Teorema de Pitágoras e relações métricas no triângulo retângulo

Uma passarela inclinada liga o estacionamento à entrada de um ginásio: avança 12 m na horizontal e sobe 5 m. Ninguém estendeu uma trena ao longo dela, e mesmo assim o comprimento está determinado, porque o piso, o desnível e a passarela fecham um triângulo com um ângulo reto, e nesse triângulo os lados obedecem a uma só conta: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$, logo a passarela tem 13 m. Em 2023, a prova do PAS 1 tirou um bloco inteiro da norma de acessibilidade NBR 9050, que limita a inclinação de uma rampa a 1 de altura para 12 de avanço, e perguntou quanto de projeção horizontal exige um desnível de 40 cm. Em 2009, perguntou o comprimento da escadaria da Pirâmide do Sol a partir da altura e da profundidade de cada degrau. Em 2012, se uma bola chutada da marca do pênalti até a trave percorre mais de 12 m. Três cenas, um só instrumento.

O instrumento é o teorema de Pitágoras: num triângulo retângulo, o quadrado construído sobre o maior lado tem área igual à dos quadrados construídos sobre os outros dois, somadas. Esta página é sobre o que o teorema diz e o que ele não diz, sobre duas maneiras de demonstrá-lo, sobre as quatro relações métricas que a altura do triângulo retângulo produz, sobre a recíproca (como saber que um ângulo é reto sem medi-lo) e sobre os lugares em que o triângulo retângulo se esconde: diagonais, alturas, cordas, coordenadas, arestas de caixas. A semelhança de triângulos, que fornece a segunda demonstração, e as razões trigonométricas, que nascem do mesmo triângulo, têm páginas próprias; aqui aparecem como ferramenta e como ponte.

Catetos, hipotenusa e o ângulo que decide tudo

Um triângulo é retângulo quando um dos seus ângulos mede $90^\circ$. Os dois lados que formam esse ângulo são os catetos; o lado que fica de frente para ele é a hipotenusa. Como os outros dois ângulos somam $90^\circ$ e são, portanto, menores que o ângulo reto, a hipotenusa é sempre o maior lado. Isso não depende do desenho: a hipotenusa não precisa estar inclinada, e um cateto não precisa estar deitado. O que a identifica é a posição em relação ao ângulo reto.

O teorema: quadrados que se somam

Exemplo resolvido 1: a passarela e a escada. A passarela da abertura avança 12 m e sobe 5 m; uma escada de 7,5 m está apoiada numa parede vertical com o pé a 4,5 m da base. Quanto mede a passarela, e a que altura a escada toca a parede?

Estratégia: nos dois casos há um ângulo reto (piso e desnível; chão e parede). O que muda é o papel da incógnita: na passarela, falta a hipotenusa, que é a própria passarela; na escada, a hipotenusa é a escada, conhecida, e falta um cateto.

Resolução: passarela: $a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$, $a = 13$ m. Escada: $7{,}5^2 = 4{,}5^2 + h^2$, então $h^2 = 56{,}25 - 20{,}25 = 36$ e $h = 6$ m.

Conferência: a hipotenusa saiu maior que cada cateto nos dois casos (13 > 12 e 7,5 > 6). Na escada, quem soma em vez de subtrair acha $h = \sqrt{76{,}5} \approx 8{,}7$ m, uma altura maior que a própria escada, o que é impossível. A conferência “hipotenusa é o maior lado” pega esse erro antes de refazer a conta. E os dois triângulos são ternos conhecidos: $(5, 12, 13)$ e $1{,}5 \times (3, 4, 5)$.

Por que funciona: mover peças sem mudar medidas

Recorte em cartolina quatro triângulos retângulos idênticos, de catetos $b$ e $c$ e hipotenusa $a$, e desenhe uma moldura quadrada de lado $b + c$, na qual os quatro cabem de dois modos. No primeiro (figura, à esquerda), cada triângulo ocupa um canto da moldura, com a hipotenusa voltada para o centro; a região que fica descoberta é um quadrado inclinado de lado $a$. Que os seus quatro cantos são retos se vê em cada vértice: ali se encostam os dois ângulos agudos de um mesmo triângulo, e eles somam $90^\circ$. No segundo modo (à direita), os triângulos se juntam dois a dois em retângulos $b \times c$, encostados em cantos opostos da moldura, e o que fica descoberto são dois quadrados, um de lado $b$ e outro de lado $c$. Nada mudou de um modo para o outro, nem a moldura nem as peças; logo, a área descoberta é a mesma nos dois: $a^2 = b^2 + c^2$.

