Trigonometria no triângulo

Em dezembro de 2023, a prova do PAS 1 reproduziu um trecho da norma de acessibilidade NBR 9050 e sua tabela: uma rampa com desnível entre 20 cm e 80 cm não pode ter inclinação acima de 8,33 %, “1:12”, e a inclinação é definida como $i = h/c$, a altura do desnível dividida pela projeção horizontal. Três itens saíram dali. Um deles perguntava se, para vencer 40 cm, a projeção horizontal precisaria passar de 4 m. A palavra “tangente” não aparece em lugar nenhum do texto, mas é exatamente dela que se trata: a inclinação de uma rampa é a razão entre o que sobe e o que avança, e essa razão depende só do ângulo que a rampa faz com o chão. Rampa de 12 m de avanço e 1 m de subida ou rampa de 24 m e 2 m: mesmo ângulo, mesma razão, mesma inclinação.

É esse o assunto desta página. Escolha um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo: cada quociente entre dois lados fica amarrado a esse ângulo, e não ao tamanho da figura. Esses quocientes têm nome (seno, cosseno, tangente) e uma tabela curta que se deduz em um minuto. Com elas, um ângulo medido com um transferidor e uma distância medida com uma trena devolvem a altura de um prédio, a largura de um rio, o comprimento de uma haste, o ângulo de visada de um satélite. Quando o triângulo não tem ângulo reto, duas leis fazem o mesmo serviço: a lei dos senos e a lei dos cossenos. O teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos entram aqui como ferramentas, e têm páginas próprias; o círculo trigonométrico, os radianos e as funções seno e cosseno ficam para as páginas seguintes.

Por que uma razão entre lados só depende do ângulo

Desenhe um ângulo agudo $\theta$ com vértice em $A$ e, sobre um dos lados, marque pontos $B_1$, $B_2$, $B_3$ a distâncias diferentes de $A$. De cada um deles, baixe a perpendicular ao outro lado do ângulo. Nascem três triângulos retângulos, um dentro do outro, todos com o ângulo $\theta$ em $A$ e o ângulo reto no pé da perpendicular. Dois ângulos iguais bastam: os três triângulos são semelhantes (critério AA), e em triângulos semelhantes as razões entre lados correspondentes são iguais. A razão “cateto de frente para $\theta$ dividido por hipotenusa” dá o mesmo número nos três triângulos, seja o triângulo do tamanho de uma folha ou do tamanho de um quarteirão.

Esse número é, portanto, uma propriedade do ângulo, não do triângulo. É isso que autoriza dar nome a ele.

No triângulo de catetos 3 e 4 e hipotenusa 5, com $\theta$ no vértice entre o cateto 4 e a hipotenusa: $\operatorname{sen}\theta = 3/5 = 0{,}6$, $\cos\theta = 4/5 = 0{,}8$, $\operatorname{tg}\theta = 3/4 = 0{,}75$. Troque o ângulo de referência pelo outro ângulo agudo e as razões trocam de lugar: seno $0{,}8$, cosseno $0{,}6$, tangente $4/3$. É o cuidado que decide a maior parte dos itens: marque o ângulo na figura antes de escrever a razão, e pergunte “oposto a quem?”.

Três outras razões aparecem de vez em quando com nome próprio: a secante $\sec\theta = 1/\cos\theta$ (hipotenusa sobre adjacente), a cossecante $\operatorname{cossec}\theta = 1/\operatorname{sen}\theta$ e a cotangente $\operatorname{cotg}\theta = 1/\operatorname{tg}\theta$. Nenhuma delas é um conceito novo: são as mesmas razões invertidas. A prova já as usou como distrator: em 2012, o estádio olímpico de Londres virou um tronco de cone de 30 m de altura; a parede inclinada (a geratriz) formava um ângulo $\alpha$ com a vertical, a borda de cima ficava deslocada $b - a$ na horizontal em relação à de baixo, e o item afirmava $30\sec\alpha = b - a$. No triângulo retângulo da seção, o cateto oposto a $\alpha$ é o horizontal, $b - a$, e o adjacente é o vertical, 30: a relação certa é $30\operatorname{tg}\alpha = b - a$. A secante daria a geratriz, não o deslocamento. Item errado.

Três ângulos resolvem quase tudo: a tabela deduzida

Qualquer valor de seno, cosseno ou tangente fora de três ângulos é fornecido pelo enunciado. Esses três, $30^\circ$, $45^\circ$ e $60^\circ$, saem de duas figuras que você sabe desenhar.

Metade do quadrado. Um quadrado de lado 1 tem diagonal $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. A diagonal o divide em dois triângulos retângulos isósceles, com ângulos de $45^\circ$. Para qualquer um dos ângulos de $45^\circ$: oposto 1, adjacente 1, hipotenusa $\sqrt{2}$. Logo $\operatorname{sen}45^\circ = \cos 45^\circ = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0{,}707$ e $\operatorname{tg}45^\circ = 1$. Tangente 1 significa “sobe tanto quanto avança”: um telhado a $45^\circ$ sobe 1 m a cada metro horizontal.

