Trabalho de uma força

Um carregador atravessa o pátio de um depósito com uma caixa de 30 kg nos braços, 50 m em linha reta, e chega ao outro lado suado. Um guindaste, em silêncio, ergue a mesma caixa 3 m até uma prateleira. Qual dos dois realizou trabalho sobre a caixa? A intuição aponta o carregador: andou mais, cansou mais. A física aponta o guindaste, e dá ao carregador exatamente zero. A força que ele fez foi para cima, o deslocamento foi para o lado, e a energia da caixa não mudou em nada entre uma ponta e outra do pátio.

Essa palavra, trabalho, é o primeiro instrumento de medida da energia que você vai aprender: ela mede quanta energia uma força transfere para um corpo, ou retira dele, enquanto ele se desloca. Não mede esforço, não mede cansaço, não mede tempo. Mede força vezes distância, com um cosseno no meio que decide tudo. Quem entende esse cosseno resolve, sem conta, a maior parte dos itens que o PAS e o ENEM cobram sobre o assunto, e ainda ganha a ferramenta que liga força a velocidade sem passar pela aceleração.

Segurar cansa, mas não é trabalho

Arraste uma caixa de mudança pelo corredor do apartamento, empurrando com 60 N ao longo de quatro metros. Depois fique de pé, imóvel, com uma mala de 50 N pendurada no braço esticado durante um minuto. As duas tarefas cansam; apenas a primeira é trabalho no sentido da física. O que separa uma da outra é a palavra deslocamento: só há trabalho se o ponto em que a força atua sai do lugar, e apenas a componente da força alinhada com esse movimento entra na conta. A caixa recebeu energia da sua mão; a mala, parada, não recebeu nada, por mais que o braço doa.

O cansaço de segurar é real, mas é fisiológico: as fibras musculares se contraem e relaxam continuamente para manter a posição, consumindo energia química que vira calor no seu corpo. Nada disso chega à mala. Antes de qualquer conta, portanto, pergunte três coisas: qual é o corpo que está sendo estudado, qual é a força cujo trabalho se quer, e para onde esse corpo se deslocou enquanto a força agia. Trabalho é sempre “de uma força” e “sobre um corpo”; um item que fala do “trabalho do carregador” sem dizer sobre o quê está pedindo para você escolher o corpo, e o corpo certo é quase sempre o objeto carregado.

A fórmula: força, distância e o cosseno

O cosseno faz o serviço de separar a força em duas partes. A componente paralela ao deslocamento, $F\cos\theta$, é a única que realiza trabalho; a componente perpendicular, $F\sin\theta$, pode ser enorme e não transfere um joule. Por isso a fórmula também se lê como “componente da força na direção do movimento, vezes a distância”.

Exemplo resolvido. A caixa de mudança empurrada com 60 N por 4 m de corredor recebe $W = 60 \times 4 \times \cos 0^\circ = 240$ J. Se, em vez de empurrar, você a puxar por uma alça inclinada a 60° com o chão, a fração útil da força cai pela metade: $W = 60 \times 4 \times 0{,}5 = 120$ J. Agora a mala de 50 N, levada pelos mesmos 4 m na mão: a força da mão é vertical e o percurso, horizontal, $\theta = 90^\circ$, $W = 0$. Por fim, erga a mala 1,5 m, devagar, até a bagageira do ônibus: a mão realiza $+50 \times 1{,}5 = +75$ J, enquanto o peso, voltado para baixo durante a subida, realiza $50 \times 1{,}5 \times \cos 180^\circ = -75$ J. Conferência: os dois trabalhos somam zero, e a mala, que partiu parada e chegou parada, não ganhou energia de movimento. É a primeira aparição de uma regra que fecha esta página.

Quatro cossenos resolvem quase todo trabalho de força constante: $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 60^\circ = 0{,}5$, $\cos 90^\circ = 0$ e $\cos 180^\circ = -1$. Quando aparecer 30° ou 45°, $\cos 30^\circ \approx 0{,}87$ e $\cos 45^\circ \approx 0{,}71$ completam o conjunto.

