Variância e desvio padrão

Em 2018, a prova do PAS 3 mostrou dois gráficos do Tribunal Superior Eleitoral com os candidatos a vereador no Brasil nas eleições de 2004, 2008, 2012 e 2016, separados em homens e mulheres, e afirmou que “o desvio padrão da sequência dos números de mulheres eleitas vereadoras nas eleições de 2004 a 2016 é inferior a 0,70”: quatro barras (6,6; 6,5; 7,5 e 7,8 mil), uma média, quatro desvios, uma raiz quadrada e um limiar colado no resultado. Cinco anos antes, com a frota de veículos por 100 habitantes de 2000 a 2012 num gráfico, a mesma etapa pediu em resposta numérica “a variância dos dados referentes ao período de 2000 a 2003”, multiplicada por 100 (o gabarito foi 135). Em 2023, um item de resposta numérica falou em “variância amostral” e só fechava com o divisor $n - 1$; em 2008, outro afirmou que três valores em progressão aritmética têm desvio padrão igual a zero. Os quatro itens giram em torno de uma pergunta que a média, a mediana e a moda não respondem: quanto os dados se afastam do centro, como medir esse afastamento com um número e o que ele permite concluir?

Esta página é a segunda metade do resumo de um conjunto de dados. A página anterior escolheu um número para o centro; esta escolhe um número para o espalhamento. A medida mais simples é a amplitude, que só olha as duas pontas do conjunto. A mais usada é o desvio padrão, construído em quatro passos que a prova cobra na ordem: calcular a média, subtrair a média de cada dado (os desvios), elevar os desvios ao quadrado e tirar a média dos quadrados (a variância), e por fim extrair a raiz quadrada para voltar à unidade dos dados. Ao redor desse roteiro ficam as perguntas que viram item: por que elevar ao quadrado, por que às vezes se divide por $n - 1$, o que acontece quando todos os dados ganham ou são multiplicados por uma constante, como comparar a regularidade de dois conjuntos com médias diferentes (o coeficiente de variação) e como ler a dispersão num gráfico ou numa tabela de frequências.

Mesma média, histórias diferentes: por que o centro não basta

Duas linhas de ônibus ligam o mesmo bairro ao centro da cidade. Durante cinco dias, uma passageira cronometrou a viagem em cada uma. Na linha Azul, os tempos foram 28, 30, 30, 31 e 31 minutos; na linha Verde, 18, 24, 30, 36 e 42 minutos. As duas somam 150 minutos em cinco viagens e têm, portanto, a mesma média, 30 minutos. A mediana também é 30 nas duas. Se o resumo parasse no centro, as linhas seriam idênticas, e qualquer pessoa que já pegou as duas sabe que não são: na Azul, a viagem dura “uns 30 minutos” todos os dias; na Verde, pode durar 18 ou 42, e quem tem hora marcada precisa sair com folga de doze minutos.

O que distingue as linhas é a dispersão: o quanto os dados se afastam do centro. Toda medida de dispersão é uma resposta à pergunta “quão longe da média os dados costumam ficar”, e há mais de uma maneira de respondê-la. A primeira, e a mais crua, é olhar só para as pontas.

A amplitude é fácil e é pobre: ela usa dois dados e ignora todos os outros. Dois conjuntos de sete notas, $10, 20, 20, 20, 20, 20, 30$ e $10, 10, 10, 20, 30, 30, 30$, têm a mesma média (20) e a mesma amplitude (20), mas o primeiro tem cinco dados exatamente na média e o segundo não tem nenhum: o segundo é muito mais espalhado, e a amplitude não vê isso. Basta também um único dado fora da curva (um erro de digitação, um dia de greve) para a amplitude disparar sem que o resto do conjunto tenha mudado. Para medir o espalhamento de todos os dados, é preciso olhar para a distância de cada um deles até a média.

Desvio em relação à média: a soma é sempre zero

Para cada dado, calcule a diferença entre ele e a média. Essa diferença é o desvio do dado. Na linha Verde (média 30), os desvios são $18 - 30 = -12$, $24 - 30 = -6$, $30 - 30 = 0$, $36 - 30 = +6$ e $42 - 30 = +12$. O sinal diz de que lado da média o dado está, e o valor absoluto diz a que distância.

A primeira ideia para medir a dispersão seria tirar a média dos desvios. Ela não funciona, e a razão é um fato que vale para qualquer conjunto de dados: a soma dos desvios em relação à média é sempre zero. Na linha Verde, $-12 - 6 + 0 + 6 + 12 = 0$; na Azul, os desvios são $-2, 0, 0, +1, +1$, e a soma é zero de novo. Isso não é coincidência. Somar os $n$ desvios é somar os $n$ dados e subtrair $n$ vezes a média:

$$\sum (x_i - \bar{x}) = \sum x_i - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0,$$

porque a soma dos dados é, por definição de média, $n\bar{x}$. A média é o ponto de equilíbrio dos dados, e os desvios para um lado compensam exatamente os desvios para o outro. Esse fato tem duas utilidades práticas. A primeira é uma conferência que custa dez segundos: calculados os desvios, some-os; se a soma não der zero, a média está errada ou houve erro numa subtração, e nada do que vem depois se aproveita. A segunda é que ele obriga a escolher o que fazer com os sinais.

