Geometria da esfera

Pegue uma bola de basquete, que tem 24 cm de diâmetro. Duas perguntas práticas: quanta borracha reveste a casca, e quanto ar cabe dentro? A primeira mede uma superfície e a segunda mede um sólido, e os dois números saem de fórmulas que não precisam de nenhuma planificação, porque a casca de uma bola não se abre sobre a mesa como a de uma lata. Troque a bola pela Terra, que tem 6 371 km de raio, e as perguntas mudam de tamanho sem mudar de natureza: que comprimento tem o paralelo que passa por Brasília, quantos quilômetros valem um grau de latitude, por que a rota de um voo para Lisboa aparece no mapa como uma curva que sobe para o norte, e por que a Groenlândia, com 2,2 milhões de km², ocupa no mapa da parede quase o mesmo espaço que a África, com 30 milhões.

Esta página é a da esfera por inteiro: o que ela é, que figura um plano recorta nela, como se mede um gomo, de onde vêm a área $4\pi R^2$ e o volume $\frac{4}{3}\pi R^3$, como ela se encaixa num cubo e num cilindro, e o que acontece quando a esfera é a Terra, com meridianos, paralelos, fusos horários, a sombra de Eratóstenes e os mapas que sempre mentem um pouco. Os outros sólidos, com as suas seções, planificações e áreas, estão em Geometria espacial; a medida de arcos em radianos, que vai aparecer o tempo todo, está em Ciclo trigonométrico; os volumes dos prismas, cilindros, pirâmides e cones, que servem de comparação aqui, têm as suas páginas em Volume de prismas e cilindros e Volume de pirâmides e cones.

Uma bola e a sua casca não são a mesma coisa

Fixe um ponto $O$ do espaço e um comprimento $R$. Os pontos que estão exatamente a $R$ de $O$ formam a superfície esférica: a casca, sem espessura, de centro $O$ e raio $R$. Os pontos que estão a uma distância menor ou igual a $R$ formam a esfera (ou bola), o sólido maciço. A linguagem escolar costuma chamar as duas de “esfera” e deixar o contexto decidir; a prova, não: “superfície da esfera” ou “casca” é a primeira, com área; “volume da esfera” é a segunda. Um item que pergunta pela área quer a casca; um item que pergunta por volume quer a bola.

Nada disso tem aresta, vértice ou face: a esfera não é um poliedro, e a sua superfície não é feita de pedaços planos. É também a única superfície dos sólidos de ensino médio que não se planifica: não existe recorte plano que, dobrado ou enrolado sem esticar, feche uma esfera. A casca de uma laranja descascada numa peça só se parte ou se amassa quando é posta sobre a mesa. Esse fato, que parece uma curiosidade de cozinha, é o que obriga as fórmulas de área a vir por outro caminho e o que condena todos os mapas, no fim da página.

Todo corte de uma esfera é um círculo

Corte uma esfera por um plano. Qualquer plano, em qualquer inclinação. A figura da seção é sempre um círculo, e o raio dele depende apenas de uma coisa: a distância $d$ do plano ao centro. A razão é um triângulo retângulo. Chame de $M$ o pé da perpendicular baixada do centro $O$ ao plano, e de $P$ um ponto qualquer da curva de corte. O segmento $OP$ é um raio da esfera, mede $R$; o segmento $OM$ mede $d$ e é perpendicular ao plano, logo perpendicular a $MP$. Pelo teorema de Pitágoras, $MP^2 = R^2 - d^2$, um valor que não depende de qual $P$ foi escolhido. Todos os pontos da seção estão à mesma distância de $M$: isso é um círculo de centro $M$ e raio $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Exemplo resolvido 1: o raio de uma seção. Uma esfera maciça de 10 cm de raio é serrada por um plano que passa a 6 cm do centro. Qual é a área da face do corte?

Estratégia: o corte é um círculo; o raio sai de $r^2 = R^2 - d^2$; a área, de $\pi r^2$.

Resolução: $r^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$, logo $r = 8$ cm. Área da face: $\pi \times 8^2 = 64\pi \approx 201$ cm².

Conferência: o triângulo $6, 8, 10$ é o triângulo $3, 4, 5$ dobrado, e a face de corte ($64\pi$) é menor que o círculo máximo ($100\pi$), como tem de ser para todo plano fora do centro. Se o item pedisse o corte a 8 cm do centro, a resposta seria $r = 6$ e área $36\pi$: a mesma tríade, com os catetos trocados.

A relação funciona nos três sentidos. Dados $R$ e $r$, a distância do plano é $d = \sqrt{R^2 - r^2}$; dados $d$ e $r$, o raio da esfera é $R = \sqrt{r^2 + d^2}$. Esse último uso é o de uma oficina que mede uma peça esférica quebrada: a borda da calota que sobrou é um círculo de raio $r$, a profundidade é conhecida, e $R$ sai de Pitágoras. Também é o que resolve uma esfera que cabe dentro de um cilindro, mais adiante.

