Lei de Coulomb

Pendure duas bolinhas de isopor por fios de costura, uma ao lado da outra, e encoste em cada uma a mesma caneta de plástico atritada no cabelo. No instante em que a segunda recebe carga, os dois fios abrem em V e assim permanecem, cada bolinha segurada no ar por algo que ninguém vê. Afaste as bolinhas puxando os pontos de suspensão e o V se fecha um pouco; aproxime-os e ele se abre mais; com o passar dos minutos, à medida que a carga escapa para o ar úmido, o V vai se fechando sozinho. A força que mantém o V aberto atua sem contato e segue regras precisas: cresce com a carga de cada bolinha e enfraquece com a distância de um jeito particular. Ao dobro da distância, ela não se reduz à metade, e sim a um quarto; ao triplo, a um nono. É a mesma dependência com a distância que Newton havia encontrado para a gravidade um século antes, e essa coincidência de forma é o fio desta página.

Esta é a página da força entre cargas: a lei de Coulomb, o que cada símbolo quer dizer, como decidir para onde a força aponta, como somar forças quando há três ou quatro cargas, onde uma carga solta fica em paz entre duas outras, como um fio inclinado mede a força e por que a mesma lei que domina o átomo com folga de trinta e nove ordens de grandeza perde para a gravidade quando o assunto é a Lua. No PAS/UnB o tema é da 3.ª etapa e chega quase sempre como conta de tipo B, com as constantes dadas no comando: 2012, 2016, 2020 e 2021 cobraram a força de Coulomb, duas vezes comparada com a gravitação. A página pressupõe a carga elétrica e os processos de eletrização e a soma de vetores. O campo elétrico, que reorganiza esta força em “força por carga”, tem página própria em campo elétrico; a energia dessa interação fica em potencial elétrico; a lei-irmã está em gravitação universal.

Uma força que cai com o quadrado: a lei

Duas cargas pontuais, em repouso, separadas por uma distância $d$. Cada uma empurra ou puxa a outra ao longo da reta que as une, e a intensidade dessa força é o que Charles-Augustin de Coulomb mediu em 1785 com uma balança de torção.

Três leituras da fórmula valem mais do que decorá-la.

Inverso do quadrado. A distância aparece elevada ao quadrado no denominador. Dobrou $d$, a força cai a um quarto; triplicou, a um nono; dez vezes mais longe, cem vezes mais fraca. A força nunca chega a zero, só enfraquece: em princípio, uma carga em Brasília sente uma carga em Lisboa. A imagem que ajuda é a de uma lanterna: a mesma luz que sai da lâmpada se espalha por uma esfera cada vez maior, e a área da esfera cresce com o quadrado do raio. A força elétrica de uma carga pontual se dilui pelo espaço da mesma maneira.

Produto das cargas. A força é proporcional a cada carga separadamente. Dobrar uma delas dobra a força; dobrar as duas multiplica por 4. Trocar o sinal de uma delas não muda o módulo em nada: só inverte o sentido, de repulsão para atração.

Par de ação e reação. A força que $q_1$ faz em $q_2$ e a que $q_2$ faz em $q_1$ têm o mesmo módulo e sentidos opostos, ainda que uma das cargas seja um milhão de vezes maior que a outra. É a terceira lei de Newton, a mesma das leis de Newton da 1.ª etapa. O que pode ser diferente é a aceleração de cada corpo, $a = F/m$: um elétron e um próton se atraem com forças iguais, e o elétron, 1 836 vezes mais leve, acelera 1 836 vezes mais.

Exemplo resolvido (a conta básica). Cargas de $+3$ µC e $+4$ µC a 30 cm uma da outra, no vácuo. Sinais iguais: repulsão, decidido antes de qualquer número. Unidades: $3 \times 10^{-6}$ C, $4 \times 10^{-6}$ C, $0{,}30$ m. Módulo:

$$F = \frac{9 \times 10^{9} \times 3 \times 10^{-6} \times 4 \times 10^{-6}}{(0{,}30)^2} = \frac{9 \times 10^{9} \times 12 \times 10^{-12}}{0{,}09} = \frac{0{,}108}{0{,}09} = 1{,}2\ \text{N}.$$

Conferência de escala: $10^{9} \times 10^{-12} = 10^{-3}$, e $9 \times 12 = 108$, logo o numerador é da ordem de $0{,}1$ N; dividido por um denominador menor que 1, o resultado sobe para a ordem de 1 N. Faz sentido. Se a carga de $+4$ µC fosse trocada por $-4$ µC, o módulo continuaria 1,2 N, agora de atração. Se a distância dobrasse para 60 cm, a força cairia a $1{,}2/4 = 0{,}3$ N.