Há dois caminhos. Um é ignorar o sinal e tirar a média dos valores absolutos dos desvios, o que produz o desvio médio absoluto: na linha Verde, $(12 + 6 + 0 + 6 + 12) \div 5 = 7{,}2$ minutos; na Azul, $(2 + 0 + 0 + 1 + 1) \div 5 = 0{,}8$ minuto. É uma medida legítima, raramente usada em prova. O outro caminho, o que a estatística adotou, é elevar cada desvio ao quadrado. O quadrado também apaga o sinal (todo quadrado é positivo ou zero), mas faz algo a mais: ele amplia os desvios grandes em relação aos pequenos. Um desvio de 12 vira 144; um desvio de 6 vira 36; o primeiro passa a pesar quatro vezes o segundo, e não duas. A medida resultante é sensível a dados muito afastados, o que é exatamente o que se espera de uma medida de espalhamento, e tem propriedades algébricas que o valor absoluto não tem (a fórmula alternativa da próxima seção é uma delas).

Variância: a média dos quadrados dos desvios

Exemplo resolvido 1: as duas linhas de ônibus. Linha Verde: média 30, desvios $-12, -6, 0, 6, 12$ (soma zero), quadrados $144, 36, 0, 36, 144$, soma 360, variância $\sigma^2 = 360 \div 5 = 72$ min². Linha Azul: média 30, desvios $-2, 0, 0, 1, 1$ (soma zero), quadrados $4, 0, 0, 1, 1$, soma 6, variância $\sigma^2 = 6 \div 5 = 1{,}2$ min². A variância da Verde é sessenta vezes a da Azul. O número em si (72) não diz muito, porque está numa unidade estranha; a comparação entre os dois, sim.

O roteiro do exemplo é o de toda conta de variância, e vale a pena fixá-lo como uma tabela de quatro colunas: dado, desvio, quadrado do desvio, e as somas. A coluna dos desvios tem de somar zero; a dos quadrados, dividida por $n$, é a variância. Numa prova sem calculadora, é esse arranjo que evita perder um sinal ou um quadrado.

A fórmula alternativa. Existe um segundo modo de calcular a mesma variância, sem passar pelos desvios: tirar a média dos quadrados dos dados e subtrair o quadrado da média.

$$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2.$$

A demonstração é um desenvolvimento de quadrado. Cada $(x_i - \bar{x})^2$ é $x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2$; somando sobre os $n$ dados, $\sum x_i^2 - 2\bar{x}\sum x_i + n\bar{x}^2$. Como $\sum x_i = n\bar{x}$, o termo do meio é $-2n\bar{x}^2$, e a soma fica $\sum x_i^2 - n\bar{x}^2$. Dividindo por $n$, aparece a fórmula. Na linha Verde: $18^2 + 24^2 + 30^2 + 36^2 + 42^2 = 324 + 576 + 900 + 1\,296 + 1\,764 = 4\,860$; dividido por 5, $972$; menos $30^2 = 900$, dá $72$. Confere. A fórmula alternativa é útil quando a média é um decimal feio (os desvios ficam feios e os quadrados, piores) e quando o enunciado dá a soma dos dados e a soma dos quadrados em vez da lista; é também o que permite recuperar uma informação escondida, como a seção sobre dispersão em contexto mostra com um item do ENEM.

Desvio padrão: de volta à unidade dos dados

A variância da linha Verde é 72 minutos ao quadrado, e ninguém sabe o que é um minuto ao quadrado. Para voltar à unidade dos dados, desfaz-se o quadrado com uma raiz.

Linha Verde: $\sigma = \sqrt{72} \approx 8{,}5$ minutos. Linha Azul: $\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}1$ minuto. Agora os números falam a língua do problema: na Verde a viagem costuma desviar uns oito minutos e meio dos 30; na Azul, um minuto. Repare que o desvio padrão não é o desvio médio absoluto (7,2 e 0,8) nem a metade da amplitude: é uma medida própria, que pesa mais os afastamentos grandes, e por isso fica um pouco acima do desvio médio absoluto em quase todo conjunto.

Raízes sem calculadora. A prova do PAS não dá calculadora, e os itens de desvio padrão têm um limiar: “inferior a 0,70”, “superior a 6%”. Quase nunca é preciso extrair a raiz. Para saber se $\sigma$ é menor que 0,70, basta saber se $\sigma^2$ é menor que $0{,}70^2 = 0{,}49$; para saber se $\sigma > 6$, basta saber se $\sigma^2 > 36$. Comparar a variância com o quadrado do limiar é mais rápido e mais seguro que aproximar uma raiz. Quando o valor em si é pedido, guarde algumas raízes de referência: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, $\sqrt{10} \approx 3{,}16$, e a regra de que $\sqrt{a \times 100} = 10\sqrt{a}$ ($\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$).

