Probabilidade

Probabilidade associa números a eventos de um experimento aleatório. Antes de calcular, descreva o que pode acontecer e qual ocorrência interessa. Ao lançar um dado, o resultado pode ser uma das seis faces; o evento “obter número par” reúne 2, 4 e 6. O evento é um conjunto de resultados, não necessariamente um resultado isolado.

Espaço amostral e eventos

O espaço amostral $S$ reúne todos os resultados considerados no modelo. Um evento $A$ é um subconjunto de $S$. A probabilidade satisfaz $0\le P(A)\le1$ e $P(S)=1$. O evento impossível tem probabilidade zero. Em um espaço finito no qual cada resultado tem probabilidade positiva, um evento de probabilidade zero é vazio.

Essa última conclusão não se transfere automaticamente a modelos contínuos: um valor exato pode ter probabilidade zero sem estar fora do domínio. Neste guia, os exemplos de contagem usam espaços finitos. Explicitar o modelo evita transformar regras de dados e moedas em afirmações universais sobre qualquer experimento.

Eventos disjuntos não compartilham resultados. No dado, “obter 1” e “obter 6” são disjuntos; “obter par” e “obter maior que 3” compartilham 4 e 6. As palavras “ou” e “e” precisam ser traduzidas em união e interseção.

Quando contar casos é suficiente

Se todos os resultados elementares de um espaço finito têm a mesma chance, então $P(A)=n(A)/n(S)$. Para um dado honesto, há três faces pares entre seis faces equiprováveis, dando $3/6=1/2$. Um dado com faces viciadas exige conhecer e somar as probabilidades das faces desejadas.

Duas moedas honestas e independentes produzem quatro pares ordenados equiprováveis: cara-cara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coroa. O evento “exatamente uma cara” contém dois desses pares, portanto tem probabilidade 1/2. Os rótulos “zero caras”, “uma cara” e “duas caras” não são três resultados equiprováveis. Agrupar resultados muda suas probabilidades.

O mesmo cuidado vale ao somar dois dados honestos e independentes: há 36 pares ordenados equiprováveis, mas as somas de 2 a 12 têm frequências diferentes. A soma 2 ocorre apenas com (1,1); a soma 7 ocorre com seis pares.

União e interseção

A regra geral da união é $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Subtraímos a interseção porque ela foi contada nas duas parcelas. Em um dado honesto, sejam $A$ o evento par e $B$ o evento maior que 3. Temos $P(A)=3/6$, $P(B)=3/6$ e $P(A\cap B)=2/6$.

Assim, a chance de sair par ou maior que 3 é $3/6+3/6-2/6=4/6=2/3$. Conferindo pela lista, a união contém 2, 4, 5 e 6. Quando os eventos são disjuntos, a interseção é vazia e a fórmula se reduz à soma das probabilidades.

O complementar simplifica “pelo menos um”

O complementar de $A$, escrito $A^c$, reúne os resultados em que $A$ não ocorre. Como $A$ e $A^c$ são disjuntos e cobrem o espaço, $P(A)=1-P(A^c)$. Para obter pelo menos uma cara em três lançamentos independentes de uma moeda honesta, é mais curto excluir o caso de três coroas.

A probabilidade de nenhuma cara é $(1/2)^3=1/8$. Logo, a de pelo menos uma cara é $1-1/8=7/8$. Esse evento inclui uma, duas ou três caras. Não equivale a “exatamente uma”, cuja probabilidade é $3/8$: existem três posições possíveis para a única cara.

Sorteios sem reposição

Uma caixa contém quatro fichas azuis e seis brancas, distinguíveis individualmente. Duas são sorteadas uniformemente sem reposição. A probabilidade de ambas serem azuis é $\binom42/\binom{10}2=6/45=2/15$.

Outra solução acompanha as etapas: a primeira azul tem chance $4/10$; após retirá-la, restam três azuis entre nove fichas. Portanto, $P=4/10\cdot3/9=2/15$. A segunda chance depende do resultado anterior. Usar $4/10$ nas duas etapas descreveria outro experimento, com reposição e novo sorteio uniforme.

Probabilidade e frequência observada

Uma probabilidade teórica de 1/2 não obriga a obter exatamente cinco caras em dez lançamentos. A frequência relativa é o número observado de ocorrências dividido pelo número de repetições. Sob hipóteses como repetições independentes do mesmo experimento, ela tende a estabilizar perto da probabilidade em amostras grandes, sem uma garantia de igualdade em uma sequência curta.

A análise combinatória organiza contagens; a probabilidade condicional mostra como recalcular chances quando uma informação restringe o grupo considerado.