Conjuntos

Em 2010, a prova do PAS 1 trouxe uma tabela de gosto musical: 102 jovens ouviam hip-hop, 83 ouviam reggae e 93 ouviam rock. Somar dá 278. Mas a mesma tabela trazia as sobreposições: hip-hop com reggae, 25; hip-hop com rock, 37; reggae com rock, 18; e os três estilos ao mesmo tempo, 7. Quem ouve dois estilos foi contado duas vezes na soma; quem ouve os três, três vezes. A prova não perguntou o que é um conjunto. Perguntou quantos jovens preferiam apenas um estilo e quantos jovens havia na pesquisa. Os dois itens se decidem com um desenho de três círculos e uma regra: some os grupos, tire o que foi contado em excesso.

É esse o assunto desta página. Chama-se conjunto qualquer coleção de objetos definida sem ambiguidade, de modo que se possa decidir quem faz parte dela: os alunos de uma turma, os múltiplos de 3, os números reais entre 1 e 5. A linguagem dos conjuntos serve para dizer quem está dentro, quem está fora e quem está em dois lugares ao mesmo tempo, e para contar sem repetir ninguém. Ela também organiza os números que você usa desde o fundamental, dos naturais aos reais, e dá nome aos pedaços da reta, os intervalos. Funções, probabilidade e contagem usam essa linguagem o tempo todo e têm páginas próprias; aqui entram só como exemplos.

Um conjunto é uma coleção que dá para descrever

Uma coleção só é um conjunto quando, para qualquer objeto, dá para responder sim ou não à pergunta “ele está aqui?”. “Os alunos da turma 1B” é um conjunto. “Os alunos altos da turma 1B” não é, até que alguém defina altura mínima. Os objetos da coleção são os elementos, e a relação entre elemento e conjunto se chama pertinência.

A descrição por propriedade tem duas partes, e as duas importam: de onde vêm os candidatos e que condição eles cumprem. $\{x \in \mathbb{N} : x < 3\}$ é $\{0, 1, 2\}$. Trocando o universo, $\{x \in \mathbb{Z} : x < 3\}$ é infinito, e $\{x \in \mathbb{R} : x < 3\}$ nem dá para listar. A mesma condição, três conjuntos diferentes.

Exemplo resolvido 1: da propriedade à lista. Escreva por extensão $A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}$ e $B = \{x \in \mathbb{N} : 2x + 1 = 8\}$.

Estratégia: testar candidatos do universo declarado, um a um, e parar quando a condição deixa de valer.

Resolução: em $A$, os inteiros com quadrado menor que 10 são $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$, porque $3^2 = 9 < 10$ e $4^2 = 16$ já passa. Logo $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$, sete elementos. Em $B$, $2x + 1 = 8$ dá $x = 3{,}5$, que não é natural. Nenhum candidato serve: $B = \varnothing$.

Conferência: $(-3)^2 = 9 < 10$, entra; $(-4)^2 = 16$, fica de fora. E $B$ vazio não é “$B = \{0\}$” nem “$B = \{3{,}5\}$”: não existe natural que resolva a equação, então não existe elemento.

Pertencer não é estar contido

Dois símbolos parecidos dizem coisas diferentes. $\in$ liga um elemento a um conjunto. $\subset$ liga um conjunto a outro conjunto. “Ana pertence à turma” usa $\in$. “Os alunos de inglês estão contidos na turma” usa $\subset$.

Exemplo resolvido 2: julgar cinco afirmações. Seja $A = \{1, 2, \{3\}\}$. Decida se são verdadeiras: (a) $1 \in A$; (b) $3 \in A$; © $\{3\} \in A$; (d) $\{3\} \subset A$; (e) $\{1, 2\} \subset A$.

Estratégia: para $\in$, procurar o objeto exato na lista de elementos de $A$. Para $\subset$, pegar cada elemento do conjunto da esquerda e conferir se ele está em $A$.

Resolução: $A$ tem três elementos: o número 1, o número 2 e o conjunto $\{3\}$. (a) Verdadeira. (b) Falsa: o número 3 não está na lista; o que está é o conjunto $\{3\}$. © Verdadeira, pelo mesmo motivo. (d) $\{3\} \subset A$ pergunta se o elemento 3 está em $A$. Não está: falsa. (e) Os elementos 1 e 2 estão em $A$: verdadeira.

Conferência: © e (d) parecem iguais e têm respostas opostas. É a diferença entre uma caixa dentro de uma caixa (pertinência) e o conteúdo de uma caixa que cabe na outra (inclusão).