O sinal decide o sentido; a fórmula só recebe módulos

Todo problema de Coulomb tem duas etapas, e a ordem importa. Primeiro, para onde: olhe os sinais. Sinais iguais, cada carga é empurrada para longe da outra; sinais opostos, cada uma é puxada em direção à outra. Desenhe a seta sobre cada carga. Só depois, quanto: substitua os módulos na fórmula.

Quem coloca o sinal dentro da fórmula acaba com uma “força negativa” que não significa nada: força é vetor, tem módulo (sempre positivo), direção e sentido. Em alguns livros a lei aparece como $F = k\,q_1 q_2/d^2$ com sinal, e o sinal negativo é lido como atração. Funciona para duas cargas, mas atrapalha na hora de somar três: um vetor “negativo” apontando para a esquerda de uma carga é o mesmo que um “positivo” apontando para a direita da outra, e a soma vira uma confusão de sinais. A convenção desta página, que é também a dos itens do PAS (todos pedem o módulo da força), é a mais segura: módulo pela fórmula, sentido pelo desenho.

Unidades e ordens de grandeza: o coulomb é enorme

A unidade de carga do SI é o coulomb, e um coulomb é uma quantidade absurda de carga para a eletrostática: são $6{,}25 \times 10^{18}$ elétrons. Duas cargas de 1 C a 1 m de distância se repeliriam com $9 \times 10^{9}$ N, o peso de novecentas mil toneladas. Nenhum objeto de laboratório guarda um coulomb parado: a carga escaparia pelo ar em faíscas. As cargas reais da eletrostática se medem em submúltiplos:

Uma conta de bolso: duas bexigas com 100 nC cada, a 10 cm uma da outra, se repelem com $F = 9 \times 10^{9} \times (10^{-7})^2/(0{,}1)^2 = 9 \times 10^{9} \times 10^{-14}/10^{-2} = 9 \times 10^{-3}$ N, o peso de um grama. É pouco para levantar uma bexiga, mas o bastante para inclinar o fio dela de forma visível, porque a bexiga pesa poucos gramas. A eletrostática do dia a dia vive nesse regime: forças de milinewtons, cargas de nanocoulombs.

O outro lado da escala é o átomo. A carga elementar é $e = 1{,}6 \times 10^{-19}$ C; no átomo de hidrogênio, elétron e próton estão a cerca de $5{,}3 \times 10^{-11}$ m, e a força entre eles é

$$F = \frac{9 \times 10^{9} \times (1{,}6 \times 10^{-19})^2}{(5{,}3 \times 10^{-11})^2} = \frac{2{,}3 \times 10^{-28}}{2{,}8 \times 10^{-21}} \approx 8 \times 10^{-8}\ \text{N}.$$

Oito centésimos de micronewton parecem nada, mas agem sobre um elétron de $9{,}1 \times 10^{-31}$ kg: a aceleração é $F/m \approx 9 \times 10^{22}$ m/s². É essa força que mantém a matéria coesa; toda a química é lei de Coulomb em ação.

Dobrou, triplicou, trocou: as proporções e o gráfico

A banca raramente pede a força em newtons. Pede o que acontece com ela quando algo muda, e para isso não é preciso conhecer $k_0$ nem as cargas: basta a forma da lei.

A última linha merece a conta explícita, porque a PUC-Rio a cobrou em 2019 e a resposta surpreende quem vai no reflexo. Com as duas cargas divididas por 100 e a distância dividida por 100, o numerador cai por $10^{4}$ e o denominador $d^2$ também cai por $10^{4}$: a força não muda. Com uma só carga dividida por 100 e a distância dividida por 100, o numerador cai por $10^{2}$ e o denominador por $10^{4}$: a força fica 100 vezes maior. O erro comum é tratar o $d$ como se entrasse na primeira potência.

Exemplo resolvido (razão sem números). Duas cargas separadas por $d$ trocam uma força $F$. Uma delas é triplicada e a distância passa a $2d$. Nova força: $F' = k\,(3q_1)\,q_2/(2d)^2 = \frac{3}{4}\,k\,q_1 q_2/d^2 = 0{,}75\,F$. Conferência: o numerador cresceu 3 vezes, o denominador 4 vezes; o saldo é uma força um pouco menor que a original. Se a pergunta fosse “e a distância fosse $d/2$?”, o denominador cairia a um quarto e a força iria a $3 \times 4 = 12\,F$.

