Vetores

Duas pessoas puxam uma caixa: uma com 30 N, outra com 40 N. Quanto vale a força que a caixa sente? A pergunta não tem resposta, e essa é a lição inteira desta página. Se as duas puxam para o mesmo lado, a caixa recebe 70 N; se puxam em lados contrários, 10 N; se as cordas fazem ângulo reto, 50 N, numa direção que nenhuma das duas escolheu. Mesmos números, três resultados. Em dezembro de 2017, a prova do PAS 1 pendurou um quadro numa parede de museu com dois cabos e perguntou se, para analisar o equilíbrio, era “necessário considerar a natureza vetorial das grandezas envolvidas”. Era. Onze anos antes, a mesma banca tocou O Trenzinho do Caipira e perguntou se a música permitia conhecer “os aspectos vetoriais do movimento do trem”. Não permitia.

Vetor é o nome do objeto matemático que carrega o que o número sozinho não carrega: para onde. Esta página é sobre isso: que grandezas precisam de seta e quais não precisam, o que cada parte da seta informa, como somar setas pelo desenho e pelas componentes, como quebrar uma força em partes que apontam ao longo dos eixos, e onde tudo isso aparece na Física do ensino médio, do barco atravessando o rio ao quadro pendurado. As leis de Newton, o atrito e o movimento circular, que usam vetores o tempo todo, têm páginas próprias; aqui entram como exemplos.

Nem toda grandeza aponta para algum lugar

Uma medida é um número e uma unidade: 2 kg, 30 s, 25 °C. Para massa, tempo e temperatura, isso encerra o assunto. Ninguém pergunta “2 kg para onde?”. Já “o vento está a 10 m/s” deixa uma pergunta no ar: de que lado ele vem? E “uma força de 30 N” sobre a caixa não diz se ela vai para a frente ou para trás.

O teste prático é o da soma. Escalares somam como números: 2 kg mais 3 kg dão 5 kg, sempre. Vetores não: 3 N mais 4 N podem dar qualquer valor entre 1 N e 7 N, dependendo do ângulo entre as forças. Se a soma de duas medidas depende de “para onde” cada uma aponta, a grandeza é vetorial.

O que uma seta informa: módulo, direção e sentido

Um vetor é desenhado como uma seta, e cada parte da seta responde a uma pergunta.

Na linguagem comum, “direção” e “sentido” se confundem (“ele foi na direção da praia”). Na Física, não: duas forças horizontais, uma para a direita e outra para a esquerda, têm a mesma direção e sentidos opostos. Um item que diga “as duas forças têm direções opostas” está usando a palavra errada, e a banca sabe disso.

Ao estudar o movimento de translação de um corpo (o corpo inteiro se desloca igual), vetores podem ser transportados paralelamente à vontade para serem somados: só módulo, direção e sentido importam. Quando o assunto é rotação de um corpo extenso, o ponto de aplicação da força também conta, porque decide o torque; isso pertence à página de estática.

Somar pelo desenho: polígono, paralelogramo e a lei dos cossenos

Somar vetores é encadear deslocamentos. Se você anda 3 m para o leste e depois 4 m para o norte, onde está? A 5 m do ponto de partida, na diagonal. A regra é geral.

O desenho dá a direção e o sentido; o módulo sai da geometria do triângulo formado. Se $\vec a$ e $\vec b$ têm módulos $a$ e $b$ e formam ângulo $\theta$ quando desenhados com a mesma origem, o módulo da soma é dado pela lei dos cossenos:

$$R^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta.$$

O sinal de mais (e não de menos, como na lei dos cossenos “de triângulo”) aparece porque $\theta$ é o ângulo entre os vetores na origem comum, e o ângulo interno do triângulo do polígono é $180^\circ - \theta$. Três casos valem decorar, porque a fórmula geral se reduz a eles:

Exemplo resolvido 1: duas forças a 60°. Forças de 5 N e 8 N puxam um anel, formando 60° entre si. Qual é o módulo da resultante? Pela lei dos cossenos, $R^2 = 5^2 + 8^2 + 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 64 + 80 \cdot 0{,}5 = 129$, logo $R = \sqrt{129} \approx 11{,}4$ N. Conferência: o valor está entre $8 - 5 = 3$ e $8 + 5 = 13$, e está mais perto do máximo porque 60° é um ângulo “fechado” (forças quase alinhadas). Se o ângulo fosse 120°, $\cos 120^\circ = -0{,}5$ e $R^2 = 89 - 40 = 49$, $R = 7$ N: o mesmo par de forças, quase no meio do intervalo.

