Função exponencial

Três coisas que crescem, ou encolhem, do mesmo jeito. Uma colônia de bactérias que dobra a cada hora: em cada hora nasce mais gente do que em todas as horas anteriores juntas. Um osso antigo cujo carbono-14 perde, a cada 5 730 anos, metade do que ainda tem, sem jamais chegar a zero. E uma dívida de R$ 500 largada no rotativo do cartão, a 12% ao mês: o primeiro mês acrescenta R$ 60, o segundo R$ 67,20, o terceiro R$ 75,26, porque o juro de cada mês é calculado sobre um saldo que os juros anteriores já engordaram. O que as três têm em comum não é a quantia acrescentada, que muda o tempo todo, e sim o fator pelo qual a grandeza é multiplicada a cada passo: 2, 1/2 e 1,12. A intuição, treinada na reta da função afim, espera acréscimos iguais, e por isso se engana duas vezes com a curva: subestima o que vem depois quando ela sobe e espera um zero que nunca chega quando ela desce.

Esta página constrói a função exponencial por inteiro: as potências que ela usa, a fórmula $f(x) = a \cdot b^x$ e o que cada letra faz, a diferença entre crescer somando e crescer multiplicando, o gráfico com sua assíntota e seu intercepto, as equações que se resolvem igualando bases, o tempo de duplicação e a meia-vida, os modelos em que ela se veste de fenômeno e os erros que o PAS/UnB e o ENEM já transformaram em item. As bactérias e o carbono-14 voltam ao longo das seções, sempre com os mesmos números; o dinheiro reaparece na forma de um aluguel reajustado.

Antes de tudo: as potências que a exponencial usa sem parar

Uma potência abrevia um produto de fatores iguais. Em $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, o expoente 4 diz quantos fatores há e a base 3 diz qual é o fator. Nas potências de 10 a leitura é imediata: $10^6$ é um 1 seguido de seis zeros, um milhão. Dois valores que costumam confundir: $b^1 = b$ (um único fator) e $b^0 = 1$ para toda base não nula (nenhum fator; o produto “vazio” vale 1, e é esse 1 que fará toda exponencial cortar o eixo $y$ no valor inicial).

Expoente negativo inverte. $2^{-3} = 1/2^3 = 1/8$; $(1/2)^{-1} = 2$. Em geral, $b^{-n} = 1/b^n$. É por isso que $(1/2)^x$ e $2^{-x}$ são a mesma função.

Expoente fracionário é raiz. $b^{1/2} = \sqrt{b}$, $b^{1/3} = \sqrt[3]{b}$ e, em geral, $b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m}$. Assim $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 8$ e $8^{-1/3} = 1/\sqrt[3]{8} = 1/2$. Com base positiva, isso funciona para qualquer fração; e o expoente pode até ser um número irracional como $\sqrt{2}$, definido por aproximações ($2^{1{,}4}$, $2^{1{,}41}$, $2^{1{,}414}$, …). É o que permite falar de $b^x$ para todo $x$ real.

As quatro propriedades que resolvem quase tudo, sempre com a mesma base $b > 0$:

$$b^m \cdot b^n = b^{m+n}, \qquad \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}, \qquad (b^m)^n = b^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n.$$

Leia-as pelos exemplos: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7$ (dois fatores 3 seguidos de outros cinco); $(5^2)^3 = 5^6$; $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$; e, a identidade mais usada da página, $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.

Todo percentual se converte num fator. Subir 25% é multiplicar por $1{,}25$; perder 30% é multiplicar por $0{,}70$; triplicar é multiplicar por 3; “cair à metade” é multiplicar por $0{,}5$. A regra: escreva a taxa como decimal e some-a a 1 quando a grandeza cresce, ou subtraia-a de 1 quando ela encolhe. Uma camisa de R$ 80 com desconto de 30% custa $80 \cdot 0{,}7 = 56$ reais, e não é preciso calcular os 24 reais de desconto para chegar lá.

