Volume de prismas e cilindros

A conta de água de uma casa chega em metros cúbicos: 12 m³ no mês. A garrafa na geladeira diz 2 L no rótulo. O noticiário da noite avisa que choveram 30 milímetros na cidade. Os três números medem a mesma coisa, espaço ocupado por água, e passam de um para o outro por regras que não admitem improviso: 12 m³ são 12 000 L, a garrafa de 2 L é um cubo imaginário de pouco mais de 12,6 cm de aresta, e os 30 mm de chuva são 30 L despejados sobre cada metro quadrado de telhado. Quem se confunde nessas passagens erra por mil, e é exatamente por mil que a banca gosta de perguntar.

Esta página trata do volume dos sólidos mais simples, os que são feitos de uma figura plana repetida até uma certa altura: os prismas (base poligonal) e os cilindros (base circular). Primeiro, o que significa medir um volume e como as unidades se encaixam; depois, a regra única que serve para todos eles, área da base vezes altura; em seguida, o que a prova mais cobra, que não é a fórmula, e sim como o volume reage quando o raio dobra, quando o diâmetro cai à metade, quando a chuva cai sobre uma piscina ou quando uma pedra é jogada num aquário. As seções e planificações desses sólidos, com as suas áreas, estão em Geometria espacial; as áreas das figuras que servem de base, em Áreas de figuras planas. O que vem depois, o princípio que justifica a fórmula para sólidos inclinados, o terço das pirâmides e dos cones e os objetos feitos de vários sólidos, tem páginas próprias: Princípio de Cavalieri, Volume de pirâmides e cones e Volumes de sólidos compostos.

Medir um volume é contar cubos

Medir um comprimento é ver quantas vezes um segmento-padrão cabe nele; medir uma área, quantas vezes um quadrado-padrão a cobre. Medir um volume é contar quantas vezes um cubo-padrão cabe dentro da região do espaço que interessa. Se o padrão é o cubo de 1 cm de aresta, a contagem sai em centímetros cúbicos; se é o cubo de 1 m, em metros cúbicos. Uma caixa retangular de 5 cm por 3 cm por 2 cm recebe uma camada de $5 \times 3 = 15$ cubinhos de 1 cm e tem espaço para duas camadas: 30 cubinhos, 30 cm³. A fórmula $V = a \cdot b \cdot c$ do paralelepípedo não é um axioma, é o resumo dessa contagem.

Exemplo resolvido 1: o aquário. Um aquário retangular mede, por dentro, 50 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura. Quantos litros de água ele comporta cheio até a borda?

Estratégia: o aquário é um paralelepípedo; volume é o produto das três medidas; depois, 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³.

Resolução: $V = 50 \times 30 \times 40 = 60\,000$ cm³. Como 1 000 cm³ são 1 L, o aquário comporta $60\,000 \div 1\,000 = 60$ L.

Conferência: em decímetros, as medidas são 5 dm, 3 dm e 4 dm, e $5 \times 3 \times 4 = 60$ dm³ = 60 L. Em metros, $0{,}5 \times 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}06$ m³, e $0{,}06 \times 1\,000 = 60$ L de novo. Três caminhos, um resultado; se um deles desse 6 ou 600, a unidade teria escorregado em algum fator de 10 que deveria ter ido ao cubo.

O fator vai ao cubo: metro cúbico, litro e mililitro

Entre metro e centímetro há um fator 100. Entre metro quadrado e centímetro quadrado, o fator é $100^2 = 10\,000$. Entre metro cúbico e centímetro cúbico, $100^3 = 1\,000\,000$. A regra é a mesma para qualquer par de unidades: o fator de comprimento elevado à dimensão da grandeza. É por isso que uma piscina de 8 m por 4 m por 1,5 m tem 48 m³ e não “4 800 litros”: 48 m³ são 48 000 L.

Exemplo resolvido 2: a camada de rejeito. Um canteiro de obras precisa espalhar 3 600 m³ de terra sobre um terreno retangular de 120 m por 80 m, formando uma camada de espessura uniforme. Que espessura, em centímetros, a camada terá?

Estratégia: a camada é um paralelepípedo de base conhecida; a espessura é a altura: $h = V / A_b$.

Resolução: área do terreno $120 \times 80 = 9\,600$ m². Espessura $h = 3\,600 / 9\,600 = 0{,}375$ m $= 37{,}5$ cm.

