Geometria espacial

A geometria espacial estuda objetos que ocupam três dimensões e as relações entre pontos, retas e planos. Seu primeiro desafio é interpretar uma representação: uma figura desenhada no papel é plana, mas pode representar profundidade. Linhas que parecem cruzar no desenho nem sempre se encontram no espaço; comprimentos iguais podem aparecer diferentes em perspectiva. Antes de calcular, identifique o objeto e as relações que o enunciado garante.

Pontos, retas e planos

Por dois pontos distintos passa uma única reta. Três pontos não colineares determinam um único plano. Se os três pontos pertencem à mesma reta, há infinitos planos que contêm essa reta, e a determinação não é única.

Duas retas distintas que se cruzam determinam um plano. Duas retas distintas e paralelas também determinam um plano. Essas propriedades ajudam a localizar faces e cortes de sólidos: o plano de uma face triangular fica determinado por seus três vértices, desde que não estejam alinhados.

Um plano não termina na borda desenhada. O paralelogramo usado para representá-lo indica somente uma região visível. Por isso, duas retas podem se encontrar fora do trecho mostrado e continuar sendo concorrentes.

Retas no espaço: há um caso novo

Duas retas podem ser coincidentes, concorrentes, paralelas distintas ou reversas. Retas reversas não se cruzam e não pertencem a um mesmo plano. Esse último caso não existe na geometria de um único plano: no espaço, “não se cruzar” não basta para concluir paralelismo.

Considere um cubo ABCDEFGH, com ABCD na base e EFGH acima, respectivamente. As arestas AB e EF são paralelas. AB e AE se encontram em A. AB e CG são reversas: uma acompanha a direção horizontal da frente; a outra é vertical no fundo, sem ponto comum. O desenho do cubo ajuda, mas a conclusão vem das posições espaciais.

Reservaremos “retas perpendiculares” para retas concorrentes que formam 90°. Retas reversas podem ter direções ortogonais, sem serem perpendiculares nessa convenção. Explicitar a linguagem evita confundir ângulo entre direções e interseção efetiva.

Reta e plano; dois planos

Uma reta pode estar contida em um plano, intersectá-lo em um único ponto ou ser paralela a ele sem pontos comuns. Uma reta perpendicular a um plano encontra esse plano e tem direção perpendicular a todas as direções nele. Para verificar, basta mostrar que ela é perpendicular a duas retas concorrentes do plano no ponto de encontro.

Ser perpendicular a apenas uma reta do plano não basta. No chão de uma sala, duas linhas podem se cruzar em ângulo reto sem que nenhuma delas seja perpendicular ao próprio chão.

Dois planos distintos são paralelos, sem interseção, ou secantes, com interseção em uma reta. O ângulo entre planos pode ser medido por duas retas, uma em cada plano, perpendiculares à reta de interseção no mesmo ponto. Planos perpendiculares têm esse ângulo igual a 90°, como duas paredes adjacentes de uma sala retangular.

Projeção ortogonal e distância

Projetar ortogonalmente um ponto P sobre um plano significa traçar por P a perpendicular ao plano e marcar o encontro H. O segmento PH mede a distância de P ao plano. Qualquer outro segmento de P a um ponto do plano é pelo menos tão longo quanto PH.

Um segmento inclinado normalmente tem projeção menor que seu próprio comprimento. Se ele é paralelo ao plano, o comprimento se conserva; se é perpendicular, a projeção se reduz a um ponto. Para um segmento de comprimento L que forma ângulo $\alpha$ entre 0° e 90° com o plano, o comprimento projetado é $L\cos\alpha$.

Por exemplo, uma haste de 10 cm com projeção de 8 cm sobre uma mesa tem diferença de altura entre as extremidades igual a $\sqrt{10^2-8^2}=6$ cm. O triângulo retângulo reúne haste, projeção e componente perpendicular; não se deve somar 8 e 6 para obter o comprimento inclinado.

Seção não é projeção

Uma seção é a interseção de um sólido com um plano: corresponde a um corte. Uma projeção reúne imagens de pontos segundo uma direção, como uma representação ortogonal. Uma planificação abre superfícies para o plano, sem confundi-las com o interior do sólido.

Em um prisma, cortes internos paralelos às bases são congruentes a elas. Em um cilindro circular reto, cortes paralelos às bases são discos, e uma seção pelo eixo é um retângulo. Uma esfera sólida cortada por um plano que atravessa seu interior produz um disco; tangência produz um ponto, e um plano externo não produz interseção.