Numa esfera há mais duas famílias de regiões que valem uma menção, porque aparecem em itens de vestibular com a fórmula fornecida. A calota esférica é o pedaço da superfície que um plano separa de um lado (a tampa de uma laranja cortada), e a zona esférica é a faixa entre dois planos paralelos; a área das duas é $2\pi R h$, em que $h$ é a altura da faixa medida ao longo do eixo perpendicular aos planos. O segmento esférico é o sólido correspondente à calota. Quando um item usa esses nomes, ele traz a fórmula no enunciado; o que ele cobra é a leitura de $h$ e de $R$, em geral com a relação $r^2 = R^2 - d^2$ no meio.

Fatias de laranja: fuso e cunha

Abra uma laranja em gomos. Cada gomo é limitado por dois semiplanos que saem do mesmo eixo (o eixo que liga os dois “polos” da fruta), e a casca de cada gomo é uma região da superfície esférica com a forma de um olho alongado. Essa casca é um fuso esférico; o gomo inteiro, casca e polpa, é uma cunha esférica. O que decide o tamanho dos dois é o ângulo $\alpha$ entre os dois semiplanos, medido no eixo: uma laranja partida em 8 gomos iguais tem gomos de $360° \div 8 = 45°$.

Exemplo resolvido 2: o gomo da laranja. Uma laranja com 9 cm de diâmetro é repartida em 12 gomos iguais. Com $\pi \approx 3{,}14$, quanto mede a casca de um gomo, e que volume tem o gomo?

Estratégia: raio $4{,}5$ cm; cada gomo é $\frac{1}{12}$ da esfera; calcule a esfera inteira e divida.

Resolução: casca inteira $4\pi R^2 = 4 \times 3{,}14 \times 20{,}25 = 254{,}3$ cm²; um gomo tem $21{,}2$ cm² de casca. Volume inteiro $\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\times 3{,}14 \times 91{,}1 \approx 381{,}5$ cm³; um gomo tem $31{,}8$ cm³.

Conferência: o ângulo do gomo é $30°$, e $\frac{30}{360} = \frac{1}{12}$, a fração usada. Se a mesma laranja fosse partida em 8 gomos de $45°$, cada um teria $31{,}8$ cm² de casca e $47{,}7$ cm³ de polpa: gomo maior, mesma esfera.

O fuso e a cunha são o jeito mais limpo de a prova cobrar as duas fórmulas da esfera ao mesmo tempo, e o erro clássico é aplicar a fração a só uma delas, ou confundir o ângulo do gomo (medido no eixo) com o ângulo central de um arco (medido num círculo máximo). O gomo tem ângulo entre planos; o arco tem ângulo entre raios. Os dois usam frações da volta, mas de voltas diferentes: uma em torno do eixo, outra ao longo de uma circunferência.

Arquimedes e a lata que abraça a bola

Como a casca não se desenrola, a área da esfera não pode vir de uma planificação. Ela veio, no século III a.C., de uma comparação que Arquimedes considerou a mais bela do seu trabalho, a ponto de pedir que fosse gravada no seu túmulo: uma esfera e o cilindro que a envolve com justeza. Tome a esfera de raio $R$ e a lata mais apertada em que ela cabe: um cilindro de raio $R$ e altura $2R$, tangente à esfera no equador e nas duas tampas. A superfície lateral dessa lata é um retângulo desenrolado de base $2\pi R$ e altura $2R$, com área $4\pi R^2$. O resultado de Arquimedes é que a casca da esfera tem exatamente a área da lateral da lata: cada faixa horizontal da esfera, por mais estreita que seja, tem a mesma área que a faixa da lata à mesma altura, porque o que a esfera perde em raio ela ganha em inclinação, na mesma proporção.

Volte à bola de basquete da abertura: raio 12 cm, casca $4\pi \times 144 = 576\pi \approx 1\,810$ cm², quase três folhas de papel A4 (624 cm² cada) de borracha. A bola de futebol de salão, com 10 cm de raio, tem $400\pi \approx 1\,257$ cm²; uma bolinha de pingue-pongue, com 2 cm de raio, $16\pi \approx 50$ cm². De uma para a outra, o raio cai 6 vezes e a área cai 36.

Exemplo resolvido 3: a cúpula. Um observatório tem uma cúpula semiesférica de 5 m de raio que vai receber pintura refletiva por fora. Cada lata de tinta cobre 20 m². Quantas latas são necessárias, com $\pi \approx 3{,}14$?

Estratégia: casca de hemisfério, $2\pi R^2$; só a casca, porque o círculo de baixo é o chão do observatório.

Resolução: $2 \times 3{,}14 \times 25 = 157$ m². Dividindo por 20: $7{,}85$, logo 8 latas.

Conferência: a esfera inteira de 5 m teria 314 m² de casca, o dobro, e uma lata circunscrita teria lateral de 314 m² também. Quem esquece o “semi” compra 16 latas; quem usa $\pi R^2$ compra 4 e fica sem tinta pela metade.