Conferência: uma camada de 0,375 m sobre 9 600 m² dá $9\,600 \times 0{,}375 = 3\,600$ m³. O mesmo raciocínio decide itens em escala muito maior: 240 milhões de metros cúbicos de material espalhados sobre 516 km² (a área alagada de uma hidrelétrica, num item do PAS 1 de 2015) formam uma camada de $240 \times 10^6 / (516 \times 10^6) \approx 0{,}465$ m, menos de 50 cm, e a única dificuldade é lembrar que 1 km² são $10^6$ m².

Um milímetro de chuva vale um litro em cada metro quadrado

A chuva é medida em milímetros, e isso costuma parecer uma unidade de comprimento perdida no lugar errado. Não é: o índice pluviométrico diz a altura que a água atingiria se ficasse parada sobre uma superfície horizontal, sem escoar nem infiltrar. “Choveram 30 mm” significa que uma caixa aberta, de fundo plano, acumularia uma lâmina de 3 cm de água. A conversão para litros vem direto da definição do litro: sobre 1 m² de área, uma lâmina de 1 mm = 0,001 m tem volume $1 \times 0{,}001 = 0{,}001$ m³ = 1 L.

Exemplo resolvido 3: a cisterna da escola. O telhado de uma escola tem projeção horizontal de 80 m², e toda a água que cai nele é levada por calhas a uma cisterna cilíndrica de 0,8 m de raio e 1,5 m de altura, inicialmente vazia. Num dia choveram 35 mm. Que fração da cisterna foi preenchida? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: chuva em litros = mm × m²; capacidade da cisterna pela fórmula do cilindro, convertida para litros; depois a razão.

Resolução: água recolhida: $35 \times 80 = 2\,800$ L. Cisterna: $V = 3{,}14 \times 0{,}8^2 \times 1{,}5 = 3{,}14 \times 0{,}64 \times 1{,}5 = 3{,}0144$ m³ $\approx 3\,014$ L. Fração: $2\,800 / 3\,014 \approx 0{,}93$. A chuva de um dia encheu cerca de 93 % da cisterna.

Conferência: 35 mm são 0,035 m de lâmina; $80 \times 0{,}035 = 2{,}8$ m³ = 2 800 L, o mesmo número pelo caminho dos metros. Se o item afirmasse que a cisterna “transbordou”, a resposta seria não, por uma margem de 7 %; limiares assim, perto do valor, são o estilo da banca.

Foi essa regra que decidiu dois itens recentes do PAS. Em 2018 (PAS 1), um gráfico do INMET mostrava os índices diários de Brasília em maio, a barra do dia 20 marcava 11 mm, e a prova pediu, em milhares de centímetros cúbicos, a água acumulada numa piscina quadrada de 4 m de lado: $11 \times 16 = 176$ L $= 176\,000$ cm³, resposta 176. Em 2024 (PAS 2), uma piscina de 250 m² recebeu 20 mm de chuva por dia ao longo de uma semana, e a pergunta era se essa água encheria uma cisterna cilíndrica com raio e altura de 2 m. A chuva da semana vale $140 \times 250 = 35\,000$ L $= 35$ m³; a cisterna, $\pi \cdot 4 \cdot 2 \approx 25$ m³. Enche, e sobra. Nos dois, a geometria é mínima; o item está na tradução de milímetros em litros.

Prisma e cilindro: a mesma figura repetida até a altura h

Uma pilha de azulejos quadrados de 20 cm de lado, 50 peças de 1 cm de espessura, ocupa a área de um azulejo multiplicada pelos 50 cm da pilha. A razão é a mesma contagem de cubos da primeira seção, feita camada por camada: cada camada de 1 cm de espessura contém tantos centímetros cúbicos quantos centímetros quadrados tem a peça, e há $h$ camadas. Nada nesse argumento usou o fato de o azulejo ser quadrado. Se as peças fossem triângulos, hexágonos ou discos, a conta seria a mesma.

Exemplo resolvido 4: a cunha de madeira. Uma peça de madeira é um prisma reto cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm; o comprimento da peça é 25 cm. Qual é o volume? E a massa, se a madeira tem densidade 0,6 g/cm³?

Estratégia: área do triângulo retângulo (catetos como base e altura), vezes o comprimento, que é a altura do prisma.

Resolução: $A_b = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ cm². $V = 24 \times 25 = 600$ cm³. Massa: $0{,}6 \times 600 = 360$ g.

Conferência: a peça cabe dentro de um bloco de $6 \times 8 \times 25 = 1\,200$ cm³ e é exatamente a metade dele (o triângulo retângulo é meio retângulo). Repare que a hipotenusa, 10 cm, não entrou na conta; ela entraria só na área lateral, que é assunto de outra página.