Metade do triângulo equilátero. Um triângulo equilátero de lado 2 tem três ângulos de $60^\circ$. A altura cai no ponto médio da base, cria dois triângulos retângulos com cateto 1 (metade da base), hipotenusa 2 e cateto maior $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. O ângulo do topo foi dividido ao meio: $30^\circ$. Para o ângulo de $30^\circ$, o oposto é 1 e o adjacente é $\sqrt{3}$; para o de $60^\circ$, é o contrário.

Os dois irracionais da tabela aparecem de dois jeitos. Quando o item fica na forma exata ($\ell\sqrt{3}/2$, $2\sqrt{3}a$), nada é aproximado. Quando o item pede um número, o enunciado fornece a aproximação (“assumindo 1,73 como o valor aproximado de $\sqrt{3}$”, na prova do PAS 1 de 2014), e os valores usuais são $\sqrt{2} \approx 1{,}4$ e $\sqrt{3} \approx 1{,}7$ ou $1{,}73$. Se o enunciado diz “$\operatorname{sen}60^\circ = 0{,}85$”, ele está arredondando $0{,}866$; use o valor que ele deu, porque o limiar do item foi calibrado com ele.

Repare no que a tabela mostra: o seno cresce com o ângulo (de $0{,}5$ a $0{,}866$), o cosseno decresce e a tangente cresce depressa, passando de 1 em $45^\circ$. Mas o crescimento não é proporcional: dobrar o ângulo de $30^\circ$ para $60^\circ$ leva o seno de $0{,}5$ a $0{,}866$, não a 1. Um cabo de 20 m esticado do topo de um poste até o chão, a $30^\circ$ com o solo, revela um poste de $20 \times 0{,}5 = 10$ m; a $60^\circ$, o poste teria $20 \times 0{,}866 \approx 17{,}3$ m, e não 20 m.

Três relações que a tabela já cumpre

Confira na tabela: $0{,}5^2 + 0{,}866^2 = 0{,}25 + 0{,}75 = 1$; $0{,}5/0{,}866 = 0{,}577$, que é $\operatorname{tg}30^\circ$; e $\operatorname{sen}30^\circ = \cos 60^\circ = 0{,}5$. A primeira relação serve para achar o cosseno quando só o seno é dado: se $\operatorname{sen}\theta = 3/5$, então $\cos^2\theta = 1 - 9/25 = 16/25$ e $\cos\theta = 4/5$, sem desenhar nada. A terceira foi um item inteiro em 2014: a prova do PAS 1 desenhou um raio de luz saindo do ponto $A$, no eixo $x$, até o ponto $B$, no eixo $y$, e definiu $\alpha$ como o ângulo entre $AB$ e a horizontal e $\beta$ como o ângulo entre $AB$ e o eixo $y$. Se $\operatorname{sen}\alpha = 3/5$, então $\operatorname{sen}\beta = 4/5$? Sim: $\alpha$ e $\beta$ são os dois ângulos agudos do mesmo triângulo retângulo $ABO$, e o seno de um é o cosseno do outro, $\cos\alpha = \sqrt{1 - 9/25} = 4/5$. Item certo.

Um lado e um ângulo devolvem o triângulo inteiro

Resolver um triângulo retângulo é encontrar os lados e os ângulos que faltam a partir dos que se conhecem. Há dois casos, e um roteiro para cada um.

Caso 1: um lado e um ângulo agudo. O outro ângulo agudo é $90^\circ$ menos o dado. Para cada lado que falta, escolha a razão que liga o lado conhecido ao lado procurado: lado procurado oposto e hipotenusa conhecida, seno; adjacente e hipotenusa, cosseno; os dois catetos, tangente. Depois, Pitágoras confere.

Exemplo resolvido 1: a escada. Uma escada de 6 m está apoiada numa parede, fazendo $60^\circ$ com o chão. A que altura ela toca a parede, e a que distância da parede está o pé da escada? Use $\sqrt{3} = 1{,}73$.

Estratégia: a escada é a hipotenusa; a altura é o cateto oposto ao ângulo de $60^\circ$ (que está no chão); a distância ao pé da parede é o cateto adjacente.

Resolução: altura $= 6 \cdot \operatorname{sen}60^\circ = 6 \cdot 0{,}866 \approx 5{,}2$ m (exatamente $3\sqrt{3}$). Distância $= 6 \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot 0{,}5 = 3$ m.

Conferência: $3^2 + 5{,}2^2 = 9 + 27 = 36 = 6^2$. Fecha. E a leitura faz sentido: a $60^\circ$ a escada está “em pé”, sobe mais do que avança.

Caso 2: dois lados. Pitágoras dá o terceiro lado. Para o ângulo, calcule a razão correspondente e compare com a tabela ou com os valores fornecidos: a razão vem primeiro, o ângulo depois. Se a razão não está na tabela, o enunciado dá o valor, ou o item só pede uma comparação (“o ângulo é menor que $60^\circ$?”), e aí basta saber em que sentido a razão cresce.