O volume sem integral: Cavalieri e as pirâmides

A fórmula do volume também é de Arquimedes, e também tem uma demonstração que cabe numa página. Há duas, na verdade, e as duas valem a pena, porque cada uma ensina uma coisa diferente.

Primeira demonstração: a semiesfera é um cilindro menos um cone. Ponha uma semiesfera de raio $R$ sobre a mesa, com a face plana para baixo. Ao lado, um cilindro de mesmo raio $R$ e de altura também $R$, de cujo interior se retirou um cone invertido, com a ponta no centro da base do cilindro e a boca na tampa de cima. Corte os dois sólidos por um plano horizontal a uma altura $h$ qualquer. Na semiesfera, a seção é um círculo de raio $\sqrt{R^2 - h^2}$ (é a relação da seção, com $d = h$), de área $\pi(R^2 - h^2)$. No cilindro furado, a seção é uma coroa circular: o círculo grande do cilindro, de raio $R$, menos o círculo do cone naquela altura, que tem raio $h$ (porque o cone tem raio igual à altura, e a seção à altura $h$ é semelhante à base na razão $h/R$); a área da coroa é $\pi R^2 - \pi h^2$. As duas seções têm a mesma área em toda altura. O princípio de Cavalieri conclui que os dois sólidos têm o mesmo volume:

$$V_{\text{semiesfera}} = V_{\text{cilindro}} - V_{\text{cone}} = \pi R^3 - \frac{\pi R^3}{3} = \frac{2\pi R^3}{3}.$$

Dobrando, chega-se à bola inteira.

Segunda demonstração: pirâmides com a ponta no centro. Recubra a superfície da esfera com polígonos minúsculos e ligue os vértices de cada um ao centro: a esfera fica repartida em pirâmides finíssimas, todas com o ápice em $O$ e altura praticamente igual a $R$. O volume de cada pirâmide é $\frac{1}{3}$ da base vezes a altura, e a soma de todas as bases é a área da casca, $4\pi R^2$:

$$V = \frac{1}{3} \cdot (4\pi R^2) \cdot R = \frac{4}{3}\pi R^3.$$

Essa é a versão que liga a área ao volume numa linha só, e a que explica por que o volume da esfera é “um terço do raio vezes a área”. É também o motivo de a fórmula ter um $\frac{4}{3}$: ele é o $\frac{1}{3}$ da pirâmide multiplicado pelo $4$ dos quatro círculos máximos.

Um tanque esférico de gás com 3 m de raio guarda $\frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \approx 113$ m³. Um tanque de 6 m de raio guarda $288\pi \approx 905$ m³: oito vezes mais com o dobro do raio, e só quatro vezes mais chapa de aço na casca ($36\pi$ contra $144\pi$ m²). É por essa diferença entre $k^2$ e $k^3$ que tanques grandes são mais econômicos por litro, e também por ela que um elefante precisa de orelhas enormes para perder o calor que o seu volume produz.

A regra de escala responde a perguntas que parecem exigir conta e não exigem. Se uma partícula esférica de gel absorve água e tem o volume multiplicado por 100 mantendo a forma, o raio fica multiplicado por $\sqrt[3]{100} \approx 4{,}64$: mais de quatro vezes. Se a bola de gude tem 1,6 cm de diâmetro e a bola de boliche, 21,6 cm, a razão de raios é $13{,}5$ e a de volumes é $13{,}5^3 \approx 2\,460$: dois mil e quinhentas bolas de gude dentro de uma de boliche, se não houvesse vazios. E se alguém quiser espalhar a superfície da Terra, $4\pi \times 6\,371^2$ km², num disco plano de mesma área, o disco precisa ter raio $2 \times 6\,371 = 12\,742$ km e diâmetro de $25\,484$ km, o dobro do raio da Terra, porque $\pi r^2 = 4\pi R^2$ dá $r = 2R$.

Exemplo resolvido 4: a esfera e o cilindro de mesmo volume. Uma indústria troca frascos esféricos de raio 3 cm por frascos cilíndricos de raio 2 cm e mesma capacidade. Que altura deve ter o cilindro?

Estratégia: iguale os volumes e resolva para $h$.

Resolução: $\frac{4}{3}\pi \times 27 = \pi \times 4 \times h$, logo $36\pi = 4\pi h$ e $h = 9$ cm.

Conferência: o cilindro de raio 2 e altura 9 tem $36\pi$; a esfera de raio 3, $36\pi$ também. O $\pi$ cancelou, como sempre cancela quando os dois sólidos são de revolução. Repare que $h = 9$ é maior que o diâmetro da esfera (6): o frasco novo é mais estreito e mais alto.

A esfera dentro e fora de outros sólidos

As posições de encaixe entre a esfera e os sólidos de faces planas ou de revolução geram uma família de itens que só precisam de uma relação de medidas cada um. O segredo é desenhar a seção pelo centro que contém a informação, e o problema vira geometria plana.

