Marés

Quem passa um dia inteiro numa praia de São Luís vê o mar fazer uma coisa estranha. De manhã a água chega quase à faixa de coqueiros; seis horas depois recuou centenas de metros e deixou à mostra um deserto de areia molhada; à noite, voltou. A tábua de marés pregada no quiosque conta a história em números: preamar às 9h20 e às 21h45, baixa-mar às 3h16 e às 15h30, e amanhã tudo acontece uns cinquenta minutos mais tarde. Se a Lua puxa os oceanos, a maré alta da manhã, com a Lua no céu, tem explicação. Mas a da noite, com a Lua do outro lado do planeta? E por que o relógio das marés atrasa todo dia?

A resposta está numa única palavra da lei da gravitação: distância. A Terra tem 12 800 km de espessura, e a Lua puxa o lado de cá com mais força do que puxa o centro, e o centro com mais força do que o lado de lá. A maré não é a Lua erguendo a água: é a diferença entre o quanto ela puxa cada pedaço da Terra. Essa diferença cria dois bojos, um de cada lado; a Terra gira por baixo deles e cada praia passa por dois em cada dia lunar. Esta página é sobre essa diferença e tudo o que ela explica: por que a Lua vence o Sol apesar de o Sol atrair a Terra 180 vezes mais forte, por que as maiores marés vêm na lua nova e na cheia, por que a baía de Fundy sobe 16 m e o Mediterrâneo quase não se mexe, por que a Lua nos mostra sempre a mesma face e por que o dia terrestre está ficando mais longo. A lei $F = GMm/r^2$ e a aceleração $g = GM/r^2$ são pré-requisito e têm página própria, gravitação universal; as órbitas elípticas e a terceira lei ficam em leis de Kepler e órbitas. Aqui elas entram só como remissão.

Duas marés altas por dia, e cada dia cinquenta minutos mais tarde

Comece pelo que se vê. Na maior parte do litoral brasileiro, o mar sobe e desce duas vezes em pouco menos de 25 horas: duas preamares (maré alta) e duas baixa-mares (maré baixa), separadas por cerca de 6 h 12 min cada uma. Entre uma preamar e a seguinte passam 12 h 25 min, e não 12 h. A diferença acumula: a preamar que hoje foi às 9h20 amanhã será perto das 10h10, depois de amanhã perto das 11h00. Em duas semanas o horário deu a volta completa no relógio.

Os dois números vêm da Lua. Se a maré fosse produzida pelo Sol, o ciclo seguiria o dia solar de 24 h e a maré alta cairia sempre na mesma hora. Como ela segue a Lua, o ciclo segue o dia lunar: o tempo que a Terra leva para trazer o mesmo lugar de volta para debaixo da Lua. E a Lua não fica parada esperando: enquanto a Terra dá uma volta, a Lua avança na própria órbita, e a Terra precisa girar um pouco mais para alcançá-la.

Exemplo resolvido (o dia lunar). De uma lua nova à seguinte passam 29,5 dias, e nesse tempo a Lua completa, vista do Sol, uma volta de 360° em torno da Terra: $360°/29{,}5 \approx 12{,}2°$ por dia. A Terra gira 360° em 24 h, isto é, $15°$ por hora. Para cobrir os 12,2° que a Lua andou, ela gasta $12{,}2/15 = 0{,}81$ h, uns 49 minutos. Dia lunar: $24\ \text{h} + 49\ \text{min} \approx 24\ \text{h}\ 50\ \text{min}$. Duas marés altas por dia lunar: uma a cada $24\text{h}50/2 = 12\ \text{h}\ 25\ \text{min}$. Conferência: em 29,5 dias o atraso diário de 49 min soma $29{,}5 \times 49 \approx 1\,450$ min, quase exatamente 24 h; é por isso que, a cada lunação, a tábua de marés “dá a volta” e a preamar volta ao horário de partida.

A Lua não puxa a água: a maré é uma diferença

Pense em três pontos da Terra alinhados com a Lua: o ponto A, na superfície voltada para ela; o centro C; e o ponto B, na superfície oposta. A Lua atrai os três, e atrai todos na sua direção. Mas A está 6 400 km mais perto que C, e B está 6 400 km mais longe. Como a atração cai com o quadrado da distância, A é puxado um pouco mais que o centro, e B um pouco menos.