Exemplo resolvido 2: o ângulo da face da pirâmide. Em 2020, a prova do PAS 1 descreveu uma pirâmide reta de base quadrada com lado $b = 60$ m e arestas laterais $a = 50$ m, e afirmou que o ângulo entre uma face lateral e a base é menor que $60^\circ$. Julgue.

Estratégia: o ângulo entre a face e a base é o ângulo, no triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide, pelo apótema da base (30 m, metade do lado) e pelo apótema da face (altura do triângulo lateral), no vértice que fica sobre a base. Esse triângulo tem o apótema da face como hipotenusa.

Resolução: a face é um triângulo isósceles de lados 50, 50 e 60; sua altura, baixada ao meio da base, mede $\sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{1600} = 40$ m (é o item vizinho, resolvido na página de Pitágoras). O ângulo $\varphi$ procurado tem adjacente 30 (apótema da base) e hipotenusa 40 (apótema da face): $\cos\varphi = 30/40 = 0{,}75$. Como o cosseno decresce com o ângulo e $\cos 60^\circ = 0{,}5 < 0{,}75$, o ângulo $\varphi$ é menor que $60^\circ$. Item certo.

Conferência: $\cos 45^\circ \approx 0{,}707 < 0{,}75$, então $\varphi$ fica até abaixo de $45^\circ$ (cerca de $41^\circ$); a altura da pirâmide, $\sqrt{40^2 - 30^2} \approx 26{,}5$ m, confirma uma face relativamente deitada.

A tangente é a inclinação: rampas, telhados e a NBR 9050

Uma rampa que sobe $h$ ao avançar $c$ na horizontal tem inclinação $i = h/c$, a tangente do ângulo que ela faz com o chão. Engenheiros e normas escrevem essa razão em porcentagem (“8,33 %”) ou na forma “1:12” (um de subida para doze de avanço); as duas dizem a mesma coisa: $1/12 \approx 0{,}0833 = 8{,}33\,\%$.

Graus e porcentagem não são proporcionais, e vale ter uma ideia dos tamanhos: $5\,\%$ é um ângulo de cerca de $2{,}9^\circ$; $8{,}33\,\%$, de $4{,}8^\circ$; $10\,\%$, de $5{,}7^\circ$; $100\,\%$ é $45^\circ$, e não “vertical”. Uma rampa de $45^\circ$ já é uma escada íngreme; a rampa acessível é quase plana, e é por isso que ela fica comprida.

Exemplo resolvido 3: o comprimento mínimo da rampa. No item de 2023 da abertura, a rampa precisava vencer um desnível de 40 cm. Pela tabela, a inclinação máxima é $8{,}33\,\% = 1/12$. O item afirmava que a projeção horizontal $c$ deveria ser superior a 4 m.

Estratégia: inclinação máxima significa $h/c \le 1/12$, ou seja, $c \ge 12h$. Unidades iguais antes de qualquer conta.

Resolução: $c \ge 12 \times 0{,}40 = 4{,}8$ m. Como $4{,}8 > 4$, a afirmação se sustenta: certo.

Conferência: quem usa a faixa errada (1:10) acha $c \ge 4{,}0$ m e fica em dúvida no limiar; a faixa certa deixa 80 cm de folga. O outro item do bloco dava $c = 6$ m e $h = 30$ cm e perguntava se a rampa atendia à norma: $i = 0{,}30/6 = 0{,}05 = 5\,\%$, abaixo dos $8{,}33\,\%$ permitidos para 30 cm; atende. Quem esqueceu de converter 30 cm em 0,30 m achou $i = 5$ e concluiu o contrário.

O mesmo raciocínio serve para telhados (um telhado “de 30 %” sobe 30 cm por metro), estradas (a placa de “10 %” numa serra é $\operatorname{tg}\theta = 0{,}1$), esteiras e até para a reta num gráfico: o coeficiente angular de uma função afim é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo horizontal. Foi assim em 2016: duas retas $r = 5t$ e $r = 3t$ (os raios de duas ondas sísmicas em função do tempo) formam um ângulo $\theta$ na origem; com a fórmula de $\operatorname{tg}(A - B)$ fornecida pelo item, $\operatorname{tg}\theta = \dfrac{5 - 3}{1 + 5 \cdot 3} = \dfrac{2}{16} = 0{,}125$, e a afirmação “$\operatorname{tg}\theta < 0{,}1$” era falsa. A tangente de cada reta é o coeficiente angular; o resto é conta.

Medir o que não se alcança: alturas e distâncias por ângulos

Ninguém sobe num prédio com uma trena para medir sua altura. Mede-se a distância até a base, mede-se o ângulo de elevação (o ângulo entre a horizontal e a linha de visada até o topo) e a tangente faz o resto. Topógrafos usam um teodolito; em sala de aula, um transferidor com um canudo e um fio de prumo (um clinômetro) resolve.

