Gravitação universal

Uma maçã se solta do galho e vai ao chão. A Lua, lá em cima, está fazendo a mesma coisa: a Terra a puxa sem parar, e ela despenca sem parar. O que a salva é a velocidade lateral de cerca de 1 km/s: em cada segundo de viagem ela se afasta da reta tangente na mesma medida em que a superfície da Terra se encurva lá embaixo, e por isso o chão nunca chega. Newton transformou essa imagem em número em 1687. Entre o centro da Terra e a Lua cabem 60 raios terrestres; se a atração diminui com o quadrado da distância, a aceleração lunar deve ser $9{,}8/60^2 \approx 0{,}0027$ m/s². Por outro caminho, só com o tamanho da órbita e os 27,3 dias de uma volta, a aceleração centrípeta exigida sai também 0,0027 m/s². Dois cálculos independentes, um só resultado: maçã e Lua obedecem à mesma lei.

Essa é a página da lei que segura tudo: a força entre duas massas quaisquer, o $g$ que muda de astro para astro e de altitude para altitude, a órbita como queda que não termina, o satélite de TV que parece parado no céu e o astronauta que flutua com 90% da gravidade da superfície agindo sobre ele. O PAS/UnB voltou ao assunto com força: cinco itens em 2025 (bloco da corrida espacial), quatro em 2024 (bloco do telescópio James Webb), e a 3.ª etapa cobra desde a aceleração a 100 km de altitude até a razão entre a gravidade na superfície e na órbita geoestacionária. A página pressupõe as leis de Newton (segunda lei, par ação e reação) e a força centrípeta do movimento circular uniforme. As três leis de Kepler têm página própria, leis de Kepler e órbitas, e as marés também, marés; aqui elas aparecem só como remissão.

Toda massa atrai toda massa: a lei de Newton

Antes de Newton, a queda dos corpos e o movimento dos planetas eram dois assuntos. Depois do Principia, um só. O passo decisivo foi uma pergunta sobre alcance: se a Terra puxa a maçã, até que distância esse puxão continua agindo? A resposta de Newton foi a mais ousada possível: sem limite. O mesmo puxão alcança a Lua, o Sol alcança os planetas, e dois corpos quaisquer, por terem massa, se atraem.

Três leituras da fórmula valem mais do que decorá-la.

Inverso do quadrado. Afaste os corpos ao dobro da distância e a força cai para um quarto; ao triplo, para um nono; a dez vezes a distância, resta um centésimo. Nenhuma distância, porém, zera a força: ela só vai minguando. Um corpo a 400 km de altitude ainda sente 89% da atração que sentiria no solo, e a 384 000 km a Terra ainda tem força suficiente para manter a Lua presa a si. É a mesma geometria da luz de uma lanterna, que ilumina com um quarto da intensidade uma parede duas vezes mais distante, porque a mesma quantidade se espalha por uma área quatro vezes maior.

Par de ação e reação. A fórmula é simétrica em $M$ e $m$: trocar as duas massas de lugar não muda nada, e por isso a força sobre o corpo leve é igual à força sobre o corpo pesado. O que não é igual é o efeito, $a = F/m$. Terra e Lua trocam $2 \times 10^{20}$ N; dividido por uma massa 81 vezes menor, esse valor produz na Lua uma aceleração 81 vezes maior, e é ela quem circula em torno da outra. A Terra não fica imóvel: descreve uma pequena órbita ao redor do baricentro do sistema, situado a 4 700 km do centro terrestre, ainda no interior do planeta. Em 2016 a 3.ª etapa gabaritou certo que “cada um dos planetas do sistema solar exerce sobre o Sol uma força, em módulo, igual à força que o Sol exerce sobre cada um deles”; em 2024, que “a força resultante que o telescópio exerce sobre o sistema Sol–Terra é igual a $-F$”, sendo $F$ a resultante que Sol e Terra exercem sobre o telescópio.