Vale saber de cor as potências de 2 até $2^{10}$ e as de 3 até $3^6$. As de 10 não precisam de tabela: $10^n$ é o 1 seguido de $n$ zeros. A ponte entre as duas famílias, usada o tempo todo nas estimativas, é $2^{10} = 1\,024 \approx 1\,000 = 10^3$.

Confira você mesmo: $2^{-4}$? ($1/16$) $\quad 27^{1/3}$? (3) $\quad 7^x \cdot 7^3 = 7^8$, então $x$? (5) $\quad$ R$ 120 com desconto de 25%? (R$ 90) $\quad$ Entre quais potências de 2 está o número 50? ($2^5 = 32$ e $2^6 = 64$)

Crescer somando, crescer multiplicando

Um inquilino paga R$ 2 000 de aluguel e recebe duas propostas de contrato. A cláusula A reajusta o aluguel em R$ 100 a cada ano. A cláusula B reajusta em 5% a cada ano. Qual delas é melhor para quem paga? No primeiro reajuste, nenhuma: 5% de 2 000 são exatamente 100, e os dois contratos marcam 2 100. A partir daí os caminhos se separam. Em A, o aluguel segue 2 200, 2 300, 2 400, sempre 100 a mais. Em B, os 5% passam a incidir sobre 2 100, depois sobre 2 205, depois sobre 2 315,25: a parcela acrescentada cresce junto com o aluguel. Dez anos adiante, A cobra 3 000 e B cobra cerca de 3 258; aos vinte anos, 4 000 contra 5 307. A distância entre as duas cláusulas nunca para de aumentar.

Repare no que permanece igual na cláusula B. Não é a quantia somada, que vai de 100 a 105, a 110,25 e assim por diante. O que se repete é a operação: a cada ano o aluguel vigente é multiplicado por 1,05. Uma grandeza que evolui assim, por multiplicações sucessivas pelo mesmo número, é descrita por uma função exponencial.

Por que $b > 0$ e $b \neq 1$? Com $b = 1$ a função vale $a$ para sempre: é constante, não há crescimento a estudar. Com $b$ negativo, a expressão nem faz sentido para todo $x$ real: $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$ não existe nos reais, e nos inteiros o sinal alterna ($-2$, $4$, $-8$, $16$, …), o que não descreve nenhum crescimento. Base negativa está fora da definição, e é um dos distratores prediletos em itens de “qual das funções é exponencial”. Já o valor inicial $a$ pode ser qualquer número não nulo; com $a < 0$ o gráfico vira de cabeça para baixo, mas isso é raro nas provas.

Exemplo resolvido 1 (a cláusula B em fórmula). Com $t$ em anos, o aluguel da cláusula B é $E(t) = 2000 \cdot 1{,}05^{\,t}$: valor inicial $a = 2000$, fator $b = 1{,}05$. Depois de 3 anos, $1{,}05^3 = 1{,}157625$ e o aluguel vale $2000 \cdot 1{,}157625 = 2\,315{,}25$ reais. Depois de 10 anos, com $1{,}05^{10} \approx 1{,}63$, chega a cerca de R$ 3 258, enquanto dez acréscimos somados de R$ 100 levariam a R$ 3 000. Conferência: do 2.º para o 3.º ano o aluguel subiu $2315{,}25 - 2205 = 110{,}25$, que é exatamente 5% de 2 205, como a cláusula determina. Os R$ 258 que separam as duas cláusulas no décimo ano são juro calculado sobre juro; quando esse mecanismo se aplica a dinheiro emprestado ou investido, recebe o nome de juros compostos.

Da tabela à fórmula: a razão constante denuncia a exponencial

Uma tabela não vem com a fórmula escrita. Como saber se ela esconde uma afim ou uma exponencial? Calcule as diferenças entre valores consecutivos e as razões entre eles. Diferença constante: afim. Razão constante: exponencial.