A mesma figura em álgebra: a área do quadrado grande é $(b + c)^2$; ela também é quatro triângulos mais o quadrado central, $4 \cdot \dfrac{bc}{2} + a^2$. Igualando, $b^2 + 2bc + c^2 = 2bc + a^2$, e os $2bc$ se cancelam. A matriz do PAS chama esse tipo de argumento de “reconfiguração”: recortar uma figura e reagrupar as partes, confiando em que a área se conserva. O mesmo recurso aparece na demonstração de que os ângulos de um triângulo somam $180^\circ$ e no cálculo da área do paralelogramo.

A segunda demonstração: a altura cria três triângulos semelhantes

Baixe a altura $h$ do ângulo reto sobre a hipotenusa. Ela divide o triângulo grande em dois menores, e os três são semelhantes entre si. O motivo é o critério AA: o triângulo $AHB$ tem um ângulo reto (em $H$) e compartilha o ângulo $\hat{B}$ com o triângulo grande $CAB$; o triângulo $AHC$ tem um ângulo reto e compartilha $\hat{C}$. Dois ângulos iguais bastam.

Semelhança é proporção entre lados correspondentes. Do par $AHC \sim BAC$: $\dfrac{b}{a} = \dfrac{m}{b}$, logo $b^2 = a \cdot m$. Do par $AHB \sim CAB$: $\dfrac{c}{a} = \dfrac{n}{c}$, logo $c^2 = a \cdot n$. Do par $AHB \sim CHA$ (os dois pequenos entre si): $\dfrac{h}{n} = \dfrac{m}{h}$, logo $h^2 = m \cdot n$. E, comparando o cateto com a altura no triângulo grande e num pequeno, $\dfrac{h}{c} = \dfrac{b}{a}$, logo $b \cdot c = a \cdot h$. Some as duas primeiras: $b^2 + c^2 = a \cdot m + a \cdot n = a(m + n) = a \cdot a = a^2$. Pitágoras de novo, agora por semelhança.

Exemplo resolvido 2: catetos 6 e 8. Num triângulo retângulo de catetos 6 e 8, calcule a hipotenusa, a altura relativa à hipotenusa e as duas projeções.

Estratégia: Pitágoras primeiro, porque a hipotenusa entra em todas as outras relações. Depois $b\,c = a\,h$ para a altura e $b^2 = a\,m$ para a projeção.

Resolução: $a^2 = 36 + 64 = 100$, $a = 10$. Altura: $6 \cdot 8 = 10 \cdot h$, $h = 4{,}8$. Projeção sob o cateto 8: $8^2 = 10\,m$, $m = 6{,}4$. Projeção sob o cateto 6: $6^2 = 10\,n$, $n = 3{,}6$.

Conferência: $m + n = 6{,}4 + 3{,}6 = 10 = a$; $h^2 = 4{,}8^2 = 23{,}04$ e $m\,n = 6{,}4 \cdot 3{,}6 = 23{,}04$. As duas relações que não foram usadas fecharam, então as contas estão certas. Repare que a projeção maior fica debaixo do cateto maior, sempre.

A recíproca: saber que o ângulo é reto sem medi-lo

O teorema tem volta. Se três comprimentos positivos $a > b, c$ formam um triângulo e $a^2 = b^2 + c^2$, então o ângulo oposto ao lado $a$ é reto. Os lados 8, 15 e 17 satisfazem $64 + 225 = 289 = 17^2$: o triângulo é retângulo, com o ângulo reto de frente para o 17. E a recíproca ainda classifica os outros casos: se $a^2 > b^2 + c^2$, o ângulo oposto ao maior lado é obtuso; se $a^2 < b^2 + c^2$, é agudo. Um triângulo de lados 5, 6 e 8 tem $25 + 36 = 61 < 64$: obtusângulo. (A lei dos cossenos é a forma geral dessa comparação; o termo $-2bc\cos\hat{A}$ é exatamente o que falta ou sobra.)

