 150% (PAS 1 2008, item 78; PAS 2 2022, item 95). O fator acumulado é o produto dos fatores.
• Dividir a taxa anual por 12 no regime composto. 12% ao ano equivalem a 0,95% ao mês; 1% ao mês equivale a 12,68% ao ano. A divisão por 12 só vale no regime simples ou para achar a taxa do período de uma taxa nominal.
• Confundir montante com juro. $C(1+i)^t$ é o montante; o juro é o montante menos o capital. “Os juros serão de $5\,000 \cdot 1{,}1^3$” está errado: isso é $M$, e $J = M - 5\,000$.
• Tempo em unidade errada. 2% ao mês por um ano e meio é $t = 18$, não $t = 1{,}5$; taxa anual com prazo em meses pede conversão.
• Calcular a taxa sobre o montante. No item de 2016, R$ 2 000 de juro sobre R$ 10 000 de capital são 20%, não $2\,000/12\,000 = 16{,}7\%$; e 20% em 25 meses são 0,8% ao mês, não 20% ao mês.
• Esperar que a curva “exploda” desde o início. Em prazos curtos os dois regimes quase coincidem; a diferença de R$ 500 a 12% em 2 meses é de R$ 7,20. Item que compara regimes em 2 ou 3 períodos exige a conta exata.
• Ler “sem juros” como sem custo. O juro está no desconto à vista que se perde: 10% de desconto à vista equivalem a 11,1% de acréscimo no parcelado; duas parcelas de 500 contra 900 à vista embutem 25% ao mês.
• Voltar no tempo subtraindo. Se o depósito cresce 11% ao mês, há três meses ele tinha $1/1{,}11^3 \approx 73\%$ do volume atual, e não $100 - 33 = 67\%$ nem “pelo menos 75%” (PAS 1 2010, item 36, Errado).
• Trocar ponto percentual por percentual. De 4% para 6% são 2 pontos percentuais e 50% de aumento relativo; “que percentual deve ser subtraído de 35,6% para chegar a 25,2%” pede a diferença de pontos, 10,4 (PAS 1 2010, item 55).
• Esquecer a inflação. Um rendimento de 12% com inflação de 5% é ganho real de 6,67%, não de 7%, e um salário que sobe menos que os preços cai em termos reais.

O essencial em meia página

• Fator: $+p\% \to \times(1 + p/100)$; $-p\% \to \times(1 - p/100)$; variação $= V_f/V_i - 1$. Variações sucessivas se multiplicam: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$; $0{,}8^2 = 0{,}64$; $1{,}5^3 = 3{,}375$.
• Letras: $C$ capital, $i$ taxa decimal por período, $t$ tempo na unidade da taxa, $J$ juro, $M = C + J$.
• Simples: $J = C\,i\,t$, $M = C(1 + it)$; reta, PA de razão $C\,i$; dobra em $t = 1/i$. Taxa ao contrário: $i = (M - C)/(C\,t)$.
• Compostos: $M = C(1 + i)^t$; curva, PG de razão $1 + i$; voltar no tempo é dividir pelo fator; dobra em cerca de $70/i$ períodos (exato: logaritmo).
• Reta × curva: mesmo juro no 1.º período; para $t > 1$ o composto vence, e a vantagem cresce sem limite; em prazos curtos quase empatam.
• Taxas: proporcional (simples) multiplica pelo número de períodos; equivalente (composto) eleva o fator: $(1 + i_m)^{12} = 1 + i_a$. 2% a.m. = 24% a.a. proporcional = 26,82% a.a. equivalente. Nominal “ao ano, capitalizada mensalmente” $\to$ divida por 12 e componha.
• À vista × parcelado: referência é o valor à vista; descontar parcelas até a data da compra; duas parcelas: $1 + i = P/(V - P)$. “Sem juros” com desconto à vista tem juro embutido.
• Financiamento: parcela = juro sobre o saldo + amortização; SAC tem amortização fixa e parcelas em PA; a pergunta é sempre “quanto se deve agora”.
• Inflação: $1 + r = (1 + n)/(1 + \pi)$; deflacionar é dividir pelo fator da inflação.
• Protocolo de prova: escreva o fator, conte os períodos na unidade da taxa, decida somar × multiplicar, use a potência impressa e só confronte o resultado com o limiar depois de levar a conta até o fim.