Exemplo resolvido 2: as vereadoras eleitas (PAS 3 2018). O gráfico do TSE impresso na prova trazia, em milhares, o número de mulheres eleitas vereadoras: 6,6 em 2004; 6,5 em 2008; 7,5 em 2012; 7,8 em 2016 (e, de homens, 45,2; 45,3; 49,7 e 50,0). O item afirmou que “o desvio padrão da sequência dos números de mulheres eleitas vereadoras nas eleições de 2004 a 2016 é inferior a 0,70”. Média: $(6{,}6 + 6{,}5 + 7{,}5 + 7{,}8) \div 4 = 28{,}4 \div 4 = 7{,}1$. Desvios: $-0{,}5$; $-0{,}6$; $+0{,}4$; $+0{,}7$ (soma: $-1{,}1 + 1{,}1 = 0$, confere). Quadrados: $0{,}25$; $0{,}36$; $0{,}16$; $0{,}49$; soma $1{,}26$. Variância: $1{,}26 \div 4 = 0{,}315$. O limiar ao quadrado é $0{,}70^2 = 0{,}49$, e $0{,}315 < 0{,}49$; logo $\sigma < 0{,}70$. Certo. (A raiz, se alguém quiser, é $\sigma \approx 0{,}56$.) Conferência pela fórmula alternativa: $6{,}6^2 + 6{,}5^2 + 7{,}5^2 + 7{,}8^2 = 43{,}56 + 42{,}25 + 56{,}25 + 60{,}84 = 202{,}90$; dividido por 4, $50{,}725$; menos $7{,}1^2 = 50{,}41$, dá $0{,}315$. A unidade do desvio padrão é a dos dados, milhares de vereadoras; o 0,70 do item são 700 vereadoras.

O exemplo mostra o item típico de desvio padrão: os dados vêm de um gráfico de barras ou de linhas, são quatro ou cinco valores com uma casa decimal, a média é limpa e o limiar fica perto do resultado. A conta é a mesma sequência de sempre, e a única decisão é não extrair a raiz.

Populacional ou amostral: quando dividir por n − 1

A variância definida acima descreve um conjunto de dados que é tudo o que interessa: as cinco viagens cronometradas, as quatro eleições, as notas de uma turma. Chama-se variância populacional, e o seu divisor é $n$. Há uma segunda definição, que divide pela quantidade de dados menos um.

O motivo da correção pode ser dito sem fórmulas. A média da amostra não é a média da população; é a média dos dados que se tem, e os dados ficam, em conjunto, mais perto da própria média do que de qualquer outro número, inclusive da média verdadeira da população. Por isso a soma dos quadrados, medida a partir da média da própria amostra, sai sistematicamente pequena, e dividir por $n - 1$ em vez de $n$ compensa esse encolhimento. (Outra maneira de ver: os $n$ desvios somam zero, logo só $n - 1$ deles são livres; o último está determinado pelos outros.) Para a prova, o que importa é a regra de leitura: o divisor é $n - 1$ apenas quando o enunciado diz “amostral” ou define a fórmula com $n - 1$. “Variância”, “desvio padrão” e “dispersão” sem adjetivo são populacionais, com divisor $n$. Os gabaritos dos itens do PAS confirmam a regra nos dois sentidos: o item de 2013 que pediu “a variância” das frotas de 2000 a 2003 só fecha com divisor 4, e o item de 2023 que falou em “variância amostral” só fecha com divisor $n - 1$.

Exemplo resolvido 3: a variância amostral que encolhe (PAS 3 2023). O gráfico I da prova trazia a população de imigrantes mexicanos nos Estados Unidos, em milhões, por década: 4,28 em 1990; 9,16 em 2000; 11,73 em 2010. O item pediu: “Considere que, entre 1990 e 2020, a média aritmética de imigrantes mexicanos para os EUA tenha sido igual à observada entre 1990 e 2010 e que, portanto, entre 1990 e 2020, a variância amostral entre 1990 e 2020 tenha sido $p\%$ menor que a variância amostral entre 1990 e 2010. Com base nesse cenário hipotético, calcule o valor de $p$.” A hipótese diz que, acrescentando o dado de 2020, a média não muda; isso só acontece se o dado novo for igual à média dos três anteriores, $\bar{x} = (4{,}28 + 9{,}16 + 11{,}73) \div 3 = 25{,}17 \div 3 = 8{,}39$. O desvio do dado novo é zero, e a soma dos quadrados dos desvios não muda: ela vale $S = (4{,}28 - 8{,}39)^2 + (9{,}16 - 8{,}39)^2 + (11{,}73 - 8{,}39)^2 = 16{,}89 + 0{,}59 + 11{,}16 \approx 28{,}64$ com três dados e continua $28{,}64$ com quatro. O que muda é o divisor amostral: de $3 - 1 = 2$ para $4 - 1 = 3$. A variância amostral passa de $S/2$ para $S/3$, isto é, fica multiplicada por $\dfrac{2}{3}$; a redução é de $\dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\%$. Resposta: 33. Conferência: nem foi preciso calcular $S$; a razão entre as variâncias é a razão entre os divisores, $\dfrac{S/3}{S/2} = \dfrac{2}{3}$, qualquer que seja $S$. Se alguém usasse a variância populacional, os divisores seriam 3 e 4, a razão seria $\dfrac{3}{4}$ e a redução, 25%: o enunciado diz “amostral” justamente para que o divisor seja $n - 1$.

