Princípio de Cavalieri

Um pão de forma sai da embalagem como um bloco reto. Empurre as fatias com a mão, uma de cada vez, até o pão ficar curvado como um arco: nenhuma migalha entrou ou saiu, e o miolo é exatamente o mesmo, embora o bloco agora não seja um prisma e não tenha fórmula nenhuma. Agora pense num vaso cuja parede é uma parábola, com água até certa altura. Não existe fórmula de “volume do vaso parabólico” em livro nenhum, e mesmo assim uma prova do PAS pediu esse volume com três algarismos, sem calculadora e sem integral. As duas situações se resolvem com a mesma ideia: um sólido é a pilha das suas fatias, e quem controla as fatias controla o volume.

Essa ideia tem nome, princípio de Cavalieri, e é o assunto desta página: o enunciado exato (com as três exigências que ele faz), por que funciona, a versão com razão constante, o que ele não afirma (que é onde a banca arma os itens de julgamento), as duas consequências que sustentam as fórmulas de outras páginas (prismas e cilindros inclinados valem o mesmo que os retos; pirâmides de mesma base e altura empatam) e as aplicações em que ele rende mais: sólidos de formas diferentes com fatias de mesma área, o recipiente sem fórmula, o sólido torto. A regra base vezes altura e os sólidos retos já estão em Volume de prismas e cilindros; o terço da pirâmide e do cone sai na página seguinte, Volume de pirâmides e cones; a dedução completa do volume da esfera está em Geometria da esfera e aparece aqui só como aplicação. As áreas das figuras que servem de fatia estão em Áreas de figuras planas.

Um sólido é a pilha das suas fatias

Apoie um sólido qualquer sobre a mesa e passe uma lâmina horizontal a uma altura $z$ acima do tampo. A região plana que a lâmina corta dentro do sólido é a seção (ou corte) à altura $z$, e a sua área é um número que depende de $z$: chame-o de $A(z)$. Um cilindro de raio 3 cm apoiado na base tem $A(z) = 9\pi$ em toda altura, porque toda fatia é uma cópia da base. Um cone apoiado na base, com raio 3 cm e altura 6 cm, tem fatias que encolhem: à altura $z$, o raio da fatia é $3(1 - z/6)$ e $A(z) = 9\pi(1 - z/6)^2$, que vale $9\pi$ no chão e zero no vértice. Uma bola de raio 3 cm apoiada num ponto tem fatias que crescem e depois diminuem: $A(z) = \pi(6z - z^2)$, zero nas duas pontas e $9\pi$ no equador, a 3 cm do chão.

A função $A(z)$ é a ficha completa do sólido para efeito de volume. É isso que a página anterior já usou sem dizer o nome: num prisma ou cilindro reto, $A(z)$ é constante e igual à área da base, e o volume é essa área vezes a altura, $V = A_b \cdot h$, porque o sólido é uma pilha de fatias iguais. O passo que esta página dá é perguntar o que acontece quando as fatias não são iguais entre si, mas são iguais às fatias de um outro sólido.

O volume respeita três compromissos que a página anterior já apresentou e que aqui fazem todo o trabalho: não é negativo, não muda quando o sólido é movido e é aditivo, o todo é a soma das partes que não se sobrepõem. É a aditividade que permite pensar o sólido como pilha: o volume do pão é a soma dos volumes das fatias, estejam elas alinhadas ou escorregadas.

O enunciado: mesmos planos, toda seção, áreas iguais

Repare no que o enunciado não pede: não pede que os sólidos tenham a mesma forma, nem que as fatias sejam congruentes, nem que uma fatia esteja em cima da outra. Um sólido cujas fatias são triângulos pode empatar com um sólido cujas fatias são círculos, desde que, altura por altura, as áreas coincidam. Essa liberdade é a razão de existir do princípio: ele compara o sólido estranho, de que não se sabe o volume, com um sólido conhecido.

Exemplo resolvido 1: o prisma e o cilindro que empatam. Um prisma reto tem base triangular com catetos de 6 cm e 8 cm; um cilindro reto tem raio $r$. Os dois têm 10 cm de altura e estão apoiados na mesma mesa. Para que valor de $r$ os dois sólidos têm o mesmo volume, e quanto vale esse volume?

Estratégia: nos dois sólidos toda seção é uma cópia da base, então $A_1(z)$ e $A_2(z)$ são constantes. Basta igualar as áreas das bases.