Exemplo resolvido 4: a altura do prédio. De um ponto a 40 m da base de um prédio, em terreno plano, uma pessoa cujos olhos estão a 1,6 m do chão vê o topo sob um ângulo de elevação de $30^\circ$. Qual é a altura do prédio? Use $\sqrt{3} = 1{,}73$.

Estratégia: o triângulo retângulo tem o cateto horizontal 40 (do olho até a vertical do prédio) e o cateto vertical igual à parte do prédio acima dos olhos. Dois catetos, um ângulo: tangente.

Resolução: parte acima dos olhos $= 40 \cdot \operatorname{tg}30^\circ = 40 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{40 \cdot 1{,}73}{3} \approx 23{,}1$ m. Altura do prédio $\approx 23{,}1 + 1{,}6 = 24{,}7$ m.

Conferência: a $30^\circ$ a altura deve ser bem menor que a distância (tangente $0{,}577$): 23 contra 40, coerente. Esquecer os 1,6 m é o erro clássico; a prova costuma dar a altura do observador justamente para ver quem a usa.

Exemplo resolvido 5: a largura do rio. Para medir a largura de um rio sem atravessá-lo, marca-se um ponto $A$ na margem, em frente a uma árvore $T$ na margem oposta (de modo que $AT$ seja perpendicular à margem), caminha-se 50 m ao longo da margem até um ponto $B$ e mede-se, em $B$, o ângulo entre a margem e a visada até a árvore: $40^\circ$. Dado $\operatorname{tg}40^\circ = 0{,}84$, qual é a largura?

Estratégia: o triângulo $ABT$ é retângulo em $A$; a largura $AT$ é o cateto oposto ao ângulo de $40^\circ$ em $B$, e $AB = 50$ é o adjacente.

Resolução: $AT = 50 \cdot \operatorname{tg}40^\circ = 50 \cdot 0{,}84 = 42$ m.

Conferência: a $45^\circ$ a largura seria igual aos 50 m; a $40^\circ$, um pouco menos. 42 m é coerente. Esse é o método de Tales para a pirâmide, com ângulo no lugar da sombra: a semelhança e a trigonometria são a mesma ideia com instrumentos diferentes.

Quando a visada é de cima para baixo (de um mirante para um barco, de um avião para a pista), o ângulo chama-se de depressão, medido a partir da horizontal para baixo. Como a horizontal do observador é paralela ao chão, o ângulo de depressão é igual ao ângulo de elevação visto do outro ponto (alternos internos), e a conta é a mesma.

Mapas, escalas e o triângulo escondido

Num mapa em escala 1:50 000, as distâncias horizontais estão reduzidas, mas os ângulos não: a semelhança preserva ângulos. Por isso dá para medir no mapa o ângulo entre duas estradas e usá-lo na conta real. Já as alturas não estão no mapa: a inclinação de uma estrada entre duas curvas de nível é o desnível real (diferença entre as cotas) dividido pela distância horizontal real (a medida no mapa vezes a escala). Um trecho de 2 cm no mapa 1:50 000 entre as cotas 800 m e 900 m avança $2 \times 50\,000$ cm $= 1\,000$ m e sobe 100 m: inclinação $0{,}1 = 10\,\%$, um ângulo de cerca de $5{,}7^\circ$.

O triângulo retângulo também se esconde dentro de sólidos e de figuras planas. Em 2022, a prova do PAS 1 recortou uma gravura de Escher e afirmou, num triângulo $ADE$ retângulo em $E$ com $D\widehat{A}E = 30^\circ$ e $AD = \ell$, que o segmento $AE$ media $\ell/2$. $AE$ é o cateto adjacente ao ângulo de $30^\circ$: $AE = \ell\cos 30^\circ = \ell\sqrt{3}/2$. O que mede $\ell/2$ é o cateto oposto, $DE = \ell\operatorname{sen}30^\circ$. Item errado, e o erro é o da primeira armadilha desta página. Em 2011, na prova do PAS 2, foi um carro subindo uma rampa de ângulo $\theta$: com $A = (0, 0)$ no pé, $C = (k, 0)$ sob o topo e $\theta = 45^\circ$, a rampa $AB$ é a hipotenusa e $AC = k$ é o adjacente, $AB = k/\cos 45^\circ = k\sqrt{2} \approx 1{,}41k$, menor que $3k/2$. Certo. Com $45^\circ$ dá até para dispensar a tabela: os catetos são iguais, $BC = k$, e Pitágoras dá $AB = k\sqrt{2}$.

Sem ângulo reto: a lei dos cossenos corrige Pitágoras

Duas estradas saem do mesmo entroncamento formando $120^\circ$ entre si; um carro está a 7 km do entroncamento numa delas e outro a 8 km na outra. A que distância estão um do outro? No triângulo entroncamento–carro–carro nenhum ângulo mede $90^\circ$, de modo que não há hipotenusa nem catetos para encaixar nas razões da seção anterior. Os dados disponíveis, os dois lados e o ângulo que eles formam, são suficientes, desde que Pitágoras receba um termo de correção.

