Gravitação universal

A gravitação universal descreve a atração entre corpos com massa. Ela conecta a queda de objetos perto da superfície terrestre ao movimento orbital de luas e planetas. O modelo newtoniano funciona como aproximação em muitos problemas escolares e exige atenção à distância usada, à distribuição de massa e ao sistema de referência. A gravidade pode ser intensa mesmo onde um astronauta aparenta não pesar.

Lei do inverso do quadrado

Para duas partículas de massas M e m separadas por distância r, a força gravitacional tem módulo $F=GMm/r^2$. A constante G pode ser adotada como $6{,}67\times10^{-11}$ N·m²/kg² em cálculos que forneçam essa aproximação.

A força é atrativa e atua na direção da linha que liga os corpos. Para corpos esféricos com distribuição de massa esfericamente simétrica, sem sobreposição entre os corpos, a expressão externa é a mesma de partículas concentradas nos centros. Ela não autoriza substituir qualquer objeto irregular por sua massa no centro em qualquer distância; essa simplificação exige justificativa.

Dobrar uma massa dobra a força, mantendo as outras grandezas. Dobrar a separação divide a força por quatro. Se ambas as massas dobram e a distância também dobra, esses fatores se compensam e a força permanece igual.

O campo gravitacional aqui calculado exclui a contribuição da rotação para o peso efetivo medido em um referencial terrestre.

Ação e reação, acelerações diferentes

Cada corpo atrai o outro com força de mesmo módulo e sentido oposto. Essas forças atuam em corpos diferentes, por isso não se cancelam no diagrama individual. No sistema dos dois corpos, formam um par interno.

Se M=4m, a aceleração do corpo de massa m tem módulo quatro vezes maior que a do corpo de massa M, pois cada aceleração é a força comum dividida pela respectiva massa. A força igual não implica movimento igual.

Perto de uma fonte gravitacional fixa no modelo, $a=F/m=GM/r^2$. A massa do corpo de prova cancela. Dois objetos de massas diferentes no mesmo ponto têm a mesma aceleração gravitacional quando outras forças e o efeito de suas próprias massas sobre a fonte podem ser desprezados.

Campo gravitacional e peso

O campo gravitacional é a força por unidade de massa de prova. Fora de uma fonte esférica, seu módulo é $g(r)=GM/r^2$. Na superfície de raio R, $g_0=GM/R^2$. O peso gravitacional de um corpo é $P=mg$.

Um objeto de massa 12 kg permanece com essa massa ao mudar de planeta. Se o campo gravitacional local passa de 10 para 2 m/s², seu peso passa de 120 para 24 N. Massa é medida em quilogramas; peso é força, medida em newtons.

O valor de g não é uma constante universal: depende da massa e da posição. Para um planeta com o dobro da massa e o dobro do raio de outro, a gravidade superficial fica multiplicada por $2/2^2=1/2$.

Altitude não é distância ao centro

A uma altitude h acima de um planeta esférico de raio R, a distância na lei gravitacional é r=R+h. Portanto, $g(h)=GM/(R+h)^2$ e $g(h)/g_0=[R/(R+h)]^2$.

Considere R=6000 km e h=600 km. A razão é $(6000/6600)^2=100/121$, aproximadamente 0,826. Se g₀=10 m/s², temos g≈8,26 m/s². É um valor expressivo, apesar da altitude. Como usamos uma razão, os quilômetros se cancelam; para calcular GM diretamente em unidades SI, seria necessário converter distâncias para metros.

Queda livre e peso aparente

Uma balança de apoio mede uma força de contato, relacionada ao peso aparente, não o campo gravitacional diretamente. Um astronauta e sua estação em órbita caem continuamente juntos, de modo que falta a força normal de apoio habitual. A sensação de flutuação não indica ausência de atração gravitacional.

Se a gravidade desaparecesse no modelo de órbita e nenhuma outra força atuasse, o movimento seguiria tangencialmente, sem curvar. A gravitação é justamente a responsável pela aceleração que mantém a órbita. As leis de Kepler detalham como geometria e tempo orbital se relacionam.

Limites e comparação com marés

A lei $GM/r^2$ não deve ser extrapolada para o interior de uma esfera usando toda sua massa como se estivesse concentrada no centro. A distribuição interna modifica o campo; o problema precisa fornecer um modelo para estudá-lo.

Também não confunda força gravitacional com efeito de maré. A primeira descreve a atração num ponto; o segundo depende de como essa atração varia entre partes separadas de um corpo. É possível que um astro produza maior atração global e menor efeito de maré que outro.