Resolução: área do triângulo: $\dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ cm². Área do círculo: $\pi r^2$. Igualando, $\pi r^2 = 24$, logo $r = \sqrt{24/\pi} \approx 2{,}76$ cm. Com as seções iguais em toda altura, Cavalieri garante $V_1 = V_2$, e qualquer um dos dois dá o valor: $V = 24 \times 10 = 240$ cm³.

Conferência: pelo cilindro, $\pi r^2 h = 24 \times 10 = 240$ cm³, o mesmo número. Aqui o princípio só confirma o que $V = A_b \cdot h$ já dizia; o interesse está em perceber que ele compara um triângulo com um círculo sem nenhum constrangimento. A forma da fatia não entra.

Por que funciona: a pilha de moedas e o baralho

A justificativa cabe numa imagem. Uma pilha de moedas iguais, bem alinhada, é um cilindro. Empurre a pilha de lado, devagar, até ela ficar inclinada: o sólido mudou de forma, virou um cilindro oblíquo ou algo mais torto, mas as moedas são as mesmas, cada uma com a mesma espessura e a mesma área, e por isso o volume não mudou. Um baralho faz o mesmo: o bloco reto e o bloco escorregado em leque têm exatamente as mesmas cartas. Passe a lâmina em qualquer altura e ela atravessa, numa pilha e na outra, a mesma moeda (ou a mesma carta): áreas iguais fatia a fatia e, por isso, o mesmo volume.

O argumento geral é a mesma imagem com fatias cada vez mais finas. Corte os dois sólidos em $n$ fatias horizontais de espessura $e = h/n$. Cada fatia é quase um prisma fino: a de baixo tem área $A(z)$ e espessura $e$, logo volume aproximadamente $A(z) \cdot e$. O volume do sólido é aproximadamente a soma $A(z_1)\,e + A(z_2)\,e + \cdots + A(z_n)\,e$. Se os dois sólidos têm $A_1(z) = A_2(z)$ em toda altura, as duas somas são formadas por parcelas iguais, uma a uma, e são iguais. Ao fazer as fatias mais finas, o erro da aproximação “fatia é prisma” diminui e desaparece; as somas continuam iguais em cada etapa, e no limite os volumes são iguais. Quem já viu cálculo reconhece aqui uma integral, $V = \int_0^h A(z)\,dz$; quem não viu não precisa: o princípio é exatamente o que permite concluir a igualdade sem calcular nenhuma das duas integrais.

A versão com razão constante

O enunciado admite uma extensão imediata. Se as fatias não são iguais, mas uma é sempre o mesmo múltiplo da outra, os volumes ficam na mesma proporção.

A justificativa é a mesma soma de fatias: cada parcela $A_1(z)\,e$ é $k$ vezes a parcela $A_2(z)\,e$ correspondente, logo a soma inteira é $k$ vezes a outra soma.

Exemplo resolvido 2: o cilindro elíptico. Um tubo tem seção em forma de elipse com semieixos $a = 3$ cm e $b = 5$ cm, e 10 cm de comprimento, com as seções todas paralelas e iguais. Qual é o volume do tubo? (A área da elipse de semieixos $a$ e $b$ é $\pi a b$.)

Estratégia: comparar com um cilindro circular de raio 3 cm e mesma altura. A elipse tem área $\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$; o círculo de raio 3 tem área $9\pi$. A razão é $k = 15\pi / 9\pi = 5/3$, a mesma em toda altura.

Resolução: volume do cilindro circular, $9\pi \times 10 = 90\pi$ cm³. Pela razão constante, $V_{\text{tubo}} = \dfrac{5}{3} \times 90\pi = 150\pi \approx 471$ cm³.

Conferência: diretamente, o tubo é um prisma de base elíptica, $V = A_b \cdot h = 15\pi \times 10 = 150\pi$ cm³. Confere. A versão com razão constante é o que dá sentido a frases como “o sólido B tem fatias com o dobro da área das de A, logo tem o dobro do volume”, desde que o “dobro” valha em toda altura.

O que o princípio não diz

A maior parte dos itens de julgamento sobre Cavalieri não pede conta nenhuma: pede saber onde o enunciado termina. Há três limites que convém guardar com um contraexemplo cada.

Uma altura não basta, nem várias. Um cone e um cilindro apoiados na mesma mesa, com bases de mesmo raio $r$ e a mesma altura $h$, têm seções iguais no chão ($\pi r^2$ nos dois). Isso não os torna iguais em volume: a seção do cone encolhe até zero, a do cilindro não, e o cone fica com um terço do cilindro. Conferir a igualdade das áreas em uma altura, ou em duas, ou em dez, não é conferir “toda altura”. Para aplicar o princípio é preciso uma expressão de $A(z)$ válida para todo $z$, ou uma propriedade geométrica que garanta a igualdade em todas as alturas (como “toda seção é uma cópia da base”).

