Hidrostática

Leve uma garrafa de plástico vazia e bem tampada ao fundo da piscina de saltos, a 5 m, e ela volta amassada; a 1 m, nada acontece com ela. Quem amassou a garrafa foi a água empilhada em cima dela: toda a coluna, da tampa até a superfície, descarrega o próprio peso sobre cada centímetro quadrado que encontra, e quanto mais comprida a coluna, maior o aperto. O que não entra nessa conta é tudo o que fica ao lado. Um cano vertical de 5 m com um balde de água dentro aperta a tampa do fundo tanto quanto 5 m de represa; litros, metros de largura e formato das paredes não aparecem. E antes da água já havia o ar: a atmosfera inteira pesa sobre a superfície da piscina, e nós não a notamos porque nunca vivemos sem ela. O PAS 1 de 2025 montou um item sobre esse ponto cego: um peixe cujo organismo tolera no máximo 2 atm precisa ficar acima dos 10 m, porque ali a coluna de água já vale uma atmosfera e a outra atmosfera, a do ar, continua em cima.

O mesmo peso da água explica por que um navio de 200 000 toneladas de aço flutua e um parafuso de 20 g afunda. A água empurra para cima tudo o que está dentro dela com uma força igual ao peso da água que o corpo tirou do lugar; o navio é oco e desloca muita água, o parafuso é compacto e desloca pouca. Esta página constrói essa história em ordem: o que é densidade e o que é pressão; quanto pesa a atmosfera e como Torricelli mediu isso; a lei de Stevin, que dá a pressão em qualquer profundidade; os vasos comunicantes e o manômetro; o princípio de Pascal e a prensa hidráulica; o empuxo de Arquimedes, o peso aparente e a condição de flutuar. Ela pressupõe força, peso e a terceira lei da página leis de Newton e as conversões de unidade da página grandezas físicas e unidades. Equilíbrio de corpos rígidos, torque e centro de massa ficam na página vizinha estática; escoamento, vazão e Bernoulli não entram aqui.

Densidade: quanta massa cabe em cada litro

Duas caixas de sapato iguais, uma cheia de isopor e outra cheia de chumbo, têm o mesmo volume e massas muito diferentes. A grandeza que separa as duas é a densidade: quanta massa há em cada unidade de volume.

Um bloco de 2 L com massa de 1,8 kg tem densidade $1{,}8/2 = 0{,}9$ kg/L $= 900$ kg/m³, menos denso que a água. Essa comparação, densidade do corpo contra densidade do líquido, é o que vai decidir se ele flutua, e ela aparece de três formas na prova.

Densidade relativa. É a razão entre a densidade de um material e a da água: $\rho_r = \rho/\rho_{\text{água}}$, um número sem unidade. Gelo: 0,917. Mercúrio: 13,6. Um corpo com densidade relativa menor que 1 flutua na água; maior que 1, afunda.

Densidade de um corpo oco não é a do material. Um navio de aço tem casco de $\rho = 7\,800$ kg/m³, mas o navio inteiro, com o ar dos porões, tem massa total dividida por volume total bem menor que 1 000 kg/m³. A palavra que importa é densidade média: massa do conjunto sobre volume do conjunto, ar incluído.

Densidade de uma mistura. Massas se somam; volumes, na hipótese mais simples, também: $\rho_{\text{mist}} = (m_1 + m_2)/(V_1 + V_2)$. Uma mistura de 40 g de etanol ($\rho = 0{,}79$ g/cm³, $V = 40/0{,}79 = 50{,}6$ cm³) com 60 g de água (60 cm³) daria $100/110{,}6 = 0{,}90$ g/cm³ se os volumes se somassem sem interação. Na mistura real, etanol e água ocupam um pouco menos espaço que a soma, e a densidade medida a 25 °C fica em torno de 0,93 g/cm³; por isso a prova de 2020 forneceu um gráfico em vez de pedir a conta. A regra a levar: a densidade da mistura fica entre as densidades dos componentes, mais perto do componente que domina em massa.

Pressão não é força: a agulha fura e o esqui não afunda

Uma pessoa de 60 kg pisa na neve fofa com uma bota e afunda; com um esqui, não. O peso é o mesmo. O que mudou foi a área em que ele se distribui.

A pressão é uma grandeza escalar: um número com unidade, sem direção. A força que ela produz sobre uma superfície é que tem direção, sempre perpendicular à superfície. Num líquido parado, a pressão em um ponto não escolhe direção: o tímpano do mergulhador recebe o mesmo aperto esteja ele de frente, de lado ou de cabeça para baixo.