Quebrar um vetor em duas partes: as componentes

O caminho inverso da soma é o mais usado na Física: dado um vetor, encontrar dois vetores perpendiculares, um em cada eixo, cuja soma seja ele. São as componentes. A vantagem é que, nos eixos, tudo vira número com sinal, e números com sinal se somam com aritmética.

As componentes têm sinal: uma componente negativa aponta para o lado negativo do eixo. Um vetor apontando para baixo e para a direita tem $F_x > 0$ e $F_y < 0$. Sinal negativo não é módulo negativo (módulo é sempre positivo); é orientação. Declarar os eixos e os sentidos positivos antes de escrever qualquer componente é o hábito que evita metade dos erros.

Exemplo resolvido 2: puxando uma caixa por uma corda inclinada. Uma pessoa puxa uma caixa de 10 kg com uma corda que faz 30° com o piso horizontal, com força de 100 N. Adote $g = 10$ m/s². Componentes da tração: $F_x = 100\cos 30^\circ \approx 87$ N (para a frente) e $F_y = 100\sin 30^\circ = 50$ N (para cima). A componente vertical não empurra a caixa para a frente; ela alivia o apoio: na vertical, $N + 50 = 100$, logo a normal cai de 100 N para 50 N. Quem puxa uma mala pela alça inclinada sente isso: a mala fica “mais leve” para o piso. A parte que de fato acelera a caixa é 87 N, não 100 N. Conferência: $87^2 + 50^2 = 7\,569 + 2\,500 \approx 10\,000 = 100^2$.

Somar pelas componentes: quando o desenho não basta

Com três, quatro ou mais vetores em ângulos variados, o polígono vira um emaranhado e a lei dos cossenos exige aplicação repetida. O método das componentes reduz tudo a duas somas de números.

Exemplo resolvido 3: três forças no mesmo ponto. Sobre um anel agem $\vec F_1$, de 10 N, apontando para o leste; $\vec F_2$, de 10 N, apontando para o norte; e $\vec F_3$, de 20 N, apontando para o sudoeste (45° abaixo do oeste). Qual é a resultante? Eixos: $x$ para o leste, $y$ para o norte. $\vec F_1 = (10, 0)$; $\vec F_2 = (0, 10)$; $\vec F_3 = (-20\cos 45^\circ, -20\sin 45^\circ) \approx (-14{,}1, -14{,}1)$. Somando: $R_x \approx -4{,}1$ N e $R_y \approx -4{,}1$ N. Módulo $R \approx \sqrt{2 \cdot 4{,}1^2} \approx 5{,}8$ N, apontando para o sudoeste (as duas componentes negativas). Conferência pelo desenho: $\vec F_1 + \vec F_2$ tem módulo $10\sqrt 2 \approx 14{,}1$ N para o nordeste; $\vec F_3$ tem 20 N para o sudoeste, exatamente na direção oposta; sobra $20 - 14{,}1 = 5{,}9$ N para o sudoeste. Os dois caminhos concordam.

Deslocamento não é distância percorrida

A primeira grandeza vetorial da cinemática é o deslocamento: a seta que vai da posição inicial à posição final, sem se importar com o caminho. A distância percorrida é o comprimento do caminho, escalar. Quem anda 300 m para o leste e depois 400 m para o norte percorreu 700 m, mas se deslocou 500 m (a hipotenusa do triângulo 3-4-5), numa direção entre o leste e o norte, a cerca de 53° do leste.

A variação de velocidade também é vetorial: $\Delta\vec v = \vec v_f - \vec v_i$, uma subtração de vetores. Uma bola que chega à parede a 5 m/s e volta a 5 m/s teve $|\Delta \vec v| = 10$ m/s (adotando o eixo para a direita, $-5 - 5 = -10$), embora a rapidez não tenha mudado. E no ponto mais alto de um lançamento oblíquo a componente vertical da velocidade é zero, mas a horizontal continua a mesma do lançamento: o vetor velocidade não é nulo. O PAS 1 de 2022 afirmou que ele seria nulo, e o gabarito é errado. Um vetor só é nulo quando todas as componentes são nulas.

Velocidade relativa: o barco no rio e o avião no vento

Um barco em um rio tem duas velocidades ao mesmo tempo: a que o motor produz em relação à água e a que a água tem em relação à margem. Quem está na margem vê a soma vetorial das duas.