O mecanismo do exemplo é geral e rende item: acrescentar um dado igual à média não altera a média nem a soma dos quadrados dos desvios, e por isso multiplica a variância populacional por $\dfrac{n}{n + 1}$ e a amostral por $\dfrac{n - 1}{n}$. Nos dois casos a dispersão diminui, porque o dado novo “puxa” o conjunto para o centro.

Somar ou multiplicar uma constante: o que acontece com o desvio padrão

A linha Verde passa a parar num ponto a mais, e todas as viagens ficam 4 minutos mais longas: 22, 28, 34, 40 e 46 minutos. A média sobe para 34. E os desvios? $22 - 34 = -12$, $28 - 34 = -6$, e assim por diante: são exatamente os mesmos $-12, -6, 0, 6, 12$ de antes. A variância continua 72 e o desvio padrão, 8,5 minutos. Faz sentido: deslocar todos os dados juntos não os aproxima nem os afasta uns dos outros.

Agora suponha que os tempos sejam convertidos para segundos, isto é, multiplicados por 60: 1 080, 1 440, 1 800, 2 160 e 2 520 segundos. A média vai a 1 800 segundos, e os desvios ficam $-720, -360, 0, 360, 720$: cada um é o desvio antigo vezes 60. Os quadrados ficam multiplicados por $60^2 = 3\,600$, a variância passa de 72 para $72 \times 3\,600 = 259\,200$ s² e o desvio padrão de $8{,}49$ para $8{,}49 \times 60 \approx 509$ segundos. O desvio padrão foi multiplicado pela constante; a variância, pelo quadrado dela.

Exemplo resolvido 4: o reajuste e o abono. Os salários de uma empresa têm média R$ 3 000 e desvio padrão R$ 450. (a) Se todos receberem um abono fixo de R$ 200, a média vai a R$ 3 200 e o desvio padrão continua R$ 450. (b) Se, em vez disso, todos receberem um reajuste de 8%, cada salário é multiplicado por $1{,}08$: a média vai a $3\,000 \times 1{,}08 = 3\,240$ e o desvio padrão a $450 \times 1{,}08 = 486$ reais; a variância, de $450^2 = 202\,500$ para $202\,500 \times 1{,}08^2 = 202\,500 \times 1{,}1664 = 236\,196$. Conferência: $486^2 = 236\,196$. O reajuste percentual mantém a dispersão relativa (486 está para 3 240 como 450 está para 3 000) e aumenta a dispersão absoluta; o abono faz o contrário. É a diferença entre as duas medidas que a seção do coeficiente de variação explora.

A regra da multiplicação é o que governa a troca de unidade. Um desvio padrão de 0,08 m é um desvio padrão de 8 cm (vezes 100); uma variância de 0,0064 m² é uma variância de 64 cm² (vezes $100^2$). Uma temperatura em graus Celsius convertida para Fahrenheit ($F = 1{,}8\,C + 32$) combina as duas regras: o desvio padrão fica multiplicado por 1,8 e o $+32$ não faz nada. O ENEM gosta desse tema com sacas de café e hectares: um desvio padrão em quilogramas por talhão vira sacas por hectare dividindo-se por 60 (quilogramas por saca) e pela área do talhão em hectares, e a variância, pelo quadrado desse fator.

Uma série em progressão aritmética não tem desvio padrão zero. Em 2008, o PAS 3 apresentou um gráfico da produção mundial de cereais com as barras 1 930 (1995), 2 100 (2000) e 2 270 (2005), que crescem de 170 em 170, e afirmou: “Considerando-se que, no gráfico I, os dados de 1995, 2000 e 2005 estão em progressão aritmética, conclui-se que o desvio-padrão associado a essa série numérica é igual a zero.” O desvio padrão só é zero quando todos os dados são iguais; numa progressão aritmética de razão diferente de zero, os dados são todos diferentes. Média: $2\,100$; desvios: $-170, 0, +170$; quadrados: $28\,900, 0, 28\,900$; variância $57\,800 \div 3 \approx 19\,267$; $\sigma \approx 139$ milhões de toneladas. Errado. O item confunde a regularidade do crescimento (a razão constante) com a ausência de dispersão. Para três termos em progressão aritmética de razão $r$, o desvio padrão é $r\sqrt{2/3} \approx 0{,}82\,r$, sempre proporcional à razão.

Comparar regularidade: menor desvio padrão, mais regular

Em muitas situações, a pergunta não é “quanto vale o desvio padrão” e sim “qual dos conjuntos é mais regular”, e a resposta é imediata: o de menor desvio padrão. Duas jogadoras de basquete marcaram, em cinco jogos, 18, 20, 22, 19 e 21 pontos (Ana) e 10, 30, 25, 12 e 23 pontos (Bia). As duas somaram 100 pontos, média 20. Ana: desvios $-2, 0, 2, -1, 1$, quadrados $4, 0, 4, 1, 1$, variância $10 \div 5 = 2$, $\sigma \approx 1{,}4$ ponto. Bia: desvios $-10, 10, 5, -8, 3$ (soma zero), quadrados $100, 100, 25, 64, 9$, variância $298 \div 5 = 59{,}6$, $\sigma \approx 7{,}7$ pontos. A técnica que precisa de 20 pontos garantidos num jogo decisivo escala Ana; a que precisa de uma chance de 30 escala Bia. Mesma média, perfis opostos, e é o desvio padrão que descreve o perfil.