Exemplo resolvido (a bota e o esqui). Pessoa de 60 kg, peso 600 N. Bota com sola de 250 cm² $= 0{,}025$ m²: $p = 600/0{,}025 = 24\,000$ Pa $= 24$ kPa. Par de esquis com 0,5 m² no total: $p = 600/0{,}5 = 1\,200$ Pa. Vinte vezes menos pressão com a mesma força, e a neve aguenta. No sentido oposto, uma agulha de injeção com ponta de 0,1 mm² $= 10^{-7}$ m² empurrada com 5 N produz $5/10^{-7} = 5 \times 10^7$ Pa, quinhentas atmosferas: a pele não resiste. Faca cega e faca afiada aplicam a mesma força; a afiada tem área mil vezes menor.

A atmosfera pesa, e Torricelli mediu quanto

O ar tem densidade pequena, 1,2 kg/m³, mas a camada de ar sobre nós tem dezenas de quilômetros. O resultado é que cada metro quadrado do chão sustenta cerca de 10 toneladas de ar, e isso é a pressão atmosférica: $p_0 \approx 10^5$ Pa ao nível do mar. Não sentimos porque a pressão dentro do corpo é a mesma; sentimos no ouvido quando ela muda depressa, na subida de uma serra ou na decolagem.

Em 1643, Evangelista Torricelli encheu de mercúrio um tubo de vidro de 1 m fechado numa ponta, tampou a outra, inverteu-o numa cuba com mercúrio e destampou. O mercúrio desceu, mas não todo: parou com a coluna a 76 cm acima do nível da cuba, deixando vácuo no topo. A leitura: a atmosfera, empurrando a superfície livre da cuba, sustenta uma coluna de 76 cm de mercúrio. Logo, a pressão atmosférica ao nível do mar vale a pressão de 76 cm de mercúrio, 76 cmHg ou 760 mmHg.

A conferência com a lei da coluna, que a próxima seção deduz: $p = \rho g h = 13\,600 \times 9{,}8 \times 0{,}76 \approx 1{,}013 \times 10^5$ Pa. Com água em vez de mercúrio, a coluna teria de ser 13,6 vezes mais alta, $0{,}76 \times 13{,}6 \approx 10{,}3$ m, o que responde por que Torricelli não usou água e por que nenhuma bomba de sucção tira água de um poço com mais de 10 m de profundidade: a atmosfera não consegue empurrar a água mais alto que isso.

Lei de Stevin: só a profundidade conta

Imagine, dentro da piscina, um cilindro de água de área da base $A$ e altura $h$, com o topo na superfície. Ele está em repouso, então a resultante sobre ele é nula. Para baixo agem a atmosfera sobre o topo, força $p_0 A$, e o peso do cilindro, $mg = \rho V g = \rho A h g$. Para cima age a água de baixo, com pressão $p$ na base: força $pA$. Equilíbrio: $pA = p_0 A + \rho A h g$. A área cancela, e sobra a lei.

A regra de bolso que decide a maioria dos itens: cada 10 m de água acrescentam 1 atm, porque $1\,000 \times 10 \times 10 = 10^5$ Pa. A 10 m, a pressão total é 2 atm; a 20 m, 3 atm; a 30 m, 4 atm. Mergulhadores recreativos param em 40 m, onde o corpo está sob 5 atm.

Exemplo resolvido (a piscina de saltos). Fundo a 5 m. Coluna de água: $\rho g h = 1\,000 \times 10 \times 5 = 50\,000$ Pa, meia atmosfera. A garrafa da abertura saiu da superfície com ar a 1 atm dentro e chega lá embaixo com $p = 10^5 + 0{,}5 \times 10^5 = 1{,}5 \times 10^5$ Pa do lado de fora, metade a mais do que tem por dentro, e cede. A 1 m, a coluna acrescenta 10 kPa, um décimo de atmosfera, e a garrafa nem percebe. No gráfico $p \times h$, os dois pontos caem na mesma reta, 110 kPa a 1 m e 150 kPa a 5 m: 10 kPa a cada metro descido.

Exemplo resolvido (PAS 2025, item 94). O comando dava $\rho = 1\,000$ kg/m³, $g = 10$ m/s² e $p_0 = 1$ atm $= 10^5$ Pa, e o item sustentava que um peixe cujo organismo tolera no máximo 2 atm é obrigado a permanecer acima dos 10 m de profundidade. A 10 m, $p = 10^5 + 1\,000 \times 10 \times 10 = 2 \times 10^5$ Pa $= 2$ atm: o limite já é atingido. A menos de 10 m de profundidade, $p < 2$ atm; mais fundo, o limite é ultrapassado. Item certo. Quem deixou $p_0$ de fora colocou o limite a 20 m e julgou o item errado.