Caráter universal. A mesma lei vale para a maçã, para a Lua, para o Sol e para dois livros sobre a mesa. Entre dois livros de 1 kg a 10 cm de distância, $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1 / 0{,}1^2 \approx 7 \times 10^{-9}$ N, o peso de um grão de poeira; a gravidade só se faz notar quando uma das massas é um planeta. É isso que a ordem de grandeza de $G$ diz: dez elevado a menos onze. Em 2024 a 2.ª etapa cobrou a história em uma frase certa: Newton, dando sequência a Galileu e Kepler, formulou a lei “segundo a qual todos os corpos que possuem massa exercem atração entre si”.

Exemplo resolvido (a conta de Newton). Tome a distância Terra–Lua como $r = 60R$. Pelo inverso do quadrado, a aceleração gravitacional na posição da Lua vale $g/60^2 = 9{,}8/3\,600 = 2{,}7 \times 10^{-3}$ m/s². Agora esqueça a gravidade e olhe só a cinemática: um corpo que percorre uma circunferência de raio $r = 3{,}84 \times 10^{8}$ m em $T = 27{,}3$ dias $= 2{,}36 \times 10^{6}$ s precisa da aceleração centrípeta $a = 4\pi^2 r/T^2 = 39{,}5 \times 3{,}84 \times 10^{8}/(5{,}57 \times 10^{12}) = 2{,}7 \times 10^{-3}$ m/s². Dados de origens distintas (o $g$ medido no chão e o calendário das fases da Lua) levaram ao mesmo valor, e foi essa concordância que convenceu Newton de que a lei da queda e a lei das órbitas eram uma só.

A massa que cancela: g não depende de quem cai

Um adulto de 90 kg pesa 900 N na Terra. Uma criança de 30 kg pesa 300 N. A Terra puxa o adulto três vezes mais forte, e mesmo assim, soltos juntos de uma janela, os dois chegam juntos ao chão. A força três vezes maior age sobre uma massa três vezes mais difícil de acelerar, e o saldo, força dividida pela massa, é o mesmo para os dois.

A conferência numérica: $g = GM/R^2 = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 6{,}0 \times 10^{24}/(6{,}4 \times 10^{6})^2 = 4{,}0 \times 10^{14}/4{,}1 \times 10^{13} \approx 9{,}8$ m/s². O produto $GM$ da Terra, $4{,}0 \times 10^{14}$ m³/s², aparece tantas vezes que vale guardar de outra forma: $GM = gR^2$. Quando a prova dá $g$ e $R$, você tem $GM$ sem precisar de $G$.

O cancelamento da massa é o que Galileu havia mostrado quase um século antes, largando bolas de massas diferentes: a bola pesada recebe um puxão maior, mas também resiste mais a ser acelerada, e os dois efeitos se compensam na mesma razão. Newton explicou o porquê. E a banca vive disso: em 2024, “a aceleração do telescópio, quando em movimento, não depende da sua massa” (certo); em 2025, “a altura $h$ atingida pelo foguete não depende da massa do foguete nem da do satélite” (certo), porque a gravidade desacelera todo mundo igual.

g é a ficha técnica do astro: Lua, Marte, altitude

$g = GM/R^2$ é uma receita de duas linhas: mais massa, mais gravidade; mais raio, menos gravidade, e o raio pesa ao quadrado. A tabela reúne os casos que a prova usa.

Exemplo resolvido (a Lua, por razões). A Lua tem 1/81 da massa da Terra e um raio 3,7 vezes menor. Menos massa derruba $g$ pelo fator 81; raio menor o levanta pelo fator $3{,}7^2 = 13{,}7$. Saldo: $g_{\text{Lua}} = g \times 13{,}7/81 = 0{,}17\,g \approx 1{,}6$ m/s². Um astronauta de 70 kg, que na Terra pesa $70 \times 9{,}8 = 686$ N, pesa lá $70 \times 1{,}6 = 112$ N. Foi assim que a 3.ª etapa de 2018 forneceu os dados: $M_T/M_L = 81{,}30$ e $(R_T/R_L)^2 = 13{,}45$, logo $g_T/g_L = 81{,}30/13{,}45 = 6{,}0$. Razões, sem $G$.