Montar a fórmula leva dois gestos: ler $a$ na linha $x = 0$ e ler $b$ como a razão entre dois valores consecutivos. Na figura, $f(x) = 5 \cdot 3^x$; conferindo em $x = 4$: $5 \cdot 81 = 405$.

Exemplo resolvido 2 (passos de 2 em 2). A massa de um remédio no sangue foi medida a cada 2 horas: em $t = 0$, 80 mg; em $t = 2$, 20 mg; em $t = 4$, 5 mg. As razões são $20/80 = 1/4$ e $5/20 = 1/4$: constantes, é exponencial. Mas $1/4$ é o fator de duas horas. Se $M(t) = 80 \cdot b^t$, então $b^2 = 1/4$ e $b = 1/2$: a massa cai pela metade a cada hora, $M(t) = 80 \cdot (1/2)^t$. Conferência: $M(4) = 80/16 = 5$. Quem escreve $M(t) = 80 \cdot (1/4)^t$ acerta as três medidas da tabela por acaso? Não: $M(2)$ daria $80/16 = 5$, e a tabela diz 20. O tamanho do passo faz parte da leitura.

Quando $x = 0$ não está na tabela, use dois pontos quaisquer: de $(2, 20)$ e $(3, 10)$ vem $b = 10/20 = 1/2$, e então $a$ sai de $20 = a \cdot (1/2)^2$, logo $a = 80$. É o mesmo raciocínio da afim, trocando “diferença dividida pelo passo” por “razão com raiz do tamanho do passo”.

O gráfico: assíntota, intercepto e monotonia

Monte uma tabela de $f(x) = 2^x$ começando pela direita: $f(3) = 8$, $f(2) = 4$, $f(1) = 2$, $f(0) = 1$; continuando para os negativos, $f(-1) = 1/2$, $f(-2) = 1/4$, $f(-3) = 1/8$. Cada passo para a esquerda divide o valor por 2, e é por isso que a curva se achata sobre o eixo $x$ sem encostar nele: $2^{-10} = 1/1024$ é minúsculo, mas não é zero, e nenhuma potência de base positiva produz zero ou número negativo. Para a direita, o mesmo mecanismo ao contrário faz a curva disparar.

O tamanho da base decide a inclinação da curva: quanto maior $b$ acima de 1, mais depressa ela sobe; quanto menor $b$ abaixo de 1, mais depressa ela cai. Todas passam por $(0, 1)$ quando $a = 1$.

Duas transformações simples aparecem nos itens de gráfico. Somar uma constante desloca a curva na vertical e leva a assíntota junto: $g(x) = 3 \cdot 2^x + 2$ tem assíntota $y = 2$ e imagem $y > 2$. É o formato dos modelos que saturam num patamar, como a massa de um foguete que cai até a massa seca $m_0$ (PAS 1 2025). Trocar $x$ por $-x$ espelha a curva no eixo $y$ e troca crescimento por decaimento: $2^{-x} = (1/2)^x$. E deslocar $x$ de uma unidade não desloca a curva “um para o lado” de forma inocente: $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, a mesma curva com o valor inicial dobrado.

Equações exponenciais: iguale as bases

“Uma cultura começa com 1 000 bactérias e dobra a cada hora. Em quanto tempo chega a 32 000?” A pergunta é $1000 \cdot 2^t = 32000$, isto é, $2^t = 32$. Como $32 = 2^5$, a resposta é $t = 5$ horas. O que autorizou cortar o 2 dos dois lados foi a injetividade: potências iguais de uma mesma base exigem expoentes iguais.