Sentido único: volumes iguais não dizem nada sobre as fatias. O enunciado vai das seções para o volume, nunca o contrário. Dois sólidos entre os mesmos planos podem ter exatamente o mesmo volume com fatias diferentes em toda altura, um compensando no alto o que o outro tem embaixo. O contraexemplo mais limpo usa um cilindro e um cone: um cilindro de raio 2 e altura 3 tem volume $\pi \cdot 4 \cdot 3 = 12\pi$; um cone apoiado na base, de altura 3 e raio $\sqrt{12}$, tem volume $\frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 3 = 12\pi$ também. Mesmos planos, mesmo volume. Mas no chão as seções têm áreas $4\pi$ e $12\pi$, no alto $4\pi$ e $0$: não há altura em que elas coincidam, exceto uma, no meio do caminho. Foi exatamente esse o item do PAS 2 de 2018: dois troncos de mesmo volume, um cilíndrico e um tortuoso, e a afirmação de que, “de acordo com o princípio de Cavalieri”, um plano paralelo às bases determinaria neles dois círculos de áreas necessariamente iguais. Errado duas vezes: o princípio não tem recíproca, e nada obriga o corte do tronco tortuoso a ser sequer um círculo.

O princípio fala de volume, não de área de superfície. Inclinar um prisma conserva o volume e aumenta a área lateral, porque as faces laterais ficam mais compridas. Um prisma reto de base quadrada com lado 2 e altura 4 tem quatro faces laterais de $2 \times 4 = 8$: lateral 32, volume 16. Empurre o topo numa direção paralela a duas das faces até a aresta lateral medir 5 (a altura perpendicular continua 4): duas faces viram paralelogramos de base 2 e altura 4, área 8 cada, e as outras duas viram retângulos de $2 \times 5 = 10$. Lateral 36, volume ainda 16. Volumes iguais, superfícies diferentes, e nada no princípio diz o contrário, porque ele nunca falou de superfície.

Consequência 1: inclinar o prisma ou o cilindro não muda o volume

Pegue um prisma reto e um prisma oblíquo com bases congruentes apoiadas no mesmo plano e a mesma altura perpendicular $h$. No prisma reto, toda seção paralela à base é uma cópia da base. No oblíquo, também: as arestas laterais são paralelas entre si, e cortar o sólido por um plano paralelo à base produz um polígono que é a base transladada na direção das arestas, com a mesma área. Então $A_1(z) = A_2(z) = A_b$ em toda altura, e Cavalieri conclui que os volumes são iguais. Como o reto tem $V = A_b \cdot h$, o oblíquo também tem. O mesmo raciocínio serve para o cilindro oblíquo, cujas seções paralelas à base são círculos congruentes à base. Esta é a razão de a fórmula da página anterior valer “tortos ou em pé”, e é a única coisa que o princípio tem a dizer sobre prismas e cilindros: aqui ele confirma uma fórmula, não cria nenhuma.

Exemplo resolvido 3: o cilindro tombado. Um cilindro oblíquo tem base circular de raio 5 cm e geratriz (aresta lateral) de 13 cm; o deslocamento horizontal entre o centro da base de cima e o centro da base de baixo é 5 cm. Qual é o volume? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: achar a altura perpendicular pelo triângulo retângulo formado pela geratriz, pelo deslocamento horizontal e pela altura; depois comparar com o cilindro reto de mesma base e altura.

Resolução: $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$, logo $h = 12$ cm. Por Cavalieri, o cilindro oblíquo tem o volume do cilindro reto de raio 5 e altura 12: $V = 3{,}14 \times 25 \times 12 = 942$ cm³.

Conferência: quem usa a geratriz como altura obtém $3{,}14 \times 25 \times 13 = 1\,020{,}5$ cm³, 8 % a mais, e é a conta que a alternativa errada costuma trazer. O triângulo 5-12-13 é a assinatura do enunciado: um item de vestibular que dá a geratriz e um ângulo com a base (60°, por exemplo) está pedindo $h = g \cdot \operatorname{sen} 60°$ antes de qualquer fórmula.