O gráfico de $F$ contra $d$ é uma hipérbole quadrática: despenca perto da origem, achata longe dela, nunca toca o eixo horizontal. O jeito de ler: escolha um ponto cotado e use $F d^2 = \text{constante}$. Se o gráfico mostra $F = 36 \times 10^{-5}$ N em $d = 1$ m, então em $d = 2$ m a força é $36/4 = 9$, em 3 m é $36/9 = 4$ e em 4 m é $36/16 = 2{,}25$, tudo em $10^{-5}$ N. Foi exatamente esse gráfico que a UERJ imprimiu em 2022, pedindo a força a 6 mm: $F = 36 \times 10^{-5}/(6 \times 10^{-3})^2 = 36 \times 10^{-5}/(36 \times 10^{-6}) = 10$ N. Note a leitura por trás: $F d^2 = 36 \times 10^{-5}$ N·m² é o mesmo em qualquer ponto da curva.

Quando o gráfico é dado sem escala, como no item da UEA de 2018, a leitura é por razões: se $F_2$ corresponde a $d = a/2$ e $F_1$ a $d = 3a$, então $F_2/F_1 = (3a)^2/(a/2)^2 = 9a^2/(a^2/4) = 36$. A força a um sexto da distância é 36 vezes maior.

Há uma segunda forma de traçar, que os físicos preferem: $F$ contra $1/d^2$. A hipérbole vira uma reta pela origem, e a inclinação da reta é $k|q_1||q_2|$. Se os pontos experimentais caem numa reta nesse gráfico, o expoente da distância é 2; se o expoente fosse 1,9 ou 2,1, a reta encurvaria. É a maneira moderna de fazer o que Coulomb fez com sua balança.

O meio importa: a constante dielétrica

O valor $k_0 = 9 \times 10^{9}$ N·m²/C² vale para o vácuo, e serve para o ar, cuja diferença é de menos de 0,1%. Dentro de um material isolante a história muda. As moléculas do meio se polarizam ao redor de cada carga (os lados negativos das moléculas se voltam para a carga positiva, e vice-versa), e essa nuvem de cargas induzidas blinda parcialmente a interação. O efeito é resumido por um número sem unidade, a constante dielétrica do meio, $K$ (também escrita $\varepsilon_r$):

$$F = \frac{k_0\,|q_1|\,|q_2|}{K\,d^2}, \qquad k = \frac{k_0}{K}.$$

A água é o caso que importa. Dois íons que no vácuo se atrairiam com força $F$ se atraem na água com $F/80$: é por isso que o sal se dissolve, com o Na⁺ e o Cl⁻ soltando-se um do outro e cada um sendo cercado por moléculas de água. A química em solução aquosa é eletrostática enfraquecida oitenta vezes.

A constante $k_0$ costuma aparecer nos livros escrita de outro jeito, $k_0 = 1/(4\pi\varepsilon_0)$, em que $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}$ C²/(N·m²) é a permissividade do vácuo. É a mesma constante, só reorganizada para deixar as fórmulas do campo e do capacitor mais limpas; no PAS a constante é fornecida diretamente, como $9 \times 10^{9}$, e é assim que ela deve ser usada. A permissividade de um meio é $\varepsilon = K\varepsilon_0$: dizer que a água tem $K = 80$ ou que tem permissividade 80 vezes a do vácuo é a mesma frase.

Mais de duas cargas: superposição é soma de vetores

A lei de Coulomb fala de duas cargas. Com três ou mais, vale o princípio da superposição: a força sobre uma carga é a soma vetorial das forças que cada uma das outras faria sozinha, como se as demais não existissem. Cada par se comporta como se estivesse só; o que muda é que, no fim, é preciso somar setas, não números.

Em linha. Três cargas sobre uma reta: cada força é para a esquerda ou para a direita, e a soma vira uma soma algébrica com um sentido escolhido como positivo. Exemplo resolvido. $A = +4$ µC em $x = 0$, $B = -1$ µC em $x = 0{,}30$ m e $C = +1$ µC em $x = 0{,}60$ m. Força sobre $B$. De $A$: sinais opostos, atração, $B$ é puxado para a esquerda; módulo $9 \times 10^{9} \times 4 \times 10^{-6} \times 10^{-6}/0{,}09 = 0{,}036/0{,}09 = 0{,}40$ N. De $C$: sinais opostos, atração, $B$ é puxado para a direita; módulo $9 \times 10^{9} \times 10^{-6} \times 10^{-6}/0{,}09 = 0{,}009/0{,}09 = 0{,}10$ N. Resultante: $0{,}40 - 0{,}10 = 0{,}30$ N, para a esquerda, em direção a $A$. Conferência: a carga $A$ é quatro vezes maior que $C$ e está à mesma distância, logo sua força é quatro vezes maior; o saldo tinha de apontar para $A$.

