Colisões

Uma bola de 3 kg rola a 2 m/s na direção de outra, de 1 kg, parada. Elas se chocam. A prova do PAS 1 de 2022 pendurou quatro itens nessa cena e, em nenhum deles, disse qual era a força do choque, quanto tempo ele durou ou de que material eram as bolas. Mesmo assim, você consegue afirmar com certeza: se as duas saírem grudadas, vão a 1,5 m/s; se a colisão for elástica, a primeira segue a 1 m/s e a segunda dispara a 3 m/s; e em nenhum cenário possível a segunda bola sai com mais de 6 J de energia cinética, porque 6 J é tudo o que havia no sistema antes do choque. Três conclusões firmes sobre um evento do qual você não sabe quase nada.

O que torna isso possível é uma soma que não muda. Durante o choque, as forças que as bolas trocam são enormes, mas são internas ao par e se cancelam aos pares; a soma das quantidades de movimento $m\vec v$ de todos os corpos vale a mesma coisa um instante antes e um instante depois. Essa é a lei de toda colisão. A energia cinética não tem a mesma proteção: pode sobreviver inteira (colisão elástica), pode virar som, calor e amassado (inelástica) ou pode até crescer (explosão). Esta página ensina a usar a soma que não muda para calcular velocidades, a usar a energia para classificar o que aconteceu, a medir o “quique” com o coeficiente de restituição e a estender tudo isso a explosões, ao pêndulo balístico e a colisões em duas dimensões. Ela pressupõe a página de impulso e quantidade de movimento, onde $\vec p = m\vec v$, o teorema do impulso e o recuo simples já foram apresentados.

Por que a soma não muda: forças internas se cancelam

Considere um sistema: um conjunto de corpos que você escolhe estudar juntos, como as duas bolas. As forças que agem sobre eles se dividem em duas famílias. As internas são as que um corpo do sistema aplica em outro corpo do sistema: a força da bola 1 sobre a bola 2 e a da bola 2 sobre a bola 1. Pela terceira lei de Newton, elas têm o mesmo módulo, sentidos opostos e duram exatamente o mesmo tempo, o tempo do contato. Seus impulsos, portanto, são iguais e opostos: o que a bola 1 perde de quantidade de movimento, a bola 2 ganha, ao centavo. As externas vêm de fora do sistema: o peso, a normal da mesa, o atrito, a mão de alguém. Só elas podem alterar a soma.

A ressalva “impulso externo desprezível” é o que torna a lei tão útil na prática. Um choque entre bolas dura milésimos de segundo; nesse intervalo, o atrito da mesa, que existe, aplica um impulso minúsculo comparado ao das forças de contato, que são centenas ou milhares de vezes maiores. Por isso se escreve a conservação “imediatamente antes” e “imediatamente depois” do choque: fora dessa janela, o atrito volta a agir e a soma volta a mudar. Foi o que a prova de 2009 (item 81) explorou com uma fotografia estroboscópica de dois corpos que colidiam sobre uma mesa “com baixo atrito, mas não nulo”: a afirmação de que a quantidade de movimento e a energia mecânica do sistema seriam “necessariamente menores” logo após o choque, “mesmo que o choque tenha sido perfeitamente elástico”, é falsa, porque na janela do choque a soma se conserva, e num choque elástico a energia mecânica também.

A escolha do sistema decide o veredicto, e a banca sabe disso. Uma bola que bate na trave e volta não conserva sua quantidade de movimento: a trave a empurrou. Mas o sistema bola–trave–Terra, sim, porque a força da trave é interna a ele; a Terra recebe um impulso igual e oposto e sua velocidade muda de um valor imperceptível, dividido por $6 \times 10^{24}$ kg (PAS 2012, item 21, errado ao negar a conservação). O mesmo raciocínio derrubou um item de 2024 (item 90): no sistema Sol–Terra–telescópio, “o momento total do sistema de três corpos se conserva”, o que é verdade, mas o item completava “e o centro de massa do sistema Sol–Terra permanecerá em repouso”, o que é falso: o telescópio aplica uma força $-\vec F$ sobre o par Sol–Terra, e um subsistema que recebe força externa não mantém a quantidade de movimento nem o centro de massa parado. Só o centro de massa do sistema inteiro se move sem aceleração.