Consequência 2: pirâmides de mesma base e mesma altura têm o mesmo volume

Agora um caso em que as seções mudam com a altura, mas mudam da mesma maneira nos dois sólidos. Numa pirâmide de base de área $A_b$ e altura $h$, com o vértice em cima, a seção a uma distância $d$ do vértice é uma figura semelhante à base, na razão $d/h$ (o plano de corte faz uma “pirâmide pequena” semelhante à grande). Áreas de figuras semelhantes ficam na razão quadrada, então

$$A(d) = A_b \left(\frac{d}{h}\right)^2.$$

Isso vale para qualquer pirâmide, qualquer base, vértice em qualquer posição (reta ou oblíqua), e para o cone, que é a pirâmide de base circular. Tome então duas pirâmides, ou uma pirâmide e um cone, apoiadas no mesmo plano, com bases de mesma área $A_b$ e a mesma altura $h$. À mesma distância $d$ do plano dos vértices, as seções têm a mesma área $A_b (d/h)^2$. Cavalieri conclui: mesmo volume. Em uma frase, o volume de uma pirâmide depende só da área da base e da altura, não do formato da base nem de onde está o vértice.

É essa consequência que faz o trabalho pesado na página seguinte: um prisma triangular se decompõe em três pirâmides que, duas a duas, têm bases de mesma área e mesma altura, logo o mesmo volume; cada uma vale um terço do prisma, e daí sai $V = \frac{1}{3} A_b \cdot h$. Aqui fica só a ponte: o terço não é um axioma, é Cavalieri aplicado três vezes.

Exemplo resolvido 4: a pirâmide, o cone e o vértice deslocado. Uma pirâmide de base quadrada com 6 cm de lado e um cone de raio $r$ têm a mesma altura, 9 cm, e estão apoiados na mesma mesa. (a) Para que valor de $r$ os dois têm o mesmo volume? (b) Se o vértice da pirâmide for deslocado horizontalmente em 4 cm, mantida a altura, o volume muda?

Estratégia: (a) igualar as áreas das bases; com isso as seções coincidem em toda altura e o princípio iguala os volumes. (b) Pirâmide oblíqua: seções continuam semelhantes à base pela mesma razão.

Resolução: (a) $\pi r^2 = 36$, $r = 6/\sqrt{\pi} \approx 3{,}39$ cm. A partir daí, à distância $d$ do vértice, as duas seções têm área $36 (d/9)^2$, e os volumes são iguais. (b) Não muda: a pirâmide oblíqua tem, à mesma distância do vértice, um quadrado semelhante ao da base na mesma razão $d/9$, logo a mesma área da seção da pirâmide reta. Mesmo volume.

Conferência: com a fórmula da próxima página, $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = 108$ cm³ para os três sólidos. Repare que a igualdade dos volumes foi decidida antes de qualquer fórmula, só pelas seções; a fórmula entrou apenas para pôr um número.

Formas diferentes, mesma área: o que o princípio realmente compara

As duas consequências acima ainda tratam de sólidos “da mesma família”. O uso mais interessante é comparar sólidos sem parentesco nenhum, cujas fatias têm formas diferentes mas a mesma área. Um triângulo de base 8 e altura 6, um retângulo de 4 por 6 e um círculo de raio $\sqrt{24/\pi}$ têm, os três, área 24 (e uma coroa circular de raios 5 e 1 tem a mesma área, $24\pi$, de um círculo de raio $\sqrt{24}$): um sólido feito de triângulos de 24, outro feito de retângulos de 24 e outro feito de círculos de 24, todos com altura 10, têm todos o volume 240, e as fatias podem até girar em torno do eixo enquanto sobem (um “prisma torcido” tem o volume do prisma reto, porque a área da seção não muda ao girar).

Quando o sólido não tem nome, a informação que o enunciado dá é a lei $A(z)$. A pergunta passa a ser: existe um sólido conhecido com a mesma $A(z)$? Dois atalhos resolvem a maioria dos casos de prova.

Exemplo resolvido 5: o vaso de seção crescente. Um vaso de cerâmica tem 8 cm de altura e, em cada altura $z$ (em cm), a sua seção horizontal interna é uma figura de área $A(z) = 10 + 3z$ cm². Quanta água cabe no vaso?

Estratégia: $A(z)$ é afim; comparar com a cunha de mesmas áreas nas extremidades.

Resolução: $A(0) = 10$ cm² e $A(8) = 10 + 24 = 34$ cm². $V = 8 \times \dfrac{10 + 34}{2} = 8 \times 22 = 176$ cm³, ou 176 mL.

