Logaritmos

O logaritmo responde a uma pergunta sobre potências. Escrever $\log_2 32=5$ significa que $2^5=32$. A base é 2, o argumento é 32 e o resultado é o expoente 5. Essa tradução permite compreender propriedades, resolver equações e interpretar escalas sem tratar o logaritmo como um símbolo misterioso.

Condições de existência

Nos números reais, $\log_b x$ exige $b>0$, $b\ne1$ e $x>0$. Uma potência de base positiva nunca resulta em zero ou em número negativo. A base 1 não permite inverter a operação de forma única, pois todas as suas potências valem 1.

O argumento precisa ser positivo, mas o resultado pode ser negativo. Por exemplo, $\log_2(1/8)=-3$, pois $2^{-3}=1/8$. Além disso, $\log_b1=0$ e $\log_b b=1$. Esses dois valores são referências importantes para o gráfico e para conferir contas.

Em uma expressão como $\log_3(x-2)$, a condição é $x-2>0$, portanto $x>2$. Ela deve ser anotada antes de resolver uma equação. Não basta que o valor final satisfaça uma equação transformada: também precisa pertencer ao domínio original.

A inversa da exponencial

Para uma mesma base admissível, $\log_b(b^t)=t$ para todo real $t$, e $b^{\log_b x}=x$ para $x>0$. A função logarítmica tem domínio positivo e imagem real. Seu gráfico passa por (1,0) e por (b,1), e o eixo vertical é uma assíntota.

Quando $b>1$, o logaritmo é crescente; quando $0<b<1$, é decrescente. Assim, $\log_2 x>3$ equivale a $x>8$, enquanto $\log_{1/2}x>3$ equivale a $0<x<1/8$. A restrição positiva continua necessária mesmo depois de inverter a desigualdade.

Produto, quociente e potência

Para $u,v>0$, valem $\log_b(uv)=\log_bu+\log_bv$ e $\log_b(u/v)=\log_bu-\log_bv$. Essas propriedades vêm das regras de multiplicação e divisão de potências de mesma base. Com $u>0$ e expoente real $r$, também vale $\log_b(u^r)=r\log_bu$.

Usando base 10 e o valor fornecido $\log_{10}2\approx0{,}3010$, obtemos $\log_{10}200=\log_{10}(2\cdot100)\approx2{,}3010$. Já $\log_{10}(1/4)=-\log_{10}4\approx-0{,}6020$. Os sinais fazem sentido: 200 está entre 100 e 1000, enquanto 1/4 está entre 0 e 1.

Não existe uma regra geral que transforme logaritmo de soma em soma de logaritmos. Em base 10, $\log(10+10)=\log20$, aproximadamente 1,3010, mas $\log10+\log10=2$. Um contraexemplo basta para rejeitar a suposta propriedade.

Mudança de base

Se a calculadora ou os dados fornecem outra base, usamos $\log_bx=\log_cx/\log_cb$, com $c>0$ e $c\ne1$. O denominador não se anula porque $b\ne1$. Assim, $\log_2 5=\ln5/\ln2$, em que $\ln$ indica base $e$.

Essa relação resolve problemas como $3^t=20$: $t=\ln20/\ln3$. Antes da aproximação, sabemos que $2<t<3$, pois $3^2<20<3^3$. Esse intervalo funciona como verificação independente e ajuda a detectar inversão do quociente.

Uma equação com verificação completa

Considere $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$. O domínio exige simultaneamente $x>1$ e $x>3$, portanto $x>3$. Reunindo os logaritmos, temos $\log_2[(x-1)(x-3)]=3$. A definição fornece $(x-1)(x-3)=8$, ou $x^2-4x-5=0$.

A fatoração dá $(x-5)(x+1)=0$. As candidatas são 5 e −1, mas apenas 5 pertence ao domínio. Substituindo: $\log_24+\log_22=2+1=3$. A raiz −1 faria os dois argumentos negativos e não é solução real da equação original.

Estimativas sem calculadora

Nem todo logaritmo precisa ser expresso por uma aproximação decimal. Para localizar $\log_2 50$, compare o argumento com potências conhecidas: $2^5=32$ e $2^6=64$. Como a base é maior que 1, segue $5<\log_2 50<6$. Se a pergunta solicita a primeira etapa inteira de uma duplicação que alcance pelo menos 50 vezes o início, a resposta será seis etapas, e não cinco.

Esse procedimento mantém separadas a solução real e a decisão discreta. Também funciona com bases entre zero e um, desde que se respeite a ordem decrescente das potências. Um valor aproximado fornecido no enunciado pode refinar a estimativa, mas não substitui a análise do domínio e do sentido de variação.

Escalas: diferenças representam fatores

Em uma escala definida por $L=10\log_{10}(I/I_0)$, com intensidades positivas e uma mesma referência, aumentar 20 unidades de nível corresponde a multiplicar a intensidade por 100. Basta subtrair os níveis: $20=10\log_{10}(I_2/I_1)$, portanto $I_2/I_1=10^2$. A razão dentro do logaritmo é adimensional.

Não transfira automaticamente esse coeficiente 10 para toda escala logarítmica: cada definição estabelece sua grandeza e seu fator. O mesmo raciocínio transforma os termos positivos de uma PG em uma PA, pois multiplicar por $q>0$ passa a somar $\log_bq$. Para encontrar tempos de crescimento, retome a função exponencial.