De onde vem. No triângulo $ABC$, chame de $a$, $b$ e $c$ os lados opostos aos vértices $A$, $B$ e $C$. Baixe a altura $h$ de $C$ sobre o lado $AB$ (ou seu prolongamento). No triângulo retângulo da esquerda, $h = b\operatorname{sen}A$ e o pé da altura fica a $b\cos A$ de $A$. No triângulo retângulo da direita, o cateto horizontal é $c - b\cos A$ e a hipotenusa é $a$. Pitágoras:

$$a^2 = (b\operatorname{sen}A)^2 + (c - b\cos A)^2 = b^2\operatorname{sen}^2 A + c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A = b^2 + c^2 - 2bc\cos A,$$

usando $\operatorname{sen}^2 A + \cos^2 A = 1$ no último passo.

Para o ângulo obtuso é preciso saber o cosseno de um ângulo acima de $90^\circ$, e a regra é curta: o cosseno de um ângulo obtuso é o oposto do cosseno do seu suplemento, $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$; o seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do suplemento, $\operatorname{sen}(180^\circ - x) = \operatorname{sen}x$, e portanto positivo. Assim, $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -0{,}5$, $\cos 135^\circ = -\sqrt{2}/2$, $\cos 150^\circ = -\sqrt{3}/2$, mas $\operatorname{sen}120^\circ = \operatorname{sen}60^\circ = \sqrt{3}/2$. A justificativa completa está no círculo trigonométrico; aqui basta a regra, e o fato de que todo ângulo interno de triângulo fica entre $0^\circ$ e $180^\circ$, onde o seno nunca é negativo. Quando a conta pede um cosseno fora da tabela, o enunciado o entrega pronto, com sinal e tudo (um item que envolva o ângulo interno do pentágono regular, por exemplo, dirá “$\cos 108^\circ = -0{,}31$”); a sua parte é copiar o número como está, sem “corrigir” o sinal negativo.

Exemplo resolvido 6: as duas estradas. Lados 7 e 8 com $120^\circ$ entre eles, $\cos 120^\circ = -0{,}5$.

Resolução: $d^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot (-0{,}5) = 49 + 64 + 56 = 169$, logo $d = 13$ km.

Conferência: o ângulo é obtuso, então $d$ deve ser maior que a hipotenusa do caso reto, $\sqrt{113} \approx 10{,}6$: $13 > 10{,}6$, coerente. E o maior lado (13) está de frente para o maior ângulo ($120^\circ$). Se o ângulo fosse $60^\circ$, o termo descontaria: $49 + 64 - 56 = 57$, $d \approx 7{,}5$ km, menor que $10{,}6$. A conta com ângulo obtuso fechou num quadrado perfeito, e isso é a assinatura dos itens numéricos da banca: raiz suja costuma ser sinal trocado.

Exemplo resolvido 7: o terceiro lado da área desmatada (PAS 2, 2023). O texto-base descrevia uma área desmatada triangular da qual a figura mostrava só um pedaço; no vértice $A$ encontravam-se dois lados, de 60 m e de 100 m, e o enunciado informava $\cos\widehat{A} = -1/2$. O item do tipo B pedia o lado oposto a $A$.

Estratégia: o que se conhece são os dois lados que se encontram em $A$ e o próprio ângulo $\widehat{A}$; é o caso da lei dos cossenos, e o cosseno entra na conta com o sinal que o enunciado deu.

Resolução: $a^2 = 60^2 + 100^2 - 2 \cdot 60 \cdot 100 \cdot (-1/2) = 3\,600 + 10\,000 + 6\,000 = 19\,600$, e $a = 140$ m.

Conferência: $\cos\widehat{A} = -1/2$ é o cosseno de $120^\circ$; os outros dois ângulos somam $60^\circ$, menos que $\pi/2$ rad (era o item vizinho, certo), e o seno de $120^\circ$ é $\sqrt{3}/2 > 0$ (o outro item vizinho afirmava que era negativo: errado). Quem subtraiu o termo achou $7\,600$, cuja raiz não é inteira: o aviso de que o sinal foi trocado.

Dos três lados ao ângulo. Isolando o cosseno: $\cos\widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. O sinal do resultado classifica o ângulo sem tabela: positivo, agudo; zero, reto; negativo, obtuso. No triângulo 5, 5, 8, o ângulo oposto ao lado 8 tem $\cos = (25 + 25 - 64)/50 = -0{,}28$, obtuso. Em 2017, a prova do PAS 2 (num caderno impresso em fonte cifrada, o que não mudou a Matemática) descreveu uma camisa com um triângulo isósceles de lados 5 cm, 5 cm e 8 cm que, visto num espelho convexo, continuava isósceles, com a base reduzida à metade e o perímetro mantido: lados 7, 7 e 4. O item afirmava que o cosseno do ângulo oposto à base, no triângulo da imagem, é maior que $0{,}82$: $\cos = (49 + 49 - 16)/(2 \cdot 7 \cdot 7) = 82/98 \approx 0{,}837$. Certo.