Antes de qualquer conta: o eixo, os sinais e a receita

Quase todo item de colisão do PAS é unidimensional: dois corpos numa mesma reta. A conta é curta, e o único lugar onde ela quebra é o sinal. Um método fixo evita isso.

1. Escolha o sistema (em geral, os dois corpos que colidem) e confira se as forças externas são desprezíveis na janela do choque.
2. Escolha um sentido positivo, quase sempre o do primeiro corpo em movimento. Tudo o que anda ao contrário recebe sinal negativo; quem está parado tem velocidade zero.
3. Escreva a soma antes com sinais: $p_{\text{antes}} = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
4. Escreva a soma depois com as incógnitas e iguale. Se os corpos saem grudados, há uma só incógnita e a conta acaba aqui; se saem separados, você precisa de uma segunda informação (colisão elástica, coeficiente de restituição ou uma velocidade final dada).
5. Só então calcule a energia cinética antes e depois, para classificar a colisão ou para conferir uma afirmação.

Exemplo resolvido (os carrinhos do saguão). Um carrinho de bagagem de 40 kg a 3 m/s bate em outro, de 20 kg, parado; eles engatam. Sentido positivo: o do primeiro. Antes: $40 \times 3 + 20 \times 0 = 120\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Depois, grudados: $(40 + 20)\,v' = 60\,v'$. Logo $v' = 120/60 = 2$ m/s. Energia cinética antes: $\tfrac12 \times 40 \times 3^2 = 180$ J; depois: $\tfrac12 \times 60 \times 2^2 = 120$ J. Perderam-se 60 J. Conferência: $60 \times 2 = 120$, a soma fechou; e o resultado está entre 0 e 3 m/s, como a intuição exigia.

Exemplo resolvido (sentidos opostos). Um carrinho de 2 kg a 4 m/s vem de encontro a outro, de 1 kg, a 2 m/s no sentido contrário, e os dois ficam unidos. Positivo para a direita: $v_1 = +4$, $v_2 = -2$. Antes: $2 \times 4 + 1 \times (-2) = 8 - 2 = 6$. Depois: $3\,v' = 6$, $v' = +2$ m/s, para a direita. Quem soma sem sinal escreve $8 + 2 = 10$ e obtém $3{,}3$ m/s, um número que não existe. Energia: antes $16 + 2 = 18$ J, depois $\tfrac12 \times 3 \times 4 = 6$ J; 12 J dissipados.

Três tipos de colisão, uma só lei

A conservação da quantidade de movimento vale sempre. O que distingue uma colisão da outra é o destino da energia cinética, e é ela que dá nome aos tipos.

O método que decorre da tabela é sempre o mesmo, e a ordem importa: a quantidade de movimento dá as velocidades; a energia cinética, calculada depois, diz o tipo. Nunca ao contrário. Se um enunciado afirma velocidades finais, teste as duas somas: quando as duas fecham, a afirmação está correta e a colisão foi elástica; quando apenas a de $p$ fecha, a afirmação continua correta, mas houve dissipação; quando nem a de $p$ fecha, a afirmação é falsa antes de qualquer classificação.

Exemplo resolvido (o bloco do PAS 2022). Bola 1, 3 kg a 2 m/s; bola 2, 1 kg em repouso. Antes: $p = 6\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ e $E_c = \tfrac12 \times 3 \times 4 = 6$ J. Item 92: “a energia cinética da primeira bola antes da colisão é inferior a 5 J”: são 6 J, errado. Item 90: grudadas, $6 = 4\,v'$, $v' = 1{,}5$ m/s, certo. Item 91: “em uma colisão completamente elástica, a primeira bola teria velocidade igual a 1 m/s e a segunda, igual a 3 m/s”. Teste de $p$: $3 \times 1 + 1 \times 3 = 6$, fecha. Teste de $E_c$: $\tfrac12 \times 3 \times 1 + \tfrac12 \times 1 \times 9 = 1{,}5 + 4{,}5 = 6$ J, fecha. Certo, sem fórmula decorada. Item 89: “caso a colisão seja elástica, a energia cinética da segunda bola, após a colisão, será superior a 6,5 J”. Pelo item anterior, $E_{c2} = 4{,}5$ J; errado. Mas há um atalho que dispensa a conta: o sistema inteiro tinha 6 J, e nenhuma parte pode ficar com mais do que o todo. Quem enxerga a soma derruba o item antes de qualquer fórmula.