Conferência: construa a cunha: um prisma deitado de comprimento $L = 2$ cm cuja seção à altura $z$ é um retângulo $2 \times w(z)$, com $w(0) = 5$ e $w(8) = 17$ (largura que cresce em linha reta). A base desse prisma é o trapézio vertical de bases 5 e 17 e altura 8, área $\dfrac{(5 + 17) \times 8}{2} = 88$ cm², e o volume é $88 \times 2 = 176$ cm³. Em toda altura a cunha tem a mesma área de seção que o vaso ($2 \times w(z) = 10 + 3z$), então Cavalieri garante que o vaso guarda os mesmos 176 mL. A forma do vaso nunca foi descrita, e não precisava.

Aplicação: a esfera sai de um cilindro menos um cone

A aplicação mais célebre do princípio deduz o volume da esfera sem nenhuma integral, e vale conhecê-la em esboço, porque ela reúne tudo o que esta página ensinou: dois sólidos sem parentesco, seções de formas diferentes (um círculo e uma coroa) com a mesma área em toda altura.

Apoie uma semiesfera de raio $R$ na mesa, pelo lado plano. Ao lado, um cilindro de raio $R$ e altura $R$, de cujo interior se tirou um cone com a ponta no centro da base de baixo e a boca igual à tampa de cima. À altura $z$, a seção da semiesfera é um círculo de raio $\sqrt{R^2 - z^2}$ (teorema de Pitágoras no triângulo centro-borda-altura), área $\pi(R^2 - z^2)$. A seção do cilindro furado é uma coroa: o círculo de raio $R$ menos o círculo do cone, que à altura $z$ tem raio $z$ (o cone tem raio igual à altura). Área $\pi R^2 - \pi z^2$. Iguais em toda altura. Então

$$V_{\text{semiesfera}} = V_{\text{cilindro}} - V_{\text{cone}} = \pi R^3 - \frac{\pi R^3}{3} = \frac{2\pi R^3}{3},$$

e a bola completa tem o dobro, $\frac{4}{3}\pi R^3$. Lidos juntos, cilindro, semiesfera e cone de mesma base e mesma altura $R$ ficam na razão $3 : 2 : 1$. A figura dessa comparação, a segunda demonstração (por pirâmides) e tudo o que envolve a esfera estão em Geometria da esfera; o $\frac{1}{3}$ do cone que a conta usou é o assunto de Volume de pirâmides e cones.

Exemplo resolvido 6: a coroa que vale um círculo. Na comparação acima, com $R = 5$ cm, qual é a área da seção dos dois sólidos à altura $z = 3$ cm, e em que altura a coroa tem a metade da área da base?

Estratégia: aplicar as duas expressões de área e igualá-las a $\frac{1}{2}\pi R^2$.

Resolução: semiesfera: $\pi(25 - 9) = 16\pi$ cm², um círculo de raio 4. Cilindro furado: $\pi \cdot 25 - \pi \cdot 9 = 16\pi$ cm², uma coroa de raios 5 e 3. Iguais, como o princípio exige. Metade da base: $\pi(25 - z^2) = \dfrac{25\pi}{2} \Rightarrow z^2 = 12{,}5 \Rightarrow z \approx 3{,}54$ cm.

Conferência: o círculo de raio 4 e a coroa de raios 5 e 3 não se parecem, e têm a mesma área, $16\pi \approx 50{,}3$ cm². É exatamente o tipo de igualdade “de forma diferente” que faz o princípio render; se o leitor esperava que as seções tivessem de ser congruentes, este é o exemplo para desfazer a expectativa.

Aplicação: o recipiente sem fórmula e o truque do sólido invertido

O uso mais rentável do princípio na prova é calcular o volume de um sólido que não está na lista de fórmulas, a partir da lei da área da seção. O caso que a banca escolheu, em 2020, foi um recipiente com a forma de uma parábola girada: a curva $y = x^2$ (em metros), rodada em torno do eixo vertical, com água até a altura $\frac{1}{4}$ m. Dois caminhos resolvem, e os dois valem a pena.