Exemplo resolvido 5: a caixa hexagonal. Uma embalagem tem a forma de um prisma reto de base hexagonal regular e 5 cm de altura. Dentro dela cabe, encostando nas seis paredes, um disco de 6 cm de raio. Qual é o volume da embalagem?

Estratégia: o disco tangente às seis paredes tem raio igual ao apótema do hexágono. Do apótema sai o lado; do lado, a área.

Resolução: apótema $a = 6$ cm. Como $a = \dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$, o lado é $\ell = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ cm. Área da base: $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\ell^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 48 = 72\sqrt{3}$ cm² $\approx 124{,}7$ cm². Volume: $72\sqrt{3} \times 5 = 360\sqrt{3}$ cm³ $\approx 623{,}5$ cm³.

Conferência: pelo outro caminho, área = perímetro × apótema / 2 $= 6 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 6 / 2 = 72\sqrt{3}$. E faz sentido: o disco de raio 6 tem área $36\pi \approx 113$ cm², um pouco menor que o hexágono que o contém (124,7). Um item do PAS 3 de 2024 usou exatamente essa configuração, com uma pizza de 15 cm de raio numa caixa hexagonal de 4 cm de altura, e afirmou o volume $1\,800\sqrt{3}$ cm³: lado $10\sqrt{3}$, base $450\sqrt{3}$, vezes 4.

Exemplo resolvido 6: o tambor de 200 litros. Um tambor metálico tem 57 cm de diâmetro interno e 85 cm de altura interna. Confira se o nome “tambor de 200 litros” faz sentido, com $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: raio = metade do diâmetro; $V = \pi r^2 h$ em centímetros cúbicos; dividir por 1 000.

Resolução: $r = 28{,}5$ cm. $r^2 = 812{,}25$. $V = 3{,}14 \times 812{,}25 \times 85 \approx 216\,800$ cm³ $\approx 217$ L.

Conferência: o tambor comporta um pouco mais de 200 L, o que deixa folga para não encher até a boca; o nome comercial é a capacidade útil. Quem tivesse usado 57 no lugar do raio acharia $3{,}14 \times 3\,249 \times 85 \approx 867\,000$ cm³, quatro vezes mais, porque o raio entra ao quadrado. Esse fator 4 é o teste mais barato para flagrar o erro de diâmetro.

Inclinar o prisma não muda o volume

Pegue a pilha de azulejos e desloque as peças de lado, cada uma um pouco mais que a de baixo, de modo que a pilha fique inclinada. As peças são as mesmas e a espessura de cada uma é a mesma; a altura da pilha, medida na vertical, não mudou. O volume também não. O sólido inclinado é um prisma oblíquo, as suas arestas laterais ficaram mais compridas que a altura, e a fórmula $V = A_b \cdot h$ continua valendo, com $h$ a altura perpendicular, não a aresta inclinada.

O argumento das fatias é a semente do princípio de Cavalieri: dois sólidos que, cortados por qualquer plano paralelo às bases, mostram seções de mesma área têm o mesmo volume. Ele tem página própria (Princípio de Cavalieri), onde faz coisas mais ambiciosas, como achar o volume de um recipiente parabólico ou de uma semiesfera. Aqui basta a consequência imediata: um prisma ou cilindro oblíquo tem exatamente o volume do sólido reto que compartilha com ele a base e a altura, e dois prismas de alturas iguais e bases de áreas iguais empatam em volume, ainda que um seja triangular e o outro, hexagonal.

Exemplo resolvido 7: a lata inclinada. Um cilindro oblíquo tem base de raio 3 cm e geratriz (a aresta lateral inclinada) de 10 cm, formando 60° com o plano da base. Qual é o volume? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: a altura não é a geratriz; é a projeção vertical dela: $h = 10 \cdot \operatorname{sen} 60°$.

Resolução: $h = 10 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 8{,}66$ cm. $V = 3{,}14 \times 9 \times 8{,}66 \approx 244{,}7$ cm³.

Conferência: se a lata estivesse em pé com a mesma geratriz, $V = 3{,}14 \times 9 \times 10 = 282{,}6$ cm³; inclinada, ela é mais baixa e guarda menos. Quem usa a geratriz como altura superestima o volume em 15 %.