A banca gosta da recíproca em malha quadriculada e em coordenadas, porque o candidato precisa medir os lados antes de testar. Em 2010, uma figura de desmatamento em malha de 100 m trazia os pontos $A = (100, 200)$, $B = (600, 600)$ e $D = (1000, 200)$, em metros, e o item afirmava que o triângulo $ABD$ é retângulo. Contas, em unidades de 100 m: $AB^2 = 5^2 + 4^2 = 41$, $BD^2 = 4^2 + 4^2 = 32$, $AD^2 = 9^2 = 81$. Como $41 + 32 = 73 \neq 81$, não há ângulo reto em $B$; e $B$ era o único candidato, porque $AD$ é o maior lado. Item E. Em 2018, na 3.ª etapa, a mesma pergunta veio num mapa do Rio Grande do Sul com Cachoeira do Sul na origem, Agudo em $(-25, 40)$ e Candelária em $(20, 35)$: os quadrados das distâncias são 2 225, 1 625 e 2 050, e $1\,625 + 2\,050 = 3\,675 \neq 2\,225$. Também E.

Onde o triângulo retângulo se esconde

A maioria dos itens não desenha um triângulo retângulo. Desenha um retângulo, um quadrado, um losango, uma caixa, uma circunferência, um mapa. O trabalho é achar o ângulo reto que a figura já contém.

Diagonal do retângulo e do quadrado. A diagonal de um retângulo de lados $L$ e $H$ divide-o em dois triângulos retângulos: $d = \sqrt{L^2 + H^2}$. No quadrado de lado $\ell$, $d = \sqrt{2\ell^2} = \ell\sqrt{2}$. Há aqui um fato que os gregos acharam escandaloso: o quadrado de lado 1 tem uma diagonal de comprimento $\sqrt{2}$, e esse comprimento não pode ser escrito como quociente de dois inteiros, embora qualquer pessoa o trace com régua e compasso em segundos. Quando a matriz do PAS fala em “interpretação geométrica dos números reais”, é disso que trata: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ e $\sqrt{5}$ existem primeiro como segmentos construídos, e só depois como expansões decimais que nunca terminam. Em 2017 a prova perguntou se o produto de um inteiro por $\sqrt{2}$ é irracional (é, salvo o zero), e em 2009 se a aresta de um octaedro montado sobre as diagonais das faces de um cubo de aresta inteira é irracional (é: são múltiplos de $\sqrt{2}$).

Altura do triângulo equilátero. A altura divide o equilátero de lado $\ell$ em dois triângulos retângulos de hipotenusa $\ell$ e cateto $\ell/2$: $h^2 = \ell^2 - \ell^2/4 = 3\ell^2/4$, então $h = \dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$. No isósceles, a altura relativa à base também cai no meio dela: base 10 e lados 13 dão $h = \sqrt{169 - 25} = 12$.

Losango. As diagonais de um losango são perpendiculares e se cortam ao meio, então cada lado é hipotenusa de um triângulo de catetos $d_1/2$ e $d_2/2$. Em 2013, um losango inscrito num retângulo de 16 cm por 12 cm, com vértices nos pontos médios dos lados, tinha diagonais 16 e 12; cada lado mede $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ cm. Daí o item: perímetro do retângulo, 56 cm; do losango, 40 cm; $56/40 = 1{,}4$, “40% maior”, C.

Diagonal do paralelepípedo e do cubo. Duas aplicações seguidas. Na base de arestas $a$ e $b$, a diagonal da face é $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Essa diagonal, a aresta vertical $c$ e a diagonal do sólido $D$ formam um segundo triângulo retângulo: $D^2 = d^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$. No cubo de aresta $a$, $D = a\sqrt{3}$. Em 2022, a prova pediu o comprimento de um segmento que era a diagonal de um cubo de aresta $\ell/2$, com $\ell = \sqrt{1200}$: $D = \dfrac{\sqrt{1200}}{2}\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3600}}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$. Resposta 030. Nenhuma aproximação: a raiz do produto fechou.

