Volumes de sólidos compostos

Um sólido composto pode ser estudado como reunião ou diferença de regiões conhecidas. Um reservatório combina corpo cilíndrico e cobertura cônica; um tubo é um cilindro externo com uma cavidade; uma casca esférica possui dois raios. O passo decisivo é escrever qual região interessa antes de calcular. Capacidade interna, material da parede e volume externo geralmente são respostas diferentes.

Identificar as partes e suas fronteiras

Se duas partes têm interiores sem sobreposição, o volume da reunião é a soma de seus volumes. Elas podem compartilhar uma face: essa fronteira não acrescenta volume. Se os interiores se sobrepõem, somar diretamente conta a interseção duas vezes; ela precisa ser descontada.

Para uma cavidade completamente contida em um sólido, o material remanescente tem volume externo menos volume removido. Um desenho em corte ajuda a distinguir regiões cheias e vazias. Marque raios internos e externos e indique de onde cada altura foi medida.

Um cilindro com uma cobertura cônica

Um modelo geométrico de silo tem corpo cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m, com um cone acima de raio 2 m e altura 1,5 m. Considerando todo o interior utilizável e sem espessura de parede, o cilindro ocupa $20\pi$ m³ e o cone, $2\pi$ m³. A capacidade total é $22\pi$ m³, ou $22\,000\pi$ litros.

A altura total é 6,5 m, mas não se pode aplicá-la inteira à fórmula do cilindro: a parte superior afunila. Também não se soma área de base ao volume; as grandezas devem ter unidades compatíveis. Se o nível de enchimento termina no corpo cilíndrico, a capacidade total do modelo não coincide com o volume efetivamente armazenado.

Tubo aberto: uma diferença de cilindros

Considere um tubo com raio interno r, espessura radial e e altura h, aberto nas duas extremidades. O raio externo é r+e. O material da parede ocupa $V=\pi h[(r+e)^2-r^2]$.

Para r=3 cm, e=1 cm e h=10 cm, o volume externo é $160\pi$ cm³ e a cavidade, $90\pi$ cm³. Restam $70\pi$ cm³ de material. A seção transversal é uma coroa circular, de área $7\pi$ cm²; multiplicar essa área por 10 cm confere o resultado.

Desenvolvendo o quadrado, $V=2\pi rhe+\pi he^2$. O produto da área lateral interna pela espessura fornece somente o primeiro termo. No exemplo, daria $60\pi$ cm³ e omitiria $10\pi$ cm³. Pode ser uma aproximação para paredes muito finas, com erro relativo ao valor exato igual a $e/(2r+e)$, mas não é uma identidade.

Recipiente com fundo: alturas diferentes

Uma lata sem tampa, com fundo de espessura t, raio externo R e altura externa H, não tem cavidade com a mesma altura externa. Se o raio interno é r e a cavidade termina na face superior do fundo, sua altura é H−t. O material ocupa $\pi R^2H-\pi r^2(H-t)$.

Com R=5 cm, r=4 cm, H=12 cm e t=1 cm, obtemos $300\pi-176\pi=124\pi$ cm³ de material. Outra decomposição confere: parede anular de altura 11 cm ocupa $99\pi$ cm³; fundo maciço de altura 1 cm ocupa $25\pi$ cm³. A soma é $124\pi$. Somar um fundo completo a uma parede já calculada na altura total contaria sua borda duas vezes.

Cascas esféricas e partes de esfera

Uma casca esférica concêntrica de raio externo R e interno r tem volume $4\pi(R^3-r^3)/3$. Não é uma esfera de raio R−r. Para R=3 cm e r=2 cm, o material ocupa $76\pi/3$ cm³; usar apenas a espessura daria $4\pi/3$, completamente diferente.

Uma semiesfera sólida possui metade do volume da esfera de mesmo raio. Ela pode compor uma cúpula maciça ou uma cavidade, conforme o modelo. A área curva da cúpula é outra medida: serve para revestimento, enquanto a diferença entre volumes externo e interno mede material.

Escala, unidades e interpretação

Converta todas as dimensões para a mesma unidade antes de elevar ao quadrado ou ao cubo. A conversão para litros pode ficar para o final: cada metro cúbico representa mil litros. Em modelos semelhantes, ampliar todas as medidas por k multiplica cada parte e a soma total por $k^3$.

Se apenas a cavidade aumenta e o contorno externo permanece fixo, o volume de material diminui. Isso não é uma ampliação semelhante do conjunto. Em problemas que pedem massa, uma etapa adicional usa $m=\rho V$, com densidade uniforme e unidades compatíveis; materiais diferentes exigem massas calculadas separadamente.