Quatro casos, do direto ao disfarçado:

• $3^{2x-1} = \dfrac{1}{27}$. Como $\dfrac{1}{27} = 3^{-3}$: $2x - 1 = -3$, logo $x = -1$. Conferência: $3^{-3} = 1/27$.
• $4^{x} = 8$. Bases diferentes que conversam: $4 = 2^2$ e $8 = 2^3$, então $2^{2x} = 2^3$, $x = 3/2$. Conferência: $4^{1{,}5} = (\sqrt{4})^3 = 8$.
• $5^{x+1} + 5^{x} = 150$. Em evidência: $5^{x}(5 + 1) = 150$, $5^x = 25 = 5^2$, $x = 2$. Conferência: $125 + 25 = 150$.
• $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} = 16$. $(1/2)^x = 2^{-x}$ e $16 = 2^4$: $-x = 4$, $x = -4$.

Exemplo resolvido 3 (PAS 1 2025, item 48, tipo B). A massa de combustível de um foguete na altura $h$ (em km) é $m_C / 2^{0{,}0032h}$. Em que altura resta 25% do combustível inicial? Restar 25% é dividir por 4: $2^{0{,}0032h} = 4 = 2^2$, logo $0{,}0032h = 2$ e $h = 2/0{,}0032 = 625$ km. Nenhum logaritmo: as bases conversavam. Conferência: $0{,}0032 \cdot 625 = 2$. Resposta da banca: 625. No mesmo espírito, o item 72 de 2013 pedia quando uma PG de razão $2^{-0{,}02}$ cai à metade: $2^{-0{,}02(n-1)} = 2^{-1}$ dá $0{,}02(n-1) = 1$, $n = 51$.

E quando as bases não conversam? $2^x = 10$ não tem $x$ inteiro nem fração bonita. Duas saídas. A primeira resolve a maioria dos itens de julgamento: o sanduíche entre potências vizinhas, $2^3 = 8 < 10 < 16 = 2^4$, logo $3 < x < 4$; para decidir “$x$ é maior que 3?” isso basta. A segunda é o logaritmo, a operação que devolve o expoente, assunto da página de logaritmos. Quando a conta exige o valor, a banca imprime a constante no comando ($\ln 2 = 0{,}7$, $\log_2 3 = 1{,}58$), e a constante impressa é o mapa do caminho: se a sua conta não a usou, refaça.

Para inequações, a regra tem um detalhe: com base maior que 1, o sentido da desigualdade se mantém ao passar aos expoentes ($2^x > 2^5 \Rightarrow x > 5$); com base entre 0 e 1, ele inverte, porque a função é decrescente ($(1/2)^x > (1/2)^5 \Rightarrow x < 5$).

Tempo de duplicação, meia-vida e taxa por período

Dois nomes especiais do fator. Quando uma grandeza dobra a cada intervalo $T$, o tempo $T$ é o tempo de duplicação, e $N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}$. Quando ela cai à metade a cada $T$, esse $T$ é a meia-vida, e $N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/T}$. Nos dois casos, $t/T$ conta quantos intervalos se passaram.

Contar intervalos é o gesto que decide os itens. $n$ meias-vidas deixam a fração $(1/2)^n$: uma deixa 50%, duas deixam 25%, três deixam 12,5%, quatro deixam 6,25%. Ao contrário, uma amostra com $1/8$ do carbono-14 original passou por três meias-vidas ($1/8 = (1/2)^3$), ou $3 \cdot 5730 = 17\,190$ anos. E decair pela metade nunca zera: depois de dez meias-vidas ainda resta $1/1024$ do original.

Exemplo resolvido 4 (remédio). Um antibiótico tem meia-vida de 6 horas no organismo. Tomados 400 mg, quanto resta depois de um dia? Um dia são $24/6 = 4$ meias-vidas: $400 \cdot (1/2)^4 = 400/16 = 25$ mg. E quando a dose fica abaixo de 10 mg? Depois de 5 meias-vidas restam 12,5 mg; depois de 6, 6,25 mg. Logo entre 30 e 36 horas. Conferência pela fórmula: $M(t) = 400 \cdot (1/2)^{t/6}$ e $M(30) = 400/32 = 12{,}5$. Repare que a pergunta “quando?” com resposta exata pediria um logaritmo; a pergunta “entre quais horas?” se resolve contando meias-vidas.