Exemplo resolvido 4: atravessar em frente. O mesmo barco (4 m/s em relação à água) quer chegar ao ponto exatamente em frente, no rio de 120 m com correnteza de 3 m/s. Para que a velocidade em relação à margem seja perpendicular, a componente da velocidade do barco ao longo do rio deve valer 3 m/s contra a corrente; sobra, na direção da travessia, $\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt 7 \approx 2{,}65$ m/s. Tempo: $120/2{,}65 \approx 45$ s, contra 30 s da travessia “reta em relação à água”. Atravessar sem deriva custa tempo. Conferência: o ângulo de proa é dado por $\sin\alpha = 3/4$, $\alpha \approx 49^\circ$ a montante; se a correnteza fosse igual ou maior que 4 m/s, a raiz ficaria nula ou impossível, e o barco não conseguiria chegar em frente, o que faz sentido.

No caso do rio, quem observa da margem vê o barco a 5 m/s, mas o motor “só fez” 4 m/s. Em 2006, o PAS 1 descreveu a barquinha, instrumento do século XV que media a velocidade do navio contando nós de uma corda presa a uma boia largada na água, e afirmou que a velocidade assim medida, em relação a um ponto fixo na Terra, independia das correntes marítimas. Errado: a boia flutua com a água; a barquinha mede a velocidade do navio em relação à água ($\vec v_{\text{navio/água}}$), e a corrente entra na soma para quem quer a velocidade em relação ao fundo, exatamente como o barco do rio.

Forças concorrentes: resultante e equilíbrio

Na dinâmica, a soma de vetores tem nome próprio: força resultante, $\vec F_R = \sum \vec F_i$. É ela, e não cada força isolada, que entra na segunda lei de Newton. Se $\vec F_R = \vec 0$, o corpo está em equilíbrio de translação: fica em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Para forças concorrentes (todas passando pelo mesmo ponto), essa é a única condição; para corpos extensos entra também o torque, assunto da página de estática.

O item 55 do PAS 1 de 2017 afirmou que “o módulo da componente vertical da tensão independe do ângulo formado entre os cabos”, e o gabarito é certo: a soma das duas componentes verticais tem de valer $P$, e por simetria cada uma vale $P/2$, com 120°, 90° ou 30° entre os cabos. O que depende do ângulo é o módulo da tração, não a sua parte vertical.

Exemplo resolvido 5: o rebocador do PAS 1 de 2011. A cena do caderno: um navio rebocado em velocidade constante, com um dinamômetro intercalado entre os dois cabos de reboque; a mola do dinamômetro está distendida 0,5 m e os cabos formam 30° com a horizontal. O item afirmava que a razão entre a força de atrito da água no navio e a constante elástica $k$ da mola é maior que 0,5 m. Raciocínio: velocidade constante significa resultante nula no navio; a força que a água faz para trás é igual à componente horizontal da tração do cabo, $T\cos 30^\circ$. A tração é $T = k \cdot 0{,}5$ (lei de Hooke, $F = kx$). Logo $f = 0{,}5k \cdot \cos 30^\circ \approx 0{,}5k \cdot 0{,}87 = 0{,}43k$, e $f/k \approx 0{,}43$ m, menor que 0,5: gabarito E. Sem o ângulo, a razão sairia exatamente 0,5: quem esquece a decomposição erra a física, ainda que marque a letra certa; quem decompõe acerta pelos motivos certos. Conferência: a componente vertical da tração, $T\sin 30^\circ = 0{,}25k$, é equilibrada pelo empuxo extra da água, e não aparece na conta horizontal.

Ler um diagrama vetorial como a banca desenha

Boa parte dos itens de vetores não pede conta: pede leitura. A figura do PAS 1 de 2024 mostrava o telescópio James Webb num ponto P com três setas: $\vec F_1$ (força do Sol), $\vec F_2$ (força da Terra) e $\vec F$, a resultante, apontando para o centro de massa do sistema Sol-Terra. Os dois primeiros itens eram terceira lei e segunda lei (página de leis de Newton); o item 96, tipo C, pedia o módulo da resultante nos pontos L4 e L5, vértices de triângulos equiláteros com a base Sol-Terra. Nesses pontos o telescópio está à mesma distância $r$ do Sol e da Terra, logo as duas forças gravitacionais têm módulos proporcionais às massas, $F_{\text{Terra}}/F_{\text{Sol}} = m/M = x$, e formam 60° entre si (ângulo interno do triângulo equilátero). Lei dos cossenos:

$$F^2 = F_{\text{Sol}}^2 + F_{\text{Terra}}^2 + 2F_{\text{Sol}}F_{\text{Terra}}\cos 60^\circ = F_{\text{Sol}}^2\,(1 + x^2 + x),$$

isto é, $F = F_{\text{Sol}}\sqrt{1 + x + x^2}$, a opção B. Não havia nenhum número na questão; havia uma figura para ler e a lei dos cossenos para aplicar.