O ENEM transforma a regularidade em item dando a tabela pronta, com média, mediana e desvio padrão de vários atletas, candidatos ou equipes, e perguntando qual é “o mais regular”: basta ler a coluna do desvio padrão e escolher o menor, sem fazer conta. O PAS prefere pedir a conta. Em 2017, com um gráfico da produção de etanol no Brasil, nos Estados Unidos e no mundo, de 2006 a 2015, em bilhões de litros, a prova apresentou um item de múltipla escolha: “A série numérica correspondente à produção brasileira de etanol de 2008 a 2011, na unidade bilhões de litros ao quadrado, tem variância com valor: A) inferior a 3,5; B) superior a 3,5 e inferior a 3,7; C) superior a 3,7 e inferior a 3,9; D) superior a 3,9.” As barras do Brasil nesses anos eram 27,6; 25,7; 27,6 e 22,7. Média: $103{,}6 \div 4 = 25{,}9$. Desvios: $1{,}7$; $-0{,}2$; $1{,}7$; $-3{,}2$ (soma $3{,}4 - 3{,}4 = 0$). Quadrados: $2{,}89$; $0{,}04$; $2{,}89$; $10{,}24$; soma $16{,}06$. Variância: $16{,}06 \div 4 = 4{,}015$, superior a 3,9. Opção D. O enunciado avisou a unidade (“bilhões de litros ao quadrado”) para deixar claro que a variância, e não o desvio padrão, era o alvo, e as faixas das opções estão separadas por 0,2: um erro de arredondamento na média (25,9 é exato, mas 26 não) ou um quadrado esquecido troca a faixa.

Coeficiente de variação: dispersão relativa

O desvio padrão compara bem conjuntos medidos na mesma unidade e na mesma escala. Quando as unidades ou as escalas são diferentes, ele engana. As alturas de uma turma têm média 1,70 m e desvio padrão 0,085 m; as massas, média 65 kg e desvio padrão 9,1 kg. Dizer que “as massas variam mais, porque 9,1 é maior que 0,085” não faz sentido: são quilogramas contra metros. E mesmo na mesma unidade a escala atrapalha: um desvio padrão de 500 kg nas massas de um grupo de elefantes (média 5 000 kg) é muito menos, em proporção, do que um desvio padrão de 0,8 kg nas massas de um grupo de gatos (média 4 kg).

Exemplo resolvido 5: alturas, massas, elefantes e gatos. Alturas: $CV = 0{,}085 \div 1{,}70 = 0{,}05 = 5\%$. Massas: $CV = 9{,}1 \div 65 = 0{,}14 = 14\%$. As massas são relativamente mais dispersas, o que combina com a experiência: numa turma, as alturas variam uns centímetros em torno de 1,70 m, e as massas variam dezenas de quilogramas. Elefantes: $500 \div 5\,000 = 10\%$. Gatos: $0{,}8 \div 4 = 20\%$. Os gatos são, em proporção, duas vezes mais heterogêneos que os elefantes, embora o desvio padrão dos elefantes seja seiscentas vezes maior. Conferência: o $CV$ não muda com a unidade (massas em gramas: $9\,100 \div 65\,000 = 0{,}14$), o que é o teste de que a medida é relativa.

O ENEM usou o coeficiente de variação num item sobre a troca de ração de coelhos: a ração atual dá média 10 kg e desvio padrão 1 kg ($CV = 10\%$); a nova dá desvio padrão 1,5 kg, e será adotada se o seu $CV$ for menor; para $1{,}5 \div \bar{x} < 0{,}1$ é preciso $\bar{x} > 15$ kg. O molde é o que se espera na 2.ª etapa: dois pares (média, desvio padrão) e a pergunta “qual varia mais”, ou um par incompleto e um limiar para a média.

O coeficiente de variação tem limites. Ele exige média positiva e uma escala com zero significativo: funciona para massas, tempos, preços e contagens, em que “zero” é ausência; não funciona para temperaturas em graus Celsius, porque o zero do Celsius é convencional (os mesmos dados em Kelvin dão outro $CV$, sem que a dispersão tenha mudado), nem para conjuntos de média próxima de zero, em que a divisão explode. Nos itens de prova, os dados são sempre do primeiro tipo.

Dados agrupados: a variância numa tabela de frequências

Em vinte famílias de um prédio, o número de filhos foi registrado assim: 4 famílias sem filhos, 6 com um filho, 8 com dois e 2 com três. A lista tem vinte números (quatro zeros, seis uns, …), e a tabela já diz quantas vezes cada valor entra na conta: a frequência é um peso, tanto na média quanto na variância.