Onde a exponencial aparece: os modelos que a prova usa

Exemplo resolvido 5 (PAS 1 2010, item 32). Numa cidade, o volume de lixo de um depósito cresce 11% ao mês. Julgue: “ao final de quatro meses, o volume terá ultrapassado 50% do volume atual” (a leitura que a banca cobra é a de crescimento superior a 50%; ao pé da letra, “mais que metade do volume atual” seria trivial, pois o volume só cresce). Quatro meses a 11% são quatro fatores $1{,}11$ encadeados. Em vez de multiplicar quatro vezes, eleve ao quadrado duas vezes: $1{,}11^2 = 1{,}2321$ e $1{,}2321^2 \approx 1{,}518$. O depósito terminou com 151,8% do volume inicial, isto é, cresceu 51,8%, e o item está Certo. O caminho errado é o da soma, $4 \times 11 = 44\%$, que fica abaixo do limiar e induz ao Errado. Uma estimativa grosseira já aponta a resposta: $1{,}23^2 = 1{,}5129$ ultrapassa 1,5 mesmo antes de arredondar para cima. No mesmo bloco, o item 36 olhava para trás e perguntava quanto lixo havia três meses antes; nesse sentido, o fator passa a dividir: $1/1{,}11^3 \approx 0{,}73$, logo cerca de 73% do volume atual, abaixo dos 75% que o item afirmava, gabarito Errado.

Ler tabelas, gráficos e comandos como a banca escreve

O item de exponencial raramente diz “exponencial”. Ele diz “dobra a cada”, “à taxa de 11% ao mês”, “reduz-se à metade a cada 5 730 anos”, ou traz a fórmula com o fator escondido num percentual. O protocolo de leitura:

1. Classifique o processo. Soma constante por passo (afim, PA, juros simples) ou fator constante por passo (exponencial, PG, juros compostos)? Um verbo decide: “aumenta 100 por ano” soma; “aumenta 10% ao ano” multiplica.
2. Escreva o fator antes de qualquer conta. “Cresce 11%” é $\times 1{,}11$; “perde 60%” é $\times 0{,}4$; “dobra” é $\times 2$; “cai à metade” é $\times 1/2$.
3. Conte os passos. Quatro meses são quatro fatores; entre a 1.ª e a 10.ª medição há nove intervalos; “depois de $5T$ minutos” são cinco duplicações.
4. Leia o gráfico pelos pontos certos. O corte no eixo $y$ é o valor inicial $a$. O ponto em que a curva chega a $2a$ dá o tempo de duplicação; o ponto em que chega a $a/2$, a meia-vida. Uma curva que se achata rumo a uma reta horizontal tem assíntota ali (patamar de saturação ou valor residual).
5. Trate a constante fornecida como mapa. $1{,}1^{10} = 2{,}59$, $\ln 15 = 2{,}7$, $e^{0{,}095} = 1{,}1$ no comando indicam a rota; a resposta que não usa o dado impresso raramente é a da banca.
6. Em item de limiar, calcule o exato e compare. “Superior a 50%” contra 51,8% se decide na segunda casa; estimar não decide.

Uma observação sobre escalas: em gráficos de crescimento muito longo (população mundial, casos de uma epidemia), é comum o eixo vertical vir em escala logarítmica, em que cada divisão multiplica por 10. Nessa escala, uma exponencial vira uma reta, e a inclinação da reta é o fator. Saber ler esses eixos é assunto da página de logaritmos; aqui basta reconhecer o aviso “escala log” no eixo e não ler a reta como crescimento linear.