A segunda maneira de a lei aparecer é o paradoxo hidrostático: a pressão no fundo não depende da quantidade de água, só da altura dela. Um tubo fino de 10 m ligado ao fundo de um barril o faz estourar com poucos litros, como Pascal demonstrou em 1646. Uma barragem engrossa para baixo porque a água represada aperta cada vez mais à medida que se desce, e a extensão do lago atrás dela é indiferente: um reservatório de 50 km e um açude de 500 m, com a mesma altura de água junto ao muro, pressionam a base dele com o mesmo valor. Em 2015 (item 90), a banca afirmou que a pressão da água na parte mais baixa do casco de um navio é menor que na superfície do mar: errado, é maior, por $\rho g h$ com $h$ igual ao calado.

Exemplo resolvido (profundidade a partir da pressão). Um sensor no fundo de um lago marca pressão absoluta de $3{,}5 \times 10^5$ Pa. Profundidade: $\rho g h = 3{,}5 \times 10^5 - 10^5 = 2{,}5 \times 10^5$, logo $h = 2{,}5 \times 10^5/(1\,000 \times 10) = 25$ m. No mar, com $\rho = 1\,025$ kg/m³, daria $24{,}4$ m: água mais densa, coluna mais baixa para a mesma pressão.

Vasos comunicantes e o tubo em U: o líquido nivela a pressão

Se dois recipientes ligados por baixo contêm o mesmo líquido em repouso, a superfície livre fica na mesma altura nos dois, qualquer que seja o formato deles. A razão vem de Stevin: em qualquer ponto do tubo de ligação, a pressão tem de ser a mesma vinda de um lado e do outro; se a pressão é a mesma e o líquido é o mesmo, a altura de coluna acima do ponto é a mesma. É o princípio dos vasos comunicantes, e é assim que a água da caixa-d’água chega à torneira do térreo: a torneira está 20 m abaixo da superfície da caixa, e a pressão manométrica junto a ela, com a torneira fechada, vale $\rho g h = 1\,000 \times 10 \times 20 = 2 \times 10^5$ Pa.

Com dois líquidos que não se misturam, os níveis deixam de ser iguais. Tome a horizontal que passa pela interface entre eles, dentro do ramo em que estão os dois. Nessa horizontal, dentro de um mesmo líquido contínuo (o mais denso, que ocupa o fundo), a pressão é igual nos dois ramos. Acima dela, de um lado há uma coluna $h_1$ do líquido 1 e do outro uma coluna $h_2$ do líquido 2, ambas com $p_0$ em cima:

$$p_0 + \rho_1 g h_1 = p_0 + \rho_2 g h_2 \quad\Rightarrow\quad \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2.$$

O líquido menos denso sobe mais alto. Água (1 000) e óleo (800): a coluna de óleo é $1\,000/800 = 1{,}25$ vez mais alta que a de água acima do mesmo nível de referência.

Exemplo resolvido (o manômetro em U). Um tubo em U com mercúrio tem um ramo aberto para a atmosfera e o outro ligado a um botijão de gás. O mercúrio fica 19 cm mais baixo do lado do gás. Na horizontal da superfície mais baixa (do lado do gás), a pressão é $p_{\text{gás}}$; do outro lado, na mesma horizontal, há 19 cm de mercúrio acima, mais a atmosfera: $p_{\text{gás}} = p_0 + \rho g h = 76 + 19 = 95$ cmHg. Em pascal: $95/76 \times 1{,}013 \times 10^5 \approx 1{,}27 \times 10^5$ Pa. A pressão manométrica é 19 cmHg, cerca de 25 kPa. Repare que se usou a unidade cmHg diretamente: uma coluna de mercúrio já é uma pressão.

Princípio de Pascal: a prensa multiplica força, não trabalho

Stevin diz que a pressão cresce com a profundidade. Pascal acrescenta o que acontece quando alguém aperta o líquido de fora.