Exemplo resolvido 6: os filhos das vinte famílias. Média: $\dfrac{4 \times 0 + 6 \times 1 + 8 \times 2 + 2 \times 3}{20} = \dfrac{0 + 6 + 16 + 6}{20} = \dfrac{28}{20} = 1{,}4$ filho por família. Desvios por linha: $-1{,}4$; $-0{,}4$; $+0{,}6$; $+1{,}6$. Quadrados: $1{,}96$; $0{,}16$; $0{,}36$; $2{,}56$. Multiplicados pelas frequências: $4 \times 1{,}96 = 7{,}84$; $6 \times 0{,}16 = 0{,}96$; $8 \times 0{,}36 = 2{,}88$; $2 \times 2{,}56 = 5{,}12$; soma $16{,}8$. Variância: $16{,}8 \div 20 = 0{,}84$; desvio padrão $\sqrt{0{,}84} \approx 0{,}92$ filho. Conferência: a soma dos desvios ponderados pelas frequências é $4(-1{,}4) + 6(-0{,}4) + 8(0{,}6) + 2(1{,}6) = -5{,}6 - 2{,}4 + 4{,}8 + 3{,}2 = 0$. Quem divide 16,8 por 4 (as linhas) encontra 4,2 e erra; quem calcula a variância dos quatro valores 0, 1, 2 e 3 como se fossem os dados (média 1,5, variância 1,25) também erra, porque ignora que o 2 apareceu oito vezes e o 3, duas.

A tabela de frequências é a forma em que a dispersão aparece quando os dados são muitos: notas de uma turma agrupadas por valor, número de acertos por candidato, gols por partida. A conta é a de sempre, com a frequência multiplicando cada parcela.

Ler a dispersão num gráfico: barras, linhas e histogramas

Os itens reais de variância e desvio padrão quase nunca dão a lista de dados em prosa; dão um gráfico de barras ou de linhas, e a primeira tarefa é ler os valores certos. Em 2013, o gráfico da frota de veículos por 100 habitantes trazia treze barras, de 2000 a 2012 (17,6; 18,5; 19,6; 20,7; 21,6; 22,8; 24,3; 26,2; 28,5; 30,9; 33,9; 36,5 e 39,5), e o item de resposta numérica pediu: “Determine a variância dos dados referentes ao período de 2000 a 2003. Multiplique o resultado por 100.” Só quatro barras entram: 17,6; 18,5; 19,6 e 20,7. Média: $76{,}4 \div 4 = 19{,}1$. Desvios: $-1{,}5$; $-0{,}6$; $+0{,}5$; $+1{,}6$ (soma zero). Quadrados: $2{,}25$; $0{,}36$; $0{,}25$; $2{,}56$; soma $5{,}42$. Variância: $5{,}42 \div 4 = 1{,}355$; vezes 100, $135{,}5$; desprezada a parte fracionária, 135. O fator de escala existe para a resposta caber nos três algarismos do caderno de respostas e se aplica por último. Quem usa o divisor $n - 1$ encontra $5{,}42 \div 3 \approx 1{,}807$ e marca 180, errado: o gabarito oficial, 135, confirma que “variância” sem adjetivo é a populacional.

Em 2019, o gráfico de barras horizontais da participação feminina na ciência trazia, para 14 países ibero-americanos, dois percentuais: o total e o do decil mais produtivo. O item escolheu seis países: “O desvio padrão da série relativa ao decil mais produtivo, quando considerados os países Argentina, Brasil, Chile, Equador, Peru e Uruguai, é superior a 6%.” Os valores do decil nesses países: 43, 40, 26, 28, 30 e 36. Soma $203$, média $203 \div 6 \approx 33{,}83$. A média é um decimal periódico, e aqui a fórmula alternativa poupa trabalho: $\sum x^2 = 43^2 + 40^2 + 26^2 + 28^2 + 30^2 + 36^2 = 1\,849 + 1\,600 + 676 + 784 + 900 + 1\,296 = 7\,105$; dividido por 6, $1\,184{,}17$; menos $\bar{x}^2 = 33{,}83^2 \approx 1\,144{,}69$, dá $\sigma^2 \approx 39{,}5$. O limiar ao quadrado é $36$, e $39{,}5 > 36$: $\sigma > 6$. Certo ($\sigma \approx 6{,}3$ pontos percentuais). Dois cuidados de leitura: pegar a barra certa de cada país (o decil, em cinza, e não o total, em preto) e só os seis países listados.

A leitura qualitativa também é cobrada: dois histogramas com a mesma média podem ter formas muito diferentes, e a forma diz qual tem o maior desvio padrão.

Nas duas turmas da figura, as frequências são, na turma 1, nota 5: 2; 6: 5; 7: 6; 8: 5; 9: 2 e, na turma 2, nota 4: 4; 5: 3; 7: 6; 9: 3; 10: 4. As duas têm 20 estudantes e soma 140, média 7. Pela fórmula de dados agrupados, a turma 1 tem $\sum f(x - 7)^2 = 2 \times 4 + 5 \times 1 + 6 \times 0 + 5 \times 1 + 2 \times 4 = 26$, variância $1{,}3$ e $\sigma \approx 1{,}1$; a turma 2 tem $4 \times 9 + 3 \times 4 + 0 + 3 \times 4 + 4 \times 9 = 96$, variância $4{,}8$ e $\sigma \approx 2{,}2$. A conta confirma o olho: barras altas longe da média (os quatro 4 e os quatro 10 da turma 2) são o que mais pesa na variância, porque entram ao quadrado.