Apótema da pirâmide. Numa pirâmide reta de base quadrada de lado $\ell$, a altura $H$, a metade do lado $\ell/2$ e o apótema da face $g$ (a altura do triângulo lateral) formam um triângulo retângulo: $g^2 = H^2 + (\ell/2)^2$. E a aresta lateral $a$, o apótema $g$ e a metade do lado formam outro: $a^2 = g^2 + (\ell/2)^2$. Em 2020, uma pirâmide com arestas laterais de 50 m e base de 60 m: o caminho mais curto da base ao topo sobe pelo apótema, $g = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{1600} = 40$ m, e o item dizia “inferior a 35 m”: E. Em 2021, a “pirâmide áurea” tinha $\ell/2 = 1$, apótema $\varphi$ e altura $\sqrt{\varphi}$, o que fecha com Pitágoras porque $\varphi^2 - 1 = \varphi$: o quadrado da altura ($\varphi$) é igual à área da face ($\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \varphi = \varphi$), e o item era C.

Corda e raio na circunferência. O raio que passa pelo ponto médio de uma corda é perpendicular a ela. Se a corda mede $2k$ e está a uma distância $d$ do centro, então $r^2 = d^2 + k^2$: uma corda de 16 cm num círculo de raio 10 cm está a $\sqrt{100 - 64} = 6$ cm do centro. E a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência: a distância de um ponto externo $P$ ao ponto de tangência $T$ sai de $PT^2 = OP^2 - r^2$. É esse triângulo que o item do satélite de 2025 usava (a visada tangente à Terra e o raio até o ponto de tangência), antes de pedir o ângulo.

Exemplo resolvido 3: a TV de 50 polegadas. Uma TV “de 50 polegadas” tem tela na proporção 16:9. Quanto ela mede de largura e de altura, em centímetros? Considere 1 polegada $= 2{,}54$ cm e $\sqrt{337} \approx 18{,}36$.

Estratégia: a polegada da TV é a diagonal, não a largura. Proporção 16:9 significa largura $16k$ e altura $9k$ para algum $k$; a diagonal é a hipotenusa.

Resolução: diagonal $= 50 \cdot 2{,}54 = 127$ cm. Pitágoras: $(16k)^2 + (9k)^2 = 127^2$, isto é, $337k^2 = 127^2$, $k = 127/\sqrt{337} \approx 127/18{,}36 \approx 6{,}92$. Largura $16k \approx 110{,}7$ cm; altura $9k \approx 62{,}3$ cm.

Conferência: $110{,}7^2 + 62{,}3^2 \approx 12\,254 + 3\,881 = 16\,135$, e $127^2 = 16\,129$: fecha dentro do arredondamento. A largura (1,11 m) é bem menor que 1,27 m; quem compra o móvel pelo “tamanho da TV” superestima em 15%.

Distância entre dois pontos: Pitágoras nas coordenadas

Dois pontos $A = (x_A, y_A)$ e $B = (x_B, y_B)$ no plano cartesiano definem um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças de coordenadas, $\Delta x = x_B - x_A$ e $\Delta y = y_B - y_A$, e cuja hipotenusa é o segmento $AB$:

$$d(A, B) = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}, \qquad \Delta x = x_B - x_A,\quad \Delta y = y_B - y_A.$$

Em palavras: eleve ao quadrado a diferença das abscissas e a diferença das ordenadas, some e extraia a raiz. O sinal das diferenças não importa, porque elas são elevadas ao quadrado. De $(1, 2)$ a $(5, 5)$: $\Delta x = 4$, $\Delta y = 3$, $d = 5$.