O líquido, para o que interessa aqui, é incompressível: o volume que sai de um cilindro entra no outro. Se o pistão pequeno desce $d_1$, ele expulsa um volume $A_1 d_1$, que faz o grande subir $d_2$ com $A_2 d_2 = A_1 d_1$. Os deslocamentos são inversamente proporcionais às áreas:

$$\frac{d_1}{d_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{F_2}{F_1} \quad\Rightarrow\quad F_1 d_1 = F_2 d_2.$$

O trabalho realizado no pistão pequeno é igual ao trabalho entregue pelo grande. A prensa multiplica força, jamais trabalho ou energia. É a mesma troca da alavanca e da roldana, estudada na página trabalho de uma força: ganha-se em força o que se perde em deslocamento.

Exemplo resolvido (o elevador da oficina). Pistão pequeno de 0,01 m², pistão grande de 0,4 m²: razão de áreas 40. Sobre o grande, um carro de 1 200 kg, 12 000 N. A força que equilibra o carro no pistão pequeno é $F_1 = 12\,000 \times 0{,}01/0{,}4 = 300$ N, o que uma pessoa consegue apoiando 30 kg numa alavanca. A pressão no óleo: $300/0{,}01 = 30\,000$ Pa, e a conferência pelo outro lado, $12\,000/0{,}4$, dá os mesmos 30 kPa. Para o carro subir 10 cm, o volume de óleo que entra no cilindro grande é $0{,}4 \times 0{,}10 = 0{,}04$ m³, e esse volume tem de sair do pequeno: $d_1 = 0{,}04/0{,}01 = 4$ m. Nenhuma alavanca desce 4 m de uma vez; a bomba manual faz isso em dezenas de cursos curtos, puxando óleo do reservatório a cada um. Trabalho: $12\,000 \times 0{,}1 = 1\,200$ J entregues ao carro; $300 \times 4 = 1\,200$ J gastos na bomba. A força ficou 40 vezes menor, o caminho 40 vezes mais longo, a energia a mesma.

Pascal consta da matriz do PAS, mas, de 2006 a 2025, nenhum item foi dedicado só a ele. Sua presença é indireta: nos contextos de máquinas hidráulicas e, principalmente, como alicerce das duas leis que de fato rendem itens, a de Stevin e a de Arquimedes.

Empuxo: a diferença de pressões que empurra para cima

Segure uma bola de basquete debaixo da água, no fundo da piscina, e tente mantê-la parada. Os braços cansam depressa: a bola força para cima com a insistência de um peso de 6 kg puxado ao contrário e, se os dedos escorregarem, ela dispara rumo à superfície. Quem a empurra é a água, e a explicação já está em Stevin: a parte de baixo da bola está mais funda que a parte de cima, logo sofre pressão maior. A água aperta a base para cima com mais força do que aperta o topo para baixo, e o que sobra dessa disputa é uma força vertical, para cima, o empuxo.

A conta para um cilindro de área $A$ e altura $H$ totalmente mergulhado torna a ideia exata. Pressão no topo, à profundidade $h$: $p_0 + \rho g h$. Na base, à profundidade $h + H$: $p_0 + \rho g (h + H)$. Força para cima menos força para baixo: $[\rho g (h + H) - \rho g h] A = \rho g H A = \rho g V$. As forças laterais se cancelam aos pares. O empuxo é $\rho_{\text{fluido}} V g$, e $h$ desapareceu: o empuxo não depende da profundidade.

Exemplo resolvido (a bola de basquete). Volume 7,0 L $= 0{,}0070$ m³, massa 0,60 kg. Totalmente submersa, ela desloca 7,0 L de água, que pesam $E = 1\,000 \times 0{,}0070 \times 10 = 70$ N. O peso da bola é $P = 0{,}60 \times 10 = 6$ N. Para mantê-la parada no fundo, as mãos precisam completar o equilíbrio com $70 - 6 = 64$ N para baixo, mais de dez vezes o peso da bola, o que explica o cansaço dos braços. Soltas as mãos, a resultante são esses mesmos 64 N, agora sem oposição, para cima; sem contar a água que a bola arrasta, a aceleração inicial seria $64/0{,}60 \approx 107$ m/s², perto de dez $g$.

Três destinos possíveis para um corpo totalmente mergulhado, e a comparação é sempre entre $E = \rho_f V g$ e $P = \rho_c V g$, com o mesmo $V$:

• $\rho_c > \rho_f$: $P > E$, o corpo afunda com força resultante $P - E$ para baixo.
• $\rho_c = \rho_f$: $P = E$, o corpo fica em equilíbrio onde for largado (um submarino com os tanques ajustados, um peixe em repouso).
• $\rho_c < \rho_f$: $E > P$, o corpo sobe até aflorar; na superfície, parte dele sai da água até que o empuxo caia e iguale o peso, e ele flutua.