Em ângulo reto. Duas forças perpendiculares somam-se por Pitágoras: $F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$. Se forem iguais, $F_R = F\sqrt{2}$, na diagonal. É o caso da carga no vértice de um quadrado, sob a ação de duas vizinhas: $F\sqrt{2}$ ao longo da diagonal. A carga do vértice oposto, a $a\sqrt{2}$ de distância, contribui com $F/2$ na mesma diagonal, e a resultante sobre um vértice de um quadrado de quatro cargas iguais é $F(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2}) \approx 1{,}91\,F$, apontando para fora do quadrado.

Em triângulo equilátero. Três cargas iguais $+q$ nos vértices de um triângulo de lado $a$. Sobre um vértice agem duas forças de mesmo módulo $F = kq^2/a^2$, cada uma apontando para longe de um dos outros vértices; o ângulo entre elas é $60°$. A resultante está na bissetriz (a reta que sai do vértice pelo centro do triângulo) e vale

$$F_R = 2F\cos 30° = 2F \times \frac{\sqrt{3}}{2} = F\sqrt{3}.$$

Com $q = 2$ µC e $a = 20$ cm: $F = 9 \times 10^{9} \times 4 \times 10^{-12}/0{,}04 = 0{,}036/0{,}04 = 0{,}90$ N, e $F_R = 0{,}90 \times 1{,}73 \approx 1{,}56$ N, para fora do triângulo. A banca dá $\sqrt{2} \approx 1{,}4$ e $\sqrt{3} \approx 1{,}7$ no comando quando precisa deles.

Simetria antes da conta. Uma carga no centro de um triângulo equilátero de cargas iguais sofre três forças de mesmo módulo a $120°$ umas das outras: a resultante é zero, sem conta. Uma carga no centro de um quadrado de cargas iguais, idem. Sempre que uma configuração tem simetria, pergunte primeiro o que a simetria cancela; a FUVEST de 2018 pôs uma carga negativa dentro de um triângulo de três positivas, mas fora do centro, e a simetria só cancelava as componentes horizontais das duas cargas da base: a resposta (0,3 N para cima) vinha da diferença entre a atração da carga do topo, mais perto, e as componentes verticais das duas da base, mais longe.

Onde uma terceira carga fica em paz: o equilíbrio

Fixe duas cargas $q_1$ e $q_2$ sobre uma reta. Existe um ponto dessa reta em que uma terceira carga, qualquer que seja o seu valor ou sinal, não sente força resultante? Existe, e a posição dele não depende da terceira carga: basta que as duas forças sobre ela tenham módulos iguais e sentidos opostos.

Cargas de mesmo sinal. O ponto fica entre elas: ali as duas repulsões (ou as duas atrações, se a terceira carga tiver sinal oposto) apontam em sentidos contrários. E fica mais perto da carga menor, porque a carga menor precisa de uma distância menor para produzir a mesma força.

Exemplo resolvido. $q_1 = +4q$ em $x = 0$ e $q_2 = +q$ em $x = d$. Ponto $P$ a uma distância $x$ de $q_1$, entre as duas:

$$\frac{k \cdot 4q \cdot q_3}{x^2} = \frac{k \cdot q \cdot q_3}{(d - x)^2} \;\Rightarrow\; \frac{4}{x^2} = \frac{1}{(d-x)^2} \;\Rightarrow\; \frac{2}{x} = \frac{1}{d - x} \;\Rightarrow\; x = \frac{2d}{3}.$$

O ponto está a $2d/3$ de $q_1$ e a $d/3$ de $q_2$: duas vezes mais perto da carga quatro vezes menor, porque $2^2 = 4$. Conferência: a razão das distâncias é a raiz quadrada da razão das cargas. A terceira carga $q_3$ cancelou na equação: o ponto é o mesmo para qualquer $q_3$.