Distância em linha reta e caminho percorrido são coisas distintas, e a prova explora a diferença. Em 2012, a marca do pênalti está a 11 m da linha do gol, e as traves estão a 3,66 m do ponto médio dessa linha; a bola chutada da marca até a trave percorre $\sqrt{11^2 + 3{,}66^2} = \sqrt{121 + 13{,}4} = \sqrt{134{,}4} \approx 11{,}6$ m, e o item dizia “mais de 12 m”: E. Quem soma $11 + 3{,}66$ acha 14,66 e marca C. Em 2013, na 3.ª etapa, as estações de um VLT estavam em coordenadas, o Aeroporto em $A = (-9, 2)$ e o Setor Comercial Norte em $E = (7, -3)$; a distância $AE = \sqrt{16^2 + 5^2} = \sqrt{281}$ e o item perguntava se ela supera $5\sqrt{10} = \sqrt{250}$: C. Compare quadrados, não raízes: $281 > 250$ decide sem aproximar nada.

Em Física o mesmo triângulo aparece com vetores: quem caminha 300 m para o leste e 400 m para o norte percorre 700 m, mas se desloca 500 m; duas forças perpendiculares de 30 N e 40 N têm resultante de 50 N. A fórmula da distância é o ponto de partida da geometria analítica, que tem página própria para distância de ponto a reta, ponto médio e equação da circunferência.

Aplicações: rampa, escada, cabo, mapa e tela

Pitágoras e a trigonometria: a mesma conta dividida por $a^2$

Divida $b^2 + c^2 = a^2$ por $a^2$: $\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{c}{a}\right)^2 = 1$. As razões $b/a$ e $c/a$ são o seno e o cosseno de um dos ângulos agudos, e a igualdade vira $\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1$, a relação fundamental da trigonometria. No triângulo 3-4-5: $0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$. É assim que a prova cobra Pitágoras “disfarçado”: em 2013, no losango de lado 10 e diagonais 16 e 12, o item afirmava que $\operatorname{sen}\beta = \cos(\alpha/2)$, com $\beta$ o ângulo entre o lado e a diagonal maior e $\alpha$ o ângulo do losango no vértice de cima. Os dois valem $6/10$, porque $\beta$ e $\alpha/2$ são os dois ângulos agudos do mesmo triângulo de catetos 6 e 8 e hipotenusa 10: C. Em 2015, as velas de uma caravela eram triângulos retângulos isósceles com o maior lado (a hipotenusa) medindo $20\sqrt{2}$ m: catetos iguais a $\ell$ com $2\ell^2 = 800$, $\ell = 20$ m, e o item concluía que a caravela media mais de 20 m, C. Seno, cosseno e tangente ficam para a próxima página; aqui basta saber que eles são razões entre os lados deste triângulo.

Ler a figura como a banca desenha

O item de geometria do PAS vem com figura de obra, mapa ou planta, e o triângulo retângulo raramente está marcado. O protocolo:

1. Copie a figura e transfira para ela cada informação do enunciado. Comprimentos, ângulos, retas paralelas, e as palavras que escondem um ângulo reto: “vertical”, “horizontal”, “perpendicular”. Se um dado do texto sobrou sem lugar no desenho, você ainda não enxergou o triângulo.
2. Cace o ângulo reto. Ele está em parede e chão, em altura baixada sobre a base, em diagonal de retângulo, em raio e tangente, em raio e corda pelo ponto médio, em eixos coordenados, em aresta vertical e diagonal da base.
3. Nomeie a hipotenusa antes de escrever a equação. É o lado oposto ao ângulo reto, não o lado que parece maior no desenho.
4. Escreva a equação e resolva até o fim. Aproxime a raiz só no final, com o valor do comando. Se a pergunta é “maior que”, compare quadrados quando puder: $281 > 250$ dispensa a raiz.
5. Confira o ordenamento: hipotenusa maior que cada cateto; projeção maior debaixo do cateto maior; altura menor que o cateto menor.

Um caso completo. Em 2019, o Teatro Nacional Cláudio Santoro foi idealizado como um tronco de pirâmide de base trapezoidal, com o topo 21 m acima da base; as faces frontal e posterior eram trapézios de alturas 35 m e 65 m (alturas das faces, medidas sobre a face inclinada). O item: “o trapézio da base tem altura superior a 80 m”. A altura da base é a distância horizontal entre os pés das duas faces. Cada face inclinada é a hipotenusa de um triângulo cujo cateto vertical é 21 m; as projeções horizontais são $\sqrt{35^2 - 21^2} = \sqrt{784} = 28$ m e $\sqrt{65^2 - 21^2} = \sqrt{3784} \approx 61{,}5$ m. Só as duas projeções somam $89{,}5$ m, e ainda falta a largura do topo: C. Dois ternos escondidos ($7 \times (3, 4, 5)$ no primeiro) e um limiar vencido com folga.