Agora o passo que decide tudo: a Terra inteira está caindo em direção à Lua com a aceleração do centro (é essa queda contínua que constitui a órbita: Terra e Lua giram ao redor do baricentro comum). O que deforma os oceanos não é a atração total, e sim o que sobra quando se desconta a aceleração comum do centro. Em A sobra um puxão extra na direção da Lua: a água sobe. Em B a atração é menor que a do centro; em relação ao centro, a água de B “fica para trás”, e o saldo aponta para longe da Lua: a água também sobe. Nos pontos a 90°, o saldo aponta para dentro, e a água baixa. Resultado: dois bojos, um de frente para a Lua e outro do lado oposto.

Exemplo resolvido (o tamanho do efeito). Massa da Lua $7{,}35 \times 10^{22}$ kg, distância $3{,}84 \times 10^{8}$ m, raio da Terra $6{,}37 \times 10^{6}$ m. $a_{\text{maré}} = 2GMR/d^3 = 2 \times 6{,}67 \times 10^{-11} \times 7{,}35 \times 10^{22} \times 6{,}37 \times 10^{6}/(3{,}84 \times 10^{8})^3 = 6{,}2 \times 10^{19}/5{,}7 \times 10^{25} \approx 1{,}1 \times 10^{-6}$ m/s². Um décimo de milionésimo de $g$. Conferência pela ordem de grandeza: a atração lunar no centro da Terra vale $GM/d^2 = 3{,}3 \times 10^{-5}$ m/s², e a força de maré é essa atração vezes $2R/d = 2 \times 6\,370/384\,000 = 0{,}033$, o que dá $1{,}1 \times 10^{-6}$ m/s². Parece nada; mas age sobre oceanos inteiros, sem parar, e num oceano ideal cobrindo toda a Terra ergueria os dois bojos em cerca de 54 cm acima do nível dos lados a 90°. O que se mede na costa costuma ser maior, por razões que virão na seção sobre geografia.

Por que o cubo: a força cai com o quadrado, a maré com o cubo

Aqui mora a pergunta que a banca gosta. A massa do Sol supera a da Lua por um fator de 27 milhões, e é a atração solar, não a lunar, que segura a Terra na sua órbita anual. Com tamanha vantagem, por que a tábua de marés acompanha as fases da Lua, e não o relógio do Sol?

Exemplo resolvido (Sol contra Lua). Os dados: $M_{\odot}/M_{L} \approx 2{,}7 \times 10^{7}$ e $d_{\odot}/d_{L} = 1{,}50 \times 10^{8}/3{,}84 \times 10^{5} \approx 390$. Comece pela maré, que é o que interessa. A razão entre o efeito lunar e o solar vale $(M_L/M_{\odot})\,(d_{\odot}/d_L)^3 = 390^3/(2{,}7 \times 10^{7}) = 5{,}9 \times 10^{7}/2{,}7 \times 10^{7} \approx 2{,}2$: a Lua produz uma maré 2,2 vezes maior, ou, lendo ao contrário, o Sol fica com $1/2{,}2 \approx 0{,}46$ do efeito lunar, menos da metade. Agora a atração, com um fator de distância a menos: $(M_{\odot}/M_L)/(d_{\odot}/d_L)^2 = 2{,}7 \times 10^{7}/1{,}5 \times 10^{5} \approx 180$, e nessa disputa o Sol vence com folga. Conferência: as duas razões diferem exatamente por um fator 390, o $d$ extra que aparece no denominador da maré, e $180/390 = 0{,}46$. O Sol tem 180 a favor na força, paga 390 na maré, e termina abaixo de 1.

A regra vale para qualquer par de astros e é o teste mais rápido de um item sobre marés: massa maior não decide sozinha. O que decide é $M/d^3$. Um astro 8 vezes mais massivo, mas 2 vezes mais distante, produz a mesma maré ($8/2^3 = 1$), embora atraia 2 vezes mais forte ($8/2^2 = 2$). Júpiter, com 318 massas terrestres a 600 milhões de quilômetros, produz na Terra uma maré mais de cem mil vezes menor que a da Lua.