Quatro operações, quatro perguntas

As operações com conjuntos traduzem quatro palavras da língua: ou, e, mas não e fora de. Cada uma responde a uma pergunta diferente sobre onde um elemento está.

O “ou” da união é inclusivo: quem está nos dois conjuntos está na união, uma vez só. Na língua do dia a dia, “café ou chá” costuma excluir os dois; na matemática, não. Quem quer “um ou outro, mas não ambos” precisa da expressão $(A - B) \cup (B - A)$, às vezes chamada de diferença simétrica.

A diferença tem ordem: $A - B$ e $B - A$ são regiões diferentes do desenho. O complementar só faz sentido com universo declarado: “quem não faz inglês” é uma pergunta sobre a turma, sobre a escola ou sobre o país, e as respostas são diferentes. Com $U = \{1, 2, \ldots, 9\}$, $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{4, 5, 6, 7\}$: $A \cup B = \{1, \ldots, 7\}$; $A \cap B = \{4, 5\}$; $A - B = \{1, 2, 3\}$; $B - A = \{6, 7\}$; $\overline{A \cup B} = \{8, 9\}$.

De Morgan aparece disfarçado em toda pesquisa com a região “nenhum”. Quem não usa nenhuma das duas marcas está fora de $A$ e fora de $B$ ao mesmo tempo: é $\overline{A} \cap \overline{B}$, que é a mesma região $\overline{A \cup B}$ do diagrama. Saber isso evita montar um conjunto “não $A$ ou não $B$”, que é quase todo o universo.

Contar sem contar duas vezes: o princípio da inclusão-exclusão

A pergunta de prova é sempre a mesma: quantos elementos há em cada região. Para conjuntos finitos, $n(A)$ indica o número de elementos de $A$. Somar $n(A) + n(B)$ conta duas vezes quem está na interseção, porque essa pessoa aparece nas duas listas. Uma vez a mais, tira-se uma vez.

A fórmula é útil para conferir. Para resolver, o desenho é mais seguro, e a ordem de preenchimento é de dentro para fora: primeiro a região central (quem está em todos), depois as interseções de pares descontando o centro, depois os “sós” descontando tudo o que já foi colocado, e por fim o “nenhum” por diferença com o universo.

Exemplo resolvido 3: o bloco de 2010. Na pesquisa da abertura, os três estilos tinham 102 (hip-hop), 83 (reggae) e 93 (rock) ouvintes; as duplas, 25 (hip-hop com reggae), 37 (hip-hop com rock) e 18 (reggae com rock); e 7 jovens ouviam os três. Quantos preferiam apenas um estilo? Quantos participaram?

Estratégia: os números 25, 37 e 18 incluem os 7 do centro; por isso o desenho começa pelo miolo.

Resolução: centro, 7. Pares, descontando o centro: hip-hop e reggae apenas, $25 - 7 = 18$; hip-hop e rock apenas, $37 - 7 = 30$; reggae e rock apenas, $18 - 7 = 11$. Sós: hip-hop, $102 - 7 - 18 - 30 = 47$; reggae, $83 - 7 - 18 - 11 = 47$; rock, $93 - 7 - 30 - 11 = 45$. Apenas um estilo: $47 + 47 + 45 = 139$. Total: $139 + 18 + 30 + 11 + 7 = 205$.

Conferência pela fórmula: $102 + 83 + 93 - 25 - 37 - 18 + 7 = 205$. Fecha. O item 82 dizia “mais de 135 jovens revelaram preferência por apenas um dos tipos”: 139, certo. O item 83 dizia que o total era 205: certo. O erro que a banca esperava era somar $102 + 83 + 93 = 278$ e tratar como total, ou usar 25, 37 e 18 como se já fossem os “só dois”.

Exemplo resolvido 4: quando a interseção é a incógnita. Uma loja atendeu 150 clientes num sábado. 90 pagaram com cartão, 75 pagaram com Pix e 20 não usaram nenhum dos dois (pagaram em dinheiro). Quantos usaram cartão e Pix na mesma compra?

Estratégia: o “nenhum” dá a união por diferença; a fórmula de dois conjuntos dá a interseção.

Resolução: pelo menos um dos dois meios: $150 - 20 = 130$. Então $90 + 75 - x = 130$, logo $x = 35$.

Conferência: só cartão, $90 - 35 = 55$; só Pix, $75 - 35 = 40$; ambos, 35; nenhum, 20. Soma: $55 + 40 + 35 + 20 = 150$. Nenhuma região negativa, e o total bate com o universo.