Exemplo resolvido 5: as duas esferas de um cubo. Um cubo tem 10 cm de aresta. Calcule o raio e o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita, e compare.

Estratégia: inscrita, $R = a/2$; circunscrita, $R = a\sqrt{3}/2$, com $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.

Resolução: inscrita: $R = 5$ cm, $V = \frac{4}{3}\pi \times 125 \approx 523{,}6$ cm³, pouco mais da metade dos $1\,000$ cm³ do cubo. Circunscrita: $R = 5 \times 1{,}73 = 8{,}65$ cm, $V = \frac{4}{3}\pi \times 8{,}65^3 \approx \frac{4}{3}\pi \times 647 \approx 2\,711$ cm³, quase o triplo do cubo.

Conferência: a razão entre os raios é $\sqrt{3}$, e a razão entre os volumes deve ser $(\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2$: de fato $2\,711 \div 523{,}6 \approx 5{,}2$. O cubo fica entre as duas esferas, com $52\%$ de ar dentro de si na primeira e ocupando $37\%$ da segunda.

Exemplo resolvido 6: a lata dentro da bola. Uma lata cilíndrica de 8 cm de altura cabe exatamente dentro de uma esfera de 5 cm de raio, com as bordas das duas tampas tocando a superfície. Qual é o raio da lata?

Estratégia: seção pelo eixo: retângulo $2r \times 8$ inscrito num círculo de raio 5.

Resolução: $5^2 = r^2 + 4^2$, logo $r^2 = 9$ e $r = 3$ cm.

Conferência: o retângulo tem lados 6 e 8 e diagonal 10, o diâmetro da esfera. A lata ocupa $\pi \times 9 \times 8 = 72\pi$ dos $\frac{4}{3}\pi \times 125 \approx 166{,}7\pi$ da esfera: $43\%$. Se a lata fosse mais baixa, seria mais larga; a mais volumosa de todas as latas que cabem numa esfera de raio $R$ tem altura $\frac{2R}{\sqrt{3}}$, resultado de otimização que a prova não cobra, mas que explica por que nem a mais alta nem a mais larga vence.

A Terra como esfera: meridianos, paralelos e coordenadas

A Terra não é uma esfera perfeita: é achatada nos polos, com raio equatorial de 6 378 km e raio polar de 6 357 km. A diferença, de 21 km, é um terço de um por cento, e para toda conta de prova a Terra é uma esfera de raio médio 6 371 km (as provas costumam arredondar para 6 370 ou 6 400). A circunferência de um círculo máximo é $2\pi \times 6\,371 \approx 40\,030$ km: é a volta ao mundo pelo equador ou por qualquer par de meridianos opostos.

Por que o paralelo tem raio $R\cos\varphi$: o centro do paralelo está sobre o eixo, a uma distância $R\sin\varphi$ do centro da Terra (é o cateto vertical do triângulo que liga o centro ao ponto, com hipotenusa $R$ e ângulo $\varphi$), e o raio do paralelo é o cateto horizontal, $R\cos\varphi$. Confere com a relação da seção: $r^2 = R^2 - d^2 = R^2 - R^2\sin^2\varphi = R^2\cos^2\varphi$. O paralelo de Brasília, a $15{,}8°$ S, tem comprimento $40\,030 \times \cos 15{,}8° \approx 40\,030 \times 0{,}962 \approx 38\,500$ km; o paralelo de $60°$ tem metade do equador, $20\,015$ km, porque $\cos 60° = \frac{1}{2}$; o Círculo Polar Ártico, a $66{,}5°$, tem $16\,000$ km; o polo é um paralelo de comprimento zero.

Exemplo resolvido 7: quilômetros por grau. (a) Que distância separa Brasília ($15{,}8°$ S) do equador, medida ao longo do seu meridiano? (b) Dois pontos sobre o paralelo de $60°$ N têm longitudes $20°$ E e $50°$ E; que distância os separa ao longo do paralelo? © E se as mesmas longitudes estivessem no equador?

Estratégia: ao longo de um meridiano, $111{,}2$ km por grau; ao longo de um paralelo, $111{,}2\cos\varphi$ km por grau.

Resolução: (a) $15{,}8 \times 111{,}2 \approx 1\,757$ km. (b) $30$ graus de longitude a $60°$: $30 \times 111{,}2 \times 0{,}5 \approx 1\,668$ km. © No equador, $30 \times 111{,}2 \approx 3\,336$ km, o dobro.

Conferência: a $60°$ o paralelo tem metade do comprimento do equador, então os mesmos $30°$ valem metade dos quilômetros. E $1\,757$ km é a distância de Brasília até um ponto do Amapá sobre a linha do equador, compatível com a geografia: a reta no mapa entre Brasília e Macapá tem perto de $1\,800$ km.