Cargas de sinais opostos. Entre elas não há equilíbrio: uma atrai e a outra repele a terceira carga no mesmo sentido. O ponto fica fora do segmento, do lado da carga de menor módulo, onde a proximidade da menor compensa o tamanho da maior. Com $q_1 = +4q$ em $x = 0$ e $q_2 = -q$ em $x = d$: além de $q_2$, a uma distância $x$ de $q_1$, $4/x^2 = 1/(x - d)^2$ dá $2(x - d) = x$, logo $x = 2d$: o ponto está a $d$ além da carga menor. Foi esse o item do Cederj de 2025: com a terceira carga a $2d$ de $q_1$ e a $d$ de $q_2$, do lado de fora, o equilíbrio exige $|q_1| = 4|q_2|$ e sinais opostos, $q_1 = -4q_2$.

As três em equilíbrio. Uma pergunta mais exigente: qual deve ser $q_3$ para que as três cargas fiquem em equilíbrio, e não só ela? Para as duas cargas fixas de mesmo sinal ficarem paradas, $q_3$ tem de atraí-las com força igual à repulsão mútua: precisa ter sinal oposto ao delas. No caso simétrico, duas cargas $+Q$ separadas por $d$ e $q_3$ no ponto médio: sobre uma das cargas $Q$, a repulsão da outra é $kQ^2/d^2$ e a atração de $q_3$, a $d/2$, é $kQ|q_3|/(d/2)^2 = 4kQ|q_3|/d^2$. Igualando, $|q_3| = Q/4$, negativa: $q_3 = -Q/4$. No caso $+4q$ e $+q$, com $q_3$ a $2d/3$ da primeira, a mesma conta dá $q_3 = -4q/9$. Esse equilíbrio, aliás, é instável: um empurrão mínimo e o arranjo se desfaz; não existe configuração de cargas em repouso que fique em equilíbrio estável só com forças elétricas (teorema de Earnshaw). É um dos motivos de o átomo clássico não funcionar.

O pêndulo eletrostático: a tangente resolve

Volte às bexigas do começo. Uma carga suspensa por um fio, na presença de outra carga fixa, para inclinada: é o pêndulo eletrostático, e ele é uma balança de força. Sobre a esfera pendurada agem três forças: o peso $P$, vertical para baixo; a tração $T$ do fio, ao longo do fio; e a força elétrica $F$, horizontal, apontando para a carga fixa (atração) ou para longe dela (repulsão). Em equilíbrio, a soma é zero.

Exemplo resolvido. Uma esfera de 2,0 g, carregada, pende de um fio e para a $45°$ da vertical quando uma carga igual à dela é fixada a 10 cm, na mesma horizontal. Use $g = 10$ m/s². Peso: $P = 2 \times 10^{-3} \times 10 = 0{,}020$ N. A $45°$, $\tan\theta = 1$, logo $F = 0{,}020$ N. Da lei de Coulomb, com cargas iguais $q$ a $d = 0{,}10$ m:

$$\frac{9 \times 10^{9}\,q^2}{0{,}01} = 0{,}020 \;\Rightarrow\; q^2 = \frac{2 \times 10^{-4}}{9 \times 10^{9}} = 2{,}2 \times 10^{-14} \;\Rightarrow\; q \approx 1{,}5 \times 10^{-7}\ \text{C} = 150\ \text{nC}.$$

Conferência: 150 nC é a ordem de grandeza de uma bexiga bem atritada, e a força de 20 mN é coerente com o peso de 2 g a 45°. A tração do fio é $T = P/\cos 45° = 0{,}020/0{,}71 = 0{,}028$ N, maior que o peso, como deve ser: o fio segura o peso e ainda equilibra a força elétrica.

Duas esferas iguais no mesmo prego. Cada uma a um ângulo $\theta$ com a vertical, fios de comprimento $L$: a separação é $d = 2L\sin\theta$ e, por simetria, cada uma está sujeita a $F = P\tan\theta$ da outra. Para ângulos pequenos, $\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta$, e a equação $kq^2/(2L\theta)^2 = mg\theta$ dá $\theta^3 = kq^2/(4L^2 mg)$: a inclinação cresce com a carga elevada a $2/3$. Dobrar a carga não dobra o ângulo; multiplica-o por $2^{2/3} \approx 1{,}6$.

Coulomb encontra Newton: mesma forma, mundos diferentes

Ponha as duas leis lado a lado:

$$F_e = \frac{k\,|q_1|\,|q_2|}{d^2}, \qquad F_g = \frac{G\,m_1\,m_2}{d^2}.$$

Mesma estrutura: produto de duas “quantidades de fonte” sobre o quadrado da distância, com uma constante universal na frente. As diferenças estão nos detalhes, e são elas que explicam o mundo.

