Distâncias na geometria analítica

Distância é um comprimento não negativo. Na geometria analítica plana, medimos esse comprimento usando coordenadas em eixos ortogonais com a mesma unidade espacial. A fórmula escolhida depende dos objetos: dois pontos, um ponto e uma reta ou duas retas paralelas exigem interpretações diferentes.

Entre dois pontos: Pitágoras

Se A e B têm coordenadas $(x_A,y_A)$ e $(x_B,y_B)$, as variações horizontais e verticais formam os catetos de um triângulo retângulo. Assim, $d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. O segmento reto AB é a hipotenusa.

Para A=(−1,2) e B=(5,10), as diferenças são 6 e 8. A distância é $\sqrt{36+64}=10$ unidades. Trocar a ordem dos pontos produz −6 e −8, mas os quadrados preservam o resultado. A distância não muda com o sentido em que percorremos o segmento.

Se as abscissas são iguais, basta o módulo da diferença das ordenadas. Entre (3,7) e (3,−2), a distância é $|7-(-2)|=9$. Sem o módulo, inverter a ordem poderia produzir uma resposta negativa, incompatível com comprimento.

Distância reta e percurso não são a mesma coisa

No exemplo A=(−1,2), B=(5,10), andar primeiro seis unidades horizontalmente e depois oito verticalmente gera um percurso de 14 unidades. A distância euclidiana é 10. Uma malha de ruas que permita apenas esses movimentos pode impor um trajeto maior que o segmento reto.

Também é preciso converter escalas. Se uma unidade das coordenadas representa 200 metros, a distância de dez unidades representa 2000 metros. Se os dois eixos utilizarem escalas espaciais diferentes, converta cada diferença para a mesma unidade antes de aplicar Pitágoras. Se um eixo for tempo e o outro temperatura, a fórmula euclidiana não produz automaticamente uma distância física significativa.

De um ponto a uma reta: a perpendicular

A distância de P até uma reta r é o comprimento do menor segmento que liga P a algum ponto de r. Esse segmento é perpendicular à reta. Para $r:ax+by+c=0$ e $P=(x_0,y_0)$, vale $d(P,r)=|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}$, desde que a e b não sejam simultaneamente zero.

O numerador mede a expressão da reta no ponto; o denominador normaliza pelos coeficientes da direção normal. Sem essa divisão, multiplicar a equação inteira por dois dobraria uma distância que fisicamente não mudou. O módulo torna o resultado não negativo, independentemente do lado em que o ponto está.

Considere P=(0,0) e $r:3x+4y-10=0$. A distância é $|-10|/\sqrt{9+16}=10/5=2$. Se usarmos a equação equivalente $6x+8y-20=0$, obtemos $20/10=2$, como deve acontecer.

Confira pelo pé da perpendicular

O ponto H da reta mais próximo de P é a projeção perpendicular. Podemos escrevê-lo como $H=P-[(ax_0+by_0+c)/(a^2+b^2)](a,b)$. No exemplo anterior, isso dá $H=(6/5,8/5)$. Substituir em r confirma $3(6/5)+4(8/5)-10=0$.

A distância de P até H é $\sqrt{36/25+64/25}=2$, conferindo a fórmula. Já a interseção de r com o eixo vertical é $(0;2{,}5)$, usando ponto e vírgula para separar as coordenadas e vírgula para a parte decimal. A queda vertical mede 2,5 e é maior que a perpendicular. Para uma reta horizontal, entretanto, o segmento vertical já é perpendicular e os comprimentos coincidem.

Entre retas paralelas

Se duas retas estão escritas com os mesmos coeficientes de x e y, como $ax+by+c_1=0$ e $ax+by+c_2=0$, sua distância é $|c_2-c_1|/\sqrt{a^2+b^2}$. A fórmula vale inclusive quando são coincidentes, produzindo zero.

Para $3x+4y-10=0$ e $6x+8y-40=0$, primeiro divida a segunda por dois: $3x+4y-20=0$. Agora a distância é $|-20-(-10)|/5=2$. Subtrair diretamente −40 e −10 misturaria normalizações e daria um resultado errado.

Outra estratégia é escolher um ponto de uma reta e aplicar a fórmula de ponto a reta na outra. Se as retas forem concorrentes, a menor distância entre os conjuntos é zero, pois compartilham o ponto de interseção. A fórmula com termos independentes não deve ser aplicada como se fossem paralelas.

Comparações e limites do objeto

Para comparar distâncias não negativas, comparar seus quadrados evita aproximações prematuras. Se uma distância é $\sqrt{50}$ e outra é 7, a primeira é maior porque 50>49. Uma pergunta sobre “superior a” exclui a igualdade; “pelo menos” a inclui.

Revise as posições relativas de retas para reconhecer quando a distância entre paralelas se aplica.