O caminho da área da seção. À altura $z$ (a coordenada $y$), a borda da água está nos pontos em que $x^2 = z$, ou seja, a seção é um círculo de raio $\sqrt{z}$ e área

$$A(z) = \pi \left(\sqrt{z}\right)^2 = \pi z.$$

A área cresce em linha reta com a altura: $A(z)$ é afim, com $A(0) = 0$ e $A(1/4) = \pi/4$ m². Pelo atalho da cunha,

$$V = \frac{1}{4} \cdot \frac{0 + \pi/4}{2} = \frac{\pi}{32}\ \text{m}^3 \approx 0{,}0981\ \text{m}^3 = 98{,}1\ \text{dm}^3.$$

O caminho do sólido invertido, que foi o que a prova montou. Coloque, ao lado do sólido de água (sólido I), uma cópia dele de ponta-cabeça (sólido II): a seção de II à altura $z$ é a seção de I à altura $\frac{1}{4} - z$, com área $\pi\left(\frac{1}{4} - z\right)$. Some as duas áreas na mesma altura:

$$\pi z + \pi\left(\tfrac{1}{4} - z\right) = \frac{\pi}{4},$$

constante, independente de $z$. Então I e II, lado a lado, têm em toda altura a mesma área total que um cilindro de área da base $\frac{\pi}{4}$, isto é, de raio $\frac{1}{2}$ m, e altura $\frac{1}{4}$ m (sólido III). Cavalieri: $V_{\text{I}} + V_{\text{II}} = V_{\text{III}} = \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{16}$ m³. Como I e II são iguais, cada um tem $\frac{\pi}{32}$ m³, o mesmo número do primeiro caminho. Com $\pi = 3{,}14$, $\frac{3{,}14}{32} = 0{,}098125$ m³, e em decímetros cúbicos, $98{,}125$: o tipo B pedia a parte inteira, 098.

O truque do sólido invertido funciona sempre que $A(z) + A(h - z)$ for constante, o que acontece sempre que $A(z)$ é afim (fora desse caso, só quando a lei de $A$ é simétrica em relação à altura média, situação que a prova não explora); é a versão geométrica do atalho da cunha. A banca não exige que o aluno invente o truque: ela o desenha no enunciado, com os sólidos I, II e III e os cortes a $H$ e a $h - H$, e pergunta pelos passos (a área do corte, a soma independente de $H$, o volume do cilindro, o volume da água). O trabalho do aluno é reconhecer cada passo e não se perder na notação.

Exemplo resolvido 7: um vaso cônico pelo mesmo emparelhamento. Um vaso tem a forma de um cone de ponta-cabeça (vértice no chão) com 12 cm de altura e boca de raio 6 cm, e está cheio. Obtenha o volume pelo emparelhamento com o vaso invertido, sem usar a fórmula do cone.

Estratégia: achar $A(z)$, conferir que o emparelhamento dá soma constante ou, se não der, perceber por quê.

Resolução: à altura $z$, o raio da seção é $z/2$ (semelhança: 6 cm de raio a 12 cm de altura), e $A(z) = \pi z^2/4$. A seção do vaso invertido à altura $z$ tem área $\pi(12 - z)^2/4$. A soma, $\dfrac{\pi}{4}\left[z^2 + (12 - z)^2\right]$, não é constante (vale $36\pi$ nas pontas e $18\pi$ no meio). O truque do invertido não fecha, porque $A(z)$ é quadrática, não afim. O que fecha é outra comparação: a pirâmide de mesma base e altura (Consequência 2) e, com ela, o terço da página seguinte: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 12 = 144\pi$ cm³.

Conferência: o atalho da cunha, que só é exato para $A(z)$ afim, daria $12 \times \dfrac{0 + 36\pi}{2} = 216\pi$, 50 % a mais: a média das áreas das pontas superestima um sólido cujas seções crescem com o quadrado. O exemplo existe para mostrar o limite do emparelhamento: ele depende da lei de $A(z)$, e a lei do recipiente parabólico ($\pi z$) era afim porque a parábola é $y = x^2$, isto é, $x^2 = y$. Quem trocasse o recipiente por um cone perderia o emparelhamento.

Aplicação: sólidos tortos, cortados e comparados por partes

O outro figurino da banca é o sólido deformado: um tronco de árvore tortuoso e um cilíndrico, “entre os mesmos planos” e com o mesmo volume, cortados por um plano horizontal e comparados pedaço a pedaço. Aqui o princípio entra pelas condições, e a conta é de aditividade.

Exemplo resolvido 8: os dois troncos cortados. Dois troncos de árvore estão apoiados num mesmo plano e têm as bases superiores num mesmo plano paralelo, a 30 cm de altura; o tronco A é um cilindro, o tronco B é tortuoso, e os dois têm o mesmo volume. Um plano horizontal a 10 cm do chão corta os dois. A parte de baixo de B tem 1 200 cm³, e a soma das partes de baixo dos dois troncos é 2 000 cm³. Qual é o volume de cada tronco, e qual é o volume da parte de cima de B?