A razão no átomo. Entre o elétron e o próton do hidrogênio, a distância se cancela na razão e sobra

$$\frac{F_e}{F_g} = \frac{k\,e^2}{G\,m_e\,m_p} = \frac{9 \times 10^{9} \times (1{,}6 \times 10^{-19})^2}{6{,}7 \times 10^{-11} \times 9{,}1 \times 10^{-31} \times 1{,}7 \times 10^{-27}} = \frac{2{,}3 \times 10^{-28}}{1{,}0 \times 10^{-67}} \approx 2 \times 10^{39}.$$

Dois mil trilhões de trilhões de trilhões: a gravidade é irrelevante dentro do átomo, e nenhum item de eletrostática precisa pedir licença para desprezar o peso de um elétron. Entre dois elétrons, a massa menor no denominador faz a razão subir ainda mais: $k e^2/(G m_e^2) \approx 4 \times 10^{42}$. Foi esse o item de tipo B de 2012, que pediu “a ordem de grandeza, em potência de 10” dessa razão e aceitou 42 ou 43 como resposta, porque $4 \times 10^{42}$ fica entre $10^{42}$ e $10^{43}$ e a regra de arredondamento de ordem de grandeza (o limite é $\sqrt{10} \approx 3{,}16$) puxa para 43. Em 2021 a banca simplificou ao máximo: duas cargas de 1 C com 1 kg cada, e a razão é só $k/G = 9{,}0 \times 10^{9}/6{,}7 \times 10^{-11} = 1{,}34 \times 10^{20}$; dividida por $10^{18}$, como o comando pedia, 134.

Então por que a gravidade governa o céu? Porque a matéria é neutra. Cada próton tem um elétron por perto, as atrações e repulsões elétricas se cancelam quase perfeitamente em qualquer corpo grande, e sobra a gravidade, que só atrai e se acumula com a massa. A Terra e a Lua trocam $2 \times 10^{20}$ N de atração gravitacional; para a força elétrica igualar isso, bastaria que cada uma tivesse um excesso de carga da ordem de $6 \times 10^{13}$ C, o que parece muito, mas é cerca de uma parte em $10^{19}$ da carga positiva total contida na Terra. A neutralidade da matéria é mantida com essa precisão. A força elétrica é a mais forte das duas por um fator gigantesco e, justamente por isso, se anula: qualquer excesso de carga é rapidamente neutralizado pela própria força que ele cria.

Coulomb como força centrípeta. A força elétrica pode fazer o que a gravitação faz com os planetas: manter uma carga em órbita circular em torno de outra. É o modelo planetário do átomo, e foi o cenário da 3.ª etapa de 2016: uma carga $q_1$ parada e uma carga $q_2$, de massa $m_2$, girando em torno dela com velocidade $v$ e raio $r$, sem gravitação. Para haver movimento circular, é preciso uma força apontando para o centro: a força elétrica tem de ser atrativa, logo as cargas têm sinais opostos (item 107, certo). E a velocidade sai de igualar a força elétrica à resultante centrípeta:

$$\frac{m_2 v^2}{r} = \frac{k\,|q_1|\,|q_2|}{r^2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{k\,|q_1|\,|q_2|}{m_2\,r}}.$$

O item 108 propôs $|\vec v| = \frac{1}{m_2}\sqrt{k q_1/r}$: esqueceu $q_2$, deixou $m_2$ fora da raiz e nem as unidades fecham, errado. Compare com a órbita gravitacional, $v = \sqrt{GM/r}$: lá a massa do satélite cancela, porque ela é a fonte da força e a inércia ao mesmo tempo; aqui a carga é a fonte e a massa é a inércia, e por isso $m_2$ fica.

Uma balança de torção em 1785: como se mediu

A ideia de que a força elétrica cai com o quadrado da distância circulava antes de Coulomb. Em 1767, Joseph Priestley, químico inglês amigo de Franklin, publicou a observação de que dentro de um recipiente metálico eletrizado não há força sobre uma carga: Newton havia demonstrado que dentro de uma casca de matéria não há gravidade, e isso só acontece se a lei for exatamente do inverso do quadrado; Priestley concluiu que a eletricidade devia seguir a mesma lei. Por volta de 1772, Henry Cavendish fez a medida de forma indireta e engenhosa, com esferas condutoras concêntricas, e concluiu que o expoente era 2 com erro menor que 2%; não publicou, e seus cadernos só foram editados por Maxwell em 1879.