Grudar é perder o máximo: a colisão perfeitamente inelástica

Quando os corpos saem juntos, a conservação da quantidade de movimento basta, porque só há uma incógnita:

$$v' = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 + \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,v_2,$$

a média das velocidades ponderada pelas massas (o numerador somado, $m_1 v_1 + m_2 v_2$, é a quantidade de movimento total). A velocidade final é a média ponderada das velocidades iniciais, com as massas como pesos; por isso fica sempre entre $v_1$ e $v_2$, mais perto da velocidade do corpo mais pesado. E é a velocidade do centro de massa do sistema, que não muda com a colisão.

O PAS gosta desse tipo porque a conta é limpa e o erro plantado é sempre conceitual. Em 2014 (item 74), uma pessoa “pula verticalmente na garupa de uma bicicleta” que anda a $v$; se a massa dela é igual à soma das massas do ciclista e da bicicleta, a velocidade final é $v/2$: certo, porque quem pula na vertical não traz quantidade de movimento horizontal, e $M v = 2M v'$ dá $v' = v/2$. É a colisão perfeitamente inelástica disfarçada de cena cotidiana; o “verticalmente” não é enfeite, é a informação de que $v_2 = 0$ no eixo horizontal.

Exemplo resolvido (PAS 2020, itens 92 a 94). Um bloco A de 2 000 kg desliza sem atrito por uma rampa desde 2,5 m de altura, percorre 10 m num piso horizontal com coeficiente de atrito 0,1 e se une a um bloco B de 4 000 kg, parado, numa colisão perfeitamente inelástica; $g = 9{,}8$ m/s². Na base da rampa, $v^2 = 2 \times 9{,}8 \times 2{,}5 = 49$, $v = 7$ m/s. No piso, o atrito desacelera a $0{,}1 \times 9{,}8 = 0{,}98$ m/s²: $v^2 = 49 - 2 \times 0{,}98 \times 10 = 29{,}4$, $v \approx 5{,}4$ m/s ao chegar a B. Item 92, “inferior a 7 m/s”: certo. Colisão: $2\,000 \times 5{,}4 = 6\,000\,v'$, $v' \approx 1{,}8$ m/s. Depois, o par desliza até parar: $d = v'^2/(2 \times 0{,}98) = 3{,}3/1{,}96 \approx 1{,}7$ m. Item 94, “superior a 14 m”: errado. Item 93 é o conceitual visto acima, também errado. Repare na sequência de leis: energia (rampa), trabalho do atrito (piso), quantidade de movimento (choque), trabalho do atrito de novo (parada). Cada trecho tem a sua; a colisão é o único trecho em que a energia não serve.

Exemplo resolvido (PAS 2013, item 93, tipo B). A mesma pessoa, de massa $m_p$, dirige a $v$ ora uma moto de massa $2m_p$, ora um carro de massa $32m_p$; em cada caso o veículo se choca com um obstáculo e para, e pede-se a razão entre as velocidades finais da pessoa no carro e na moto. O modelo que a banca quer é o da conservação para o sistema pessoa–veículo, com toda a quantidade de movimento indo para a pessoa: $(m_p + m_v)\,v = m_p\,v'$, logo $v' = (1 + m_v/m_p)\,v$. No carro, $v' = 33v$; na moto, $3v$. Razão: $33/3 = 11$. Gabarito oficial: 11. É um modelo, não um retrato: no choque real o obstáculo aplica força externa ao veículo e a pessoa é retida pelo cinto; o item pede que se aceite a hipótese enunciada e se faça a conta.