O caminho mais curto curva no mapa

Sobre um plano, a menor distância entre dois pontos é um segmento de reta. Sobre a superfície de uma esfera, não há retas; a curva que faz o papel da reta chama-se geodésica, e na esfera as geodésicas são os círculos máximos. A rota mais curta entre dois pontos da superfície é o menor arco do círculo máximo que passa pelos dois, e o comprimento desse arco é o ângulo central vezes o raio.

Esse último ponto é exatamente o que um item do PAS 2 de 2024 cobrou, com o voo de Brasília a Lisboa a 10 km de altitude: a distância no solo dividida pelo raio da Terra dá o ângulo em radianos, e o ângulo vezes 10 km dá o excesso, da ordem de uma dezena de quilômetros numa viagem de mais de sete mil. Com números próprios: um voo de 2 500 km no solo, a 11 km de altitude, tem $\theta = 2\,500 \div 6\,371 \approx 0{,}392$ rad e excesso $0{,}392 \times 11 \approx 4{,}3$ km. Onze quilômetros são menos de dois milésimos do raio terrestre, e o caminho cresce exatamente nessa proporção: 4,3 km em 2 500. A intuição de que a rota aérea é “muito maior” não sobrevive à divisão.

A consequência mais surpreendente da geodésica é que o paralelo não é a rota mais curta entre dois pontos de mesma latitude, a não ser no equador. Pense em dois pontos sobre o paralelo de $60°$ N em longitudes opostas, $0°$ e $180°$: um na Noruega, outro no Alasca. Ao longo do paralelo, meia volta de uma circunferência de $20\,015$ km: $10\,008$ km. Pelo polo Norte, sobe-se $30°$ de meridiano e desce-se outros $30°$ do outro lado: $60 \times 111{,}2 \approx 6\,672$ km, um terço a menos. Sobre o paralelo de $45°$ a economia ainda é grande: $14\,150$ km pelo paralelo contra $10\,008$ km pelo polo. A rota pelo polo é o arco do círculo máximo (os dois meridianos opostos formam um), e por isso os voos entre a Europa e a costa oeste da América do Norte cruzam a Groenlândia e o Canadá ártico em vez de seguir a latitude.

Os navegadores têm dois nomes para isso. A ortodromia é o arco de círculo máximo, o caminho mínimo; a loxodromia é a rota de rumo constante, a que corta todos os meridianos no mesmo ângulo e que, num mapa de Mercator, é uma reta. Navegar em loxodromia é cômodo (a bússola marca sempre o mesmo rumo) e navegar em ortodromia é mais curto (o rumo muda o tempo todo). Um avião moderno voa em ortodromia corrigida pelo vento, e o traçado dele num mapa plano é a curva que parece um desvio.

Exemplo resolvido 8: a rota pelo paralelo e a rota pelo polo. Duas cidades estão sobre o paralelo de $60°$ N, com longitudes $30°$ W e $150°$ E. Compare a distância pelo paralelo com a distância pelo círculo máximo. Use $R = 6\,371$ km.

Estratégia: as longitudes diferem em $180°$, logo os pontos estão em meridianos opostos e o círculo máximo que os liga passa pelo polo. Pelo paralelo: meia circunferência de raio $R\cos 60°$. Pelo polo: dois arcos de $30°$ de meridiano.

Resolução: pelo paralelo, $\pi \times 6\,371 \times 0{,}5 \approx 10\,008$ km. Pelo polo, $60° \times 111{,}2 \approx 6\,672$ km. A rota polar economiza $3\,336$ km, um terço.

Conferência: $6\,672$ km é um sexto da volta ($60°$ de $360°$); $10\,008$ km é um quarto da volta ($\pi R$ é meia volta, e metade disso é um quarto). Um sexto é menor que um quarto. Se as cidades estivessem no equador com $180°$ de diferença, as duas rotas seriam a mesma meia volta, $20\,015$ km, porque o equador é círculo máximo.

Relógio e sombra: fusos horários e Eratóstenes

A Terra dá uma volta completa em torno do eixo em 24 horas. Volta completa são $360°$ de longitude, logo o Sol “avança” sobre a Terra $360° \div 24 = 15°$ por hora e $1°$ a cada $4$ minutos. Daí os fusos horários: faixas de $15°$ de longitude dentro das quais, por convenção, vale a mesma hora, numeradas a partir do fuso de Greenwich (UTC). Cada fuso para leste adianta uma hora, cada fuso para oeste atrasa uma hora. Brasília está em UTC$-3$: quando é meio-dia em Londres no inverno, são 9 h em Brasília; Tóquio está em UTC$+9$, doze horas à frente de Brasília. O Brasil continental usa UTC$-3$ na maior parte do território, UTC$-4$ em Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Rondônia, Roraima e Amazonas, e UTC$-5$ no Acre e no oeste do Amazonas; Fernando de Noronha fica em UTC$-2$.