A conferência final de todo diagrama é a soma das regiões disjuntas: ela precisa dar o universo, e nenhuma região pode ficar negativa. Se 40 alunos foram entrevistados, 30 gostam de futebol e 25 de vôlei, a fórmula obriga $30 + 25 - x \le 40$, isto é, $x \ge 15$: pelo menos 15 gostam dos dois, mesmo sem ninguém ter perguntado.

Da tabela ao diagrama: a mesma pesquisa em dois formatos

A prova raramente traz o diagrama pronto. Traz uma tabela, um texto com percentuais ou uma lista de frases, e o trabalho é traduzir. A tradução mais comum é entre a tabela de dupla entrada e o Venn de dois conjuntos.

Exemplo resolvido 5: percentuais sobre o mesmo universo. Numa escola de 400 alunos, 60% usam WhatsApp, 45% usam Instagram e 30% usam os dois. Monte a tabela e o diagrama e diga quantos alunos não usam nenhum dos dois.

Estratégia: percentuais do mesmo universo podem entrar direto na fórmula; o número de alunos vem no fim, multiplicando por 400.

Resolução: pelo menos um, $60\% + 45\% - 30\% = 75\%$. Nenhum, $100\% - 75\% = 25\%$, ou seja, $0{,}25 \times 400 = 100$ alunos. Só WhatsApp, $60\% - 30\% = 30\%$, 120 alunos; ambos, 120 alunos; só Instagram, $45\% - 30\% = 15\%$, 60 alunos.

Conferência: $120 + 120 + 60 + 100 = 400$. Na tabela, a linha “usa WhatsApp” soma $120 + 120 = 240 = 60\%$ de 400, e a coluna “usa Instagram” soma $120 + 60 = 180 = 45\%$ de 400.

Os números também formam conjuntos: de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$

Os números que você usa formam uma cadeia de conjuntos, cada um contido no seguinte. Cada ampliação resolve um problema que o conjunto anterior não resolvia.

As operações com conjuntos descrevem os pedaços: $\mathbb{Z} - \mathbb{N}$ são os inteiros negativos; $\mathbb{Q} - \mathbb{Z}$ são as frações não inteiras; $\mathbb{R} - \mathbb{Q} = \mathbb{I}$. Notações frequentes: $\mathbb{R}^{*}$ é $\mathbb{R} - \{0\}$; $\mathbb{R}_{+}$ são os reais não negativos; $\mathbb{Z}_{-}^{*}$ são os inteiros negativos sem o zero.

Uma propriedade que a prova já explorou: entre dois racionais distintos sempre há outro racional (a média dos dois, por exemplo), e entre dois reais sempre há um racional e um irracional. Diz-se que $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$ são densos na reta. Densidade não é o mesmo que ausência de limite. Em 2010, um item do PAS 3 afirmou que, como entre um inteiro positivo e outro há infinitos reais, o tempo e o espaço seriam ilimitados. Infinitos números entre 1 e 2 não fazem o intervalo $[1, 2]$ crescer: ele continua com comprimento 1. O item era errado.

Exemplo resolvido 6: classificar seis números. Diga a qual dos conjuntos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$ cada número pertence, do menor conjunto para o maior: $-7$; $0{,}75$; $\sqrt{49}$; $\sqrt{50}$; $3{,}141414\ldots$; $\pi/2$.

Estratégia: simplificar antes de classificar. Raiz de quadrado perfeito é inteiro; decimal periódico é racional; múltiplo racional não nulo de irracional é irracional.

Resolução: $-7 \in \mathbb{Z}$, não é natural. $0{,}75 = 3/4 \in \mathbb{Q}$, não é inteiro. $\sqrt{49} = 7 \in \mathbb{N}$. $\sqrt{50}$ não é inteiro ($7^2 = 49$, $8^2 = 64$) e, como 50 não é quadrado perfeito, é irracional: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \in \mathbb{I}$. $3{,}141414\ldots$ tem período 14, logo é racional ($311/99$), e não é $\pi$. $\pi/2 \in \mathbb{I}$.

Conferência: $311/99 = 3{,}1414\ldots$, e $99 \times 3{,}141414\ldots = 311$. O quinto número parece $\pi$ nas duas primeiras casas e é uma fração; a classificação depende do padrão infinito, não da aparência.

Intervalos: conjuntos que não dá para listar

Um subconjunto de $\mathbb{R}$ como “os reais entre 2 e 5” não tem lista: entre dois de seus elementos sempre há outro. A notação de intervalo resolve isso dizendo só as extremidades e se elas entram ou não.