Sizígia e quadratura: por que o calendário das marés segue as fases da Lua

Sol e Lua fazem cada um o seu par de bojos, e os dois pares se somam. O resultado depende do ângulo entre as direções Terra–Lua e Terra–Sol, ou seja, da fase da Lua.

Repare na lua cheia. Sol e Lua estão em lados opostos da Terra, e mesmo assim os efeitos se somam, não se cancelam. Se você pensou em cancelamento, pensou em força; maré é diferença, e o par de bojos de cada astro é simétrico: o bojo “de trás” do Sol cai exatamente sobre o bojo “da frente” da Lua. É por isso que a lua nova e a lua cheia dão marés igualmente grandes.

Exemplo resolvido (sizígia perigeana). A órbita da Lua é elíptica: a distância vai de 356 500 km (perigeu) a 406 700 km (apogeu), com média de 384 400 km. Como a maré vai com $1/d^3$, no perigeu o efeito lunar vale $(384{,}4/356{,}5)^3 = 1{,}078^3 \approx 1{,}25$ do valor médio, 25% a mais; no apogeu, $(384{,}4/406{,}7)^3 \approx 0{,}84$, 16% a menos. Entre perigeu e apogeu a diferença chega a 48%. Quando o perigeu coincide com uma lua nova ou cheia (a chamada sizígia perigeana, a “superlua” das manchetes), somam-se os dois reforços e vêm as maiores marés do ano, as que alagam avenidas à beira-mar em Recife ou Fortaleza mesmo sem chuva.

O mapa manda tanto quanto a Lua: Fundy, São Luís e o Mediterrâneo

Se a Terra fosse coberta por um oceano uniforme, os dois bojos teriam 54 cm de altura e passariam pontualmente por cada lugar. A Terra real tem continentes, plataformas rasas, baías em forma de funil e bacias quase fechadas, e a água tem inércia e atrito. O resultado é que a amplitude da maré (diferença de nível entre a preamar e a baixa-mar seguinte) varia de quase zero a mais de dez metros conforme o lugar, e a hora da preamar não coincide com a passagem da Lua.

Três situações resumem o mapa:

O que a tabela ensina: a força de maré é a mesma em todo o planeta; o que muda de lugar para lugar é a resposta da água a essa força. Uma baía com período natural próximo de 12 h 25 min funciona como uma criança num balanço empurrada no ritmo certo: a amplitude cresce a cada empurrão. Um mar fechado é um balanço travado.

A hora também depende do lugar. A água tem massa e sofre atrito com o fundo; não consegue acompanhar a Lua em tempo real. Em cada porto a preamar chega com um atraso próprio em relação à passagem da Lua pelo meridiano local, o estabelecimento do porto, que pode ir de poucos minutos a muitas horas. É por isso que a tábua é feita porto a porto, a partir de anos de medição com marégrafos, e não de uma fórmula astronômica única. Em alguns lugares do mundo (partes do golfo do México, do Sudeste Asiático e da Antártida) a geometria da bacia favorece um ciclo de uma preamar por dia, e em outros as duas preamares têm alturas bem diferentes; o padrão de duas marés semelhantes por dia, dominante no Brasil, é o caso mais comum, não o único.

Como ler uma tábua de marés

A tábua de marés é uma tabela de horários e alturas, e o gráfico de altura × tempo é a forma mais rápida de entendê-la. A altura é medida a partir de um nível de redução, um zero convencional próximo da maior baixa-mar do lugar; por isso alturas negativas aparecem de vez em quando (a tábua de São Luís chega a −0,7 m). Preamar é o máximo local da curva; baixa-mar, o mínimo; amplitude, a diferença de altura entre uma preamar e a baixa-mar vizinha.