Há uma diferença entre a hora legal, a do fuso, e a hora solar de um lugar, a que marca meio-dia quando o Sol cruza o meridiano local. Dentro de um fuso de $15°$, a hora solar varia uma hora inteira de uma borda à outra: na borda oeste o Sol culmina 30 minutos depois do que no meridiano central. Um item que dê a longitude exata de uma cidade e pergunte “que horas são, no relógio, quando o Sol está a pino sobre o meridiano central do fuso” quer esse ajuste: a cidade a $50°$ W, cujo fuso tem centro em $45°$ W, vê o Sol culminar $5 \times 4 = 20$ minutos depois do centro do fuso; quando o Sol está sobre o meridiano central, o relógio local marca meio-dia e, na cidade, o Sol ainda vai levar 20 minutos para culminar.

Exemplo resolvido 9: a chamada de vídeo. Uma reunião é marcada para as 15 h de Brasília (UTC$-3$). Que horas serão em Tóquio (UTC$+9$) e em Los Angeles (UTC$-8$)?

Estratégia: diferença de fusos em horas; some para leste, subtraia para oeste.

Resolução: Tóquio está $9 - (-3) = 12$ h à frente: 3 h da manhã do dia seguinte. Los Angeles está $-8 - (-3) = -5$ h: 10 h da manhã do mesmo dia.

Conferência: de Los Angeles a Tóquio vão $9 - (-8) = 17$ h, e de fato $10$ h $+ 17$ h $= 3$ h do dia seguinte. A linha internacional de data, perto de $180°$, é onde o calendário vira; sem ela, dar a volta somando uma hora por fuso chegaria a um dia a mais.

A mesma geometria, lida ao contrário, foi o que permitiu a Eratóstenes de Cirene medir a Terra por volta de 240 a.C., sem sair do Egito. Ele sabia que, ao meio-dia do solstício de verão, o Sol iluminava o fundo de um poço em Siena (a atual Assuã): estava a pino, sem sombra. No mesmo instante, em Alexandria, quase no mesmo meridiano e ao norte, uma haste vertical projetava uma sombra que correspondia a um ângulo de $7{,}2°$, a quinquagésima parte de $360°$. Como os raios do Sol chegam praticamente paralelos, esse ângulo é o ângulo central entre as duas cidades, vistas do centro da Terra: elas estão separadas por $1/50$ da volta. A distância entre as cidades, que os caminhantes do reino mediam em estádios, era de cerca de 5 000 estádios, logo a volta inteira valia $250\,000$ estádios. Convertida com o estádio de uns 157 m, dá perto de 39 000 km, a 2% do valor atual; com o estádio de 185 m, dá 46 000 km. O método é exato; a incerteza estava na régua.

Por que todo mapa plano mente

A esfera não se planifica. Isso não é uma limitação de habilidade dos cartógrafos: é um teorema. Gauss provou, em 1827, que a curvatura de uma superfície não muda quando ela é dobrada sem esticar, e uma esfera tem curvatura diferente de zero enquanto o plano tem curvatura zero; logo não existe mapa plano da esfera, nem de um pedaço dela, que conserve todas as distâncias. O que o cartógrafo pode fazer é escolher o que sacrificar. Para isso, projeta-se a superfície da esfera sobre uma superfície auxiliar que, essa sim, se desenrola, ou diretamente sobre um plano.

A deformação de Mercator tem uma conta simples. Para manter os ângulos, o mapa estica cada paralelo até o comprimento do equador: um paralelo de latitude $\varphi$, que mede $2\pi R\cos\varphi$, é desenhado com $2\pi R$, um fator $\frac{1}{\cos\varphi}$ na horizontal; para a forma local não ficar achatada, a escala vertical é esticada pelo mesmo fator. A área fica multiplicada por $\frac{1}{\cos^2\varphi}$: $4$ vezes a $60°$, $8{,}5$ vezes a $70°$, $33$ vezes a $80°$. A Groenlândia, centrada perto de $72°$ N, aparece cerca de dez vezes maior do que a sua área real relativa; o Brasil, cortado pelo equador, aparece quase no tamanho certo. Daí a imagem familiar da Groenlândia “do tamanho da África” num mapa em que a África, com 30,4 milhões de km², é catorze vezes a Groenlândia, com 2,2 milhões.

Exemplo resolvido 10: quatro mapas, quatro projeções. Um atlas escolar traz quatro mapas. Diga qual projeção cabe em cada um e o que ele perde: (a) o mapa rodoviário dos Estados Unidos continentais, entre $25°$ e $49°$ N; (b) um infográfico de jornal que compara o desmatamento anual de países de todos os continentes em km²; © a tela de um aplicativo de navegação de veleiros, em que o rumo da bússola se mede com transferidor sobre a tela; (d) um mapa das rotas aéreas que cruzam o Ártico entre a Europa e a Ásia.