Os erros que a banca já transformou em item

• Somar percentuais. Três reajustes seguidos de 5% não dão 15%: dão $1{,}05^3 \approx 1{,}158$, ou 15,8%, e quanto maior a taxa ou o número de períodos, mais a soma erra. Foi o que separou Certo de Errado no depósito de lixo de 2010 (51,8%, não 44%).
• Achar que meia-vida repetida zera. Quatro sessões que removem 50% dos parasitas deixam 6,25%, não zero nem “menos de 2,5%” (PAS 1 2025, item 87, gabarito Errado).
• Contar termos em vez de passos. Se uma área desmatada dobra a cada dia e o serviço termina no 8.º dia, o 8.º dia sozinho vale mais que os sete anteriores somados ($2^7 = 128$ contra $2^7 - 1 = 127$); metade da área não estava pronta no 6.º dia, nem no 7.º (PAS 1 2015, item 98, Errado).
• Confundir $2^{x+1}$ com $2^x + 1$. O primeiro dobra a função; o segundo desloca a assíntota. Confira com $x = 3$: 16 contra 9.
• Aceitar base negativa ou base 1. $f(x) = (-3)^x$ não é função exponencial (não existe para $x = 1/2$); $f(x) = 1^x$ é constante.
• Trocar exponencial por potência. $x^2$ tem a variável na base; $2^x$, no expoente. Só a segunda tem assíntota e fator constante por passo.
• Ler “$k$ menor que 1” como “decrescente”. Em $N(t) = N_0 e^{kt}$, o que decide o crescimento é o sinal de $k$, não o tamanho. No PAS 2 2020, $N(3) = 135$ com $N_0 = 5$ dava $e^{3k} = 27$, $e^k = 3$, $k = \ln 3 \approx 1{,}1 > 1$: o item “$k$ é menor que 1” era Errado, e a função crescia de qualquer jeito.
• Julgar “sempre maior” sem testar o ponto de partida. Dois modelos com o mesmo valor inicial empatam em $t = 0$; um deles não pode ser “sempre maior” que o outro, por mais depressa que cresça depois (PAS 2 2019, item 104, Errado).
• Voltar no tempo subtraindo. Se cresceu 11% ao mês, o valor de três meses atrás é o atual dividido por $1{,}11^3$, não o atual menos 33%.

O essencial em meia página

• Definição: $f(x) = a \cdot b^x$, com $a = f(0)$ o valor inicial e $b > 0$, $b \neq 1$ o fator por passo. Crescente se $b > 1$; decrescente se $0 < b < 1$.
• Afim × exponencial: somar a mesma quantia (diferença constante, reta) × multiplicar pelo mesmo fator (razão constante, curva). Na tabela, teste diferenças e razões.
• Percentual vira fator: $+i\% \to \times(1 + i)$; $-i\% \to \times(1 - i)$. Percentuais compostos não se somam: $1{,}05^2 = 1{,}1025$, e não 1,10.
• Gráfico: passa por $(0, a)$, nunca toca o eixo $x$ (assíntota $y = 0$), imagem $y > 0$, injetora. Somar $k$ desloca a assíntota para $y = k$; $b^{-x} = (1/b)^x$ espelha; $b^{x+1} = b \cdot b^x$.
• Equação: mesma base nos dois lados, iguale os expoentes; fatore a potência comum quando houver soma. Bases que não conversam: sanduíche entre potências vizinhas ou logaritmo (a banca imprime a constante).
• Duplicação e meia-vida: $N_0 \cdot 2^{t/T}$ e $N_0 \cdot (1/2)^{t/T}$; conte intervalos; $n$ meias-vidas deixam $1/2^n$; nunca zera.
• Fator de período longo → curto: raiz ($2^{1/3} \approx 1{,}26$ por hora se dobra a cada 3 h). Voltar no tempo: dividir pelo fator.
• Modelos: populações e epidemias, decaimento radioativo, juros compostos (exponencial do dinheiro), PG (exponencial em degraus), depreciação, saturação logística (leia $e^{-kt} \to 0$).
• Protocolo de prova: classifique (somar × multiplicar), escreva o fator, conte os passos, use a constante impressa e leve a conta até o fim antes de confrontá-la com o limiar do item.