A lei dos senos: lados e senos dos ângulos opostos na mesma proporção

Volte ao triângulo com a altura $h$ baixada de $C$. Ela pode ser calculada pelos dois triângulos retângulos que cria: $h = b\operatorname{sen}A$ e $h = a\operatorname{sen}B$. Igualando, $b\operatorname{sen}A = a\operatorname{sen}B$, isto é, $\dfrac{a}{\operatorname{sen}A} = \dfrac{b}{\operatorname{sen}B}$. Baixando a altura de outro vértice, o terceiro lado entra na mesma igualdade.

A igualdade com $2R$ vem de um fato da circunferência: o ângulo inscrito num diâmetro é reto. Trace o diâmetro $BB'$; o triângulo $BCB'$ é retângulo em $C$, e o ângulo em $B'$ é igual ao ângulo $\widehat{A}$ porque ambos enxergam o mesmo arco $BC$. Nesse triângulo retângulo, $\operatorname{sen}\widehat{A} = a/(2R)$. Esse detalhe raramente é cobrado, mas explica por que o quociente é o mesmo nos três vértices e liga esta página à da circunferência.

Exemplo resolvido 8: um lado e dois ângulos. Num triângulo, dois dos ângulos medem $30^\circ$ e $45^\circ$, e o lado que fica de frente para o de $30^\circ$ mede 8 cm. Com $\operatorname{sen}45^\circ = 0{,}7$, quanto mede o lado de frente para o de $45^\circ$?

Estratégia: há um par completo, lado de 8 cm com seu ângulo oposto de $30^\circ$, e um segundo ângulo: lei dos senos.

Resolução: a razão comum é $\dfrac{8}{\operatorname{sen}30^\circ} = \dfrac{8}{0{,}5} = 16$; então $\dfrac{x}{\operatorname{sen}45^\circ} = 16$ e $x = 16 \cdot 0{,}7 = 11{,}2$ cm.

Conferência: o ângulo maior ($45^\circ$) ficou de frente para o lado maior (11,2 > 8). Coerente. O terceiro ângulo mede $105^\circ$ e seu lado, $16\operatorname{sen}105^\circ = 16\operatorname{sen}75^\circ \approx 15{,}5$ cm, o maior dos três. E a razão 16 é o diâmetro da circunferência circunscrita: $R = 8$ cm.

A prova usou a lei dos senos uma vez, em 2007, disfarçada de mecânica: numa locomotiva, a manivela de comprimento $r$ presa à roda e a biela de comprimento $b$ ligada ao pistão formam, com a horizontal, os ângulos $\varphi$ (no centro da roda) e $\theta$ (no pistão), e o item afirmava $r\operatorname{sen}\varphi = b\operatorname{sen}\theta$. Os dois produtos são a altura do pino da manivela acima da linha do pistão, calculada pelos dois triângulos retângulos que essa altura cria. Certo, e é exatamente a dedução da lei dos senos.

O caso ambíguo: quando dois triângulos cabem nos mesmos dados

Dois lados e o ângulo oposto a um deles (dados do tipo LLA) nem sempre determinam um triângulo único. O motivo é o seno: $\operatorname{sen}x = \operatorname{sen}(180^\circ - x)$, então a lei dos senos devolve um seno, e um seno entre 0 e 1 corresponde a dois ângulos possíveis, um agudo e um obtuso.

Exemplo resolvido 9: dois triângulos. $b = 8$, $a = 5$ e $\widehat{A} = 30^\circ$. Quantos triângulos existem, e quais são os ângulos $\widehat{B}$ possíveis? Use $\operatorname{sen}53^\circ = 0{,}8$.

Resolução: $\operatorname{sen}\widehat{B} = \dfrac{b\operatorname{sen}\widehat{A}}{a} = \dfrac{8 \cdot 0{,}5}{5} = 0{,}8$. Os ângulos com seno $0{,}8$ são $53^\circ$ e $180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$. Os dois servem? $30^\circ + 53^\circ = 83^\circ < 180^\circ$, sim; $30^\circ + 127^\circ = 157^\circ < 180^\circ$, sim também. Há dois triângulos: um com $\widehat{B} = 53^\circ$ e $\widehat{C} = 97^\circ$, outro com $\widehat{B} = 127^\circ$ e $\widehat{C} = 23^\circ$.

Conferência pela figura: a altura de $C$ sobre a reta $AB$ mede $b\operatorname{sen}A = 4$; o lado $a = 5$ é maior que 4 e menor que $b = 8$, então o compasso de raio 5 centrado em $C$ corta a reta duas vezes do lado certo. Se $a$ fosse 4, tocaria uma vez (triângulo retângulo em $B$); se fosse 3, não alcançaria; se fosse 9, maior que $b$, só um dos cortes ficaria do lado do ângulo.