Intervalos são conjuntos, e as quatro operações valem para eles. O método é desenhar os dois na mesma reta, um acima do outro, e ler o resultado: a interseção é o trecho coberto pelos dois; a união é o trecho coberto por pelo menos um; a diferença $A - B$ é a parte de $A$ que $B$ não cobre. O único cuidado está nas extremidades: um ponto entra na interseção só se entra nos dois; entra na união se entra em pelo menos um.

Exemplo resolvido 7: operações com dois intervalos. Sejam $A = [-3, 2)$ e $B = (0, 5]$. Determine $A \cup B$, $A \cap B$, $A - B$, $B - A$ e o complementar de $A$ em $\mathbb{R}$.

Estratégia: desenhar, ler o trecho, decidir cada extremidade separadamente.

Resolução: união, de $-3$ a 5; $-3$ entra (está em $A$), 5 entra (está em $B$): $A \cup B = [-3, 5]$. Interseção, de 0 a 2; 0 não entra (não está em $B$), 2 não entra (não está em $A$): $A \cap B = (0, 2)$. $A - B$ é a parte de $A$ até onde $B$ começa: de $-3$ a 0, com 0 incluído, porque 0 está em $A$ e não está em $B$: $A - B = [-3, 0]$. $B - A$ é a parte de $B$ a partir de onde $A$ termina: de 2 a 5, com 2 incluído, porque 2 está em $B$ e não está em $A$: $B - A = [2, 5]$. Complementar de $A$ em $\mathbb{R}$: tudo o que não está em $A$, $(-\infty, -3) \cup [2, +\infty)$; note que 2 entra no complementar exatamente porque não entrava em $A$.

Conferência com pontos de teste: $x = 0$ está em $A$ ($-3 \le 0 < 2$) e não está em $B$ ($0 < 0$ é falso), logo está em $A - B$ e não está em $A \cap B$. $x = 2$ não está em $A$ e está em $B$, logo está em $B - A$. $x = 1$ está nos dois, logo está em $A \cap B$. As quatro regiões $A - B$, $A \cap B$, $B - A$ e o exterior somam a reta inteira, como no Venn.

A notação de intervalo é a forma padrão de escrever domínios de funções e soluções de inequações. Para $f(x) = \sqrt{x - 3}$, o domínio é $[3, +\infty)$; para $-2x + 8 > 0$, a solução é $(-\infty, 4)$. Como resolver a inequação e como achar o domínio são assuntos das páginas de funções e de função afim; aqui, o que importa é ler e escrever o conjunto resultado.

O essencial em meia página

• Conjunto: coleção com critério claro de pertinência. Por extensão, $\{2, 4, 6\}$; por propriedade, $\{x \in \mathbb{N} : \ldots\}$; por Venn. Ordem e repetição não contam. $\varnothing$ não tem elementos e é diferente de $\{0\}$.
• $\in$ liga elemento a conjunto; $\subset$ liga conjunto a conjunto. $3 \notin \{1, 2, \{3\}\}$, mas $\{3\} \in \{1, 2, \{3\}\}$. $\varnothing \subset A$ e $A \subset A$ sempre. $A = B$ quando $A \subset B$ e $B \subset A$. $n$ elementos, $2^n$ subconjuntos.
• Quatro operações, quatro palavras: união é “ou” inclusivo; interseção é “e”; diferença é “mas não”, com ordem; complementar é “fora”, e exige universo. De Morgan: “nem $A$ nem $B$” é $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$.
• Inclusão-exclusão: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$; com três conjuntos, soma os três, tira os pares, devolve o centro. Nenhum $= n(U) - n(\text{união})$.
• Preencha o Venn de dentro para fora: centro, pares descontando o centro, sós descontando tudo, nenhum por diferença. Confira: as regiões somam $U$ e nenhuma é negativa.
• “Pelo menos um”, “exatamente um” e “ambos” são três números diferentes. Os dados “$A$ e $B$” incluem quem está nos três.
• Tabela 2 × 2 e Venn são a mesma pesquisa: célula interna é região, margem é $n(A)$. Percentuais só se combinam quando são do mesmo universo.
• Hierarquia numérica: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$; $\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}$; racional é decimal finito ou periódico; irracional é infinito não periódico. Densidade não é ilimitação.
• Intervalos: colchete inclui, parêntese exclui, infinito sempre com parêntese. Para operar, desenhe na mesma reta e decida cada extremidade testando o número.