Exemplo resolvido (janela de navegação). Um canal só é seguro com maré acima de 4,0 m. Na tábua, a preamar é às 9h20 com 6,5 m e a baixa-mar seguinte às 15h30 com 0,3 m. Aproximando a descida por uma senoide, a altura cai de 6,5 para 0,3 em 6 h 10 min; a altura média é $(6{,}5 + 0{,}3)/2 = 3{,}4$ m e a metade da amplitude é $3{,}1$ m. O nível 4,0 m está $0{,}6$ m acima da média, ou seja, $0{,}6/3{,}1 = 0{,}19$ da metade da amplitude. A curva $h = 3{,}4 + 3{,}1\cos(\pi t/6{,}17)$ (com $t$ em horas a partir das 9h20) vale 4,0 quando $\cos(\pi t/6{,}17) = 0{,}19$, isto é, $\pi t/6{,}17 = 1{,}38$ rad e $t = 2{,}7$ h. O barco tem até cerca de 12h00 para passar. Conferência: a meio caminho ($t = 3{,}1$ h) a altura é a média, 3,4 m, já abaixo de 4,0; então o limite tem de vir antes das 12h30. Bate.

A regra dos doze avos que os navegadores usam faz a mesma conta sem cosseno: nas seis horas entre preamar e baixa-mar, a maré desce $\tfrac{1}{12}$, $\tfrac{2}{12}$, $\tfrac{3}{12}$, $\tfrac{3}{12}$, $\tfrac{2}{12}$ e $\tfrac{1}{12}$ da amplitude em cada hora. Com amplitude 6,2 m, na primeira hora cai 0,5 m, na segunda 1,0 m, na terceira 1,5 m: às 12h20 a água está em $6{,}5 - 3{,}1 = 3{,}4$ m. É a mesma senoide, discretizada.

A 2.ª etapa do PAS cobra funções trigonométricas “vestidas de fenômeno”, e a maré é o fenômeno periódico mais natural para isso: $h(t) = h_0 + A\,\text{sen}(2\pi t/T)$, com $h_0$ o nível médio, $A$ a metade da amplitude (a “amplitude” dos matemáticos é metade da “amplitude” dos marinheiros: fique atento ao enunciado) e $T \approx 12{,}4$ h. Nesses itens, máximo é $h_0 + A$, mínimo é $h_0 - A$, e “duas marés altas por dia” é o período de 12 h.

A Terra sólida e o ar também têm maré

A água é a parte visível. A Terra sólida também é deformada pela força de maré: a crosta sob os seus pés sobe e desce algumas dezenas de centímetros (uns 30 cm) duas vezes por dia lunar. Ninguém sente, porque tudo em volta sobe junto; mas o GPS de precisão, os aceleradores de partículas e os detectores de ondas gravitacionais precisam corrigir esse movimento. A atmosfera também tem maré, mas com um detalhe que vale item: a maré atmosférica dominante é solar, com período de 12 h e amplitude de pressão de cerca de 1 hPa nos trópicos, e não vem principalmente da gravitação, e sim do aquecimento do ar pelo Sol, que se repete a cada dia. A gravitação lunar produz uma maré atmosférica muito menor. Item que atribua a maré atmosférica à Lua está errado.

A maré freia: dias mais longos, Lua mais distante, sempre a mesma face

Se a água acompanhasse a Lua sem atraso, os bojos ficariam exatamente sobre a linha Terra–Lua e nada mais aconteceria. Mas a Terra gira mais depressa (uma volta por dia) do que a Lua orbita (uma volta por mês), e o atrito com o fundo dos oceanos arrasta os bojos junto com a rotação: o bojo mais próximo fica ligeiramente adiantado em relação à Lua. Um bojo adiantado é uma massa fora da linha dos centros, e a Lua o puxa para trás. Esse puxão é um torque que freia a rotação da Terra. Ao mesmo tempo, o bojo puxa a Lua para a frente na órbita, dando-lhe energia: a Lua sobe para uma órbita maior.

Duas frases para não confundir. “A Lua não gira” está errado: se não girasse, veríamos todas as suas faces ao longo do mês; ela gira exatamente uma vez por órbita. E “a Lua sempre mostrou a mesma face” também está errado: ela girava mais depressa quando era jovem, e foi a maré terrestre que a sincronizou. Os anéis de crescimento de corais fósseis sugerem que, há cerca de 400 milhões de anos, o dia terrestre durava perto de 22 horas e o ano tinha uns 400 dias; a maré vem freando a Terra desde então, e continuará até que, num futuro de bilhões de anos, o dia e o mês se igualem.