Exemplo resolvido (planeta hipotético). Dobro da massa e dobro do raio da Terra: $g' = G(2M)/(2R)^2 = 2GM/4R^2 = g/2$, cerca de 4,9 m/s². Metade da massa e metade do raio: $g' = G(M/2)/(R/2)^2 = 2g$, quase 20 m/s². A regra: a massa entra linear, o raio entra ao quadrado, e quem dobra os dois perde.

Exemplo resolvido (g a partir da densidade, PAS 3 2017). A banca pediu $g$ na superfície de um planeta esférico de raio $R = 3 \times 10^7/\pi$ m e densidade média $\rho = 7 \times 10^3$ kg/m³, com $G = 6{,}7 \times 10^{-11}$. A massa é densidade vezes volume, $M = \rho \cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3$, e então

$$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R = \frac{4}{3}\pi \times 6{,}7 \times 10^{-11} \times 7 \times 10^{3} \times \frac{3 \times 10^{7}}{\pi} = 4 \times 6{,}7 \times 7 \times 10^{-1} = 18{,}8\ \text{m/s}^2.$$

Marcação: 18. O $\pi$ do raio foi escolhido para cancelar o $\pi$ do volume; a banca desenha o dado para a conta fechar.

Agora a altitude. Acima da superfície, $r = R + h$ e

$$g(h) = \frac{GM}{(R+h)^2} = g_0 \left(\frac{R}{R+h}\right)^2.$$

Exemplo resolvido (a Estação Espacial). Altitude 400 km, $r = 6\,800$ km: $g = 9{,}8 \times (6\,400/6\,800)^2 = 9{,}8 \times 0{,}886 = 8{,}7$ m/s². Quase 90% do valor do chão. Fixe esse número: ele derruba sozinho o mito de que “no espaço não há gravidade”. A 3.ª etapa de 2013 fez a mesma conta a 100 km de altura com $G$, $M$ e $R$ fornecidos: $g = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24}/(6{,}47 \times 10^{6})^2 = 9{,}5$ m/s², superior a 9,2 (item certo).

Exemplo resolvido (razão superfície/geoestacionário, PAS 3 2019). Raio da Terra $6 \times 10^6$ m, altitude do geoestacionário $36 \times 10^6$ m, logo $r = 42 \times 10^6$ m. $g_{\text{sup}}/g_{\text{geo}} = (r/R)^2 = (42/6)^2 = 7^2 = 49$. Marcação: 049. Não precisou de $G$ nem de $M$.

Por que um satélite não cai: a órbita como queda

Imagine um arremessador no topo de uma torre altíssima, acima da atmosfera, jogando pedras na horizontal. A primeira pedra, lenta, descreve um arco curto e bate no chão perto da base. A segunda, mais veloz, vai mais longe antes de cair. Cada aumento de velocidade empurra o ponto de impacto para a frente, até que, numa certa velocidade, a curva da queda e a curva da Terra passam a ter o mesmo formato: a pedra despenca o tempo inteiro e, mesmo assim, o chão foge dela na mesma proporção. Ela contornou o planeta e voltou ao ponto de partida. Foi com esse experimento mental, publicado com desenho pelo próprio Newton, que a noção de órbita ficou clara: nada mais que uma queda que nunca termina, porque o corpo anda de lado depressa o bastante. A gravidade não foi vencida nem desligada; é ela que mantém a pedra em volta da Terra.

Exemplo resolvido (a órbita rasante). Com $r = R$ e $GM = gR^2$: $v = \sqrt{gR} = \sqrt{9{,}8 \times 6{,}4 \times 10^{6}} = \sqrt{6{,}3 \times 10^{7}} = 7\,900$ m/s, cerca de 7,9 km/s, 28 000 km/h. Período: $T = 2\pi R/v = 2 \times 3{,}14 \times 6{,}4 \times 10^{6}/7\,900 = 5\,100$ s, 85 minutos. Com $g = 10$, a conta redonda dá 8 km/s e 84 min. Repare na escala: 7,9 km/s é vinte e tantas vezes a velocidade do som, inalcançável para qualquer arma; só um foguete, acelerando por minutos a fio, leva uma carga a essa velocidade lateral. E repare no período: quem orbita rente à Terra completa a volta em menos de hora e meia.