Charles-Augustin de Coulomb, engenheiro militar francês, atacou o problema de frente. Em 1784 ele havia estudado a torção de fios metálicos e mostrado que o torque necessário para torcer um fio é proporcional ao ângulo de torção: um fio fino de prata é uma mola de rotação extremamente sensível. Em 1785 apresentou à Academia de Ciências a balança de torção: uma agulha horizontal isolante suspensa por um fio de prata, com uma pequena esfera de medula de sabugueiro (um material leve) numa ponta; uma segunda esfera igual, fixa, era eletrizada e tocada na primeira, dividindo a carga entre as duas; a repulsão girava a agulha, e Coulomb torcia o topo do fio até trazer as esferas de volta a uma distância escolhida. O ângulo total de torção media a força.

Coulomb também mostrou, no mesmo memorial e nos seguintes, que a força é proporcional ao produto das cargas, tocando a esfera carregada numa esfera igual e neutra para dividir a carga pela metade: a força caía à metade. E mediu a força magnética entre polos de ímãs com o mesmo instrumento, encontrando de novo o inverso do quadrado. Treze anos depois, em 1798, Cavendish usaria uma balança de torção de grandes dimensões para medir $G$, “pesando a Terra”, com um fio de torção sustentando duas esferas de chumbo. As duas constantes que abrem esta seção foram medidas com o mesmo tipo de instrumento.

Como a banca pergunta

A força de Coulomb rendeu cinco itens em quatro provas da 3.ª etapa (2012, 2016, 2020 e 2021), sempre em blocos de Física com as constantes escritas no comando. Em 2025, primeira prova da matriz vigente, a eletrostática inteira ficou de fora. Os padrões:

1. A conta direta, de tipo B. Duas cargas, uma distância, a constante $9 \times 10^{9}$ dada: 2020/104, cargas de $2 \times 10^{-4}$ C e $10^{-4}$ C a 1 m, $F = 9 \times 10^{9} \times 2 \times 10^{-8} = 180$ N, marcação 180. A lição estava no comando: “exercida apenas pela carga $q_a$ sobre a carga $q$”. A figura mostrava três cargas, e quem somou as contribuições respondeu a outra pergunta.
2. A razão com a gravitação, também tipo B. 2012/49 (dois elétrons, ordem de grandeza da razão, 42 ou 43) e 2021/91 (duas cargas de 1 C e 1 kg, razão dividida por $10^{18}$, 134). A distância cancela; a conta é só com as constantes e com as cargas e massas dadas. O comando manda descartar a parte fracionária: 134,3 vira 134.
3. Coulomb como centrípeta, itens de julgamento. 2016/107 (sinais opostos para haver órbita, certo) e 2016/108 (fórmula da velocidade com erros plantados, errado). Iguale a força elétrica a $mv^2/r$ e confira a fórmula proposta pelas unidades.
4. A vizinhança. Em 2015 (itens 103 a 105) a força elétrica apareceu num pêndulo sob campo uniforme, com o fio a $45°$ e $F = P\tan 45° = P = 9{,}8$ N; em 2022 (item 88) como $F = qE$ sobre um elétron, tipo B com resposta 008. São itens de campo elétrico, mas o triângulo de forças e o cuidado com as potências de dez são os desta página.

O que a banca fornece: a constante eletrostática, sempre; a carga e a massa do elétron, quando entram; $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$, quando há triângulo. O que ela não perdoa: centímetro no lugar de metro, sinal dentro da fórmula, e a parte fracionária que não foi descartada na marcação.

