Funções

Em dezembro de 2023, a prova do PAS 1 apresentou uma fórmula curta, $f(x) = x + 9{,}2$, e disse que ela fornecia o percentual do desmatamento brasileiro ocorrido no Cerrado no ano $2000 + x$, para $x$ inteiro entre 1 e 22. O item não pediu conta nenhuma: queria saber se o candidato reconhecia, naquele contexto, o domínio, a imagem e o sentido da palavra “crescente”. Três das quatro alternativas tropeçavam exatamente aí, e quem só sabia “substituir o $x$” não tinha como decidir.

É esse o assunto desta página: não uma fórmula específica, mas a ideia que está por trás de todas elas. Uma função é um acordo sem exceções: cada entrada recebe uma saída, e só uma. O cardápio da lanchonete, o gráfico da temperatura ao longo do dia, o custo de uma corrida por aplicativo e o IDH de cada estado são funções. Saber o que a regra sabe, para quais entradas ela vale e o que a saída significa é o que a prova cobra, muito mais do que a conta. Função afim, quadrática e exponencial têm páginas próprias; aqui elas aparecem só como exemplos.

A definição: cada entrada, uma única saída

O cardápio de uma lanchonete é uma função do item para o preço: cada lanche tem um preço, e só um. A agenda de contatos de um celular, lida do nome para o número, deixa de ser função no momento em que um mesmo contato guarda dois números. Note o que a definição tolera: dois lanches distintos podem custar o mesmo. Saída repetida não compromete nada; o que compromete é uma entrada com duas saídas, ou uma entrada sem saída.

Repare nas duas palavras que carregam a definição. Cada garante que nenhuma entrada fica sem resposta: existência. Um único proíbe que uma entrada tenha duas respostas: unicidade. O símbolo $f(x)$ não é um produto de $f$ por $x$; é o nome da saída. Para calcular $f(3)$ em $f(x) = 2x - 1$, troca-se a variável por 3: $f(3) = 5$. Quando a regra vem com nome de grandeza, escreva a unidade junto: em $C(q) = 4q + 10$, $q$ pode ser a quantidade comprada e $C$ o custo em reais, e é isso que dá sentido à conta.

Um exemplo sem fórmula: a classificação do campeonato brasileiro ao fim do primeiro turno, com os 20 clubes e a pontuação de cada um. Domínio: os 20 clubes. Contradomínio: os inteiros de 0 a 57 (19 jogos, 3 pontos por vitória). Imagem: as pontuações que de fato aparecem na tabela, no máximo 20. É uma função porque nenhum clube tem duas pontuações ao mesmo tempo. Dois clubes empatados em pontos não mudam essa conclusão.

Quatro jeitos de dizer a mesma coisa

A mesma função pode aparecer como tabela, como diagrama de flechas, como gráfico ou como fórmula. Nenhuma das quatro é “a verdadeira”: são idiomas, e a prova cobra a tradução entre eles.

O gráfico é o conjunto dos pontos $(x, f(x))$ no plano cartesiano: primeiro a entrada, na horizontal; depois a saída, na vertical. Um ponto $(a, b)$ pertence ao gráfico quando $f(a) = b$, e essa é a ferramenta para conferir uma leitura.

Exemplo resolvido 1: da tabela à fórmula. Um viveiro registra o número $N$ de mudas plantadas ao final de cada semana $t$: 12 mudas em $t = 0$, 19 em $t = 1$, 26 em $t = 2$ e 33 em $t = 3$. Qual regra descreve $N$ em função de $t$, se o padrão se mantiver?

Estratégia: olhar as diferenças entre saídas consecutivas. De 12 para 19, 7; de 19 para 26, 7; de 26 para 33, 7. Acréscimo constante indica uma regra do tipo $N(t) = at + b$, com $a$ igual ao acréscimo por semana e $b$ igual ao valor em $t = 0$.

Resolução: $a = 7$ e $b = 12$, logo $N(t) = 7t + 12$.

Conferência: $N(3) = 21 + 12 = 33$, que bate com a tabela. Um cuidado que a tabela não mostra: $t$ é o número da semana, então o domínio é $\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Perguntar “quantas mudas em $t = 2{,}5$” não tem resposta no modelo, ainda que a fórmula aceite o número.