Peso aparente. Pendure um bloco num dinamômetro e mergulhe-o na água: a leitura cai. O que o dinamômetro mede é a tração no fio, e o equilíbrio do bloco dá $T + E = P$, logo

$$P_{\text{aparente}} = T = P - E.$$

Um bloco de 20 N que marca 12 N dentro da água recebe empuxo de 8 N, o que significa que deslocou 8 N de água, 0,8 kg, 0,8 L: o volume do bloco é 0,8 L e sua densidade, $2/0{,}8 = 2{,}5$ kg/L. Foi assim, medindo o peso na água e fora dela, que Arquimedes verificou se a coroa do rei era de ouro puro (19,3 g/cm³) ou tinha prata (10,5 g/cm³) misturada: o volume da coroa aparece no empuxo, e a densidade, na razão entre o peso e o volume.

Exemplo resolvido (PAS 2005, itens 105 a 108). Um bloco pendurado num braço de balança é equilibrado por 10 esferas iguais; mergulhado em água, bastam 5. O empuxo compensou metade do peso: $E = P/2$. Item 105, “o empuxo é um vetor igual à metade do vetor força-peso”: errado, o módulo é metade, mas o sentido é oposto; um vetor igual à metade do peso apontaria para baixo. Item 106, “a densidade do bloco é o dobro da da água”: $\rho_a V g = \tfrac12 \rho_b V g$, logo $\rho_b = 2\rho_a$, certo. Item 107, “o peso aparente aumenta à medida que o bloco se aproxima do fundo”: errado, o empuxo não depende da profundidade, e o peso aparente $P - E$ tampouco. Item 108, “na Lua a densidade seria menor”: errado, densidade não depende de $g$.

Flutuar é empatar: fração submersa, iceberg e navio de aço

Um corpo que flutua em repouso está em equilíbrio: o empuxo iguala o peso. É a equação que resolve a maioria dos itens numéricos do tema.

Exemplo resolvido (a bola na superfície). Largada na superfície, a bola de basquete de 0,60 kg flutua, e flutuar é $E = P = 6$ N. Água deslocada: $V_{\text{sub}} = 6/(1\,000 \times 10) = 0{,}0006$ m³ $= 0{,}6$ L, de um total de 7,0 L; a fração submersa é $0{,}6/7{,}0 \approx 8{,}6\%$, menos de um décimo da bola. Pelo caminho das densidades: $\rho_{\text{bola}} = 0{,}60/0{,}0070 \approx 86$ kg/m³, e $86/1\,000$ é a mesma fração, 8,6%. Dois caminhos, um resultado: é assim que se confere a conta na prova.

Exemplo resolvido (PAS 2015, item 92). Um navio de 200 toneladas tem a forma de um prisma triangular reto de 30 m de comprimento, com seção triangular de 8 m de base e 6 m de altura. Volume total: $\tfrac12 \times 8 \times 6 \times 30 = 720$ m³. Flutuando, desloca $m/\rho = 200\,000/1\,000 = 200$ m³. Fração submersa: $200/720 \approx 28\%$. O item afirmava “mais de 40% do volume ficará submerso”: errado. Repare que $g$ nem entrou: $E = P$ com $g$ dos dois lados.

Exemplo resolvido (PAS 2018, itens 86 e 87). Barcaças egípcias de fundo plano, 60 m por 25 m por 2 m de profundidade, massa de 600 t cada. Item 87 (tipo B): que massa uma barcaça podia carregar para que o fundo ficasse a 1 m da superfície? Volume submerso: $60 \times 25 \times 1 = 1\,500$ m³, que desloca 1 500 t de água. Essa é a massa total flutuando; a carga é $1\,500 - 600 = 900$ t. Marcação: 900. Item 86: “o valor do empuxo sobre as barcaças independia do peso das pedras”: errado, flutuando, $E = P_{\text{total}}$; mais pedras, mais peso, mais fundo o casco, mais empuxo. O tropeço do tipo B é o mesmo da canoa de 2020: quem marca 1 500 respondeu quanto a barcaça pesa com tudo, e a pergunta era quanto ela carrega.