Resolução: (a) cônica, com o cone tocando a esfera perto do paralelo de $37°$ N, que atravessa o país pelo meio; a distorção cresce para o norte e para o sul, mas o país inteiro fica na faixa boa. (b) equivalente, como a de Gall–Peters, porque o infográfico só faz sentido se as áreas estiverem na proporção certa; as formas saem alongadas. © Mercator, conforme: o rumo constante é uma reta e o ângulo medido na tela é o ângulo real; as áreas das latitudes altas saem infladas, o que não atrapalha o navegador. (d) azimutal polar, com o plano tocando o polo Norte: as rotas de círculo máximo que passam perto do polo aparecem quase retas, e as distâncias a partir do polo estão na escala; longe do polo, tudo se deforma.

Conferência: troque os mapas de lugar e cada um falha. O infográfico (b) em Mercator mostraria a Groenlândia maior que o Brasil, que tem quase quatro vezes a área dela; o aplicativo © em Gall–Peters daria rumos errados; o mapa polar (d) em projeção cilíndrica nem teria o polo, que fica no infinito. Nenhum dos quatro consegue tudo ao mesmo tempo, porque a esfera não se planifica.

Leia como na prova: o globo desenhado e o mapa plano

Os itens de esfera chegam em três embalagens, e cada uma pede uma leitura.

A figura do globo com ângulos. Um desenho mostra a Terra com o eixo, o equador, um ou dois meridianos e um ponto $P$ com a latitude marcada como ângulo no centro. O que o item costuma pedir: a distância de $P$ ao equador ao longo do meridiano (graus vezes $111$ km), o comprimento do paralelo de $P$ ($2\pi R\cos\varphi$), ou a projeção de um trajeto sobre um plano paralelo ao equador. Nesse último caso, use a regra: um arco de meridiano se projeta num segmento de reta que aponta para o centro (porque o plano do meridiano contém o eixo, perpendicular ao plano de projeção), e um arco do equador ou de um paralelo se projeta num arco de circunferência. Um trajeto “um quarto de meridiano, um quarto de equador, um quarto de outro meridiano” vira, visto de cima, um setor circular de $90°$: dois raios e um arco. O ENEM de 2022 cobrou exatamente isso, com duas trajetórias em meridianos perpendiculares.

O perfil (seção pelo centro). Um sólido composto com uma semiesfera, uma esfera numa lata, uma bola num cubo: corte pelo centro e a figura vira um semicírculo sobre um triângulo, um círculo num retângulo, um círculo num quadrado. Todas as medidas que o item usa estão nessa figura plana.

O mapa plano. Quando o item traz um mapa-múndi retangular com a rota de um avião desenhada como curva, ou compara o tamanho de dois países “no mapa”, a pergunta é sobre a projeção: a curva é um arco de círculo máximo (a rota reta na esfera), e a comparação de áreas em Mercator não vale. Quando o item traz um esquema de fusos, com meridianos de $15°$ em $15°$ e a hora de cada faixa, a conta é $15°$ por hora e $4$ minutos por grau, e o cuidado é separar a hora do fuso da hora solar da cidade.

Como a banca pergunta

• Limiar numérico sobre a casca ou sobre o volume. “A área da superfície é superior a 25 000 m²”, “o volume dos frutos é maior que 200 cm³”: calcule exato, com o $\pi$ que o item fornece, e só depois compare. Os limiares ficam perto do valor certo e longe do valor de quem usou o diâmetro como raio ou esqueceu o “semi”.
• Razão entre sólidos encaixados. “O volume do cilindro é 50% maior que o da esfera inscrita”, “a esfera ocupa mais da metade do cubo”: as razões $3:2$, $2:3$, $\pi/6$ e $(\sqrt{3})^3$ decidem sem conta nova.
• Arco de círculo máximo com limiar ou tipo B. Ângulo central e raio dados, ou distância no solo e altitude: $\ell = \theta R$, excesso $\theta h$. O item de 2024 foi desse molde, e as variantes com resposta numérica (multiplicar por 100 e truncar) são as mais prováveis para um tipo B.
• Afirmação de forma ou de propriedade. “Toda seção plana da esfera é um círculo”, “o menor caminho segue o paralelo”, “dois círculos máximos podem não se cruzar”, “a projeção conserva ângulos e áreas”: conceitos puros, sem número. Aqui a palavra decisiva é um “sempre”, um “nunca” ou um “sem”.
• Fuso horário em contexto de viagem. Hora de saída, duração, hora de chegada em outro fuso; ou longitude e hora solar. Some para leste, subtraia para oeste, 15° por hora.
• Item interdisciplinar colado num texto de outra área. Um texto sobre a esfericidade da Terra, sobre um fruto, sobre um depósito de carvão: o número que a conta usa está no item, não no texto. Leia os substantivos do item (raio, altitude, diâmetro, latitude) e vá direto a eles.