A regra, para $\widehat{A}$ agudo: $a < b\operatorname{sen}A$, nenhum triângulo; $a = b\operatorname{sen}A$, um (retângulo); $b\operatorname{sen}A < a < b$, dois; $a \ge b$, um. Se $\widehat{A}$ é reto ou obtuso, só existe triângulo quando $a > b$, e ele é único. É a mesma discussão do caso LLA na página de construções geométricas, agora com a conta no lugar do compasso.

Área sem altura: $\tfrac{1}{2}ab\operatorname{sen}C$

A área de um triângulo é base vezes altura sobre dois. Se a altura não é dada mas dois lados e o ângulo entre eles são, a altura sai de uma razão: no triângulo com lados $a$ e $b$ formando o ângulo $\widehat{C}$, a altura relativa ao lado $a$ é $b\operatorname{sen}C$.

Um terreno triangular com lados de 12 m e 9 m formando $60^\circ$ tem área $\tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot 0{,}866 \approx 46{,}8$ m². Com os mesmos lados a $90^\circ$ teria 54 m²; a $30^\circ$, 27 m². Essa fórmula também fecha o cálculo de áreas de figuras planas regulares: um polígono regular de $n$ lados inscrito numa circunferência de raio $R$ é a soma de $n$ triângulos de lados $R$, $R$ e ângulo central $360^\circ/n$, área total $\tfrac{n}{2}R^2\operatorname{sen}(360^\circ/n)$.

Qual ferramenta usar? Olhe para os dados, não para o desenho

A escolha entre Pitágoras, razão trigonométrica, lei dos senos e lei dos cossenos não é questão de preferência: cada uma pede um conjunto de dados.

Dois sinais de alerta. Ângulo entre dois lados conhecidos não serve na lei dos senos (não há lado oposto conhecido); três ângulos sem lado nenhum dão só a forma, não o tamanho (semelhança). E, antes de qualquer conta, a ordem lado–ângulo elimina afirmações impossíveis: um item que coloque o maior ângulo de frente para o menor lado está errado sem cálculo.

A prova gosta de testar esse “qual lei” antes do número. Em 2011, a molécula da vitamina C virou um pentágono regular com átomos nos vértices. Dois lados e uma diagonal formam ali um triângulo, com um ângulo $\alpha$ em cada extremidade da diagonal; o item perguntou se, conhecidos $\cos\alpha$ e a distância $\ell$ entre dois átomos vizinhos (o lado), seria possível determinar a distância entre o átomo de um vértice e qualquer outro. As distâncias são o lado (já dado) e a diagonal. O triângulo é isósceles de lados $\ell$, $\ell$ e diagonal $d$, com $\alpha$ em cada extremo da base: a altura baixada do vértice oposto divide a base ao meio, e $d/2 = \ell\cos\alpha$, logo $d = 2\ell\cos\alpha$. Dados suficientes; item certo. Pela lei dos cossenos daria no mesmo, com o ângulo do topo ($108^\circ = 180^\circ - 2\alpha$). O item vizinho afirmava que a altura $h$ desse triângulo era metade do lado: $h = \ell\operatorname{sen}\alpha$ com $\alpha = 36^\circ$, e o único ângulo agudo cujo seno é $1/2$ é $30^\circ$; errado.

Ler a figura e estimar com a tabela que o enunciado dá

Os itens de trigonometria do PAS vêm quase sempre com uma figura, e, quando a conta precisa de um número fora da tabela, o enunciado o fornece (em 2014: “assumindo 1,73 como o valor aproximado de $\sqrt{3}$”); os exercícios desta página fazem o mesmo (“considerando $\operatorname{sen}45^\circ = 0{,}7$”). O protocolo:

1. Refaça o desenho no rascunho e transfira para ele cada dado do texto: medidas, ângulos, ângulo reto, paralelismos. Ângulo reto não declarado nem desenhado com o símbolo não existe.
2. Marque o ângulo de referência e nomeie os catetos em relação a ele.
3. Leia o comando antes do item: os valores fornecidos avisam quais ângulos vão aparecer ($\sqrt{3}$ anuncia $30^\circ$ ou $60^\circ$; $\sqrt{2}$, $45^\circ$).
4. Faça a conta com os valores dados, não com os que você sabe de cor. O limiar foi calibrado com eles.
5. Em limiar com raiz, compare quadrados em vez de extrair: para julgar “$\sqrt{57} < 7{,}5$”, eleve: $7{,}5^2 = 56{,}25 < 57$, logo $\sqrt{57} > 7{,}5$.