Exemplo resolvido (a Estação Espacial). $r = 6{,}8 \times 10^{6}$ m: $v = \sqrt{4{,}0 \times 10^{14}/6{,}8 \times 10^{6}} = \sqrt{5{,}9 \times 10^{7}} = 7\,700$ m/s. $T = 2\pi \times 6{,}8 \times 10^{6}/7\,700 = 5\,500$ s, 92 minutos: dezesseis voltas por dia, dezesseis nasceres do Sol para a tripulação. Conferência pela aceleração: $v^2/r = 5{,}9 \times 10^{7}/6{,}8 \times 10^{6} = 8{,}7$ m/s², o mesmo $g$ da seção anterior. A gravidade local é exatamente a aceleração centrípeta da órbita.

O raio fixa tudo: razões entre satélites

A banca nunca pediu um valor absoluto de $v$ ou $T$ com $G$ e $M$: ela pede a razão entre dois satélites, em que as constantes somem na divisão. Como $v \propto 1/\sqrt{r}$ e $T \propto r^{3/2}$, basta conhecer a razão entre os raios:

Leia a tabela de cima para baixo: quanto mais longe do astro, menor a velocidade e mais longo o período; o satélite que voa baixo é o que corre mais e volta antes. Como só aparecem razões, nenhum valor depende de qual é o astro central.

Exemplo resolvido (PAS 1 2025, item 51). $S_1$ a 6 400 km de altura, $S_2$ a 19 200 km, $R = 6\,400$ km. Raios, não alturas: $r_1 = 12\,800$ km e $r_2 = 25\,600$ km, razão $r_2/r_1 = 2$. De $v = \sqrt{GM/r}$, $v_1/v_2 = \sqrt{r_2/r_1} = \sqrt{2}$: opção B. Quem dividiu as alturas ($19\,200/6\,400 = 3$) achou $\sqrt{3}$, a opção C, plantada para ele.

Exemplo resolvido (PAS 3 2019, item 95). “Para que o período seja reduzido a 1/8, o satélite precisa ser movido para 1/4 do raio.” $T \propto r^{3/2}$: $(1/4)^{3/2} = (1/2)^3 = 1/8$. Certo. É a última linha da tabela.

Exemplo resolvido (item tipo B autoral). O raio da órbita de $S_2$ é 21% maior que o de $S_1$; pede-se $100 \times v_1/v_2$. $v_1/v_2 = \sqrt{r_2/r_1} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$, marcação 110. Conferência de sentido: o satélite mais baixo é o mais rápido, logo a razão tem de dar mais que 1; se desse menos, o sinal de inversão estaria aceso.

Na prova. Dois itens certos de 2025 saem direto do cancelamento da massa: o item 45, segundo o qual “não é possível lançar dois satélites, em órbitas circulares de mesma altura, que tenham diferentes períodos”, e o item 47, que faz a velocidade orbital depender “da raiz quadrada da massa da Terra”. Catorze anos antes, em 2011, a banca havia testado o mesmo ponto com uma afirmação falsa: duplicar a massa de um satélite geoestacionário “diminuirá a velocidade em 25%” (item 65, errado, porque $m$ não sobrevive à equação). Vale observar a redação do item 45: ele usa a expressão “não é possível”, categórica, e ainda assim é certo. Palavras como “nunca”, “sempre” e “impossível” não revelam o gabarito; só a física revela.

O astronauta flutua porque cai junto

Na Estação Espacial, $g = 8{,}7$ m/s², 89% do valor do chão. Por que, então, os astronautas flutuam? Porque a estação e tudo dentro dela estão em queda livre, com a mesma aceleração $g$ local, o tempo todo. Dois corpos que caem com a mesma aceleração não se aproximam nem se afastam um do outro, e cada um vê o outro parado no ar. É o que você sentiria num elevador cujo cabo arrebentou: os pés deixam de apertar o piso, a balança marca zero, e no entanto a gravidade continua lá, puxando você e o elevador com a mesma força por quilo.