Elástica: duas conservações, um sistema de equações

Na colisão elástica os corpos saem separados, há duas incógnitas, e a segunda equação é a conservação da energia cinética:

$$m_1 (v_1 - v_1') = m_2 (v_2' - v_2), \qquad \tfrac12 m_1 v_1^2 + \tfrac12 m_2 v_2^2 = \tfrac12 m_1 v_1'^2 + \tfrac12 m_2 v_2'^2.$$

Resolver isso com quadrados é lento. Há um caminho curto. Passe para o mesmo lado o que pertence a cada corpo: $m_1(v_1 - v_1') = m_2(v_2' - v_2)$ e $m_1(v_1^2 - v_1'^2) = m_2(v_2'^2 - v_2^2)$. Fatore os quadrados e divida a segunda pela primeira: $v_1 + v_1' = v_2' + v_2$, ou seja,

$$v_2' - v_1' = v_1 - v_2.$$

Caso 1, massas iguais ($m_1 = m_2$). As fórmulas dão $v_1' = v_2$ e $v_2' = v_1$: os corpos trocam de velocidade. Uma bola de bilhar que acerta outra parada de frente para no lugar e a outra sai com a velocidade da primeira. É também o que explica o pêndulo de Newton: solta-se uma esfera e sai exatamente uma do outro lado, não duas com metade da velocidade, porque duas a $v/2$ conservariam $p$ mas só metade da energia cinética. A regra vale apenas para massas iguais; aplicá-la a qualquer par é erro.

Caso 2, leve contra pesado parado ($m_1 \ll m_2$, $v_2 = 0$). $v_1' \approx -v_1$ e $v_2' \approx 0$: o leve volta com a mesma rapidez e o pesado não se move de forma perceptível. É a bola na parede da página de impulso, agora explicada: a parede recebe quantidade de movimento $2mv$ (e a Terra com ela), mas energia cinética quase nula, porque $E_c = p^2/2M$ com $M$ enorme.

Caso 3, pesado contra leve parado ($m_1 \gg m_2$, $v_2 = 0$). $v_1' \approx v_1$ e $v_2' \approx 2v_1$: o pesado segue quase inalterado e o leve sai com o dobro da velocidade dele. É por isso que a bola de tênis sai da raquete mais rápido do que a raquete se move.

Exemplo resolvido (elástica com massas diferentes). Uma bola de 2 kg a 6 m/s colide elasticamente com outra, de 4 kg, parada. Pelas fórmulas: $v_1' = (2 - 4) \times 6/6 = -2$ m/s e $v_2' = 2 \times 2 \times 6/6 = 4$ m/s. A bola leve volta a 2 m/s; a pesada segue a 4 m/s. Conferência de $p$: antes 12; depois $2 \times (-2) + 4 \times 4 = -4 + 16 = 12$. Conferência de $E_c$: antes $\tfrac12 \times 2 \times 36 = 36$ J; depois $\tfrac12 \times 2 \times 4 + \tfrac12 \times 4 \times 16 = 4 + 32 = 36$ J. Conferência da rapidez relativa: aproximação 6, afastamento $4 - (-2) = 6$. As três fecham. E o item 91 do PAS 2022 pelas fórmulas: $v_1' = (3 - 1) \times 2/4 = 1$ m/s, $v_2' = 2 \times 3 \times 2/4 = 3$ m/s, os mesmos valores que o teste das duas somas confirmou.

O coeficiente de restituição mede o quique

Entre a colisão elástica (rapidez relativa mantida) e a perfeitamente inelástica (rapidez relativa zero) há todas as intermediárias. Um único número as ordena.

A prova cobrou exatamente isso em 2015 (item 87, tipo C): uma bola cai de uma altura $h$ sobre uma superfície de coeficiente de restituição 0,5; desprezada a resistência do ar, ela retorna até $h' = 0{,}5^2 h = h/4$ (opção B). Quem lê “coeficiente 0,5” como “volta à metade da altura” marca $h/2$ e erra: o coeficiente divide a velocidade, e a altura depende do quadrado dela.

Exemplo resolvido (a bola de basquete). Uma bola solta de 2,0 m volta a 1,28 m. Então $e^2 = 1{,}28/2 = 0{,}64$ e $e = 0{,}8$. No segundo quique ela sobe a $0{,}64 \times 1{,}28 \approx 0{,}82$ m; no terceiro, a $0{,}52$ m. A cada quique se perde $1 - e^2 = 36\%$ da energia cinética que chegava ao piso: chegou com $mgh = 0{,}6 \times 10 \times 2 = 12$ J (bola de 0,6 kg), saiu com $0{,}64 \times 12 = 7{,}7$ J. Nenhuma dessas contas pede a força do piso ou o tempo do contato; $e$ resume os dois.

O coeficiente de restituição também fecha a conta de qualquer colisão unidimensional em que os corpos se separam, elástica ou não: a equação de $p$ e a definição de $e$ formam um sistema linear de duas equações.