Exemplo resolvido (PAS 2020, item 57). Canoa de 200 kg desloca 1 m³ de água com certa carga; $g = 9{,}8$ m/s². Empuxo: $1\,000 \times 1 \times 9{,}8 = 9\,800$ N, igual ao peso total. Peso da canoa vazia: $200 \times 9{,}8 = 1\,960$ N. Peso da carga: $9\,800 - 1\,960 = 7\,840$ N; dividido por 10, 784. No item 56 do mesmo bloco, a canoa sobrecarregada afunda com velocidade constante: resultante nula, logo peso total para baixo igual a empuxo mais força viscosa para cima, e a força viscosa vale $P_T - 9\,800\,V_T$ em módulo, com $V_T$ o volume total submerso: certo.

Exemplo resolvido (PAS 2025, item 97). Um peixe de 100 kg em repouso a 5 m de profundidade: qual o seu volume? “Em repouso” dentro da água é equilíbrio com o corpo totalmente submerso, $E = P$, ou seja, $\rho V g = m g$ e $V = m/\rho = 100/1\,000 = 0{,}10$ m³, opção B. E a profundidade, 5 m, é paisagem do enunciado, não dado da conta: para um corpo todo submerso, descer ou subir não altera $E$. E o peixe de 100 kg saiu do próprio texto-base, o tubarão-lixa da reportagem sobre o atol das Rocas.

Exemplo resolvido (PAS 2011, item 70). Um navio carregado entra num delta e seu volume submerso aumenta 25%. A afirmação: a densidade da água ali é 20% menor que a do alto-mar. Flutuando nos dois lugares com o mesmo peso: $\rho_1 V_1 = \rho_2 V_2$, com $V_2 = 1{,}25 V_1$. Logo $\rho_2 = \rho_1/1{,}25 = 0{,}8\,\rho_1$, vinte por cento menor. Certo. Água doce é menos densa que a do mar, e o navio afunda mais no rio: por isso a linha de carga pintada no casco tem marcas separadas para água doce e salgada.

Balões, densímetros e misturas: os casos de borda

O princípio de Arquimedes vale para qualquer fluido, inclusive gases. Um balão ou um dirigível recebe do ar um empuxo $E = \rho_{\text{ar}} V g$, e sobe se esse empuxo superar o peso total: envelope, carga e o gás de dentro. O gás precisa ser menos denso que o ar (hélio, 0,17 kg/m³; hidrogênio, 0,09; ar quente, cerca de 0,95 a 100 °C), e é a diferença de densidades vezes o volume que sustenta a carga.

Exemplo resolvido (PAS 2007, item 66). O dirigível LZ 7 Deutschland tinha 19 320 m³ e 15,5 t de massa sem carga; com $\rho_{\text{ar}} = 1{,}2$ kg/m³ e $g = 10$ m/s², o item pedia o empuxo em newtons dividido por 1 000. $E = 1{,}2 \times 19\,320 \times 10 = 231\,840$ N; dividido por 1 000, 231. Conferência de sentido: o empuxo sustenta 23 184 kg; a estrutura tinha 15 500 kg; sobram cerca de 7,7 t para o hélio (ou hidrogênio) que enche o envelope e para a carga. O item do mesmo bloco que pedia o desenho das forças sobre o dirigível parado no ar (tipo D) tinha resposta simples: peso e empuxo, iguais e opostos, ambos aplicados na vertical do centro de massa.

O densímetro é o princípio de Arquimedes virado ao contrário: um flutuador de peso fixo com uma haste graduada. Em líquido mais denso, precisa deslocar menos volume para empatar o peso e afunda menos; em líquido menos denso, afunda mais. A escala é lida na linha d’água. É o instrumento do posto de combustível que checa se o etanol tem água demais (mistura mais densa) e o da bateria de carro que mede a carga pelo ácido.

A mistura aparece na prova pela flutuação: um bloco de densidade 0,88 g/cm³ ficará totalmente submerso numa solução de etanol a 40% em massa? A densidade da solução, lida no gráfico fornecido em 2020, fica em torno de 0,93 g/cm³, maior que 0,88; o bloco flutua com cerca de $0{,}88/0{,}93 \approx 95\%$ do volume submerso e 5% fora. Item 83 de 2020: errado. Se a solução fosse etanol a 70% (cerca de 0,87 g/cm³), o bloco afundaria. A leitura correta do gráfico é o passo que decide.

Ler o gráfico p × h e a tabela de densidades

A lei de Stevin é uma função afim da profundidade: $p(h) = p_0 + (\rho g) h$. Num gráfico da pressão em função da profundidade, isso é uma reta com intercepto $p_0$ (a pressão na superfície) e inclinação $\rho g$ (quanto a pressão cresce por metro). Para a água, a inclinação é 10 kPa/m; para o mercúrio, 136 kPa/m. Duas curvas no mesmo gráfico, para dois líquidos, partem do mesmo $p_0$ e se abrem: a mais íngreme é o líquido mais denso. Se o gráfico mostrar pressão manométrica, a reta passa pela origem. Se a reta não partir de $p_0$ nem da origem, o recipiente está fechado e há um gás acima do líquido com pressão diferente da atmosférica.