A fórmula lida ao contrário

Boa parte dos itens não pede o volume: dá o volume e pede uma das outras medidas. A fórmula $V = A_b \cdot h$ tem três grandezas, e qualquer uma delas sai das outras duas:

$$h = \frac{V}{A_b}, \qquad A_b = \frac{V}{h}, \qquad r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}\ \text{(cilindro)}, \qquad a = \sqrt[3]{V}\ \text{(cubo)}.$$

Exemplo resolvido 8: a altura do reservatório. Um reservatório cilíndrico deve guardar 50 000 L e tem 2 m de raio interno. Que altura ele precisa ter? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: converter para m³, depois $h = V / (\pi r^2)$.

Resolução: $V = 50$ m³. $A_b = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ m². $h = 50 / 12{,}56 \approx 3{,}98$ m. Na prática, 4 m.

Conferência: $12{,}56 \times 4 = 50{,}24$ m³, pouco mais que o necessário. Se o item desse o raio 2 m como “diâmetro 4 m”, nada mudaria; se desse “diâmetro 2 m”, a área cairia a um quarto e a altura subiria para 16 m: o reservatório viraria uma torre. A proporção entre altura e raio é o primeiro teste de sanidade da resposta.

Exemplo resolvido 9: o raio escondido no π. Um tanque cilíndrico de 40 cm de altura tem volume $3\,600\pi$ cm³. Qual é o raio da base?

Estratégia: quando o volume vem com π, o π da fórmula cancela e sobra uma conta exata.

Resolução: $\pi r^2 \cdot 40 = 3\,600\pi \Rightarrow r^2 = 90 \Rightarrow r = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \approx 9{,}5$ cm.

Conferência: $\pi \cdot 90 \cdot 40 = 3\,600\pi$. A banca gosta dessa embalagem: um volume como $2\pi \times 10^4$ cm³ e uma altura de 50 cm levam a $r^2 = 400$ e $r = 20$, sem nenhum decimal, e o erro plantado é responder o diâmetro (40) quando se pede o raio. Foi o item do tambor da prova de 2023.

A mesma leitura serve para comparar dois sólidos de volumes iguais. Se um cilindro de área da base $A_1$ e um paralelepípedo de área da base $A_2$ têm o mesmo volume, então $A_1 h_1 = A_2 h_2$, e a razão das alturas é o inverso da razão das áreas: $h_2 / h_1 = A_1 / A_2$. Base maior, altura menor, na mesma proporção.

O que acontece com o volume quando uma medida muda

É o assunto mais rentável para a banca, porque não exige conta, exige entender onde cada medida entra na fórmula. No cilindro, $V = \pi r^2 h$: a altura aparece uma vez, o raio aparece duas.

Exemplo resolvido 10: a mesma capacidade com metade do diâmetro. Um cilindro de diâmetro $d$ e altura $h$ será substituído por outro, de diâmetro $d/2$, com o mesmo volume. Qual deve ser a nova altura?

Estratégia: escrever os dois volumes e igualar.

Resolução: original: $\pi (d/2)^2 h = \pi d^2 h / 4$. Novo, com raio $d/4$ e altura $h'$: $\pi (d/4)^2 h' = \pi d^2 h' / 16$. Igualando, $h'/16 = h/4$, logo $h' = 4h$. A altura quadruplica.

Conferência: o raio caiu à metade, a área da base caiu a um quarto; para compensar, a altura sobe quatro vezes. A prova de 2025 afirmou, num item sobre a câmara de um motor, que a altura “deve ser o dobro”; o item era errado por exatamente esse fator 2 que faltava.

Exemplo resolvido 11: um cilindro que vale dois. Três toras cilíndricas de mesma altura têm raios $r_A$, $r_B = 3$ dm e $r_C = 4$ dm, e o volume de A é igual aos volumes de B e C somados. Qual é o raio de A? O diâmetro de A é a soma dos diâmetros de B e C?

Estratégia: com a mesma altura, somar volumes é somar $\pi r^2 h$; o $\pi h$ cancela e sobram os quadrados dos raios.

Resolução: $r_A^2 = r_B^2 + r_C^2 = 9 + 16 = 25$, logo $r_A = 5$ dm. Diâmetros: $10$ contra $6 + 8 = 14$. Não se somam.

Conferência: se os diâmetros se somassem ($r_A = 7$), o volume de A seria proporcional a 49, quase o dobro de $9 + 16 = 25$. O que se soma, quando o volume se soma, é a área da base, e a área vai com o quadrado do raio. A prova de 2022 pendurou essa afirmação falsa em três palmeiras de uma fotografia, e ela cai pela conta $3, 4, 5$.