Exemplo resolvido (colisão parcialmente elástica). A bola de 2 kg a 6 m/s atinge a de 4 kg parada, agora com $e = 0{,}5$. Conservação: $12 = 2v_1' + 4v_2'$. Restituição: $v_2' - v_1' = 0{,}5 \times 6 = 3$. Da segunda, $v_2' = v_1' + 3$; na primeira, $12 = 2v_1' + 4v_1' + 12$, logo $v_1' = 0$ e $v_2' = 3$ m/s: a bola leve para e a pesada segue a 3 m/s. Energia: antes 36 J; depois $\tfrac12 \times 4 \times 9 = 18$ J. Metade se perdeu. Conferência pela fórmula geral da perda, $\Delta E_c = \tfrac12 \mu v_{\text{rel}}^2 (1 - e^2)$ com $\mu = 8/6$ kg: $\tfrac12 \times 1{,}33 \times 36 \times 0{,}75 = 18$ J. Repare que $e = 0{,}5$ está entre os dois casos já calculados para o mesmo par: com $e = 1$ a leve voltava a 2 m/s, com $e = 0$ o conjunto sairia a 2 m/s, e com $e = 0{,}5$ a leve para exatamente.

Explosões e recuo: a colisão vista de trás para a frente

Passe o filme de uma colisão perfeitamente inelástica ao contrário: um corpo que se parte em dois. As forças que separam os fragmentos (da pólvora, da mola, do gás) são internas; sem força externa relevante, a soma das quantidades de movimento se conserva, e ela era zero se o corpo estava parado. Os fragmentos saem, portanto, com quantidades de movimento opostas e de mesmo módulo: $m_1 v_1 = -m_2 v_2$. O mais leve é o mais rápido, na proporção inversa das massas; o PAS 1 de 2016 (item 96) afirmou exatamente isso para uma estrela que explode em duas partes, e o item está certo. A energia cinética, ao contrário, aumenta: era zero e passa a ser o que a fonte interna liberou; é o que o item 99 da mesma prova (tipo C) exigiu reconhecer na supernova: conserva-se a quantidade de movimento, não a energia cinética. O recuo do canhão e a eolípila estão resolvidos na página de impulso; aqui vale acrescentar como a energia se reparte.

Exemplo resolvido (a granada em dois pedaços). Um corpo de 3 kg em repouso se parte em fragmentos de 1 kg e 2 kg, liberando 600 J de energia cinética. Pela razão inversa das massas, $E_1/E_2 = 2$, logo $E_1 = 400$ J (o leve) e $E_2 = 200$ J. Velocidades: $v_1 = \sqrt{2 \times 400/1} \approx 28{,}3$ m/s e $v_2 = \sqrt{2 \times 200/2} \approx 14{,}1$ m/s. Conferência de $p$: $1 \times 28{,}3 = 28{,}3$ e $2 \times 14{,}1 = 28{,}3$, iguais em módulo, opostos em sentido. O fragmento leve tem o dobro da velocidade e o dobro da energia, e a mesma quantidade de movimento.

O pêndulo balístico: duas etapas, duas leis

Como medir a velocidade de uma bala antes de existirem cronômetros eletrônicos? Atirando-a num bloco pesado pendurado por fios e medindo a altura a que o bloco sobe. O aparelho, o pêndulo balístico, é o exemplo mais limpo de um princípio que organiza metade dos problemas de mecânica: cada etapa tem a sua lei.

Etapa 1, a colisão. A bala de massa $m$ a velocidade $v$ se crava no bloco de massa $M$, parado. Dura milésimos de segundo; a tração dos fios e o peso, verticais, não têm impulso horizontal apreciável nesse intervalo. Conservação de $p$: $m v = (m + M)\,V$. A energia cinética não se conserva: a bala rasga madeira, aquece, deforma.

Etapa 2, a subida. O conjunto bloco–bala, a $V$, sobe em arco até parar a uma altura $h$. Agora a tração dos fios não realiza trabalho (é perpendicular ao movimento) e só o peso age: conservação da energia mecânica, $\tfrac12 (m + M) V^2 = (m + M)\,g\,h$, logo $V = \sqrt{2gh}$. A quantidade de movimento não se conserva nessa etapa: o conjunto para no alto, e quem o freou foi a gravidade, força externa.