Da reta se lê a densidade: inclinação dividida por $g$. Um gráfico que sobe de 100 kPa a 180 kPa entre 0 e 10 m tem inclinação 8 kPa/m, logo $\rho = 8\,000/10 = 800$ kg/m³, um óleo.

A tabela de densidades é lida por comparação com o líquido: quem está abaixo da densidade do líquido flutua nele, quem está acima afunda. Gelo (917) flutua na água (1 000) e afunda no etanol (790). Chumbo (11 300) afunda na água e flutua no mercúrio (13 600). E a fração submersa sai da divisão: madeira de 600 em água, 60%; a mesma madeira em água do mar (1 025), 58,5%.

O gráfico do PAS 2005 combinava balança e empuxo: um bloco de massa $m$ e volume $v$ num braço $a$, esferas de massa total $m_T$ num braço $b$, com o bloco mergulhado num líquido de densidade $\rho$ variável. Torques iguais: $(m - \rho v) g\, a = m_T\, g\, b$, logo $m_T = \dfrac{a}{b}(m - \rho v)$, uma reta decrescente em $\rho$, que vale $am/b$ quando $\rho = 0$ (item 110, certo: $m_T/a = m/b$) e zera quando $\rho = m/v$, a densidade do próprio bloco, quando o empuxo iguala o peso e nada mais é preciso do outro lado. O item 109 dizia “coeficiente angular positivo”: errado. O item 111 dava a função acima: certo.

Como a banca pergunta

Fluidos rendeu 14 itens nas vinte provas do PAS 1 de 2006 a 2025 (em 2007, 2011, 2015, 2016, 2018, 2019, 2020 e 2025), mais oito itens em 2005 (o cubo do item 100 e a balança de Arquimedes dos itens 105 a 111), e produziu itens tipo B em 2007, 2018 e 2020. Cinco padrões cobrem tudo:

1. A conta de Stevin com a atmosfera. 2025/94, o peixe a menos de 10 m (certo). O erro plantado é sempre o $p_0$ esquecido, que desloca o limite por um fator 2.
2. O paradoxo hidrostático em forma de item errado. 2019/81 (área da base) e 2015/90 (pressão no casco menor que na superfície). A pressão depende só de $h$; a força total, da área.
3. Pesar com $E = P$, o tipo B favorito: canoa asteca 2020/57 (784), barcaça egípcia 2018/87 (900), dirigível 2007/66 (231), volume do peixe 2025/97 (0,10 m³, tipo C). O erro plantado aqui não é de física, é de leitura: o item quer a carga, e o total aparece como resposta tentadora; depois ainda há a divisão final por 10 ou por 1 000.
4. Fração submersa e densidade. 2015/92 (28%, não 40%), 2005/100 (cubo com 20% fora, densidade 0,8), 2011/70 (delta, 20% menos densa), 2020/83 (bloco na solução de etanol).
5. Os conceitos do empuxo em julgamento. Independe do peso transportado? Não, flutuando $E = P$ (2018/86, errado). Cresce com a profundidade? Não (2005/107, errado). É um vetor igual à metade do peso? Módulo sim, sentido não (2005/105, errado). Navio desloca água cujo peso é igual ao dele? Sim (2011/72, certo). A canoa que afunda a velocidade constante tem viscosidade igual a $P_T - E$? Sim (2020/56, certo).

O texto-base costuma ser histórico ou de obra da lista: Arquimedes e a coroa (2005), o Zepelim de Chico Buarque (2007), a água de lastro dos navios (2011), o navio negreiro de Castro Alves (2015), as barcaças do Nilo (2018), as canoas astecas (2020), os peixes-limpadores do atol das Rocas (2025). Releia a obra procurando profundidades, massas e volumes: eles viram dados de item. E as constantes ($g$, $\rho$, $p_0$) vêm no comando; se estão lá, há Física no bloco.