Volume cheio, volume útil e volume que sobra

A fórmula dá o volume geométrico do sólido inteiro. O que um item pergunta costuma ser outra coisa: quanto cabe de fato, quanto está ocupado, quanto material forma as paredes. Três situações se repetem.

A fração ocupada. Um tanque “a 80 % da capacidade” guarda $0{,}8\,V$. Uma câmara cilíndrica de motor com 10 cm de altura e 10 cm de diâmetro tem $\pi \cdot 25 \cdot 10 = 785$ cm³; se a mistura de ar e combustível ocupa 80 % dela a cada ciclo, entram 628 cm³. Foi o item de resposta numérica de 2025. Quando a fração é dada em altura, e o recipiente tem paredes verticais e base horizontal, a fração de altura é a fração de volume: uma piscina de 8 m por 4 m por 1,5 m cheia até 20 cm abaixo da borda contém $8 \times 4 \times 1{,}3 = 41{,}6$ m³, não 48.

Dimensões externas e internas. A capacidade de uma caixa-d’água é o volume do espaço interno. Uma caixa com medidas externas de 1,2 m por 1,0 m por 1,0 m e paredes e fundo de 2 cm, aberta em cima, tem interior de $1{,}16 \times 0{,}96 \times 0{,}98 \approx 1{,}091$ m³: 1 091 L, não 1 200. A diferença, 109 L, é o volume de material das paredes e do fundo.

O que sobra depois de tirar o miolo. Um tubo é um cilindro de que se retirou outro cilindro de mesmo eixo. O volume de material é a diferença: $V = \pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi h (R^2 - r^2)$. Nunca é “área lateral vezes espessura”: essa aproximação deixa de fora um termo positivo e erra sempre para menos. Visto de cima, o tubo é uma coroa circular, e o volume é a área da coroa vezes o comprimento.

Exemplo resolvido 12: o cano de PVC. Um cano de PVC de 6 m tem diâmetro externo de 100 mm e parede de 3 mm. Qual é o volume de PVC, em litros, e a massa do cano, se o PVC tem densidade 1,4 g/cm³? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: $R = 5$ cm, $r = 5 - 0{,}3 = 4{,}7$ cm, comprimento 600 cm; diferença de volumes; depois massa = densidade × volume.

Resolução: $R^2 - r^2 = 25 - 22{,}09 = 2{,}91$ cm². $V = 3{,}14 \times 2{,}91 \times 600 \approx 5\,482$ cm³ $\approx 5{,}5$ L. Massa: $1{,}4 \times 5\,482 \approx 7\,675$ g $\approx 7{,}7$ kg.

Conferência: o atalho “lateral vezes espessura” daria $2 \times 3{,}14 \times 4{,}7 \times 600 \times 0{,}3 \approx 5\,313$ cm³, 3 % a menos; a diferença é o termo $\pi h e^2$ que o atalho ignora. Um cano de 6 m que pesa uns 7,7 kg é o que se carrega no ombro numa loja de material de construção: a ordem de grandeza confere.

Somar dois sólidos. A aditividade também vale para juntar. Um tanque feito de um cilindro com raio de 1 m e 2 m de altura apoiado sobre uma base em forma de paralelepípedo de 3 m por 3 m por 0,5 m tem $3{,}14 \times 1 \times 2 + 3 \times 3 \times 0{,}5 = 6{,}28 + 4{,}5 = 10{,}78$ m³. Nomear as peças e somar é o protocolo inteiro; quando as peças incluem cones, troncos e semiesferas, o protocolo continua o mesmo, e a página de Volumes de sólidos compostos o aplica a silos, depósitos e panelas.

O nível da água: o que sobe quando algo entra

Num recipiente de paredes verticais e base horizontal de área $A_b$, qualquer volume $\Delta V$ que entre, seja água, seja um objeto mergulhado, faz o nível subir

$$\Delta h = \frac{\Delta V}{A_b}.$$

Se o objeto afunda por inteiro, o volume que ele desloca é o seu próprio volume: é a observação de Arquimedes, e é também um método de medir o volume de uma pedra sem fórmula nenhuma. Se o objeto flutua, ele desloca só a parte submersa, e a subida do nível mede essa parte, não o objeto todo.

Exemplo resolvido 13: a pedra no aquário. Um aquário retangular tem base de 40 cm por 25 cm. Ao mergulhar uma pedra, o nível da água subiu 1,2 cm. Qual é o volume da pedra? Se ela tem 3,0 kg, qual é a sua densidade?