Esse cuidado vale para todo gráfico feito a partir de medições. Se a temperatura foi medida cinco vezes num dia, o que se conhece são cinco pontos. Ligar os pontos com uma linha é uma hipótese sobre o que aconteceu entre as medições, e uma hipótese pode estar errada.

Para quais entradas a regra vale? Domínio, contradomínio e imagem

Diante de uma função que alguém afirma descrever um fenômeno, três perguntas distinguem compreensão de decoreba: em que entradas a regra faz sentido, que saídas ela de fato gera e em que direção ela anda. As duas primeiras são domínio e imagem.

Considere $f(x) = x^2$ com domínio $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ e contradomínio $\mathbb{R}$.

A imagem é $\{0, 1, 4\}$: três valores, não cinco, porque duas entradas repetem a saída. Mudar o domínio muda a imagem sem tocar na fórmula. Com domínio $[1, 3]$, a imagem de $x^2$ é o intervalo $[1, 9]$; com domínio $\{1, 2, 3\}$, é $\{1, 4, 9\}$, e o número 5, embora fique entre 4 e 9, não é saída de entrada nenhuma.

Exemplo resolvido 2: imagem de domínio discreto. A função do PAS 2023, $f(x) = x + 9{,}2$ para $x$ inteiro com $1 \le x \le 22$, tem 20,7 no conjunto imagem?

Estratégia: uma saída pertence à imagem se alguma entrada do domínio a produz. Resolver $f(x) = 20{,}7$ e conferir se a solução está no domínio.

Resolução: $x + 9{,}2 = 20{,}7$ dá $x = 11{,}5$. Mas 11,5 não é inteiro: não pertence ao domínio. Logo 20,7 não está na imagem.

Conferência: a imagem é exatamente $\{10{,}2;\ 11{,}2;\ \ldots;\ 31{,}2\}$, 22 valores separados de 1 em 1. Entre 20,2 e 21,2 não há saída nenhuma. Por isso a alternativa que dizia “qualquer real em $[0, 200]$ pode pertencer à imagem” estava errada: confundia imagem com contradomínio.

O domínio manda: restrições da fórmula e do contexto

Quando a fórmula vem sem domínio declarado, o domínio é o maior conjunto de reais em que a conta faz sentido. Duas operações impõem restrição no ensino médio: divisão, cujo denominador não pode ser zero; e raiz de índice par, cujo radicando não pode ser negativo.

Exemplo resolvido 3: domínio de uma fórmula. Determine o domínio de $g(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x - 5}$.

Estratégia: listar cada operação proibida e traduzir em condição sobre $x$; o domínio é a interseção das condições.

Resolução: raiz exige $x - 3 \ge 0$, isto é, $x \ge 3$. Denominador exige $x - 5 \ne 0$, isto é, $x \ne 5$. Domínio: $\{x \in \mathbb{R} : x \ge 3 \text{ e } x \ne 5\}$, ou $[3, 5) \cup (5, +\infty)$.

Conferência: $g(3) = 0/(-2) = 0$, existe. $g(5)$ daria $\sqrt{2}/0$, não existe. $g(2)$ daria $\sqrt{-1}$, não é real. As três fronteiras batem.

A segunda fonte de restrição é o contexto, e a prova gosta mais dela do que da raiz. Na venda de ingressos, a quantidade é um inteiro não negativo: a fórmula da receita aceita 2,7 ingressos, o modelo não. Um tanque com 40 litros que perde 5 litros por minuto tem volume $V(t) = 40 - 5t$ enquanto esvazia, ou seja, para $0 \le t \le 8$. Em $t = 10$ a fórmula devolve $-10$, e água negativa não existe: a regra saiu do intervalo em que foi construída.

Isso é gráfico de função? O teste da reta vertical

A definição tem uma tradução geométrica direta. Se uma reta vertical corta o desenho em dois pontos, a entrada correspondente a essa reta tem duas saídas, e o desenho não é gráfico de função. Se toda reta vertical, dentro do domínio, corta o desenho em exatamente um ponto, é.