Os erros que a prova planta

1. Esquecer o quadrado. Ao dobro da distância a força fica quatro vezes menor, e não duas; ao triplo, nove vezes menor. É o erro mais cobrado, em todas as bancas.
2. Centímetro dentro do $d^2$. O quadrado de 30 cm sem conversão é 900, e o de 0,30 m é 0,09: a diferença é um fator $10^{4}$ na força. Converta antes de elevar.
3. Sinal na fórmula do módulo. A fórmula recebe $|q_1|$ e $|q_2|$. O sinal decide atração ou repulsão no desenho; uma “força negativa” não existe.
4. Somar módulos sem vetor. Com três cargas, as forças se somam como setas: em linha, com sentido; em ângulo, por componentes. Duas forças de 3 N e 4 N perpendiculares dão 5 N, não 7 N.
5. A carga maior “sofre” mais força. Não: as duas forças do par são iguais (terceira lei). O que difere é a aceleração, se as massas diferem.
6. Confundir $k$ com $G$. $9 \times 10^{9}$ é elétrico; $6{,}7 \times 10^{-11}$ é gravitacional. Vinte ordens de grandeza separam as duas, e é essa diferença que os itens de razão exploram.
7. $(2 \times 10^{-6})^2 = 4 \times 10^{-6}$. O expoente também dobra: $4 \times 10^{-12}$. Microcoulomb ao quadrado é picocoulomb ao quadrado vezes um milhão, não microcoulomb.
8. Equilíbrio da terceira carga do lado errado. Mesmo sinal: entre as duas, perto da menor. Sinais opostos: fora, do lado da menor. Nunca perto da maior.
9. Seno no lugar da tangente. No pêndulo eletrostático, $F = P\tan\theta$. Quem usa o seno esquece que a tração é maior que o peso.
10. Achar que a força chega a zero longe. Ela tende a zero, mas nunca é zero; só pode ser cancelada por outra força elétrica.
11. Ignorar o comando. “Apenas pela carga $q_a$”, “divida por $10^{18}$”, “despreze a parte fracionária”: cada frase do tipo B é uma instrução. 180, não 360; 134, não 134,3.
12. Aplicar a fórmula a corpos grandes e próximos. A lei é para cargas pontuais (ou esferas com carga distribuída uniformemente, medindo $d$ entre os centros). Duas esferas condutoras grandes e muito próximas redistribuem suas cargas por indução e a fórmula deixa de valer com $d$ entre centros.

O essencial em meia página

• Lei: $F = k_0|q_1||q_2|/d^2$, $k_0 = 9 \times 10^{9}$ N·m²/C² ($= 1/4\pi\varepsilon_0$), $d$ em metros, cargas em coulombs. Sobre a reta que une as cargas: iguais repelem, opostas atraem. Módulos na fórmula, sinal no desenho.
• Par: forças iguais e opostas sobre as duas cargas, sempre; acelerações diferentes se as massas diferem.
• Proporções: $d \to 2d$: $F/4$; $d \to 3d$: $F/9$; $d \to d/2$: $4F$; duas cargas dobradas: $4F$; tudo dobrado: $F$. Gráfico $F \times d$: hipérbole quadrática, $Fd^2$ constante; $F \times 1/d^2$: reta pela origem.
• Unidades: 1 C $= 6{,}25 \times 10^{18}\,e$, carga enorme (duas de 1 C a 1 m: $9 \times 10^{9}$ N). Laboratório: µC; bexiga: nC; gota de tinta: pC. Elétron–próton no hidrogênio: $8 \times 10^{-8}$ N.
• Meio: $F = k_0|q_1||q_2|/(K d^2)$; água $K \approx 80$, ar $\approx 1$.
• Superposição: soma vetorial. Em linha: com sinal. Perpendiculares: Pitágoras ($F\sqrt{2}$ se iguais). Triângulo equilátero, vértice: $F\sqrt{3}$ na bissetriz. Centro de polígono regular de cargas iguais: zero.
• Equilíbrio da 3.ª carga: mesmo sinal, entre as duas, perto da menor ($4q$ e $q$: a $2d/3$ da maior); sinais opostos, fora, do lado da menor ($4q$ e $-q$: a $2d$ da maior). Para as três em equilíbrio, $q_3$ de sinal oposto ($-Q/4$ no ponto médio de duas $+Q$). Instável.
• Pêndulo eletrostático: $F = P\tan\theta$; $T = P/\cos\theta$.
• Coulomb × Newton: mesma forma; $k/G = 1{,}3 \times 10^{20}$; $F_e/F_g$ elétron–próton $\approx 2 \times 10^{39}$, dois elétrons $\approx 4 \times 10^{42}$. Gravidade domina no céu porque a matéria é neutra. Órbita elétrica: sinais opostos, $v = \sqrt{k|q_1||q_2|/(m_2 r)}$.
• História: Priestley 1767 (inferência), Cavendish ~1772 (não publicado), Coulomb 1785 (balança de torção: 36, 18, 8,5 unidades → 36°, 144°, 575,5°).
• Itens PAS 3: 2012/49 (42 ou 43), 2016/107 © e 108 (E), 2020/104 (180), 2021/91 (134).
• Vizinhos: processos de eletrização em carga elétrica e eletrização; soma de setas em vetores; força por carga e linhas de campo em campo elétrico; energia da interação em potencial elétrico; a lei-irmã em gravitação universal; terceira lei em leis de Newton.