Estratégia: o volume deslocado é $A_b \cdot \Delta h$; a densidade é massa sobre volume.

Resolução: $V = 40 \times 25 \times 1{,}2 = 1\,200$ cm³ $= 1{,}2$ L. Densidade: $3\,000 / 1\,200 = 2{,}5$ g/cm³ $= 2\,500$ kg/m³, a faixa das rochas comuns.

Conferência: $1\,200$ cm³ é um cubo de 10,6 cm de aresta, tamanho de uma pedra que cabe na mão com as duas; 2,5 g/cm³ é o dobro e meio da água, o que explica por que ela afundou. Se a pedra fosse de isopor, flutuaria, e a subida mediria só o pedaço molhado.

Exemplo resolvido 14: encher pela metade sem régua. Um aquário com base de 40 cm por 15 cm e 20 cm de altura recebe água até a metade. Em seguida, pedrinhas de 50 cm³ cada uma são colocadas, todas submersas, até o nível ficar a 6 cm do topo. Quantas pedrinhas foram colocadas?

Estratégia: o volume final (água + pedrinhas) é o da coluna até 14 cm; o da água, o da coluna até 10 cm; a diferença é o das pedrinhas.

Resolução: coluna até 14 cm: $40 \times 15 \times 14 = 8\,400$ cm³. Água: $40 \times 15 \times 10 = 6\,000$ cm³. Pedrinhas: $2\,400$ cm³, ou seja, $2\,400 / 50 = 48$ pedrinhas.

Conferência: 48 pedrinhas fizeram o nível subir 4 cm numa base de 600 cm²: $2\,400 / 600 = 4$. É um item do ENEM PPL de 2014, e o molde (metade da altura, nível a tantos centímetros do topo, objetos de volume conhecido) se repete em outras provas com vasos e plantas aquáticas.

Vazão: litros por minuto viram tempo e altura

Uma torneira que enche um balde de 10 L em 50 s tem vazão $Q = 10 / 50 = 0{,}2$ L/s $= 12$ L/min. Vazão é volume por unidade de tempo, e as três grandezas se amarram em

$$V = Q \cdot t, \qquad t = \frac{V}{Q}.$$

Num reservatório de base constante, a altura da água cresce em linha reta com o tempo: $h(t) = \dfrac{Q}{A_b}\,t$, uma função afim cujo coeficiente angular é a vazão dividida pela área da base. Base maior, subida mais lenta. Se o reservatório muda de seção no meio (um cubo embaixo, uma caixa mais larga em cima), o gráfico de $h$ contra $t$ é uma linha quebrada: mais íngreme na parte estreita, mais suave na parte larga.

Exemplo resolvido 15: a caixa-d’água e a bomba. Uma caixa de 4 m por 3 m por 2 m precisa ser esvaziada em, no máximo, 20 minutos por uma bomba de vazão constante. Que vazão mínima, em litros por segundo, a bomba precisa ter?

Estratégia: volume em litros, tempo em segundos, $Q = V / t$.

Resolução: $V = 24$ m³ $= 24\,000$ L. $t = 20 \times 60 = 1\,200$ s. $Q = 24\,000 / 1\,200 = 20$ L/s.

Conferência: 20 L/s são 1 200 L/min, uns cem baldes por minuto, a vazão de uma bomba de obra, não de uma torneira doméstica (que dá uns 0,2 L/s). Se a resposta saísse 2 ou 200, um fator de 10 teria escapado na conversão de minutos ou de metros cúbicos. É um item do ENEM de 2016, segunda aplicação.

Exemplo resolvido 16: o reservatório de dois andares. Um reservatório é formado por um cubo de 2 m de aresta embaixo e, em cima dele, aberto para o cubo, um paralelepípedo de 4 m por 3 m de base e 3 m de altura. Água entra a 2 m³ por minuto. Em quanto tempo o cubo enche? Que altura a água tem após 10 minutos?

Estratégia: duas fases: enquanto a água está no cubo, a base é $2 \times 2 = 4$ m²; depois, $4 \times 3 = 12$ m².

Resolução: o cubo tem 8 m³ e enche em $8 / 2 = 4$ min. Em 10 min entram 20 m³; descontados os 8 do cubo, sobram 12 m³ na parte de cima, que têm altura $12 / 12 = 1$ m. Altura total da água: $2 + 1 = 3$ m.