Quantos dados cabem entre $\bar{x} - \sigma$ e $\bar{x} + \sigma$? Em 2022, com um gráfico de barras das populações das oito maiores etnias indígenas do Brasil segundo o Censo de 2010 (Tikuna 46, Guarani Kaiowá 44, Kaingang 38, Makuxi 29, Terena 29, Tenetehara 24, Yanomami 22 e Potiguara 20, em milhares), o PAS 3 afirmou: “Tomando-se $m$ como a média e $s$ como o desvio-padrão das etnias indígenas apresentadas, é correto afirmar que todas as populações apresentadas estão no intervalo $[m - s, m + s]$.” Soma $252$, média $m = 31{,}5$. Desvios: $14{,}5$; $12{,}5$; $6{,}5$; $-2{,}5$; $-2{,}5$; $-7{,}5$; $-9{,}5$; $-11{,}5$ (soma $33{,}5 - 33{,}5 = 0$). Quadrados: $210{,}25$; $156{,}25$; $42{,}25$; $6{,}25$; $6{,}25$; $56{,}25$; $90{,}25$; $132{,}25$; soma $700$. Variância $700 \div 8 = 87{,}5$; $s \approx 9{,}35$. O intervalo $[m - s, m + s]$ vai de cerca de $22{,}2$ a $40{,}8$ mil: ficam fora os dois maiores (46 e 44) e os dois menores (22 e 20). Errado. Repare que o julgamento não depende do divisor: com $n - 1$, $s = \sqrt{100} = 10$ exatamente, o intervalo é $[21{,}5;\ 41{,}5]$ e três populações continuam fora. O item ensina uma leitura do desvio padrão que vale guardar: o intervalo de um desvio padrão em torno da média contém a parte central dos dados (aqui, quatro das oito populações), nunca todos eles, a menos que sejam todos iguais.

Dispersão em contexto: notas, salários e o que o desvio padrão garante

Um desvio padrão pequeno diz mais do que parece: ele limita o tamanho de qualquer desvio. Como a variância é a média dos quadrados dos desvios, a soma dos quadrados é $n\sigma^2$, e nenhum quadrado isolado pode ultrapassar essa soma. Logo, nenhum dado pode estar a mais de $\sigma\sqrt{n}$ da média. O ENEM de 2024 usou esse raciocínio: cinco grupos de 11 mulheres, com um quadro incompleto de idades (mínimo, máximo, média, mediana, moda e desvio padrão), e a pergunta de qual grupo certamente tinha a maioria entre 20 e 30 anos; no grupo com média 25 e desvio padrão 1, a soma dos quadrados dos desvios é $11 \times 1^2 = 11$, e uma única idade fora de $[20, 30]$ teria desvio maior que 5 e quadrado maior que 25, impossível. Com média 25 e desvio padrão 1, todas as 11 idades estão entre 20 e 30. É o mesmo argumento com que uma coordenação lê o boletim: uma turma de 10 estudantes com média 7 e desvio padrão 0,5 tem soma dos quadrados $10 \times 0{,}25 = 2{,}5$, e uma nota 4 (desvio 3, quadrado 9) é impossível; ninguém nessa turma está em recuperação.

A dispersão também fecha a história da média contra a mediana. Numa oficina com nove salários de R$ 2 000 e um de R$ 20 000, a média é R$ 3 800 e a mediana, R$ 2 000; o desvio padrão conta o resto. Desvios: $-1\,800$ (nove vezes) e $+16\,200$. Quadrados: $3\,240\,000 \times 9 = 29\,160\,000$ e $262\,440\,000$; soma $291\,600\,000$; variância $29\,160\,000$; $\sigma = 5\,400$ reais, maior que a média e quase três vezes o salário de nove das dez pessoas. Um desvio padrão desse tamanho avisa que a média não descreve ninguém: o conjunto tem um valor extremo que domina tudo, e a mediana é o resumo honesto. Quando a prova pergunta qual medida descreve “o salário típico” em situações assim, a resposta é a mediana; o desvio padrão e a amplitude aparecem como distratores que medem outra coisa, o espalhamento, e não o centro.

Como a banca pergunta

Na 2.ª etapa, a dispersão está na matriz desde dezembro de 2022, herdada da 3.ª, e ainda não rendeu item: a estreia é provável, e o molde vem da 3.ª etapa, que tem sete itens em quinze anos. Eles cabem em cinco formatos.