Quando o enunciado dá uma tabela pequena de senos (por exemplo, de $5^\circ$ em $5^\circ$) e o ângulo pedido não está nela, a monotonia resolve: o seno cresce com o ângulo, então $\operatorname{sen}37^\circ$ está entre $\operatorname{sen}35^\circ$ e $\operatorname{sen}40^\circ$. Para um item de “é superior a”, isso basta. Dois itens de 2014 cobraram exatamente a leitura da figura: num raio de luz que sai de $A$ no eixo $x$, reflete em $B$ no eixo $y$ e chega a $D$ no eixo $x$, com $\alpha$ o ângulo entre cada trajetória e a horizontal, se $\alpha = 60^\circ$ cada trecho é a hipotenusa de um triângulo com o ângulo de $60^\circ$ no chão (alternos internos), $AB = AO/\cos 60^\circ = 2\,AO$ e $BD = 2\,OD$, logo $AB + BD = 2\,AD$ (certo). E se $AD = 20$ m e $BO = 4$ m, por simetria $AO = 10$ m, $AB = \sqrt{116} \approx 10{,}8$ m, e $\operatorname{sen}\alpha = 4/10{,}8 \approx 0{,}37$, que não é menor que $0{,}35$ (errado). Nos dois, a figura garante a simetria e o ângulo reto no eixo; a conta é de duas linhas.

Os erros que a banca planta

• Oposto e adjacente pelo desenho, não pelo ângulo. O espelho de 2011 (ângulo com a vertical) e Escher em 2022 ($AE$ é adjacente, não oposto).
• Pitágoras sem ângulo reto. Dois lados e $60^\circ$ entre eles pedem a lei dos cossenos; $\sqrt{7^2 + 8^2}$ é a resposta para outro triângulo.
• Dobrar o ângulo e dobrar o seno. $20\operatorname{sen}60^\circ \approx 17{,}3$, não 20.
• Sinal do cosseno trocado. Com $\cos\widehat{A} < 0$, o termo $-2bc\cos\widehat{A}$ soma; $19\,600$ e não $7\,600$. Raiz suja é o alarme.
• Seno negativo em triângulo. Nunca: ângulo interno fica entre $0^\circ$ e $180^\circ$.
• Secante no lugar da tangente. $\sec\alpha = 1/\cos\alpha$ dá a hipotenusa por unidade de adjacente, não o cateto oposto.
• Lei dos senos com o ângulo entre os lados. Sem um par lado–ângulo oposto, ela não tem por onde começar.
• Esquecer a altura do observador na altura do prédio, ou esquecer de converter unidades ($30$ cm e $6$ m na mesma razão).
• Porcentagem lida como grau. Rampa de $100\,\%$ é $45^\circ$; $8{,}33\,\%$ é menos de $5^\circ$.
• Caso ambíguo ignorado. Dois lados e o ângulo oposto a um deles podem dar dois triângulos; “o triângulo” pode não existir ou não ser único.
• $\pi/3$ lido como número qualquer. Em 2022, “$AC = BC$ e ângulo de $\pi/3$ entre eles” era um triângulo equilátero ($\pi/3 = 60^\circ$; os outros dois ângulos, iguais, somam $120^\circ$): certo. Radianos têm página própria; aqui, $\pi = 180^\circ$ basta.

O essencial em meia página

• Definições (ângulo agudo $\theta$ no triângulo retângulo): $\operatorname{sen}\theta = \dfrac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}$, $\cos\theta = \dfrac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}$, $\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$. São razões que só dependem do ângulo (semelhança). Oposto e adjacente são relativos ao ângulo escolhido.
• Tabela: $30^\circ$: $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\tfrac{\sqrt3}{3}$ · $45^\circ$: $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $1$ · $60^\circ$: $\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\tfrac12$, $\sqrt3$. Sai da metade do quadrado e da metade do equilátero. Seno cresce, cosseno decresce, nada é proporcional ao ângulo.
• Relações: $\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1$; $\operatorname{tg}\theta = \operatorname{sen}\theta/\cos\theta$; $\operatorname{sen}\theta = \cos(90^\circ - \theta)$.
• Rampa: inclinação $i = h/c = \operatorname{tg}\theta$; $8{,}33\,\% = 1:12$ (NBR 9050, desníveis de 20 a 80 cm); $100\,\%$ é $45^\circ$.
• Alturas e distâncias: ângulo de elevação + distância horizontal $\to$ tangente; não esqueça a altura dos olhos. Dois lados $\to$ a razão primeiro, o ângulo depois (compare com a tabela).
• Lei dos cossenos: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$ (dois lados e o ângulo entre eles, ou três lados). Agudo desconta, reto é Pitágoras, obtuso soma. $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$; $\operatorname{sen}(180^\circ - x) = \operatorname{sen}x > 0$.
• Lei dos senos: $\dfrac{a}{\operatorname{sen}A} = \dfrac{b}{\operatorname{sen}B} = \dfrac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R$ (um lado e o ângulo oposto). Maior lado $\leftrightarrow$ maior ângulo. LLA: pode dar 0, 1 ou 2 triângulos.
• Área: $\tfrac12 ab\operatorname{sen}\widehat{C}$.
• Na prova: redesenhe, marque o ângulo de referência, use os valores do comando, compare quadrados em limiar com raiz, e desconfie de raiz suja.