Exemplo resolvido. Bala de 10 g, bloco de 2 kg, subida de 20 cm. Etapa 2: $V = \sqrt{2 \times 10 \times 0{,}2} = 2$ m/s. Etapa 1: $0{,}010 \times v = 2{,}010 \times 2$, logo $v = 402$ m/s. A energia cinética da bala era $\tfrac12 \times 0{,}010 \times 402^2 \approx 808$ J; a do conjunto logo após o cravamento, $\tfrac12 \times 2{,}01 \times 4 \approx 4$ J. Mais de 99% da energia da bala virou calor e deformação, e é por isso que aplicar conservação de energia à etapa 1 é o erro fatal do problema: $\tfrac12 \times 0{,}010 \times v^2 = 4$ J daria $v \approx 28$ m/s, uma bala catorze vezes mais lenta que a real. Conferência pela fórmula fechada, $v = \dfrac{m + M}{m}\sqrt{2gh} = 201 \times 2 = 402$ m/s.

Duas dimensões: uma conservação por eixo

Quando os corpos não se movem na mesma reta, a conservação continua valendo, mas como igualdade de vetores: a soma das setas $m\vec v$ antes é a mesma seta depois. Na prática, escolhe-se um par de eixos e escreve-se uma equação para cada um, exatamente como se decompõe uma força em vetores:

$$\sum m\,v_x\ (\text{antes}) = \sum m\,v_x\ (\text{depois}), \qquad \sum m\,v_y\ (\text{antes}) = \sum m\,v_y\ (\text{depois}).$$

Conservar só os módulos não basta: dois corpos com $p = 3$ e $p = 4$ em direções perpendiculares somam um vetor de módulo 5, não 7.

Exemplo resolvido (o cruzamento). Um carro de 1 000 kg vai para o leste a 20 m/s e outro, de 1 500 kg, para o norte a 10 m/s; eles colidem no cruzamento e saem grudados. Eixo $x$ (leste): $1\,000 \times 20 + 0 = 20\,000 = 2\,500\,v_x$, logo $v_x = 8$ m/s. Eixo $y$ (norte): $0 + 1\,500 \times 10 = 15\,000 = 2\,500\,v_y$, logo $v_y = 6$ m/s. Módulo: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ m/s, numa direção com $\tan\theta = 6/8 = 0{,}75$, cerca de $37^\circ$ ao norte do leste. Energia: antes $200\,000 + 75\,000 = 275\,000$ J; depois $\tfrac12 \times 2\,500 \times 100 = 125\,000$ J; 150 000 J foram para a lataria. Se alguém somasse os módulos, $35\,000/2\,500 = 14$ m/s, obteria uma velocidade impossível de justificar em qualquer eixo.

Há um resultado elegante para o caso elástico com massas iguais e alvo parado, o do bilhar: as bolas saem em direções perpendiculares. A prova é curta. Conservação de $p$ com massas iguais: $\vec v_1 = \vec v_1{}' + \vec v_2{}'$. Conservação de $E_c$: $v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2$. Mas o quadrado do módulo da soma é $v_1'^2 + v_2'^2 + 2\,\vec v_1{}' \cdot \vec v_2{}'$; para as duas igualdades valerem, o produto escalar tem de ser zero, e vetores com produto escalar nulo são perpendiculares. Qualquer jogador de sinuca sabe disso sem saber que sabe.

No PAS, colisões em duas dimensões nunca renderam conta numérica; a única aparição foi conceitual, a colisão lateral da fotografia estroboscópica de 2009 (item 81), em que bastava saber que a soma vetorial se conserva.

Ler tabelas e gráficos de velocidade antes e depois

Muitos itens não pedem para calcular nada: dão as velocidades antes e depois numa tabela, num gráfico ou numa figura e pedem para julgar. O protocolo é o teste das duas somas, sempre nesta ordem: (1) $p$ fecha? Se não, os dados são impossíveis ou há força externa. (2) $E_c$ depois é igual, menor ou maior que antes? Igual: elástica; menor: inelástica; maior: precisa de fonte interna de energia (explosão, mola), senão é impossível. (3) Se quiser o grau, $e = (v_2' - v_1')/(v_1 - v_2)$.

