Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, centrada na origem de um plano cartesiano ortogonal. Um ângulo orientado determina um ponto dessa circunferência. Suas coordenadas definem cosseno e seno, estendendo as razões do triângulo retângulo para ângulos negativos, obtusos e maiores que uma volta.

Orientação e voltas completas

A posição inicial é o ponto (1,0), no eixo horizontal positivo. Por convenção, girar no sentido anti-horário produz ângulos positivos; girar no sentido horário produz negativos. Depois de uma volta completa, chegamos ao mesmo ponto, embora o ângulo total percorrido tenha mudado.

Os ângulos 30°,390° e −330° têm a mesma extremidade. Diferem por múltiplos inteiros de 360°. Dizemos que são côngruos ou coterminais. Um intervalo como $[0,360^\circ)$ fornece um representante de cada posição, sem repetir a extremidade inicial no fim.

Uma redução prática consiste em subtrair voltas completas até chegar ao intervalo escolhido, preservando o sentido indicado quando ele for relevante. Reduzir um ângulo não significa apagar o percurso físico. Uma roda que girou 390° deu uma volta a mais que uma que girou 30°, mas suas posições finais no ciclo coincidem. A pergunta decide se interessam orientação final, deslocamento angular ou número de voltas.

Radianos relacionam arco e raio

Para um arco de comprimento não negativo s e raio positivo r, o módulo da medida em radianos é $|\theta|=s/r$. A orientação do giro determina o sinal do ângulo. Uma volta tem arco $2\pi r$, portanto corresponde a $2\pi$ radianos. Meia-volta corresponde a π radianos e a 180°.

Para converter graus em radianos, multiplique por π/180. Assim, 150° vale $5\pi/6$. Para voltar aos graus, multiplique por 180/π: $7\pi/4$ vale 315°. O número π não significa, por si só, uma unidade: o contexto indica que a medida angular está em radianos.

Se uma roda de raio 3 metros gira por um ângulo de $2\pi/3$ radianos, o arco percorrido por um ponto da borda tem comprimento $s=r|\theta|=2\pi$ metros. A fórmula exige radianos; inserir 120 diretamente daria uma conta errada.

Seno e cosseno são coordenadas

A extremidade do ângulo θ é $P=(\cos\theta,\sin\theta)$. Cosseno é a abscissa, seno é a ordenada. Ambos pertencem ao intervalo [−1,1]. A identidade $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ vem da equação da circunferência unitária.

Nos ângulos 0,π/2,π e 3π/2, os pontos são (1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1). Essas posições ajudam a conferir os zeros e os sinais sem decorar uma tabela isolada.

No primeiro quadrante, seno e cosseno são positivos. No segundo, seno positivo e cosseno negativo. No terceiro, ambos negativos. No quarto, seno negativo e cosseno positivo. Nos eixos, uma coordenada é zero; não atribua o ponto a um quadrante.

Ângulo de referência e valores exatos

Para 30°,60° e 45°, os triângulos notáveis fornecem os valores exatos. Em 30°, seno=1/2 e cosseno=$\sqrt3/2$; em 60°, eles se invertem. Em 45°, ambos valem $\sqrt2/2$.

O ângulo 150° está no segundo quadrante e tem referência de 30° com o eixo horizontal negativo. Assim, $\sin150^\circ=1/2$ e $\cos150^\circ=-\sqrt3/2$. O ângulo 210° tem a mesma referência, mas está no terceiro quadrante: ambos os valores são negativos.

Para conferir $\sin(-\pi/6)$, reflita o ponto de π/6 no eixo horizontal. A ordenada troca de sinal, dando −1/2; a abscissa permanece $\sqrt3/2$. Em geral, seno é ímpar e cosseno é par.

Tangente e seus pontos excluídos

A tangente é $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$, quando o cosseno não é zero. Portanto, ela não está definida em $\theta=\pi/2+k\pi$, com k inteiro. Seu sinal é positivo nos quadrantes I e III e negativo nos quadrantes II e IV.

Adicionar π troca simultaneamente os sinais de seno e cosseno, preservando o quociente. Por isso, a tangente repete valores após meia-volta, enquanto seno e cosseno precisam de uma volta completa para repetir toda a função.

As funções trigonométricas transformam essas posições em gráficos periódicos; números complexos usa as mesmas coordenadas na forma polar.