Estratégia: no cilindro, a parte de baixo é um terço do volume (10 cm de 30, seções constantes). Em B não se sabe nada sobre as fatias (volume igual não dá seções iguais), e por isso a parte de baixo de B tem de ser dada. Aditividade fecha o resto.

Resolução: parte de baixo de A: $2\,000 - 1\,200 = 800$ cm³. Como A é um cilindro, $800 = V/3$, logo $V = 2\,400$ cm³ para cada tronco. Parte de cima de B: $2\,400 - 1\,200 = 1\,200$ cm³.

Conferência: A tem $800 + 1\,600 = 2\,400$ cm³; B tem $1\,200 + 1\,200 = 2\,400$ cm³. Mesmo volume, partes diferentes: B é mais “gordo” embaixo e mais fino em cima do que A, e nenhuma seção precisa coincidir. Repare que a conta só foi possível porque A é um cilindro (fatias iguais, fração da altura = fração do volume); para B essa regra não vale, e o item que a aplicasse a B estaria errado.

O item de 2018 do PAS 2 pediu exatamente esse tipo de conta, no formato tipo C: a soma das metades inferiores dos cortes I (cilíndrico) e II (tortuoso) era 7 500 cm³, e a metade superior de I valia o dobro da metade superior de II. Com $V$ o volume comum, a metade superior de I é $V/2$ (cilindro), a de II é $V/4$, e a aditividade dá $2V = 7\,500 + V/2 + V/4$, de onde $V = 6\,000$ cm³, entre 5 000 e 7 500.

Leia como na prova: planos, cortes e rótulos na figura

Os itens de Cavalieri chegam com figura, e a figura traz a metade das informações. Quatro coisas para ler antes de resolver.

Os planos. O texto diz “as bases inferiores podem ser colocadas em um mesmo plano, o mesmo ocorre com as bases superiores, e os dois planos são paralelos”: é a exigência 1 do princípio, “entre os mesmos planos”, e ela está ali para que o aluno saiba que as alturas são iguais. Sem essa frase, dois sólidos de mesmo volume poderiam ter alturas diferentes e nada do que se segue teria sentido.

O que a figura garante e o que não garante. Um tronco desenhado como cilindro é um cilindro: seções constantes, fração da altura igual a fração do volume. Um tronco desenhado “tortuoso”, com o contorno ondulado, não garante nada sobre as suas seções, nem que sejam círculos. Um recipiente “gerado pela rotação de $y = x^2$” garante que toda seção horizontal é um círculo, com raio $\sqrt{y}$.

Os rótulos de altura. No bloco de 2020, os sólidos I e II traziam dois cortes, a $H$ e a $\frac{1}{4} - H$, com a legenda de que o corte escuro de I tem a mesma altura do corte claro de II “e vice-versa”, e a figura escrevia, na escala horizontal, $\sqrt{H}$ e $\sqrt{1/4 - H}$ como os raios. Tudo isso é o emparelhamento do sólido invertido já montado: a prova fornece a construção pronta e pede que o aluno a execute. A condição $0 < H < \frac{1}{8}$ só garante que o corte escuro fica abaixo do claro; não entra em conta nenhuma.

A unidade do tipo B. “Calcule, em dm³”: o volume sai em m³ ($\pi/32$) e precisa ser multiplicado por 1 000. Quem marca 098 acertou; quem marca 000 (parte inteira de 0,098 m³) ou 981 (um fator de dez a mais na conversão) errou na unidade, não na geometria.

Como a banca pergunta

• Julgar uma frase sobre o enunciado. “De acordo com o princípio de Cavalieri, um plano paralelo às bases determinará dois círculos de áreas necessariamente iguais”, dito de dois troncos de mesmo volume (item do PAS 2 de 2018; errado, o princípio não tem recíproca). As variantes autorais seguem o mesmo molde: “só se aplica a sólidos de mesma forma” (errado), “exige seções congruentes” (errado), “basta que as bases tenham a mesma área” (errado), “vale para prismas oblíquos” (certo).
• Calcular a área de uma seção dada a lei do sólido. “No sólido I, a área do corte à altura $H$ é $\pi H$ m²” (PAS 2 de 2020; certo, porque $x^2 = H$ dá raio $\sqrt{H}$).
• Verificar a soma constante do emparelhamento. “A soma das áreas dos cortes de I e II à mesma altura $H$ independe de $H$” (2020; certo, $\pi/4$).
• Volume do sólido auxiliar (tipo C). “O volume do sólido III é igual a” $\pi/8$, $\pi/12$, $\pi/16$ ou $\pi/48$ (2020; $\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \pi/16$).
• Volume por comparação, resposta numérica (tipo B). “Considerando o princípio de Cavalieri, calcule, em dm³, o volume de água” (2020; 098).
• Aditividade com um sólido torto (tipo C). As metades dos cortes I e II, com o volume comum a determinar e faixas de resposta (2018; 6 000 cm³).
• Cilindro ou prisma oblíquo (vestibulares). Volume com a geratriz e um ângulo dados (URCA 2022: raio 4, geratriz 12 a 60°, $96\sqrt{3}\pi$ cm³) ou a diferença entre um cilindro reto e um oblíquo de mesma geratriz (FAESA 2024).