Exemplo resolvido (a tabela). Dois carrinhos de 2 kg; o carrinho A chega a 5 m/s e o B está parado. Quatro pares de velocidades finais foram propostos:

Antes, $p = 10\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ e $E_c = 25$ J. As quatro propostas conservam $p$; só a energia as distingue. A proposta IV é a armadilha: parece uma colisão em que A “volta”, como uma bola leve numa pesada, mas as massas são iguais e a energia final supera a inicial em 12 J. Só uma mola comprimida entre os carrinhos, liberada no choque, justificaria os números.

Leitura do gráfico $v \times t$. Numa colisão, a velocidade de cada corpo muda quase de repente: as curvas têm um degrau no instante do choque e são horizontais antes e depois (se não há atrito). Três leituras: a altura de cada degrau vezes a massa é a variação de quantidade de movimento daquele corpo, e as variações dos dois corpos têm de ser opostas ($m_1 \Delta v_1 = -m_2 \Delta v_2$); a inclinação dentro do degrau é a aceleração, enorme e de curta duração; e as velocidades depois dizem o tipo: se coincidem, os corpos grudaram; se a diferença entre elas é igual à de antes, a colisão foi elástica. Nas bolas do PAS 2022, os degraus são de $2 \to 1$ (bola de 3 kg) e $0 \to 3$ (bola de 1 kg): $-3$ e $+3$, a soma fechou; a diferença de velocidades era 2 antes e $3 - 1 = 2$ depois, elástica.

Leitura da fotografia estroboscópica. Cada imagem é separada da seguinte por um intervalo fixo de tempo (0,3 s no item de 2009). A velocidade é a distância entre imagens dividida por esse intervalo: imagens espaçadas, corpo rápido; imagens juntas, corpo lento; imagens sobrepostas, corpo parado. Depois de uma colisão lateral, as duas trajetórias se abrem, e a soma vetorial das quantidades de movimento, medida com régua e ângulo, continua a mesma da imagem anterior ao choque.

Como a banca pergunta, ano após ano

Colisões e explosões apareceram em nove edições do PAS 1 entre 2009 e 2024 (dezesseis itens, contando os que emprestam a cena a energia e atrito) e são a fonte mais regular de itens do capítulo depois do equilíbrio de corpos extensos. Os formatos:

1. O bloco pendurado numa figura, com uma cena e três ou quatro itens que cobram a receita inteira: velocidade se grudarem, velocidades se elástica, energia antes e depois, um limiar numérico plantado. Foi assim em 2022 (itens 89 a 92, as duas bolas) e em 2020 (itens 92 a 94, os blocos na rampa, com energia e atrito antes e depois do choque). O item numérico falso costuma errar por pouco (6,5 J quando o máximo é 6; “superior a 14 m” quando são 1,7 m).
2. O conceito dito com palavras para julgar: “para que a colisão seja inelástica, toda a energia cinética deve ser transformada em movimento do conjunto” (2020/93, errado); “não haverá conservação do momento linear do sistema bola–terra–trave” (2012/21, errado); “a quantidade de movimento e a energia mecânica foram necessariamente menores após o choque, mesmo que perfeitamente elástico” (2009/81, errado); “o fragmento de menor massa será ejetado com velocidade maior” (2016/96, certo); “o momento total se conserva e o centro de massa do sistema Sol–Terra permanecerá em repouso” (2024/90, errado pela segunda metade).
3. O tipo C de conta curta: colisão frontal com soma nula (2015/86, 50 km/h) e coeficiente de restituição com altura de retorno (2015/87, $h/4$).
4. A cena cotidiana que esconde a lei: o pulo vertical na garupa da bicicleta (2014/74, $v/2$, certo).
5. O tipo B com razão entre situações: a mesma pessoa na moto e no carro, razão 11 (2013/93). Um tipo B de colisão perfeitamente inelástica de 2021 (item 100) foi anulado.
6. O cruzamento com energia (2016/99, tipo C): as quatro opções são as quatro combinações de “conserva/não conserva” para $p$ e $E_c$, e só uma respeita a física.

O erro plantado quase nunca é de conta: é a troca de uma lei pela outra (energia onde cabia quantidade de movimento, ou vice-versa), a leitura de $e$ como fração de altura ou de energia, ou um limiar numérico ligeiramente deslocado. Quando o item tiver “porque”, “uma vez que” ou “para que”, julgue a conclusão e a justificativa separadamente.