Os erros que a banca planta

• Diâmetro no lugar do raio. Um fruto de 1 cm de diâmetro tem $R = 0{,}5$; a casca é $\pi$ cm², não $4\pi$.
• Semiesfera como $\pi R^2$ ou como $4\pi R^2$. A casca de meia esfera é $2\pi R^2$; com o círculo da base, $3\pi R^2$.
• Seção “torta” como elipse. Qualquer plano recorta na esfera um círculo, inclinado ou não.
• Paralelo como círculo máximo. Só o equador é; os demais paralelos têm raio $R\cos\varphi < R$. Meridianos são semicírculos máximos.
• Paralelo como caminho mínimo. Dois pontos num mesmo paralelo que não seja o equador estão mais perto um do outro pelo círculo máximo, que passa mais perto do polo.
• Altitude somada em vez de multiplicada. O excesso do voo é $\theta h$, com $\theta$ em radianos; não é $2h$ nem “proporcional à distância de qualquer jeito”.
• Fração aplicada a uma fórmula só. Fuso e cunha são a mesma fração $\alpha/360°$ da casca e do volume, respectivamente.
• Ângulo do gomo confundido com ângulo do arco. O fuso usa o ângulo entre semiplanos no eixo; o arco usa o ângulo entre raios num círculo máximo.
• Escala linear aplicada a área e volume. Raio $\times 2$ é área $\times 4$ e volume $\times 8$; volume $\times 100$ é raio $\times 4{,}64$, não $\times 100$ nem $\times 10$.
• Diagonal da face no lugar da diagonal do cubo. A esfera circunscrita ao cubo tem diâmetro $a\sqrt{3}$, não $a\sqrt{2}$.
• Projeção “sem distorções”. Não existe. Conforme (ângulos) ou equivalente (áreas), nunca os dois; Mercator conserva ângulos e infla áreas, Peters conserva áreas e deforma formas.
• Fuso com sinal trocado. Para leste a hora aumenta; para oeste, diminui. Atravessar a linha de data muda o dia.
• Arco confundido com corda. A distância pela superfície é o arco $\theta R$; a corda $2R\sin(\theta/2)$ é menor e atravessa o interior.

O essencial em meia página

• Esfera: superfície esférica (casca, área) × bola (sólido, volume). Centro $O$, raio $R$, diâmetro $2R$, eixo e polos; sólido de revolução do semicírculo.
• Seção plana a distância $d$ do centro: círculo de raio $r$ com $r^2 = R^2 - d^2$. Pelo centro: círculo máximo, raio $R$, contorno $2\pi R$, divide em hemisférios. Nunca elipse.
• Fuso (casca) e cunha (sólido) de ângulo $\alpha$: fração $\dfrac{\alpha}{360°}$ de $4\pi R^2$ e de $\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
• Área $A = 4\pi R^2$ (quatro círculos máximos; lateral do cilindro circunscrito); hemisfério $2\pi R^2$; escala $k^2$. Calota e zona: $2\pi R h$ (fórmula dada no item).
• Volume $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ (Cavalieri: semiesfera = cilindro − cone, $\pi R^3 - \frac{1}{3}\pi R^3$; ou $\frac{1}{3} \cdot 4\pi R^2 \cdot R$); hemisfério $\dfrac{2}{3}\pi R^3$; escala $k^3$; esfera : cilindro circunscrito $= 2 : 3$ em área total e em volume; cone : esfera : cilindro $= 1 : 2 : 3$.
• Encaixes: inscrita no cubo $R = a/2$ ($\pi/6 \approx 52\%$); circunscrita ao cubo $2R = a\sqrt{3}$; cilindro inscrito $R^2 = r^2 + (h/2)^2$; paralelepípedo $2R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
• Terra: $R \approx 6\,371$ km, volta $\approx 40\,030$ km, $1°$ de meridiano $\approx 111$ km, $1' \approx 1{,}85$ km; paralelo de latitude $\varphi$ mede $2\pi R\cos\varphi$; equador é o único paralelo máximo; meridianos opostos formam um círculo máximo.
• Geodésica: menor caminho pela superfície = arco de círculo máximo, $\ell = \theta R$ (radianos) ou $\frac{\theta}{360°} 2\pi R$; antípodas $\pi R$; a altitude $h$ acrescenta $\theta h$; o paralelo não é mínimo fora do equador; loxodromia (rumo fixo, reta em Mercator) × ortodromia (círculo máximo).
• Fusos: $15°$ por hora, $4$ min por grau; leste adianta, oeste atrasa; hora legal × hora solar. Eratóstenes: ângulo da sombra = ângulo central; $7{,}2° = 1/50$ da volta.
• Projeções: a esfera não se planifica (Gauss); cilíndrica (equador), cônica (latitudes médias), azimutal (polo); conforme (Mercator, ângulos, áreas infladas em $1/\cos^2\varphi$) × equivalente (Gall–Peters, áreas); mapa plano “sem distorções” é sempre falso.
• Na prova: converta diâmetro em raio; separe casca de volume; aplique a fração ao fuso e à cunha; faça $\theta = \ell/R$ antes de qualquer limiar; desconfie de “sempre”, “nunca” e “sem distorções”.