O mesmo raciocínio derruba um segundo mito, o de que um satélite só se mantém lá em cima com os propulsores funcionando. Nada disso: uma vez na velocidade certa, a atração da Terra basta para fechar a curva, e o movimento se sustenta sozinho, indefinidamente, sem gastar combustível. Os propulsores só corrigem, de tempos em tempos, o arrasto do ar rarefeito que ainda existe a 400 km e faz a estação perder uns 2 km de altitude por mês.

Satélite de TV e satélite de GPS: duas órbitas, dois ofícios

Quem instala uma antena de TV por satélite aponta o prato uma única vez, aperta os parafusos e nunca mais mexe. Isso só funciona porque o satélite mirado, visto do telhado, não se desloca: ele leva exatamente um dia para dar a volta na Terra, e o telhado, carregado pela rotação do planeta, leva o mesmo dia para dar a sua. Os dois giram em sincronia, e a linha que liga um ao outro mantém a direção. Os satélites que alimentam o GPS do celular fazem um serviço diferente e vivem de outro jeito: cada um completa duas voltas por dia, surge num horizonte e some no outro em questão de horas, de modo que o sistema precisa de uma frota de cerca de trinta para garantir que, de qualquer ponto do globo, haja sempre quatro ou mais acima do horizonte.

Exemplo resolvido (o raio geoestacionário). Pelo caminho direto, com $GM = gR^2 = 4{,}0 \times 10^{14}$ m³/s² e $T = 86\,400$ s: $r^3 = GMT^2/4\pi^2 = 4{,}0 \times 10^{14} \times (86\,400)^2/39{,}5 = 7{,}6 \times 10^{22}$ m³, logo $r = 4{,}2 \times 10^{7}$ m $= 42\,000$ km, e a altitude é $42\,000 - 6\,400 \approx 36\,000$ km. Conferência por razões, usando a Lua como referência: o período lunar é 27,3 dias, então $(r_{\text{geo}}/r_{\text{Lua}})^3 = (1/27{,}3)^2$, $r_{\text{geo}}/r_{\text{Lua}} = (1/27{,}3)^{2/3} \approx 1/9{,}1$, e $384\,000/9{,}1 \approx 42\,000$ km. As duas contas fecham.

Exemplo resolvido (GPS). Período de 12 h, $T = 43\,200$ s: $r^3 = 4{,}0 \times 10^{14} \times (43\,200)^2/39{,}5 = 1{,}89 \times 10^{22}$ m³, $r = 2{,}66 \times 10^{7}$ m $= 26\,600$ km, altitude de 20 200 km, que é a do sistema real. Em razão com o geoestacionário: metade do período leva o raio a $(1/2)^{2/3} \approx 0{,}63$ do raio geoestacionário, e $0{,}63 \times 42\,000 \approx 26\,500$ km. Cada satélite emite, sem parar, a própria posição e a hora exata de seu relógio atômico; o aparelho no chão compara o atraso com que esses sinais chegam de quatro ou mais satélites, traduz cada atraso em distância e resolve a geometria para descobrir onde está. Os relógios de bordo precisam de correção relativística, porque a gravidade mais fraca lá em cima os faz adiantar 45 microssegundos por dia; sem a correção, o erro de posição cresceria uns 10 km por dia.

Exemplo resolvido (PAS 1 2011, item 64). “O raio da órbita de um satélite geoestacionário é 12,4% do raio da órbita lunar”, com período lunar de 27 dias. $(r_{\text{geo}}/r_{\text{Lua}})^3 = (1/27)^2$, logo $r_{\text{geo}}/r_{\text{Lua}} = (1/27)^{2/3} = (1/3)^2 = 1/9 = 11{,}1\%$. Errado. Conferência com os números reais: $42\,000/384\,000 = 10{,}9\%$.