Os sete erros que a prova planta

1. Conservar energia cinética numa colisão inelástica. A energia cinética só se conserva se o enunciado disser “elástica” (ou se você verificar que as duas somas fecham). Grudou, perdeu energia; sempre.
2. Negar a conservação de $p$ porque houve dissipação. São leis independentes. Sem força externa relevante, a soma de $m v$ fecha na colisão mais violenta.
3. Esquecer o sinal. Em colisão frontal, um dos corpos tem velocidade negativa. Dois carrinhos iguais a 3 m/s um contra o outro têm $p_{\text{total}} = 0$, não 12.
4. Achar que cada corpo conserva a sua quantidade de movimento (ou a sua energia). Conserva-se o total; as parcelas trocam de dono.
5. Ler $e$ como fração de altura ou de energia. $e$ divide velocidades; a altura de retorno é $e^2 h$ e a fração de energia mantida é $e^2$. Com $e = 0{,}5$: um quarto da altura, um quarto da energia.
6. Aplicar a troca de velocidades a massas diferentes. A troca vale para massas iguais em colisão elástica. Com massas diferentes, use as fórmulas gerais ou $p$ mais rapidez relativa.
7. Usar uma só lei no pêndulo balístico (ou em qualquer problema de etapas). Colisão: $p$. Subida ou descida: energia. Trocar as etapas dá uma bala catorze vezes mais lenta.

O essencial em meia página

• A lei de toda colisão: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$, com sinais em linha reta e uma equação por eixo no plano. Vale se o impulso externo na janela do choque for desprezível; a escolha do sistema decide (bola–trave–Terra conserva; PAS 2012/21).
• Método: eixo e sinais; soma antes; soma depois; só então energia. $p$ dá as velocidades; $E_c$ diz o tipo.
• Tipos: elástica ($E_c$ conserva, rapidez relativa mantida, $e = 1$); parcialmente elástica ($E_c$ cai, $0 < e < 1$); perfeitamente inelástica (grudam, $e = 0$, perda máxima $\tfrac12 \mu v_{\text{rel}}^2$ com $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$).
• Grudar: $v' = (m_1 v_1 + m_2 v_2)/(m_1 + m_2)$, média ponderada pelas massas. Bolas 3 kg a 2 m/s e 1 kg parada: 1,5 m/s (PAS 2022/90). Garupa: $v/2$ (PAS 2014/74).
• Elástica 1D: $v_1' = \dfrac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}$, $v_2' = \dfrac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$. Massas iguais trocam velocidades; leve em pesado volta com $-v$; pesado em leve lança o leve a $\approx 2v$. Bolas do PAS 2022: 1 e 3 m/s (item 91, certo; item 89, 4,5 J < 6,5 J, errado).
• Restituição: $e = |v_{\text{afast}}|/|v_{\text{aprox}}|$, $0 \le e \le 1$; bola no piso: $h' = e^2 h$ ($e = 0{,}5 \Rightarrow h/4$, PAS 2015/87). $e$ não é rendimento: energia mantida é $e^2$.
• Explosão: $p_{\text{total}} = 0 \Rightarrow m_1 v_1 = -m_2 v_2$; o leve é mais rápido e leva mais energia ($E_1/E_2 = m_2/m_1$). $E_c$ aumenta, $p$ se conserva (supernova, PAS 2016/96 e 99).
• Pêndulo balístico: cravamento com $p$ ($mv = (m + M)V$), subida com energia ($V = \sqrt{2gh}$); $v = \dfrac{m + M}{m}\sqrt{2gh}$.
• Duas dimensões: uma conservação por eixo; módulos não se somam (20 000 e 15 000 perpendiculares dão 25 000). Massas iguais, elástica, alvo parado: saem a $90^\circ$.
• Ler dados: teste as duas somas; $p$ que não fecha é impossível; $E_c$ que cresce exige fonte interna. No $v \times t$, $m_1 \Delta v_1 = -m_2 \Delta v_2$.
• Vizinhos: $\vec p$, impulso e recuo em impulso e quantidade de movimento; decomposição em vetores; $E_c$ e conservação em energia; trabalho do atrito antes e depois do choque em trabalho de uma força; terceira lei em leis de Newton.