Equações polinomiais

Resolver uma equação polinomial p(x)=0 é encontrar os valores que anulam o polinômio. A estratégia depende de sua estrutura: fatores evidentes, raízes conhecidas, coeficientes e simetrias podem transformar um problema de grau alto em equações menores. O conjunto numérico e o domínio do contexto precisam estar definidos desde o início.

Quantas raízes estamos contando?

Um polinômio não nulo de grau n possui no máximo n raízes reais distintas. Nos complexos, se n≥1, possui exatamente n raízes contadas com multiplicidade. Em $(x-2)^2(x+1)=0$, as raízes distintas são 2 e −1, mas o fator de 2 aparece duas vezes.

Polinômios de grau ímpar com coeficientes reais têm pelo menos uma raiz real. Uma justificativa usa continuidade: o termo líder domina para valores de grande módulo, produzindo sinais opostos nas duas direções do eixo; a função precisa passar por zero. Isso não determina quantas raízes reais distintas existem.

Se todos os coeficientes forem zero, a equação é verdadeira para todo x do domínio. Uma constante não nula igualada a zero não tem solução. Esses casos devem ser separados antes de aplicar regras que pressupõem grau positivo.

Uma raiz conhecida reduz o grau

Pelo teorema do fator, se p®=0, então x−r divide p(x). Considere $p(x)=x^3-6x^2+11x-6$. Testar x=1 dá zero, portanto podemos dividir por x−1 e resolver a quadrática restante.

No dispositivo de Briot-Ruffini, organizamos os coeficientes 1,−6,11,−6. Descemos 1; multiplicamos por r=1 e somamos ao próximo coeficiente, obtendo −5. Repetimos: −5+11=6; depois 6−6=0. O quociente é $x^2-5x+6$ e o resto zero confirma o teste inicial.

Fatorando a quadrática, $p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$. As soluções são 1,2,3. Quando falta um grau intermediário, inclua coeficiente zero na tabela; omiti-lo desloca todas as posições e invalida a divisão.

Como procurar uma primeira raiz

Para polinômios de coeficientes inteiros, uma raiz racional p/q, escrita na forma irredutível, deve ter p divisor do termo independente e q divisor do coeficiente líder, desde que ambos os coeficientes usados sejam não nulos. Essa regra fornece candidatos, não garante que sejam raízes.

Em um polinômio mônico, as raízes racionais possíveis são inteiras e dividem o termo independente. Se este é zero, x já é fator e podemos reduzi-lo primeiro. Nem toda equação possui raiz racional; insistir indefinidamente em testes inteiros não é um método geral de solução.

Relações de Viète

Se $ax^3+bx^2+cx+d$ tem raízes r₁,r₂,r₃ contadas com multiplicidade, com a≠0, então $r_1+r_2+r_3=-b/a$, $r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=c/a$ e $r_1r_2r_3=-d/a$.

Na cúbica anterior, a soma é 6, a soma dos produtos aos pares é 11 e o produto é 6. Esses valores conferem com 1,2,3. As relações permitem responder perguntas sobre combinações das raízes sem descobrir cada uma separadamente. Elas valem também para raízes complexas.

Com coeficientes reais, raízes não reais aparecem em pares conjugados. Se uma cúbica mônica tem coeficiente de x² igual a −5 e duas raízes 1+i e 1−i, a terceira é 3, pois a soma total deve ser 5. A condição de coeficientes reais é indispensável para inferir o conjugado.

Biquadráticas: substitua e volte

Em $x^4-5x^2+4=0$, a substituição u=x² produz $u^2-5u+4=0$, com u=1 ou u=4. Voltando, obtemos x=±1 e x=±2. Esquecer o sinal negativo perde metade das soluções reais.

Para $x^4-3x^2-4=0$, aparecem u=4 e u=−1. Nos reais, ficam apenas x=±2; nos complexos, entram também ±i. Se x representa um comprimento positivo, o contexto seleciona apenas 2. Uma raiz u=0 gera x=0; sua multiplicidade em x é o dobro da multiplicidade de u na equação transformada.

Multiplicidade e gráfico

Perto de uma raiz real de multiplicidade ímpar, o gráfico muda de sinal; perto de uma de multiplicidade par, não muda. No gráfico de $(x+1)(x-2)^2$, a curva cruza o eixo em −1 e toca o eixo em 2, retornando ao mesmo lado. Contar pontos de contato não é contar multiplicidades.

A página de polinômios apresenta as operações básicas; números complexos amplia o conjunto de raízes disponíveis.