Positivo, negativo ou zero: quem decide é o ângulo

O sinal do trabalho não é detalhe de notação. Ele diz de que lado a energia está indo. Trabalho positivo significa que a força está entregando energia ao corpo (o motor que acelera o carro, a mão que ergue a mala); trabalho negativo significa que a força está retirando energia dele (o freio, o atrito, o peso durante a subida). Trabalho nulo significa que, apesar de existir, a força não participa da conta de energia.

O caso preferido das provas é o do trabalho nulo, porque ele contraria a intuição de que “força grande faz muita coisa”. As forças que nunca trabalham, em seus contextos típicos, formam uma lista que vale decorar:

1. A normal de um piso ou de uma rampa sobre um corpo que desliza por ela. A normal é, por definição, perpendicular à superfície, e o corpo se move ao longo da superfície. O PAS 1 de 2018 (item 89) descreveu um bloco $M_1$ numa rampa sem atrito, ligado por fio e polia a um bloco $M_2$ pendurado, e afirmou que o trabalho da normal em $M_1$ seria nulo: certo, e nem precisou das massas.
2. A tração do fio de um pêndulo ou de qualquer corpo em trajetória circular presa a um centro fixo. O fio é radial, a velocidade é tangente.
3. Toda força centrípeta em movimento circular uniforme, seja qual for sua natureza. A gravitação sobre um satélite em órbita circular é o exemplo mais cobrado: em 2024 (item 92), a banca afirmou que o trabalho das forças gravitacionais sobre um telescópio em movimento circular é nulo, e estava certa; em 2010 (item 113), escreveu que o trabalho total da força gravitacional sobre o satélite CBERS “é diferente de zero, pois a força é conservativa”, e estava errada duas vezes: o trabalho é zero, e ser conservativa não tem nada a ver com isso.
4. A força elétrica sobre uma carga que se move ao longo de uma superfície equipotencial, porque o campo é perpendicular a essa superfície. Foi o item 115 do PAS 3 de 2018: elétron deslocado entre dois pontos de um plano paralelo às placas de um capacitor, força elétrica sem trabalho. A mesma regra, em outra disciplina.

O joule: pequeno para o mundo, certo para a prova

Um joule é o trabalho de uma força de 1 N ao longo de 1 m: erguer uma maçã (cerca de 100 g, peso próximo de 1 N) a 1 m do chão. É uma unidade pequena para a escala humana, e por isso os enunciados vêm cheios de quilojoules (kJ, mil joules) e megajoules (MJ, um milhão). Ter algumas âncoras na cabeça evita errar a ordem de grandeza por mil.

Quando a força muda pelo caminho: o trabalho é a área

A fórmula $W = Fd\cos\theta$ vale para força constante. Se a força muda de valor ao longo do percurso, é preciso somar pedaço a pedaço: em cada trecho pequeno, a força é quase constante e o trabalho é quase $F \cdot \Delta x$; a soma de todos esses retângulos finos é a área sob o gráfico da componente da força na direção do movimento em função da posição.

Exemplo resolvido. Uma força na direção do movimento cresce linearmente de zero a 20 N enquanto o corpo se desloca 3 m. O trabalho é a área do triângulo: $\tfrac12 \times 3 \times 20 = 30$ J. Quem usasse a força final durante todo o percurso obteria $20 \times 3 = 60$ J, o dobro do correto; quem usasse a força média, $10$ N, chegaria aos mesmos 30 J, porque para uma variação linear a média é a metade do valor final. Se, em seguida, a força cai para $-5$ N (contra o movimento) por mais 2 m, esse trecho contribui $-10$ J, e o total é $30 - 10 = 20$ J.

A mola: metade de k vezes x ao quadrado

A força variável mais cobrada é a da mola. Pela lei de Hooke, uma mola ideal esticada ou comprimida de $x$ puxa de volta com força $F = kx$, em que $k$ é a constante elástica, em newtons por metro. Quanto mais deformada, mais forte ela puxa: a força não é constante, e o trabalho sai da área.

Exemplo resolvido. Um estilingue de $k = 2\,500$ N/m é esticado 8 cm. Trabalho da mão: $\tfrac12 \times 2\,500 \times 0{,}08^2 = 8$ J. Esticado 16 cm: $\tfrac12 \times 2\,500 \times 0{,}0256 = 32$ J. Dobrou a deformação, quadruplicou o trabalho, porque a força final dobrou e a distância dobrou. Quem fizesse $F \cdot d$ com a força final ($400 \times 0{,}16 = 64$ J) esqueceria que no começo a mola quase não puxava. O PAS 1 de 2011 (item 63) usou uma mola de dinamômetro distendida 50 cm e afirmou que a energia elástica, em joules, era oito vezes menor que a constante, em N/m: $\tfrac12 k (0{,}5)^2 = k/8$, certo.