Os erros que a banca planta

• Usar o princípio ao contrário. Volumes iguais não dão seções iguais. É o erro do item de 2018 e o mais cobrado.
• Conferir uma altura e generalizar. Bases de mesma área não bastam: cone e cilindro de mesma base e altura têm volumes na razão 1 : 3.
• Exigir a mesma forma. O princípio serve justamente para formas diferentes; um círculo e uma coroa de mesma área empatam.
• Esquecer “entre os mesmos planos”. Seções iguais só se comparam à mesma altura, em sólidos de mesma altura.
• Aplicar o princípio à área de superfície. Inclinar conserva o volume e aumenta a lateral.
• Aresta inclinada como altura. No cilindro ou prisma oblíquo, $h$ é a distância perpendicular entre as bases; a geratriz dá $h$ por um triângulo retângulo ($h = g \cdot \operatorname{sen}\theta$).
• Usar a fração da altura como fração do volume num sólido torto. Só vale com seções constantes (cilindro, prisma). O tronco tortuoso precisa que o volume da parte seja dado.
• Esperar que o emparelhamento com o invertido sempre feche. A soma $A(z) + A(h - z)$ é constante quando $A(z)$ é afim; para o cone ($A$ quadrática) não fecha.
• Achar que o princípio vale só para sólidos tortos. Ele vale para quaisquer dois sólidos; os retos são o caso em que ele coincide com $V = A_b \cdot h$.
• Errar a unidade no tipo B. $\pi/32$ m³ são 98 dm³, não 0,098 nem 981.

O essencial em meia página

• Seção à altura $z$: corte por um plano paralelo ao de referência; $A(z)$ é a sua área. Um sólido é a pilha das suas seções; volume é aditivo.
• Princípio de Cavalieri: dois sólidos entre os mesmos planos paralelos; se $A_1(z) = A_2(z)$ para todo $z$, então $V_1 = V_2$. Forma, posição e contorno das seções são livres; só a área conta.
• Razão constante: $A_1(z) = k \cdot A_2(z)$ em toda altura $\Rightarrow V_1 = k \cdot V_2$.
• Por que vale: pilha de moedas reta e torta, baralho em leque; fatias finas de mesma área e espessura somam o mesmo.
• Não diz: uma altura (ou a base) não basta; não tem recíproca (volumes iguais $\not\Rightarrow$ seções iguais); não fala de área de superfície.
• Consequências: prisma/cilindro oblíquo = reto de mesma base e altura ($V = A_b h$, $h$ perpendicular); pirâmides e cones de bases de mesma área e mesma altura têm o mesmo volume (seções $A_b (d/h)^2$); daí sai o $\frac{1}{3}$ na página seguinte.
• Sólido sem fórmula: $A(z)$ constante $\Rightarrow V = A h$; $A(z)$ afim $\Rightarrow V = h \cdot \frac{A(0) + A(h)}{2}$ (cunha); emparelhar com o invertido só fecha quando $A(z) + A(h - z)$ é constante.
• Esfera: semiesfera = cilindro − cone (seções $\pi(R^2 - z^2)$ nos dois) $\Rightarrow \frac{2}{3}\pi R^3$; cilindro : semiesfera : cone = 3 : 2 : 1.
• Recipiente parabólico ($y = x^2$, água até $\frac{1}{4}$ m): $A(z) = \pi z$; I + II = cilindro de raio $\frac{1}{2}$ e altura $\frac{1}{4}$ ($\pi/16$); água $= \pi/32$ m³ $\approx 98$ dm³.
• Na prova: leia os planos, o que a figura garante (cilindro sim, tortuoso não), os rótulos $H$ e $h - H$; conta de aditividade por partes; unidade do tipo B.