Sensoriamento remoto. Um satélite parado sobre um ponto do equador enxerga sempre a mesma metade do globo, de longe e sem nunca ver os polos; não serve para mapear o planeta. Para fotografar tudo, o caminho é a órbita baixa: os CBERS, satélites construídos em parceria entre Brasil e China e operados pelo INPE, voam a 778 km, completam 14 voltas por dia e, a cada passagem, cobrem uma faixa nova de terreno, de modo que em poucos dias o globo inteiro foi varrido. É deles que vêm as imagens do desmatamento. O item 23 de 2007 dizia que um satélite destinado a fotografar regiões diferentes do planeta “deve seguir órbita geoestacionária”: errado. Em 2010, sobre o CBERS a 778 km: um satélite planejado para ser geoestacionário “deve ser colocado a altura maior que 778 km” (certo, 36 000 km); já um satélite que ocupasse a altitude geoestacionária mas percorresse a órbita no sentido contrário ao da rotação da Terra não seria geoestacionário (o item afirmava que seria: errado, pois ele cruzaria o céu duas vezes por dia).

Energia e velocidade de escape: a ponte curta

Perto da superfície, a energia potencial gravitacional é $mgh$, e a página energia usa essa forma o tempo todo. Ela pressupõe $g$ constante, o que só vale enquanto $h$ for pequeno diante do raio da Terra. A centenas ou milhares de quilômetros, $g$ cai visivelmente e $mgh$ superestima a energia. Em 2025 a banca afirmou que a variação da energia potencial do satélite ao subir até uma altura $h$ orbital “será $m_S gh$”: errado, porque o texto falava de órbitas de 300 km a 400 000 km. Em 2022, no bloco de um canhão, “considerar a gravidade constante” para projéteis a mais de 2 km/s “não afetaria os cálculos”: errado pelo mesmo motivo.

A prova cobra a leitura, não a fórmula. Em 2010: “a velocidade necessária para um objeto escapar da Terra depende não da massa desse objeto, mas da massa da Terra” (certo). Em 2019, na 3.ª etapa: “um satélite de massa maior deverá ter velocidade de escape maior” (errado). Em 2008, com $v_e$ de Marte 5 km/s e da Terra 11,18 km/s, “um corpo precisaria de aproximadamente o dobro de energia cinética” para escapar da Terra: errado, energia vai com $v^2$, e $(11{,}18/5)^2 = 5$, cinco vezes. Em 2021, “o campo gravitacional varia com o inverso do quadrado da distância, portanto não é um campo conservativo”: errado, ele é conservativo; a dependência $1/r^2$ não tem nada a ver com isso.

Pontos de Lagrange: onde o James Webb estaciona

Um corpo pequeno perto de dois grandes, como um telescópio perto do Sol e da Terra, sente duas atrações ao mesmo tempo. Existem cinco posições em que a soma das duas atrações é exatamente a força centrípeta de que o corpo precisa para girar em torno do Sol no mesmo período que a Terra, um ano. Nesses pontos o corpo acompanha a Terra e fica parado em relação a ela. São os pontos de Lagrange.

Os três pontos alinhados ficam sobre a reta que passa pelo Sol e pela Terra: L1 no trecho entre os dois astros; L2 do lado de fora, além da Terra, a cerca de 1,5 milhão de km dela; L3 na direção oposta, escondido atrás do Sol. Em L2, Sol e Terra puxam o corpo para o mesmo lado, e a soma das duas atrações é justamente a força centrípeta extra que um corpo mais longe do Sol precisa para acompanhar a Terra em um ano. Os outros dois pontos, L4 e L5, ocupam os vértices livres dos dois triângulos equiláteros que têm o segmento Sol–Terra como um dos lados: neles, o corpo está à mesma distância do Sol e da Terra, as duas forças formam 60° entre si e a resultante aponta para o centro de massa do sistema, que fica praticamente no centro do Sol.