O peso não liga para o caminho

Erga um corpo de massa $m$ por uma altura $h$. O peso, $mg$, aponta para baixo, o deslocamento vertical é para cima: $W_{\text{peso}} = -mgh$. Desça o corpo pela mesma altura: $W_{\text{peso}} = +mgh$. E se o corpo não subir na vertical, mas por uma rampa, por uma escada, por um caminho torto qualquer? O resultado não muda. Cada pedacinho horizontal do percurso é perpendicular ao peso e não conta; só os pedacinhos verticais contam, e a soma deles é a altura $h$.

Exemplo resolvido. Uma carga de 10 kg deve subir 2 m, sem atrito e sem ganhar velocidade ($g = 10$ m/s²). Na vertical, a força necessária é igual ao peso, 100 N, por 2 m: $W = 200$ J. Por uma rampa de 5 m de comprimento com o mesmo desnível, $\sin\theta = 2/5 = 0{,}4$, a força paralela à rampa que mantém a subida é $mg\sin\theta = 40$ N, por 5 m: $W = 40 \times 5 = 200$ J. A força caiu para 40%; a distância subiu para 250%; o produto ficou igual. Conferência pelo peso: nas duas rotas o peso realizou $-mgh = -200$ J, e a força que sobe compensou exatamente isso.

É o que toda máquina simples faz, seja macaco, alavanca, polia ou rampa: troca força por distância, sem poupar um joule sequer. O PAS 1 de 2013 (item 92) afirmou que, ao usar o macaco para levantar o carro, “o trabalho realizado é bem menor” que com a força muscular direta: errado; menor é a força. O PAS 1 de 2023 (item 92) foi pelo lado certo: sem dissipação, o trabalho do cadeirante para subir a rampa “independe da inclinação, desde que mantida a variação de altura”. E o de 2012 (item 40) testou o outro flanco, o tempo: “o trabalho para subir a escada será menor quanto mais devagar ele a subir”, errado, porque a velocidade não aparece em $mgh$. Devagar muda a potência, não o trabalho; essa distinção é a página de potência e rendimento.

Um item do PAS 3 de 2018 (item 81) levou a ideia para fora da Terra: “o esforço ou trabalho realizado para se elevar um corpo a determinada altura do solo é maior na Lua que na Terra”. O trabalho contra o peso é $mgh$, e a gravidade lunar é cerca de um sexto da terrestre: menor lá, item errado. E o PAS 3 de 2012 (item 48) juntou os dois campos uniformes, gravitacional e elétrico, para afirmar que o trabalho para deslocar a partícula por uma altura $h$ independe do caminho em qualquer dos dois casos: certo, porque um campo uniforme é conservativo.

O atrito cobra por metro

Há uma força para a qual o caminho importa, e muito: o atrito cinético. Ele aponta sempre contra o deslizamento, logo faz um ângulo de 180° com o deslocamento, e seu trabalho ao longo de um percurso de comprimento $d$ é

$$W_{\text{atrito}} = -f\,d = -\mu N d.$$

Quanto mais caminho, mais energia ele retira. Dois escorregadores de mesma altura e inclinações diferentes, com o mesmo coeficiente de atrito, não deixam a criança chegar embaixo com a mesma velocidade: o mais suave é mais longo, e o atrito cobra por metro percorrido. Essa energia não desaparece; vira energia térmica nas superfícies, e é por isso que o atrito se chama dissipativo, ou não conservativo. A frenagem, a lixa e o calor das pastilhas de freio são a mesma conta com nomes diferentes; a mecânica da força em si está na página de atrito.

Exemplo resolvido (PAS 1 2019, item 76). Um bloco de 2 100 kg é puxado na subida de uma rampa de 30° cuja altura é $H = 10$ m. Solto, ele fica parado na iminência de deslizar, e o coeficiente de atrito dinâmico é metade do estático ($g = 9{,}8$ m/s²). O item afirmava que, até o bloco atingir o topo, o trabalho realizado pelo atrito seria inferior a $9 \times 10^4$ J.