O teste exige olhar o desenho inteiro, não um pedaço conveniente. E ele só fala de $y$ como função de $x$: a mesma circunferência também não é gráfico de $x$ como função de $y$, mas uma parábola deitada, $x = y^2$, é função de $y$ para $x$ e não é função de $x$ para $y$.

O que um gráfico conta: zeros, sinal, crescimento, máximo e mínimo

Um gráfico bem lido responde a perguntas que a fórmula esconde. Onde a função vale zero. Onde é positiva. Onde sobe. Qual é o maior valor que atinge.

Zero é uma entrada; valor inicial é uma saída. Confundir os dois é trocar eixo. E ser crescente não é ser positiva: $f(x) = x - 10$ cresce em toda a reta, inclusive onde vale $-7$.

Exemplo resolvido 4: leitura completa. A figura acima mostra a variação $h(t)$ do nível de um reservatório em relação à cota de referência, em metros, ao longo de 12 horas. Determine os zeros, os intervalos de sinal, os intervalos de crescimento e os extremos.

Estratégia: varrer o gráfico da esquerda para a direita, anotando cada cruzamento com o eixo horizontal, cada mudança de subida para descida e os pontos mais alto e mais baixo.

Resolução: a curva cruza o eixo em $t = 1$, $t = 6$ e $t = 12$: zeros. Acima do eixo entre 1 e 6: $h > 0$ em $(1, 6)$. Abaixo antes de 1 e entre 6 e 12: $h < 0$ em $[0, 1)$ e em $(6, 12)$. Sobe de $t = 0$ a $t = 4$ e de $t = 8$ a $t = 12$; desce de $t = 4$ a $t = 8$. Máximo $h(4) = 4$; mínimo $h(0) = -2$.

Conferência: em cada zero a função troca de sinal, e isso confere com as faixas anotadas. O mínimo $-2$ está na borda do domínio, não num “vale” da curva: extremos podem estar nas extremidades, e quem só procura vales perde esse.

Saber dizer se uma função sobe ou desce resolve itens construídos sobre fórmulas que o aluno nunca viu. Em 2025, a prova apresentou um modelo de população, $P(t) = \dfrac{8\,000}{1 + 15e^{-0{,}15t}}$, e afirmou que a população “para de crescer” ao atingir 4 000 indivíduos. Quando $t$ aumenta, $e^{-0{,}15t}$ diminui, o denominador diminui e $P$ aumenta, sempre. A população não para em 4 000; continua crescendo, cada vez mais devagar, rumo a 8 000. Item errado, decidido só com leitura de crescimento.

Função vestida de fenômeno: quando a fórmula é um modelo

A matriz do PAS pede a definição de função aplicada a “fenômenos naturais e socioeconômicos” e dá, como exemplos, IDH e inflação. A banca cumpre a promessa: a função chega disfarçada de índice, de projeção, de taxa, e o que está em jogo é se você a opera como uma máquina de entradas e saídas: alterar um dado de entrada e refazer a conta, comparar o resultado com um limiar, trocar a fórmula e verificar quem sai favorecido.

Quatro perguntas organizam qualquer item desse tipo:

1. O que entra e o que sai, em que unidade. Em $f(t) = mt + h$ para os 100 metros, entra o ano e sai o tempo em segundos.
2. Onde a regra vale. O domínio do estudo, o triênio do orçamento, os anos medidos. Fora dele, a fórmula ainda calcula, mas o número não significa nada.
3. O que a saída mede. Percentual ou total, saldo ou acréscimo, posição ou velocidade.
4. Um ponto para conferir. A prova quase sempre fornece um valor conhecido; use-o para testar a leitura antes de julgar.

Exemplo resolvido 5: pertinência de um ponto. Com $f(1900) = 10{,}8$ e $f(1960) = 10{,}2$ na reta dos 100 metros, o ponto $(1920;\ 10{,}5)$ pertence ao gráfico de $f$?

Estratégia: pertencer ao gráfico é ter $f(1920) = 10{,}5$. Calcular a variação por ano e avançar 20 anos a partir de 1900.

