Grandezas físicas e unidades de medida

Em dezembro de 2023, a prova do PAS 3 deu ao candidato um dado de engenharia: produzir uma tonelada de alumina consome 15,0 MWh de energia elétrica. E pediu o mesmo número em MJ/kg. Não havia física nova no item, nenhuma lei, nenhuma fórmula: só uma quantidade escrita em duas roupas diferentes. Quem sabia que “mega” é um milhão, que uma hora são 3 600 segundos e que uma tonelada são mil quilogramas chegou a 54; quem trocou um prefixo ou esqueceu de dividir pela massa escreveu outro número na folha de respostas. Um ano depois, o PAS 3 descreveu um raio: 30 mil ampères, 100 milhões de volts, 1 quilômetro de nuvem a solo. Um item afirmava que o campo elétrico valia “cerca de 100 V/m”. Bastava dividir 10⁸ por 10³ para ver que faltavam três zeros.

Esta página é sobre a parte da Física que todo item quantitativo usa antes de qualquer outra: o que é uma medida, quais unidades o mundo combinou usar, como passar de uma para outra sem errar por mil, como as unidades denunciam uma fórmula errada, como estimar quando o dado exato não existe e quantos algarismos uma resposta merece. Vetores, cinemática, leis de Newton e hidrostática têm páginas próprias; aparecem aqui só quando uma unidade delas ensina alguma coisa.

Medir é comparar com um padrão

Uma pista de atletismo tem 400 metros. A frase esconde uma comparação: alguém tomou o comprimento da pista e verificou quantas vezes o comprimento chamado metro cabe nela. Toda medida é isso: uma grandeza (a propriedade que se mede: comprimento, massa, tempo), um valor numérico (quantas vezes) e uma unidade (o padrão de comparação). Tire qualquer um dos três e a informação desaparece: “a pista tem 400” não diz nada, e “a pista tem metros” também não.

Uma medida real nunca é exata. A régua escolar tem traços a cada milímetro; entre dois traços, o olho estima. Uma balança digital de cozinha arredonda para o grama mais próximo. Toda medida carrega uma incerteza, e a forma honesta de escrevê-la é com o número de algarismos que o instrumento sustenta, assunto de uma seção adiante. Por enquanto, guarde a ideia: medir é comparar, e a comparação tem um limite de precisão que vem do instrumento, não do cuidado de quem mede.

Sete unidades bastam para descrever o mundo

Cada país já teve suas próprias unidades (pé, jarda, légua, arroba), e a confusão custava caro no comércio e na ciência. O Sistema Internacional de Unidades (SI), herdeiro do sistema métrico da Revolução Francesa e mantido hoje pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas, resolve o problema com uma escolha enxuta: sete grandezas de base, cada uma com uma unidade, e todas as outras derivadas delas por multiplicação e divisão.

Na mecânica do ensino médio, três bastam: metro, quilograma e segundo. Todo o resto se monta a partir delas.

Duas unidades fora do SI convivem com ele e caem em prova. O litro (L) é uma unidade de volume: $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3$, e $1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3$. A tonelada (t) vale 1 000 kg. Em Física atômica, o elétron-volt (eV) mede energia: é o trabalho para mover um elétron através de 1 volt, cerca de $1{,}6\times10^{-19}$ J. Em 2008, o PAS 3 afirmou que o elétron-volt é uma unidade frequente na física atômica e que, no SI, a unidade correspondente é o joule; o item estava certo. E na medição de energia elétrica das contas de luz aparece o quilowatt-hora (kWh): potência vezes tempo, portanto energia, $1\ \text{kWh} = 1\,000\ \text{W}\times 3\,600\ \text{s} = 3{,}6\times10^{6}\ \text{J} = 3{,}6\ \text{MJ}$.

Prefixos e notação científica: como escrever o muito grande e o muito pequeno

Um fio de cabelo tem cerca de 0,00007 m de espessura; a distância da Terra ao Sol é de uns 150 000 000 000 m. Escrever assim convida ao erro de contagem de zeros. O SI oferece dois remédios que se combinam: os prefixos e a notação científica.