O telescópio James Webb, lançado em 2021, foi colocado numa órbita ao redor de L2. A escolha é térmica e prática: ali Sol, Terra e Lua ficam todos do mesmo lado, um único escudo bloqueia os três, e a distância à Terra é fixa, o que mantém a comunicação contínua. O artigo “Desvendando o Endereço Físico do Telescópio James Webb”, da Revista Brasileira de Ensino de Física, é obra do PAS, e a banca montou com ele em 2024 um bloco de onze itens: terceira lei (88), aceleração independente da massa (89), trabalho nulo em órbita circular (92), centro de massa (93), a geometria de L4 (94) e a composição das forças em L4 e L5 (96). O item 94 é o retrato do método: “se o telescópio está em L4, sua distância do Sol é igual à sua distância da Terra”, certo, porque o triângulo é equilátero e a definição estava impressa no texto-base. A banca não cobrou Lagrange de memória; cobrou ler a definição e fechar a geometria.

Como a banca pergunta

Gravitação e satélites renderam itens em seis provas do PAS 1 entre 2007 e 2025, e as duas últimas concentram o crescimento: 4 itens em 2024, 5 em 2025. A 3.ª etapa cobra o mesmo recorte com mais conta. Seis padrões cobrem tudo:

1. A massa que cancela. Aceleração, altura de subida, velocidade orbital e período não dependem da massa do corpo: 2024/89, 2025/45, 2025/46, 2025/47 (certos); 2011/65 e PAS 3 2019/94 (errados por afirmar a dependência). Escreva $GMm/r^2 = mv^2/r$ e olhe o que some.
2. Razões entre dois satélites. $v_1/v_2 = \sqrt{r_2/r_1}$, $T_2/T_1 = (r_2/r_1)^{3/2}$: 2025/51 ($\sqrt{2}$), PAS 3 2019/95 ($T/8$ para $r/4$), 2011/64 (11%, não 12,4%). Converta cada altitude em raio ($R + h$) e só então monte a razão.
3. g como razão. $g_1/g_2 = (M_1/M_2)(R_2/R_1)^2$: PAS 3 2018 ($81{,}30/13{,}45 = 6$), PAS 3 2019/97 ($7^2 = 49$), PAS 3 2013/73 (9,5 a 100 km), PAS 3 2017/120 ($\tfrac{4}{3}\pi G\rho R = 18$).
4. Peso × massa e o mito da gravidade zero. PAS 3 2018/79 a 81 (bandeirola, homem, trabalho na Lua), PAS 3 2021/96 (ouro nos Alpes). Massa não muda; peso muda com $g$; astronauta flutua por queda livre.
5. Geoestacionário: as três condições. 24 h, equatorial, sentido da rotação: 2007/23, 2010/112, 2010/114. Imageamento exige órbita baixa, não geoestacionária.
6. Limites do modelo e leitura do texto-base. $mgh$ só para $h \ll R$ (2025/43, 2022/87); Lagrange pela definição impressa (2024/94, 2024/96); história bem contada (PAS 2 2024/99).

O texto-base costuma ser uma obra da lista ou um documento: o programa CBERS (2010), o James Webb (2024), a corrida espacial (2025), a missão Apollo (PAS 3 2018), os satélites de comunicação (PAS 3 2019), a suíte Os Planetas de Holst (PAS 3 2008). As constantes vêm no comando: se $R = 6{,}4$ Mm ou $G$ estão lá, há um item de gravitação no bloco, e o dado do fim do texto costuma decidir dois itens.