Resolução: em 60 anos o tempo caiu 0,6 s, isto é, 0,01 s por ano. De 1900 a 1920 são 20 anos: queda de 0,2 s. $f(1920) = 10{,}8 - 0{,}2 = 10{,}6$, não 10,5. O ponto não pertence ao gráfico.

Conferência: de 1900 a 1960 são 60 anos; 1920 fica a 20 deles, um terço do intervalo, e um terço da queda total de 0,6 s é 0,2 s. Fecha em 10,6. O distrator 10,5 foi feito para quem supõe que 1920 está na metade do intervalo.

A escolha da variável de entrada também é decisão de modelagem. Chamar de $x$ o ano-calendário produz coeficientes enormes e sem significado; chamar de $x$ os anos decorridos desde o início do estudo produz um valor inicial legível. As duas descrevem a mesma função; a prova cobra na forma em que ela escreveu.

Encadear e desfazer: composição e inversa

Muitas regras do mundo são duas regras em sequência. Uma loja dá 10% de desconto e depois cobra R$ 5 de entrega. Com $f(x) = 0{,}9x$ para o desconto e $g(x) = x + 5$ para a entrega, o preço final é $g(f(x)) = 0{,}9x + 5$: primeiro $f$, depois $g$.

Se a loja cobrasse a entrega antes e desse o desconto sobre o total, o preço seria $f(g(x)) = 0{,}9(x + 5) = 0{,}9x + 4{,}5$. Para uma compra de R$ 100, R$ 95 numa ordem e R$ 94,50 na outra. Meio real de diferença, e a lição inteira sobre ordem.

Desfazer uma função é a outra operação. A conversão de Celsius para Fahrenheit é $F(C) = 1{,}8C + 32$; a regra que devolve o Celsius a partir do Fahrenheit é $C(F) = (F - 32)/1{,}8$. Uma desfaz a outra: $C(F(20)) = C(68) = 20$.

$f(x) = x^2$ em $\mathbb{R}$ não tem inversa: a reta horizontal $y = 4$ corta o gráfico em $x = 2$ e $x = -2$, e “desfazer o 4” não teria resposta única. Restringindo o domínio a $[0, +\infty)$, cada saída vem de uma só entrada e a inversa é $\sqrt{x}$. É o mesmo raciocínio que decide se uma tabela pode ser lida “de trás para a frente”: a classificação do campeonato só pode ser invertida (da pontuação para o clube) se não houver empates.

O essencial em meia página

• Função $f: A \to B$: cada entrada de $A$ tem exatamente uma saída em $B$. Saídas repetidas são permitidas; entrada sem saída ou com duas saídas, não. $f(x)$ é o nome da saída, não um produto.
• Quatro representações (tabela, diagrama, gráfico, fórmula) contam a mesma história. Um ponto $(a, b)$ está no gráfico quando $f(a) = b$; use isso para conferir leituras.
• Domínio: onde a regra vale. Imagem: as saídas produzidas, contida no contradomínio. Domínio discreto gera imagem discreta, não intervalo.
• Restrições da fórmula: denominador diferente de zero, radicando de raiz par maior ou igual a zero. Restrições do contexto: quantidades inteiras, tempo não negativo, tanque que não fica negativo. O contexto manda.
• Teste da reta vertical: gráfico de função é cortado uma vez só por qualquer vertical do domínio. Circunferência não passa; semicircunferência passa.
• Leitura de gráfico: zero é entrada com saída 0 (cruza o eixo horizontal); $f(0)$ é saída (cruza o vertical); sinal é estar acima ou abaixo do eixo; crescente é subir da esquerda para a direita; extremos podem estar nas bordas do domínio.
• Crescente não é positiva, e crescer na função não é crescer no fenômeno: percentual pode subir com o total caindo. O sinal do crescimento vem da fórmula.
• Modelo vale onde foi calibrado: extrapolar produz absurdos (tempo de corrida zero). Segmento, não reta sem fim.
• Composta $g(f(x))$: primeiro $f$, depois $g$; a ordem muda o resultado. Inversa desfaz a função e existe só quando cada saída vem de uma única entrada (teste da reta horizontal).