A notação científica escreve qualquer número como uma mantissa entre 1 e 10 (incluindo o 1, excluindo o 10) multiplicada por uma potência de dez: $0{,}00007 = 7\times10^{-5}$; $150\,000\,000\,000 = 1{,}5\times10^{11}$. O expoente diz quantas casas a vírgula andou: para a esquerda, expoente positivo; para a direita, negativo. Duas regras operacionais resolvem quase tudo:

• Multiplicar: multiplicam-se as mantissas e somam-se os expoentes. $(3\times10^{4})(2\times10^{-7}) = 6\times10^{-3}$.
• Dividir: dividem-se as mantissas e subtraem-se os expoentes. $\dfrac{10^{8}}{10^{3}} = 10^{5}$; foi essa a conta do raio de 2024.
• Somar ou subtrair: primeiro iguale os expoentes. $3\times10^{5} + 2\times10^{4} = 30\times10^{4} + 2\times10^{4} = 32\times10^{4} = 3{,}2\times10^{5}$.
• Elevar a uma potência: eleva-se a mantissa e multiplica-se o expoente. $(6\times10^{3})^2 = 36\times10^{6} = 3{,}6\times10^{7}$.

Converter é multiplicar por um

A técnica que serve para toda conversão, da mais simples à mais enrolada, chama-se fator unitário: multiplicar a medida por uma fração que vale exatamente 1 porque numerador e denominador são a mesma quantidade escrita em unidades diferentes. Como $1\ \text{km} = 1\,000\ \text{m}$, a fração $\dfrac{1\,000\ \text{m}}{1\ \text{km}}$ vale 1, e multiplicar por ela não muda a grandeza, só a roupa. As unidades se cancelam como fatores algébricos.

De km/h para m/s e de volta. $1\ \text{km/h} = \dfrac{1\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} = \dfrac{1}{3{,}6}\ \text{m/s}$. Logo, km/h → m/s: divida por 3,6; m/s → km/h: multiplique por 3,6. Conferência de sentido: o mesmo movimento tem número maior em km/h (72) que em m/s (20), porque a hora é uma unidade de tempo muito maior que o segundo. Se a sua conversão deu número maior em m/s, o fator está invertido. A tabela de valores redondos economiza tempo de prova: 36 → 10, 54 → 15, 72 → 20, 90 → 25, 108 → 30, 144 → 40.

Área e volume: o fator vai ao quadrado e ao cubo. Aqui mora o erro mais frequente de toda a conversão. Se $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$, então $1\ \text{m}^2 = (100\ \text{cm})^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ e $1\ \text{m}^3 = (100\ \text{cm})^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3$. A conversão de comprimento é a mesma, mas ela aparece duas vezes na área e três no volume.

Litro e metro cúbico. $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3$; como $1\ \text{m} = 10\ \text{dm}$, $1\ \text{m}^3 = 10^3\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{L}$. E $1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3$. Uma caixa-d’água de 1 m³ guarda mil litros; uma piscina de $25\ \text{m}\times12\ \text{m}\times2\ \text{m} = 600\ \text{m}^3$ guarda 600 mil litros.

Densidade: g/cm³ e kg/m³. A água tem densidade 1 g/cm³. Em unidades do SI:

$$1\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\times\frac{1\ \text{kg}}{1\,000\ \text{g}}\times\frac{10^{6}\ \text{cm}^3}{1\ \text{m}^3} = 1\,000\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$

O fator é 1 000 porque a massa cai por mil e o volume sobe por um milhão. Regra prática: g/cm³ → kg/m³, multiplique por 1 000. Ferro, 7,6 g/cm³ (o dado do PAS 1 de 2016), é 7 600 kg/m³; e como 1 L = 1 000 cm³, 1 g/cm³ também é 1 kg/L, o que torna “1 litro de água tem 1 kg” imediato.