Marés em outros mundos: Io, Roche e os anéis de Saturno

A força de maré é a mesma física em qualquer lugar. Io, a lua mais interna de Júpiter, tem quase o tamanho da nossa Lua e orbita um planeta 318 vezes mais massivo que a Terra, a uma distância pouco maior que a da Lua: a força de maré que Júpiter exerce em Io é centenas de vezes maior que a que a Terra exerce na Lua. Como a órbita de Io é ligeiramente elíptica, o bojo cresce e encolhe a cada volta de 1,8 dia, e a rocha amassada aquece por atrito: Io é o corpo mais vulcânico do Sistema Solar, com centenas de vulcões ativos, alimentados não por decaimento radioativo, e sim por aquecimento de maré. Europa, a vizinha, deve ao mesmo mecanismo o oceano de água líquida sob a crosta de gelo.

Chegue perto demais de um planeta e a força de maré, que cresce com $1/d^3$, supera a própria gravidade que mantém o satélite coeso: ele se despedaça. A distância em que isso acontece é o limite de Roche, e é por isso que os anéis de Saturno ficam onde ficam: dentro do limite, a matéria não consegue se juntar em uma lua. O mesmo raciocínio, levado ao extremo, descreve o que acontece com um astronauta caindo num buraco negro pequeno: a diferença de gravidade entre os pés e a cabeça o esticaria como espaguete. O que faz a maré é a diferença; onde a diferença é grande, a maré manda.

Energia das marés

Duas vezes por dia, bilhões de toneladas de água sobem e descem metros em baías como a de Fundy ou a de São Marcos. Represar essa água na preamar e soltá-la por turbinas na baixa-mar é gerar eletricidade com uma fonte previsível pela astronomia com anos de antecedência: a energia maremotriz. A usina de La Rance, na França, faz isso desde 1966 com 240 MW; a de Sihwa, na Coreia do Sul, desde 2011 com 254 MW. O Brasil tem potencial no Maranhão e no Pará, onde as amplitudes passam de 5 m, mas nenhuma usina comercial. O preço da previsibilidade é a intermitência em ciclo lunar (quatro paradas por dia, que não coincidem com o pico de consumo) e o impacto sobre estuários. A física da conversão (energia potencial da água represada, $mgh$, virando trabalho na turbina e depois eletricidade) é a mesma da hidrelétrica e está na página geração de energia elétrica.

Como a banca pergunta

As vinte provas da 1.ª etapa não trazem um único item dedicado às marés; a matriz as abriga como aplicação da gravitação universal, e os textos-base sobre litoral, pesca, Lua e navegação são a porta por onde o tema pode entrar. A 3.ª etapa de 2018 trouxe o único item explícito das três etapas, pendurado num poema de Drummond em que o homem “toca para a Lua”: “Mencionada no texto, a Lua interfere no fenômeno das marés, que consiste na flutuação do nível da água do mar, resultando nas denominadas maré alta e maré baixa” (item 73, certo). Repare no perfil: julgamento conceitual, sem conta, misturando literatura e física num mesmo bloco. É assim que a banca estreia um assunto.

Quando o item vier, o julgamento vai girar em torno de quatro ideias: duas preamares por dia lunar (e não uma), a maré como diferença de atração (e não como atração), a Lua vencendo o Sol apesar da massa (o cubo da distância) e a ligação entre fases da Lua e amplitude (nova e cheia, sizígia; quartos, quadratura). Na 2.ª etapa, a maré chega como função periódica: nível médio, amplitude, período de cerca de 12 h e o instante da primeira preamar. Nas duas etapas, o dado que a banca planta é a massa do Sol: quem raciocinar com $M/d^2$ marca errado.