Os erros que a banca planta

1. Somar os catetos. $3 + 4 = 7$, não 5. A hipotenusa é sempre menor que a soma dos catetos (desigualdade triangular) e maior que cada um deles. A bola do pênalti percorre $11{,}6$ m, não $11 + 3{,}66$.
2. Aplicar o teorema onde não há ângulo reto. A igualdade $a^2 = b^2 + c^2$ é exclusiva do triângulo retângulo; para dois lados que formam qualquer outro ângulo, o terceiro lado vem da lei dos cossenos, que corrige a soma dos quadrados com um termo a mais. O item de 2010 perguntava justamente se o ângulo era reto, e não era.
3. Confundir hipotenusa com “o lado inclinado”. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Numa escada, é a escada; num paralelepípedo, é a diagonal do sólido, não a da face.
4. Distribuir a raiz. $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ e $\sqrt{a^2 - b^2} \neq a - b$. Some ou subtraia primeiro; a raiz vem depois.
5. Subtrair ao contrário. Falta um cateto: $\text{cateto}^2 = \text{hipotenusa}^2 - \text{outro cateto}^2$, nunca o inverso. Se a conta dá negativo, os papéis estão trocados.
6. Misturar unidades. Em 2023, $h = 30$ cm e $c = 6$ m: quem divide $30/6$ acha uma inclinação de 500%. Converta antes ($0{,}30/6 = 0{,}05 = 5\%$).
7. Tratar a polegada da TV como largura. É a diagonal. A largura é cerca de 87% dela em 16:9.
8. Confundir distância com caminho. A fórmula da distância mede a reta; o percurso pelas ruas soma os catetos. Leia qual dos dois o item pede.

O essencial em meia página

• Nomes: hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior; catetos formam o ângulo reto. A altura relativa à hipotenusa divide-a nas projeções $m$ (sob $b$) e $n$ (sob $c$), com $m + n = a$.
• Teorema: $a^2 = b^2 + c^2$. Falta a hipotenusa: soma. Falta um cateto: subtração. A raiz entra por último e é positiva.
• Demonstrações: por áreas (quatro triângulos num quadrado de lado $b + c$, dois arranjos, mesma sobra) e por semelhança (a altura cria três triângulos semelhantes; $b^2 = am$ e $c^2 = an$ somam $a^2$).
• Relações métricas: $b^2 = a\,m$, $c^2 = a\,n$, $h^2 = m\,n$, $b\,c = a\,h$. Duas medidas conhecidas determinam as outras quatro.
• Recíproca: $a^2 = b^2 + c^2$ garante ângulo reto oposto a $a$; $a^2 > b^2 + c^2$, obtuso; $<$, agudo. Teste com os quadrados das distâncias.
• Ternos: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$ e seus múltiplos. Só $(3, 4, 5)$ é de consecutivos; ternos são infinitos.
• Figuras: diagonal do quadrado $\ell\sqrt{2}$; do retângulo $\sqrt{L^2 + H^2}$; altura do equilátero $\ell\sqrt{3}/2$; diagonal do paralelepípedo $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, do cubo $a\sqrt{3}$; lado do losango $\sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2}$; apótema da pirâmide $g^2 = H^2 + (\ell/2)^2$; corda $r^2 = d^2 + (\text{corda}/2)^2$.
• Distância entre pontos: $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$. Linha reta e caminho percorrido são perguntas diferentes.
• Aplicações: rampa NBR 9050 ($i = h/c \leq 1/12$; comprimento é a hipotenusa), escada, cabo, mapa, TV (polegada = diagonal).
• Ponte com a trigonometria: $\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1$ é Pitágoras dividido por $a^2$.
• Na prova: redesenhe, cace o ângulo reto, nomeie a hipotenusa, resolva até o fim, compare quadrados no limiar e confira o ordenamento dos lados.