Os erros que a prova planta

1. Esquecer a atmosfera. Pressão total a 10 m é 2 atm. Só se dispensa $p_0$ em diferenças de pressão e em pressão manométrica.
2. Achar que a pressão depende da área da base ou da quantidade de água. Depende só da profundidade e da densidade. A área muda a força total no fundo, não a pressão.
3. Confundir pressão com força. Pressão é força por área, escalar; a força de pressão é perpendicular à superfície e vale $pA$.
4. Usar a densidade do corpo ou o volume total na fórmula do empuxo. $E = \rho_{\text{fluido}} V_{\text{submerso}} g$. O peso do corpo entra depois, na comparação.
5. Achar que o empuxo cresce com a profundidade. Não cresce: a diferença de pressões entre base e topo é a mesma em qualquer profundidade.
6. Achar que o empuxo depende do peso do corpo submerso. Para um corpo totalmente submerso, não; para um corpo flutuando, $E = P$ por equilíbrio, e é o volume submerso que se ajusta ao peso.
7. Confundir altura total com profundidade. $h$ em Stevin é medido da superfície livre para baixo até o ponto. A distância até o fundo não entra.
8. Errar unidades. Litros para metros cúbicos ($\div 1\,000$), g/cm³ para kg/m³ ($\times 1\,000$), toneladas para quilogramas ($\times 1\,000$), cmHg para pascal. E o $g$ do comando: 9,8 na canoa de 2020, 10 no peixe de 2025.
9. Achar que a prensa hidráulica economiza trabalho. Multiplica força pela razão das áreas; o deslocamento cai na mesma razão; $F_1 d_1 = F_2 d_2$.
10. No tipo B, marcar o total quando o item pede a carga, ou esquecer a divisão final. 980 em vez de 784; 1 500 em vez de 900.

O essencial em meia página

• Densidade: $\rho = m/V$; água 1 000 kg/m³ = 1 g/cm³ = 1 kg/L; $1\ \text{m}^3 = 1\,000$ L. Não depende de $g$. Corpo oco: densidade média. Mistura fica entre os componentes.
• Pressão: $p = F/A$, em pascal; $1\ \text{atm} \approx 10^5$ Pa $= 760$ mmHg $= 76$ cmHg. Escalar; a força é perpendicular à superfície e vale $pA$. Mesma força, área menor, pressão maior (agulha); área maior, pressão menor (esqui).
• Atmosfera: Torricelli, 76 cm de mercúrio; em água, 10,3 m. Manométrica $= p - p_0$; absoluta inclui $p_0$.
• Stevin: $p = p_0 + \rho g h$; cada 10 m de água = +1 atm; só a profundidade conta, formato e área do recipiente não (paradoxo hidrostático: 2019/81, 2015/90). Gráfico $p \times h$: reta, intercepto $p_0$, inclinação $\rho g$. Diferenças de pressão: $\rho g \Delta h$, sem $p_0$. Peixe a 2 atm: 10 m (2025/94).
• Vasos comunicantes: mesmo líquido, mesmo nível. Dois líquidos: $\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$ na horizontal da interface. Manômetro em U: $p_{\text{gás}} = p_0 + \rho g h$.
• Pascal: acréscimo de pressão se transmite integralmente; $F_2 = F_1 A_2/A_1$; $A_1 d_1 = A_2 d_2$; $F_1 d_1 = F_2 d_2$: multiplica força, não trabalho.
• Arquimedes: $E = \rho_{\text{fluido}} V_{\text{submerso}} g$ = peso do fluido deslocado; não depende da profundidade nem do peso do corpo. Peso aparente $= P - E$. Submerso: afunda se $\rho_c > \rho_f$.
• Flutuação: $E = P$; fração submersa $= \rho_c/\rho_f$ (gelo 90%); $m_{\text{total}} = \rho_f V_{\text{sub}}$. Barcaça 2018: $60 \times 25 \times 1 = 1\,500$ t total, carga 900. Canoa 2020: $9\,800 - 1\,960 = 7\,840$ N → 784. Peixe 2025: $V = m/\rho = 0{,}10$ m³. Navio 2015: $200/720 = 28\%$. Delta 2011: $V_{\text{sub}}$ +25% ⇔ $\rho$ −20%.
• Gases: balão e dirigível recebem $E = \rho_{\text{ar}} V g$ (LZ 7: 231 840 N, 2007/66). Densímetro afunda mais no líquido menos denso.
• Vizinhos: peso e terceira lei em leis de Newton; conversões em grandezas físicas e unidades; torque e equilíbrio de corpos rígidos em estática; força vezes deslocamento em trabalho de uma força; dilatação e a água que ferve a 96 °C em Brasília em temperatura e calor; pressão de gases e a lei geral em transformações gasosas.