Da iminência sai $\mu_e = \tan 30^\circ \approx 0{,}577$, logo $\mu_c \approx 0{,}289$. A normal na rampa é $N = Mg\cos 30^\circ = 2\,100 \times 9{,}8 \times 0{,}866 \approx 17\,800$ N, e o atrito cinético, $f = \mu_c N \approx 5\,150$ N. O comprimento da rampa é $L = H/\sin 30^\circ = 20$ m. Trabalho do atrito: $W = -f L \approx -5\,150 \times 20 \approx -1{,}03 \times 10^5$ J. Em módulo, cerca de $1{,}0 \times 10^5$ J, maior que $9 \times 10^4$ J: item errado. Conferência por um atalho: com $\mu_c = \tfrac12\tan 30^\circ$, o atrito vale $f = \tfrac12 Mg\sin 30^\circ = Mg/4 \approx 5\,145$ N, e $fL = Mg/4 \times 20 = 5\,145 \times 20 = 102\,900$ J. Os dois caminhos batem.

Somar todos os trabalhos: a ponte para a energia cinética

Quando várias forças agem ao mesmo tempo, cada uma tem o próprio trabalho, e o trabalho total é a soma algébrica de todos, sinais incluídos. Como o trabalho é escalar, essa soma é uma soma de números, não de vetores. E o trabalho total é igual ao trabalho da força resultante. O que ele faz com o corpo é o resultado central da mecânica da energia:

O teorema liga força, velocidade e distância sem passar pelo tempo, e por isso é a ferramenta dos itens tipo B do PAS sobre este assunto.

Exemplo resolvido. Um carro de 800 kg a 30 m/s (108 km/h) é freado por uma força constante de 6 000 N até parar. $E_c$ inicial: $\tfrac12 \times 800 \times 900 = 360\,000$ J. O trabalho da frenagem, $-6\,000\,d$, precisa levar essa energia a zero: $6\,000\,d = 360\,000$, logo $d = 60$ m. Conferência pela segunda lei: $a = 6\,000/800 = 7{,}5$ m/s², e Torricelli dá $d = v^2/(2a) = 900/15 = 60$ m. A 15 m/s, metade da velocidade, a energia cai a um quarto e a distância também: 15 m.

Exemplo resolvido (PAS 1 2005, item 130). Um aríete de 1 tonelada a 7,2 km/h faz o portão ceder 20 cm; pede-se a força média de interação, dividida por 100. Velocidade: $7{,}2/3{,}6 = 2$ m/s. Energia cinética: $\tfrac12 \times 1\,000 \times 4 = 2\,000$ J. Toda ela é retirada pela força do portão ao longo de 0,20 m: $F \times 0{,}20 = 2\,000$, então $F = 10\,000$ N, e a marcação é $100$. Repare que aqui a massa não cancela: ela é dado necessário.

Exemplo resolvido (PAS 1 2014, item 77). Um gráfico mostrava a velocidade de um ciclista crescendo em linha reta de 0 a 8 m/s nos primeiros 4 s; ciclista e bicicleta somam 80 kg. Pede-se o trabalho realizado pelo sistema nesses 4 s, multiplicado por 0,1. Pelo teorema, $W = \Delta E_c = \tfrac12 \times 80 \times 8^2 = 2\,560$ J; a marcação é $256$. Conferência por força e distância: $a = 8/4 = 2$ m/s², $F = 80 \times 2 = 160$ N, $d = \tfrac12 \times 2 \times 16 = 16$ m, e $F d = 160 \times 16 = 2\,560$ J. O teorema poupou duas etapas.

Como a banca pergunta, ano após ano

Nas provas do PAS 1 entre 2005 e 2025, o trabalho de uma força rendeu itens em 2005, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2018, 2019, 2021, 2023 e 2024, quase sempre do tipo certo/errado e quase sempre sobre uma de quatro ideias, sem conta ou com uma conta de uma linha:

1. Força perpendicular não trabalha: gravitação em órbita circular (2010, 2024), normal na rampa (2018), peso e tração no chapéu mexicano (2021), força elétrica na equipotencial (PAS 3, 2018).
2. O trabalho do peso independe do caminho e da velocidade: macaco (2013), escada subida devagar (2012), rampa de acessibilidade (2023), campo uniforme (PAS 3, 2012), gravidade lunar (PAS 3, 2018).
3. Velocidade constante zera o trabalho total, não o de cada força: rebocador (2011).
4. Teorema trabalho–energia nos itens tipo B: aríete (2005), ciclista (2014), frenagem após rampa (2018, 2021).