Energia e potência: kWh, MWh, MJ. Potência é energia por tempo, então energia é potência vezes tempo, e as unidades seguem: W·s = J; kW·h = 3,6 MJ; MW·h = 3 600 MJ. O item do PAS 3 de 2023 pedia 15,0 MWh por tonelada em MJ/kg:

$$15{,}0\ \frac{\text{MWh}}{\text{t}}\times\frac{3\,600\ \text{MJ}}{1\ \text{MWh}}\times\frac{1\ \text{t}}{1\,000\ \text{kg}} = \frac{15\times3\,600}{1\,000}\ \frac{\text{MJ}}{\text{kg}} = 54\ \text{MJ/kg}$$

Em 2007, o PAS 1 descreveu os motores de 90 kW de um zepelim e perguntou se cada um transformava mais de 5 MJ por minuto: $90\,000\ \text{J/s}\times60\ \text{s} = 5\,400\,000\ \text{J} = 5{,}4\ \text{MJ}$. Certo.

As unidades denunciam a fórmula errada

Toda equação física iguala grandezas da mesma natureza: metros com metros, joules com joules. Essa exigência, chamada homogeneidade dimensional, é uma ferramenta de conferência que não precisa de nenhum dado numérico. Se o lado esquerdo é uma velocidade e o direito sai em m/s², a fórmula está errada antes de qualquer conta.

Três usos aparecem em prova.

Deduzir a unidade de uma constante. Na lei de Hooke, $F = kx$, a constante elástica tem unidade de força por comprimento: N/m, que em unidades de base é kg/s². Na gravitação, $F = G\dfrac{Mm}{d^2}$, logo $G = \dfrac{F d^2}{Mm}$ tem unidade $\dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$, ou $\text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}$. Na fórmula $P = \rho g h$ da pressão em um líquido, com $\rho$ em kg/m³, $g$ em m/s² e $h$ em m, o produto dá $\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot\text{m} = \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2}$, que é N/m², o pascal. As unidades fecham: a fórmula pode estar certa.

Checar uma fórmula lembrada pela metade. O período de um pêndulo é $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ou $2\pi\sqrt{g/L}$? Teste: $\sqrt{\dfrac{\text{m}}{\text{m/s}^2}} = \sqrt{\text{s}^2} = \text{s}$. A primeira dá tempo; a segunda daria 1/s. É a primeira. Na energia cinética, $\frac{1}{2}mv^2$ dá $\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2 = \text{J}$; $\frac{1}{2}mv$ daria kg·m/s, que é unidade de quantidade de movimento, não de energia.

Ler o expoente de uma proporção. Quando uma grandeza varia com o quadrado de outra, duplicar a segunda multiplica a primeira por quatro, não por dois. A distância de frenagem $d = v^2/(2a)$ carrega $v$ ao quadrado: o carro que freia a 144 km/h consome o quádruplo da pista exigida a 72 km/h. Antes de julgar um “dobro” em um item, pergunte que expoente a fórmula carrega.

Ordem de grandeza: acertar o expoente antes da vírgula

Muitos itens não pedem o valor: pedem se uma quantidade é “superior a”, “da ordem de”, “cerca de”. Aí o que interessa é a potência de dez do resultado, e um erro de fator 2 não muda a resposta, mas um erro de fator 1 000 muda.

Estimativa de Fermi. Quando falta o dado, estime cada fator com um número redondo e multiplique. Quantos segundos tem um ano? $365\times24\times3\,600 \approx 3{,}15\times10^{7}$ s (um ano tem, com boa aproximação, $\pi\times10^{7}$ segundos). Quantas vezes o coração bate em uma vida de 80 anos? $70\ \text{batidas/min}\times60\times24\times365\times80 \approx 2{,}9\times10^{9}$: da ordem de $10^{9}$, bilhões, não milhões nem trilhões.

O PAS 1 de 2006 fez uma dessas com o descobrimento: a frota de Cabral levou 44 dias para percorrer 7 mil quilômetros, e o item afirmava que a velocidade média foi inferior a 1 metro por segundo. $7\times10^{6}\ \text{m}$ divididos por $44\times86\,400 \approx 3{,}8\times10^{6}\ \text{s}$ dão cerca de 1,8 m/s. Errado, e sem precisar de calculadora: 7 milhões sobre 3,8 milhões é quase 2.