Roteiro de leitura de qualquer diagrama de forças: (1) identifique em que corpo cada seta atua (só as forças sobre o mesmo corpo se somam); (2) veja se a figura está em escala (a prova costuma avisar “figura fora de escala”: aí o comprimento das setas não vale como dado); (3) escolha eixos que zerem o maior número de componentes (ao longo da rampa, ao longo do cabo); (4) escreva as duas somas, $\sum F_x$ e $\sum F_y$, com sinais; (5) só então compare com o que o item afirma.

Os erros que a prova espera

Somar módulos como se fossem escalares. “3 N e 4 N dão 7 N”: só se tiverem o mesmo sentido. A resultante de dois vetores fica entre $|a - b|$ e $a + b$; a prova adora o “necessariamente” que transforma um caso particular em regra.

Trocar direção por sentido. Duas forças na mesma reta apontando para lados opostos têm a mesma direção. Item que fala em “direções opostas” para forças colineares está usando o vocabulário comum, não o da Física.

Errar o sinal de uma componente. A componente é negativa quando aponta para o lado negativo do eixo que você escolheu. Escreva os eixos e os sentidos positivos antes da primeira conta; releia a figura para cada componente.

Trocar seno por cosseno. Cosseno vai com o eixo a partir do qual o ângulo foi medido. Ângulo com a horizontal: $F_x = F\cos\theta$. Ângulo com a vertical: $F_y = F\cos\theta$. Na rampa, o ângulo entre o peso e a normal é $\theta$, logo $P\cos\theta$ é a componente perpendicular e $P\sin\theta$, a paralela.

Confiar na escala do desenho. Se a figura diz “fora de escala”, os comprimentos das setas não são dados. Se a figura está em escala (uma seta de 2 cm representa 10 N), meça e converta, e confira que a resultante desenhada obedece ao polígono.

Concluir “vetor nulo” a partir de uma componente nula. No alto de um lançamento oblíquo, $v_y = 0$ e $v_x \ne 0$: a velocidade não é nula. Um vetor só é nulo quando todas as componentes são nulas.

Achar que módulo constante é velocidade constante. Em curva, a direção do vetor velocidade muda: a velocidade muda e há aceleração, mesmo com o velocímetro parado.

O essencial em meia página

• Escalar: número e unidade (massa, tempo, energia, distância, rapidez). Vetorial: número, unidade e orientação (deslocamento, velocidade, aceleração, força). Teste: se a soma depende do ângulo, é vetor.
• Seta: comprimento = módulo (numa escala); reta suporte = direção; ponta = sentido. Vetor oposto: mesmo módulo e direção, sentido contrário. Forças colineares em lados opostos: mesma direção, sentidos opostos.
• Soma gráfica: polígono (ponta com origem; fecha = soma nula) ou paralelogramo (diagonal da origem comum). Subtrair é somar o oposto.
• Módulo da soma: $R^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta$. Casos: mesmo sentido $a + b$; opostos $|a - b|$; perpendiculares $\sqrt{a^2 + b^2}$. Sempre $|a - b| \le R \le a + b$.
• Componentes: $F_x = F\cos\theta$, $F_y = F\sin\theta$ (ângulo com $x$); trocam se o ângulo for com $y$. Rampa: $P\sin\theta$ ao longo, $P\cos\theta$ perpendicular. Notáveis: $30^\circ$ ($1/2$, $\sqrt 3/2$), $45^\circ$ ($\sqrt 2/2$), $60^\circ$ ($\sqrt 3/2$, $1/2$).
• Soma por componentes: some $x$ com $x$, $y$ com $y$; $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$. $k\vec a$: módulo $|k|a$, sentido invertido se $k < 0$. $\vec v = v_x\hat\imath + v_y\hat\jmath$.
• Cinemática: deslocamento é a seta início-fim; distância é o caminho. Percurso fechado: velocidade vetorial média nula. $\Delta\vec v$ é subtração vetorial. Curva com rapidez constante tem aceleração.
• Velocidade relativa: $\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}$. Barco perpendicular à água: tempo $L/v_{\text{b/a}}$, deriva rio abaixo. Chegar em frente: apontar a montante, velocidade útil $\sqrt{v_{\text{b/a}}^2 - v_{\text{água}}^2}$.
• Forças concorrentes: $\vec F_R = \sum \vec F$; equilíbrio $\Leftrightarrow$ $\sum F_x = 0$ e $\sum F_y = 0$ (polígono fecha). Dois cabos simétricos a $\alpha$ da vertical: $T = P/(2\cos\alpha)$; a componente vertical de cada um é $P/2$ para qualquer ângulo.
• Antes de julgar um item: em que corpo atua cada força? A figura está em escala? Quais eixos zeram mais componentes? Escreva as duas somas com sinal e só então compare.