Os erros que a prova planta

• “A Lua puxa a água só do lado dela.” Então haveria uma maré alta por dia. Há duas, porque o que ergue a água é o desnível de atração ao longo do diâmetro da Terra, do lado voltado para a Lua ao lado oposto, passando pelo centro: dois bojos.
• “O Sol, por ser muito mais massivo, domina as marés.” Domina a atração (180 vezes a da Lua), não a maré, que escala com $M/d^3$: o efeito solar é 46% do lunar.
• “A força de maré cai com o quadrado da distância.” É a atração que cai com $1/d^2$. A maré é uma diferença de atrações e cai com $1/d^3$.
• “A maré alta acontece todo dia no mesmo horário.” O ciclo segue o dia lunar, de 24 h 50 min: cada dia a preamar vem cerca de 50 minutos mais tarde.
• “Sizígia é a maré alta do dia.” Sizígia é o alinhamento Sol–Terra–Lua (lua nova e cheia) e nomeia os dias de maior amplitude do mês. Em qualquer fase há duas preamares por dia lunar.
• “Na lua cheia os efeitos do Sol e da Lua se cancelam, porque estão em lados opostos.” Cancelariam se maré fosse força. Como cada astro faz dois bojos simétricos, na lua cheia os bojos se alinham e se somam, exatamente como na lua nova.
• “No lado oposto à Lua, a Lua repele a água.” A atração lunar aponta para a Lua em todo ponto; no lado oposto ela só é menor que no centro, e o saldo em relação ao centro aponta para fora.
• “A Lua não gira em torno de si mesma, por isso mostra sempre a mesma face.” Ela gira uma vez por órbita, em 27,3 dias: rotação sincronizada pela frenagem de maré da Terra.

O essencial em meia página

• Fenômeno: duas preamares e duas baixa-mares por dia lunar (24 h 50 min); preamares separadas por 12 h 25 min; a tábua atrasa ~50 min por dia porque a Lua avança ~12° por dia na órbita ($360°/29{,}5$ d) e a Terra gasta 49 min para alcançá-la.
• Mecanismo: maré é diferença de atração entre lado próximo, centro e lado distante. Força de maré por unidade de massa: $a_{\text{maré}} \approx 2GMR/d^3$; comparar astros pela razão $M/d^3$. Dois bojos, um voltado para o astro e outro oposto; nos lados a 90°, baixa-mar. Lunar: $1{,}1 \times 10^{-6}$ m/s², bojo de equilíbrio ~54 cm.
• Sol × Lua: massa $2{,}7 \times 10^7$ vezes maior, distância 390 vezes maior. Atração: Sol vence por 180. Maré: Lua vence; Sol = 0,46 do lunar ($180/390$).
• Fases: sizígia (nova e cheia, alinhamento) soma os bojos, amplitude máxima $\propto 1{,}46$; quadratura (quartos, 90°) subtrai, amplitude mínima $\propto 0{,}54$. Lua cheia soma tanto quanto lua nova. Perigeu reforça 25% ($1/d^3$); sizígia perigeana = maiores marés do ano.
• Geografia: a força é a mesma no planeta todo; a resposta depende da bacia. Ressonância em baías afuniladas (Fundy até ~16 m; São Luís até 7 m); mares fechados quase sem maré (Mediterrâneo, dezenas de cm). Atraso local da preamar em relação à Lua = estabelecimento do porto.
• Tábua: altura a partir do nível de redução; preamar = máximo, baixa-mar = mínimo, amplitude = diferença; $h(t) = h_0 + A\,\text{sen}(2\pi t/T)$, $T \approx 12{,}4$ h; regra dos doze avos (1-2-3-3-2-1).
• Terra sólida e ar: crosta sobe ~30 cm; maré atmosférica dominante é solar e térmica (12 h), não lunar.
• Frenagem: bojo adiantado pelo atrito → torque freia a Terra (dia +2 ms/século) e afasta a Lua (3,8 cm/ano, laser Apollo); momento angular conservado. Lua já sincronizada: gira em 27,3 dias = período orbital, mesma face sempre.
• Outros mundos: Io aquecido por maré de Júpiter (vulcanismo); limite de Roche e anéis de Saturno; espaguetificação.
• Aplicação: energia maremotriz (La Rance 240 MW, Sihwa 254 MW), previsível e intermitente; ver geração de energia elétrica.
• Itens: PAS 3 2018/73 ©. Julgamento gira em “duas por dia”, “diferença, não atração”, “Lua vence o Sol ($M/d^3$)”, “nova e cheia = sizígia”.
• Vizinhos: $F = GMm/r^2$ e $g = GM/r^2$ em gravitação universal; órbita elíptica, perigeu e apogeu em leis de Kepler e órbitas; Kepler, Galileu e Newton em história da astronomia; movimento circular e velocidade angular em movimento circular uniforme; a onda de maré como onda longa e ressonância em ondas.