Dilatação térmica

A dilatação térmica descreve como dimensões mudam quando a temperatura varia. O fenômeno aparece em juntas de pontes, peças encaixadas e líquidos em recipientes. Resolver esses problemas exige distinguir crescimento absoluto e relativo, escolher o coeficiente adequado e verificar se o corpo pode se expandir livremente. Uma dimensão maior após aquecimento não significa que o material ganhou massa.

O modelo linear e suas condições

Para uma barra com comprimento inicial L₀, usa-se $\Delta L=L_0\alpha\Delta T$. O comprimento final é $L=L_0+\Delta L=L_0(1+\alpha\Delta T)$. O coeficiente linear α tem unidade K⁻¹ ou °C⁻¹; as diferenças de temperatura têm o mesmo valor nas duas escalas.

Esse modelo trata α como aproximadamente constante no intervalo e supõe variações pequenas, com $|\alpha\Delta T|\ll1$. Muitos materiais expandem ao aquecer em intervalos usuais, mas existem exceções e dependência com direção ou temperatura. A fórmula não autoriza extrapolar indefinidamente um coeficiente tabelado.

Uma escultura e a ordem de grandeza

Uma escultura de mármore mede 2,5 m e tem α=$9\times10^{-6}$ °C⁻¹. Para um aquecimento uniforme de 20 °C, a variação é $2{,}5\cdot9\times10^{-6}\cdot20=4{,}5\times10^{-4}$ m, ou 0,45 mm. Ela cresce menos de 1 mm.

A deformação relativa é $\Delta L/L_0=1{,}8\times10^{-4}$, isto é, 0,018%. Já o comprimento final é 2,50045 m. Trocar comprimento final por variação ou esquecer que um metro contém mil milímetros produz respostas de outra ordem de grandeza.

Área e volume em um material isotrópico

Se a expansão é igual em todas as direções, cada dimensão recebe o fator $1+\alpha\Delta T$. Para uma placa livre, $A/A_0=(1+\alpha\Delta T)^2$. Desprezando termos quadráticos pequenos, $\Delta A\approx A_0(2\alpha)\Delta T$.

Analogamente, $V/V_0=(1+\alpha\Delta T)^3$ leva a $\Delta V\approx V_0(3\alpha)\Delta T$. Assim, os coeficientes superficial e volumétrico satisfazem β≈2α e γ≈3α nesse modelo isotrópico de primeira ordem. Não são identidades universais para materiais anisotrópicos ou grandes variações.

Para o mármore do exemplo, $\Delta V/V_0\approx3\cdot9\times10^{-6}\cdot20=5{,}4\times10^{-4}$, ou 0,054%. A variação relativa de volume é aproximadamente três vezes a relativa de comprimento, não três vezes o comprimento em metros.

O furo também aumenta

Imagine preencher o furo de uma chapa com um disco do mesmo material, perfeitamente ajustado. Se o conjunto aquece uniformemente e se expande livremente, todas as distâncias aumentam na mesma proporção. Retirar o disco imaginário não muda a expansão geométrica da borda do furo.

Portanto, com α positivo, o diâmetro do furo aumenta. Um furo de 10 mm, em material de α=$2\times10^{-5}$ °C⁻¹, sob ΔT=100 °C, ganha 0,02 mm de diâmetro. A conclusão supõe temperatura uniforme e ausência de restrições que deformem a chapa; não se deve imaginar cada ponto avançando simplesmente “para dentro”.

Folgas e corpos impedidos de expandir

Uma barra de 10 m com α=$1{,}2\times10^{-5}$ °C⁻¹, aquecida em 50 °C, teria dilatação livre de 6 mm. Uma folga pode acomodar esse crescimento. Se as extremidades estiverem impedidas de se afastar, surgem esforços mecânicos, e a deformação real não é necessariamente a dilatação livre calculada.

Em duas barras diante de uma mesma abertura, o fechamento da folga pode envolver a soma das expansões de ambas. É necessário examinar quais extremidades estão fixas. Lâminas bimetálicas ilustram outra situação: materiais ligados com coeficientes diferentes tendem a alongar-se de modo diferente, produzindo curvatura.

Dilatação real e aparente de líquidos

Um líquido aquecido dentro de um frasco compete com a expansão da capacidade do próprio recipiente. Se ambos começam com o mesmo volume e atingem a mesma variação de temperatura, o aumento aparente é aproximadamente $\Delta V_{ap}=V_0(\gamma_{liq}-\gamma_{rec})\Delta T$.

Se o coeficiente volumétrico do recipiente é um centésimo do do líquido, a diferença é $0{,}99\gamma_{liq}$. Para V₀=1000 mL, γ do líquido=$10^{-3}$ °C⁻¹, γ do recipiente=$10^{-5}$ °C⁻¹ e ΔT=20 °C, o líquido cresce 20 mL, a capacidade cresce 0,2 mL e o excesso é 19,8 mL, se o recipiente estava inicialmente cheio.