Conferência: nos primeiros 4 min a água sobe $2/4 = 0{,}5$ m por minuto; depois, $2/12 \approx 0{,}17$ m por minuto. Aos 2 min, $h = 1$ m; aos 10 min, 3 m. O PAS 1 de 2020 (aplicado em 2021) pendurou três itens nesse reservatório e afirmou, nos três, valores um pouco acima dos certos: “superior a 1 m” aos 2 min, “superior a 5 min” para encher o cubo, “superior a 4 m” aos 10 min. Todos errados, e todos decididos por uma divisão.

Leia como na prova: cotas, tabelas e números gigantes

Os itens de volume do PAS raramente abrem com “calcule o volume do cilindro”. Eles chegam dentro de um texto de outra disciplina e trazem os dados em quatro embalagens.

A figura com cotas e letras. Um paralelepípedo $ABCDEFGH$ desenhado sobre a foto de um moinho, com relações como “$AB = 5 \times AE$ e $EF = FG$” (PAS 2 de 2011); um cubo de aresta 1,3 m dentro de uma caixa de 2,1 m por 1,9 m por 2 m (PAS 1 de 2008); um prisma deitado cujas bases são trapézios de 71 cm e 53 cm com 80 cm de altura, e cuja “altura” de 50 cm é, na figura, o comprimento (PAS 1 de 2016). O gesto é identificar, na figura, quais segmentos são a base e qual é a altura, e escrever o volume em função das letras antes de pôr números: $AB \cdot EF \cdot AE$ vira $AB \cdot AB \cdot AB/5 = AB^3/5$.

O gráfico ou a tabela de chuva. Barras diárias em milímetros (o gráfico do INMET de 2018), ou uma tabela de índices por mês. O número a ler é a altura da barra do dia pedido, e a conta é mm × m². O gráfico pode ter escalas diferentes nos dois painéis (de 0 a 35 mm num ano, de 0 a 12 mm no outro), e a comparação “maio de 2018 foi inferior a 20 % de maio de 2017” exige somar barras, não comparar alturas de olho.

O volume dado em π ou em potência de dez. “$2\pi \times 10^4$ cm³”, “62 milhões de metros cúbicos”, “240 milhões de metros cúbicos sobre 516 km²”. O π vem para cancelar com o π da fórmula; a potência de dez vem para testar a conversão. No item de 2016, a quantidade de blocos de $0{,}248$ m³ que cabe em 62 milhões de m³ é $62 \times 10^6 / 0{,}248 = 250 \times 10^6$: a resposta pedida “em milhões” era 250, e quem deixou o bloco em centímetros cúbicos ($248\,000$ cm³) sem converter achou um número sem sentido.

O limiar. “Inferior a 25 %”, “superior a 3 900 kg/m³”, “altura inferior a 56 cm”, “mais de 8 000 litros”. A banca calibra o limiar perto do valor certo e longe do valor do erro mais comum: $2{,}197$ m³ contra 25 % de $7{,}98$ m³ ($1{,}995$ m³); $7\,800$ L contra 8 000; $3\,980$ kg/m³ contra 3 900. Estimativa de cabeça não resolve; a conta completa, com o π que o comando fornece, resolve.

Como a banca pergunta

• Limiar sobre um volume ou sobre uma medida derivada. “o cubo ocupa volume inferior a 25 % do paralelepípedo”, “a densidade é superior a 3 900 kg/m³”, “a altura é inferior a 56 cm”, “a espessura será superior a 50 cm”. Conta completa com o π do comando e comparação só no fim; os limiares ficam a poucos por cento do valor.
• Resposta numérica (tipo B). Volume em m³ do tanque semicilíndrico (2016, resposta 037), água na piscina em milhares de cm³ (2018, 176), quantidade de blocos em milhões (2016, 250), 80 % da câmara em cm³ (2025, 628). Três dígitos, parte fracionária desprezada, nunca em branco; a unidade pedida no comando (em m³, em milhares de cm³, em milhões) é parte da resposta.
• A fórmula ao contrário. Dado o volume e a altura, o raio (2023, o tambor); dado o volume e o raio, a altura; dados dois sólidos de mesmo volume, a razão entre alturas como razão invertida das áreas das bases (2011).
• A afirmação sobre razões. “Se o diâmetro cai à metade, a altura deve dobrar” (2025, errado), “o diâmetro de A é a soma dos diâmetros de B e C” (2022, errado), “o volume do cilindro é 50 % maior que o da esfera inscrita” (2008, certo). Sem conta: expoentes.
• A conversão pura. “1 m³ de cana rende 100 L; 78 m³ rendem mais de 8 000 L” (2025, errado), galões para litros para centímetros cúbicos (2009). O volume é trivial e o item está na unidade.
• A chuva. Índice em mm vezes área horizontal em m², comparado com a capacidade de uma cisterna (2024) ou pedido direto (2018).
• Vazão e tempo. Reservatório com vazão constante e altura em função do tempo, inclusive com mudança de seção (PAS 1 de 2020); vazamento em litros por minuto e volume que sobra (ENEM).