Em 2016, um bloco sobre a escala Richter forneceu uma tabela (magnitude 4,0 equivale a 6 t de TNT, uma “bomba atômica de baixa potência”; 6,0 equivale a 1 270 t) e a energia de 1 kg de TNT, $4{,}2\times10^{6}$ J. Um item perguntava se um meteorito de $1{,}4\times10^{3}$ kg a 6 km/s transmitiria mais energia que duas bombas de baixa potência. Energia cinética: $\frac{1}{2}\times1\,400\times(6\,000)^2 = 700\times3{,}6\times10^{7} = 2{,}52\times10^{10}$ J. Duas bombas: $12\,000\ \text{kg}\times4{,}2\times10^{6} = 5{,}04\times10^{10}$ J. Metade: errado. Repare no que decidiu o item: converter 6 km/s em 6 000 m/s antes de elevar ao quadrado. Quem esquece o prefixo erra por um milhão.

Quantos algarismos uma resposta merece

Uma régua milimetrada diz que um lápis tem “entre 14,3 e 14,4 cm”; quem mede estima o próximo algarismo, digamos 14,35 cm. Esses quatro algarismos são significativos: os três primeiros são certos, o último é duvidoso (estimado). Escrever 14,3500 cm seria mentir sobre a precisão da régua; escrever 14 cm seria jogar informação fora.

Na prova de Física do PAS, o item tipo B pede um inteiro de 000 a 999 e manda desprezar a parte fracionária, então a regra prática é: carregue algarismos de sobra durante a conta e trunque só na resposta final. O item de 2023 dá exatamente 54,0; se desse 54,9, a resposta marcada seria 54.

Ler unidades em instrumentos, tabelas e gráficos

Todo instrumento tem uma menor divisão: 1 mm na régua, 1 g na balança de cozinha, 1 km/h no velocímetro. A leitura confiável vai até essa divisão e um algarismo estimado além dela; o instrumento também tem um alcance, e ler fora dele não é medir. Em tabelas, a unidade aparece no cabeçalho da coluna (“velocidade (km/h)”) e vale para todos os números da coluna: a tabela de 2016 dizia “energia liberada (em massa de TNT)” e misturava gramas, quilogramas e toneladas nas linhas; quem não leu as unidades linha a linha comparou 170 g com 1 270 t como se fossem o mesmo tipo de número.

Em gráficos, os eixos carregam unidades, e as operações geométricas herdam essas unidades. A inclinação de um gráfico de posição (m) contra tempo (s) é uma velocidade em m/s. A área sob um gráfico de velocidade (m/s) contra tempo (s) é um deslocamento em m, porque $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\times\text{s} = \text{m}$. A área sob força (N) contra deslocamento (m) é trabalho em J. A área sob potência (W) contra tempo (s) é energia em J. Se o gráfico usa km/h e horas, a área sai em km; se usa km/h e segundos, converta antes ou o número não terá unidade que faça sentido. Ler os eixos antes da curva é o primeiro gesto diante de qualquer gráfico; a página de movimento uniforme desenvolve as leituras de $s\times t$ e $v\times t$.

Número e unidade bastam? A ponte para os vetores

Uma massa de 2 kg, um intervalo de 30 s, uma temperatura de 25 °C: número e unidade encerram a informação. Já “uma velocidade de 10 m/s” deixa uma pergunta: para onde? Grandezas que só ficam definidas com uma orientação no espaço (deslocamento, velocidade, aceleração, força) são vetoriais; as outras (massa, tempo, temperatura, energia, distância percorrida) são escalares. O teste rápido é o da soma: escalares somam como números (2 kg + 3 kg = 5 kg, sempre); vetores não (3 N + 4 N dão qualquer valor entre 1 N e 7 N, conforme o ângulo). O PAS 1 já perguntou, num bloco sobre O Trenzinho do Caipira, se a música permitia conhecer “os aspectos vetoriais do movimento do trem”: o andamento imita a rapidez, que é escalar; direção e sentido não estão em nota nenhuma. Tudo o que um vetor exige além do número e da unidade está na página de vetores.

Os erros que a prova espera

Converter área ou volume com o fator linear. 200 cm² não são 2 m²; são 0,02 m². Eleve o fator ao quadrado (área) ou ao cubo (volume).

Trocar kg por N. Massa em kg, força e peso em N; na Terra, $P = mg$ com $g = 10\ \text{m/s}^2$. “Força de 5 kg” não existe.