1. Variância em resposta numérica, com fator de escala (tipo B): a variância de quatro barras de um gráfico, vezes 100, desprezada a parte fracionária (2013/72, resposta 135). O trabalho é escolher as barras certas, fazer a tabela dado–desvio–quadrado e aplicar o fator por último.
2. Desvio padrão contra um limiar (tipo A): “inferior a 0,70” com quatro barras (2018/119, certo); “superior a 6%” com seis barras escolhidas entre catorze (2019/120, certo). Compare a variância com o quadrado do limiar; não extraia a raiz.
3. Variância em faixas (tipo C): quatro opções com faixas de 0,2 de largura (2017/117, “superior a 3,9”, opção D). A média exata importa; arredondar antes do fim troca a faixa.
4. Variância amostral e o efeito de um dado novo (tipo B): a redução percentual da variância amostral quando se acrescenta um dado igual à média (2023/92, resposta 33). O divisor é $n - 1$ porque o enunciado disse “amostral”; a razão entre as variâncias é a razão entre os divisores.
5. Conceito (tipo A): o desvio padrão de uma progressão aritmética “é igual a zero” (2008/18, errado); “todas as populações estão em $[m - s, m + s]$” (2022/74, errado). Aqui a conta é curta e a ideia é tudo: só dados iguais têm desvio padrão zero; o intervalo de um desvio padrão contém a parte central dos dados, não todos.

Três avisos de formato. Primeiro, os dados vêm de gráfico, e o item recorta uma parte dele (“de 2000 a 2003”, “de 2008 a 2011”, “Argentina, Brasil, Chile, Equador, Peru e Uruguai”, “o decil mais produtivo”): leia o recorte antes de somar. Segundo, a banca costuma dar a média pronta em um item vizinho (“sabendo que a média é 26,2”) para outro uso; a média do recorte é outra, e tem de ser calculada. Terceiro, nos itens de limiar, confira se a escolha entre $n$ e $n - 1$ muda o julgamento; quando não muda, não perca tempo com a dúvida; quando muda, a palavra “amostral” decide.

Os erros que mais derrubam

• Dividir pela quantidade errada. Pelo número de dados ($n$), não pela soma dos dados nem pelo número de linhas da tabela; $n - 1$ só quando o item diz “amostral”.
• Esquecer de elevar ao quadrado e somar desvios com sinal: a soma dá zero, e zero não é dispersão.
• Comparar a variância com o limiar do desvio padrão sem elevar o limiar ao quadrado (ou sem extrair a raiz).
• Desvio padrão negativo ou variância com unidade simples: sinal de conta errada.
• Somar uma constante e achar que o desvio padrão muda. Ele não muda; só a média se desloca. Multiplicar por $k$ multiplica o desvio padrão por $|k|$ e a variância por $k^2$.
• Trocar de unidade sem elevar o fator ao quadrado na variância: metros para centímetros multiplica a variância por 10 000.
• Comparar desvios padrão de escalas diferentes e concluir que “o maior varia mais”: use o coeficiente de variação.
• Ler a amplitude como dispersão total: ela usa dois dados e ignora o resto.
• Confundir regularidade de crescimento com ausência de dispersão: uma progressão aritmética tem desvio padrão proporcional à razão, nunca zero.
• Achar que todos os dados cabem em $[\bar{x} - \sigma, \bar{x} + \sigma]$: o intervalo contém a parte central (68% numa curva normal; menos ou mais em outras formas), e os extremos ficam fora.
• Aplicar o fator de escala cedo ou desprezar a parte fracionária antes do fim.
• Tratar as linhas de uma tabela de frequências como dados: a frequência multiplica cada quadrado de desvio e o divisor é $\sum f_i$.

O essencial em meia página

• Amplitude: $x_{\max} - x_{\min}$; usa dois dados; sensível a um extremo.
• Desvio: $x_i - \bar{x}$; a soma dos desvios é sempre zero (conferência obrigatória).
• Variância: $\sigma^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \dfrac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$; unidade ao quadrado; zero só se todos os dados são iguais.
• Desvio padrão: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$; unidade dos dados; “distância típica” até a média; nunca negativo. Limiar: compare $\sigma^2$ com o quadrado do limiar.
• Amostral: $s^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}$, só quando o enunciado diz “amostral”; sempre um pouco maior que $\sigma^2$. Dado novo igual à média: $\sigma^2$ fica vezes $\frac{n}{n+1}$; $s^2$, vezes $\frac{n-1}{n}$.
• Constantes: somar $c$ não muda $\sigma$; multiplicar por $k$ multiplica $\sigma$ por $|k|$ e $\sigma^2$ por $k^2$ (troca de unidade, reajuste percentual).
• Regularidade: menor $\sigma$, mais regular (mesma unidade e escala).
• Coeficiente de variação: $CV = \sigma / \bar{x}$, sem unidade, para comparar escalas e unidades diferentes; exige média positiva e zero significativo.
• Dados agrupados: $\sigma^2 = \dfrac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$; a frequência multiplica, o total divide.
• Leitura de gráfico: recorte as barras pedidas, monte a tabela dado–desvio–quadrado; histogramas com barras altas longe do centro têm $\sigma$ maior; $[\bar{x} - \sigma, \bar{x} + \sigma]$ contém a parte central (68% no sino), não tudo.
• Garantia: $\sum (x_i - \bar{x})^2 = n\sigma^2$; nenhum dado se afasta da média mais que $\sigma\sqrt{n}$.
• Na prova: média do recorte, desvios somando zero, quadrados, divisão por $n$, fator de escala por último; “amostral” é a única senha para $n - 1$.