Os erros que a banca planta

• Converter volume como comprimento. 1 m³ não tem 100 nem 10 litros: tem 1 000. De m³ para cm³ é $10^6$.
• Diâmetro no lugar do raio. Quadruplica o volume do cilindro. Com $d = 10$, $r = 5$ e $\pi r^2 = 78{,}5$, não 314.
• A altura do triângulo da base como altura do prisma (ou o contrário). Nomeie as duas antes de multiplicar.
• Geratriz inclinada como altura. No cilindro ou prisma oblíquo, $h$ é a distância perpendicular entre as bases.
• “Dobrou o raio, dobrou o volume.” Quadruplicou. “Dobrou tudo, dobrou.” Multiplicou por 8. “Metade do diâmetro, altura em dobro.” Altura vezes 4.
• Somar diâmetros (ou raios) quando o que se soma é o volume. Somam-se os quadrados dos raios: 3, 4, 5.
• Escala sem elevar. Maquete 1:50: volume 125 000 vezes menor, não 50 nem 2 500.
• Tomar a capacidade pelo volume externo. A parede ocupa espaço; o que cabe é o interior.
• “Lateral vezes espessura” para o tubo. O exato é $\pi h (R^2 - r^2)$, e é sempre maior que o atalho.
• Fração da altura como fração do volume no cilindro deitado. Só vale para o cilindro em pé (ou para a metade, por simetria).
• Área inclinada do telhado na conta da chuva. Conta a projeção horizontal.
• Esquecer o rendimento ou a fração ocupada. 80 % de 785 é 628; 100 L por m³ não são 1 000 L por m³.
• Arredondar antes do limiar. 78 × 100 = 7 800, não “uns 8 000”. O limiar está ali exatamente para punir o arredondamento.

O essencial em meia página

• Volume = quantos cubos unitários cabem. Três propriedades: não negativo, invariante por movimentos rígidos, aditivo em partes sem sobreposição (somar e subtrair sólidos).
• Unidades: 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L; 1 dm³ = 1 L = 1 000 cm³; 1 cm³ = 1 mL. O fator de comprimento vai ao cubo. Densidade $\rho = m/V$; 1 g/cm³ = 1 000 kg/m³.
• Chuva: 1 mm = 1 L/m² sobre a projeção horizontal; dias se somam.
• Prisma e cilindro: $V = A_b \cdot h$, com $h$ a distância perpendicular entre as bases, reto ou oblíquo (Cavalieri). Paralelepípedo $abc$; cubo $a^3$; triangular $\frac{b h_t}{2} h$; trapezoidal $\frac{(B+b)h_t}{2} h$; hexagonal regular $\frac{3\sqrt{3}}{2}\ell^2 h$ (apótema $\ell\sqrt{3}/2$ = raio do círculo inscrito); cilindro $\pi r^2 h$ com $r = d/2$.
• Ao contrário: $h = V/A_b$; $r = \sqrt{V/(\pi h)}$; $a = \sqrt[3]{V}$; volumes iguais → $A_1 h_1 = A_2 h_2$.
• Proporções: altura × k → V × k; raio × k → V × k²; tudo × k → V × k³. Diâmetro à metade e mesmo volume → altura × 4. Volumes que se somam → $r^2$ que se somam.
• Útil × geométrico: fração ocupada ($0{,}8\,V$), nível parcial (fração da altura = fração do volume só com paredes verticais e base horizontal), interno × externo, tubo $= \pi h (R^2 - r^2)$, peças lado a lado se somam.
• Nível d’água: $\Delta h = \Delta V / A_b$; objeto submerso desloca o próprio volume (Arquimedes); flutuante, só a parte molhada; cilindro deitado não obedece à fração da altura.
• Vazão: $V = Q t$; $h(t) = (Q/A_b)\,t$, reta cuja inclinação cai quando a base alarga.
• Na prova: uma unidade só antes da primeira conta, litros no fim; π do comando; conta completa contra o limiar; tipo B na unidade pedida e nunca em branco.