Errar o prefixo. m é mili, M é mega; 5 ms são 0,005 s; 3 µC são $3\times10^{-6}$ C; 100 MV são $10^{8}$ V. Prefixo em unidade elevada eleva junto: $1\ \text{km}^2 = 10^{6}\ \text{m}^2$.

Comparar potências de dez com mantissa fora de [1, 10). $53{,}34\times10^{11}$ é $5{,}334\times10^{12}$. Normalize antes de comparar expoentes.

Esquecer de converter antes de elevar ao quadrado. 6 km/s são 6 000 m/s; ao quadrado, a diferença entre lembrar e esquecer é um fator $10^{6}$.

Inverter o 3,6. De km/h para m/s o número diminui (divide-se por 3,6); de m/s para km/h aumenta. Se 20 m/s “virou” 5,6 km/h, o fator foi ao contrário.

Cancelar unidade errada no fator unitário. A unidade que se quer eliminar deve aparecer uma vez em cima e uma em baixo. Se sobrou km·s/h no fim, algum fator foi montado invertido.

Confundir kWh com kW. kW é potência (taxa); kWh é energia (potência vezes tempo). A conta de luz cobra energia.

Achar que a análise dimensional aprova a fórmula. Ela só reprova. $mv^2$ tem dimensão de energia e não é a energia cinética.

O essencial em meia página

• Medida = valor × unidade; a unidade acompanha o número em toda conta como fator algébrico. Toda medida tem incerteza: o instrumento decide quantos algarismos ela sustenta.
• SI, 7 bases: m, kg, s, A, K, mol, cd. Derivadas: N = kg·m/s²; J = N·m; W = J/s; Pa = N/m²; Hz = 1/s; C = A·s; V = J/C. Fora do SI, aceitas: L = dm³ = $10^{-3}$ m³; t = 1 000 kg; kWh = 3,6 MJ; eV ≈ $1{,}6\times10^{-19}$ J.
• Prefixos: G $10^{9}$, M $10^{6}$, k $10^{3}$, h $10^{2}$, d $10^{-1}$, c $10^{-2}$, m $10^{-3}$, µ $10^{-6}$, n $10^{-9}$, p $10^{-12}$. Prefixo em unidade elevada eleva junto.
• Notação científica: mantissa em $[1, 10)$ × potência de 10. Multiplica: soma expoentes; divide: subtrai; soma: iguala expoentes antes; potência: multiplica o expoente.
• Fator unitário: multiplique por frações iguais a 1 até cancelar as unidades velhas. km/h → m/s: ÷ 3,6 (36 → 10, 72 → 20, 108 → 30). Área: fator²; volume: fator³ ($1\ \text{m}^2 = 10^{4}\ \text{cm}^2$, $1\ \text{m}^3 = 10^{6}\ \text{cm}^3 = 1\,000$ L). g/cm³ → kg/m³: × 1 000. MWh → MJ: × 3 600.
• Análise dimensional: $[v] = LT^{-1}$, $[a] = LT^{-2}$, $[F] = MLT^{-2}$, $[E] = ML^{2}T^{-2}$, $[P] = ML^{2}T^{-3}$, $[p] = ML^{-1}T^{-2}$. Serve para deduzir unidade de constante ($k$ em N/m, $G$ em N·m²/kg²) e reprovar fórmulas; não fixa fatores numéricos.
• Ordem de grandeza: potência de dez mais próxima (mantissa ≥ 3,16 sobe). Estimar: números redondos, multiplicar, conferir o expoente. 1 ano ≈ $3\times10^{7}$ s.
• Algarismos significativos: contam a partir do primeiro não nulo; × e ÷ herdam o menor número de algarismos; + e − herdam o menor número de casas decimais; arredonde no fim.
• Gráficos: inclinação e área herdam as unidades dos eixos ($v\times t$: área em m; $F\times d$: área em J). Leia os eixos antes da curva.
• Escalar × vetorial: se a soma depende do ângulo, é vetor (velocidade, força); massa, tempo, energia são escalares.
• Antes de responder: a unidade é a pedida? A ordem de grandeza é plausível? O prefixo foi convertido antes de elevar ao quadrado?