Os erros que a prova planta

1. Altura no lugar do raio. $r = R + h$, sempre. 800 km de altitude é $r = 7\,200$ km. Dividir alturas em vez de raios troca $\sqrt{2}$ por $\sqrt{3}$ (2025/51).
2. “No espaço não há gravidade.” Na Estação Espacial, $g = 8{,}7$ m/s². O astronauta flutua porque cai junto com a estação. Sem gravidade não haveria órbita.
3. Peso e massa trocados. Massa em kg, não muda; peso em N, $P = mg$, muda com o astro e com a altitude. Na Lua, mesma massa, um sexto do peso.
4. Satélite mais alto é mais rápido. É o contrário: $v = \sqrt{GM/r}$ cai com o raio. Mais alto, mais lento e mais demorado. Para subir de órbita gasta-se energia, e ainda assim a velocidade orbital final é menor.
5. $1/r$ em vez de $1/r^2$. Dobrar a distância divide a força por 4, não por 2. E a energia potencial, essa sim, vai com $1/r$: não confunda as duas.
6. Fazer a velocidade ou o período dependerem da massa do satélite. Ela cancela. Dobrar a massa do satélite não muda nada na órbita (2011/65).
7. Geoestacionário com uma condição só. Período de 24 h em órbita polar, ou no sentido contrário à rotação, não é geoestacionário (2010/114).
8. $mgh$ para alturas orbitais. A fórmula pressupõe $g$ constante; para $h$ comparável a $R$, use $-GMm/r$ (2025/43).
9. “Força maior, aceleração maior.” Só se a massa for a mesma. Terra e Lua trocam forças iguais; a Lua acelera 81 vezes mais.
10. Achar que o campo $1/r^2$ não é conservativo. É conservativo: o trabalho não depende do caminho e é nulo em órbita circular (PAS 3 2021/95, 2020/98).

O essencial em meia página

• Lei: $F = GMm/r^2$, $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg², $r$ entre centros, sempre atrativa, par ação e reação (forças iguais, acelerações diferentes). Dobrou $r$, força ÷ 4.
• Campo e $g$: $a = GM/r^2$, a massa do corpo cancela; todos caem igual. Superfície: $g = GM/R^2$, $GM = gR^2 = 4{,}0 \times 10^{14}$ m³/s² para a Terra. Lua $g/6$, Marte $0{,}38\,g$. Planeta com $2M$ e $2R$: $g/2$. Densidade: $g = \tfrac{4}{3}\pi G\rho R$.
• Altitude: $g(h) = g_0 [R/(R+h)]^2$. ISS (400 km): 8,7 m/s², 89%. Geoestacionário: $g_0/49$.
• Peso × massa: massa em kg não muda; peso $= mg$ em N muda. Imponderabilidade = queda livre conjunta, não ausência de gravidade.
• Órbita circular: gravitação = centrípeta; $v = \sqrt{GM/r}$; $T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$; massa do satélite não entra. Rasante: 7,9 km/s, 85 min. ISS: 7,7 km/s, 92 min. Razões: $r \to 4r$ dá $v/2$ e $8T$; $r \to r/4$ dá $T/8$.
• Geoestacionário: 24 h + plano do equador + sentido da rotação; $r \approx 42\,000$ km, $h \approx 36\,000$ km, 3,1 km/s. GPS: 20 200 km de altitude, 12 h, quatro satélites para uma posição. Imageamento (CBERS, 778 km): órbita baixa.
• Energia: $E_p = -GMm/r$; $mgh$ só para $h \ll R$. Escape: $v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2}\,v_{\text{rasante}} = 11{,}2$ km/s; não depende da massa do corpo. Campo conservativo; trabalho nulo em órbita circular.
• Lagrange: cinco pontos em que Sol + Terra dão a centrípeta para acompanhar a Terra; L4 e L5 equidistantes de Sol e Terra (triângulo equilátero, forças a 60°); James Webb em L2.
• Itens: 2025/51 ($\sqrt{2}$), 2025/45–47 ©, 2024/89 e 94 ©, 2011/64–65 (E), 2010/112 © e 114 (E), 2007/23 (E); PAS 3: 2019/97 (049), 2017/120 (18), 2018/79–81 (E, C, E), 2013/73 ©, 2021/96 (E).
• Vizinhos: força centrípeta em movimento circular uniforme; segunda e terceira leis em leis de Newton; $mgh$ e conservação em energia; composição das forças em L4 em vetores; elipses e as três leis em leis de Kepler e órbitas; o efeito diferencial da Lua sobre os oceanos em marés.