O erro plantado costuma ser uma justificativa que não sustenta a conclusão (“é diferente de zero, pois a força é conservativa”; “faz um ângulo com o eixo $y$, logo realiza trabalho”) ou uma dependência falsa (inclinação, velocidade, uso de máquina). Quando a frase tiver um “pois” ou um “portanto”, julgue as duas metades separadamente: a banca gosta de colar uma conclusão errada numa premissa certa, e vice-versa.

Os sete erros que a prova planta

1. Confundir força com trabalho. Força é o que puxa ou empurra; trabalho é força vezes deslocamento vezes cosseno. Uma força de 1 000 N que não desloca nada trabalha zero; uma de 1 N ao longo de 1 km trabalha 1 000 J.
2. Dar trabalho a quem segura peso parado. Sem deslocamento do ponto de aplicação, o trabalho mecânico sobre o objeto é nulo. O cansaço é gasto interno do músculo.
3. Esquecer o cosseno. Uma corda a 60° aproveita metade da força; a 90°, nada. O carregador que atravessa o pátio com a caixa nos braços realiza trabalho nulo sobre ela.
4. Achar que máquina economiza trabalho. Macaco, alavanca, polia e rampa reduzem a força e alongam a distância; o produto é o mesmo. “Reduz o trabalho” deve ser lido como “reduz a força”.
5. Misturar tempo com trabalho. Subir devagar ou depressa dá o mesmo $mgh$; o que muda é a potência.
6. Concluir que velocidade constante é motor parado. Constante é a soma dos trabalhos; o motor faz trabalho positivo igual ao módulo do trabalho da resistência.
7. Usar $F \cdot d$ com força variável. Para a mola, o trabalho é a área do triângulo, $\tfrac12 kx^2$, metade do que daria a força final vezes a distância.

O essencial em meia página

• Definição: $W = F\,d\cos\theta$, em joules ($1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m}$). Escalar. Só a componente da força na direção do deslocamento conta.
• Sinal: $\theta < 90^\circ$ motora, $W > 0$, o corpo ganha energia; $\theta = 90^\circ$, $W = 0$; $\theta > 90^\circ$ resistente, $W < 0$, o corpo perde energia. Cossenos de bolso: $1$, $0{,}5$, $0$, $-1$ para 0°, 60°, 90°, 180°.
• Forças que não trabalham: normal sobre corpo que desliza na superfície; tração de fio em trajetória circular; qualquer centrípeta no MCU (gravitação em órbita circular); força elétrica ao longo de equipotencial. Força inclinada pode ser perpendicular ao movimento.
• Ordens de grandeza: maçã a 1 m $\approx 1$ J; pessoa subindo 3 m $\approx 2$ kJ; 1 kWh $= 3{,}6$ MJ; 1 kcal $= 4\,186$ J.
• Força variável: trabalho = área com sinal no gráfico $F_x \times x$. Mola: $W_{\text{ext}} = \tfrac12 kx^2$ (triângulo); a força elástica realiza $-\tfrac12 kx^2$ ao deformar. Dobrar $x$ quadruplica.
• Peso: $W = \mp mgh$, independe do caminho e da velocidade (força conservativa). Rampa e máquinas reduzem força, não trabalho.
• Atrito cinético: $W = -\mu N d$, depende do caminho, vira energia térmica (dissipativo). Sobre uma caixa levada por esteira, o atrito pode trabalhar positivo.
• Total: $W_{\text{total}} = \sum W_i = W_{\text{res}} = \Delta E_c$. Velocidade constante $\Rightarrow$ trabalho total nulo, não o de cada força. Frenagem: $F d = \tfrac12 m v^2$, sem tempo.
• Vizinhos: energia cinética, potencial e conservação em energia; $P = W/\Delta t$ e rendimento em potência e rendimento; a força de atrito em atrito; produto escalar em vetores.