Teorema de Tales e semelhança de triângulos

Quantos metros tem a torre da caixa-d’água do condomínio? Ninguém precisa subir nela. Basta fincar uma vara de 2 m no gramado ao lado e medir duas sombras ao mesmo tempo: a da vara dá 0,8 m, a da torre dá 7,2 m. Como o Sol está longe demais para que seus raios se abram, eles chegam paralelos, e cada objeto vertical forma com a própria sombra um triângulo retângulo com o mesmo ângulo de inclinação: duas cópias da mesma forma, uma pequena e uma grande. A altura da vara é $2/0{,}8 = 2{,}5$ vezes a sua sombra; a altura da torre é, portanto, $2{,}5 \times 7{,}2 = 18$ m. Em dezembro de 2023, a prova do PAS 1 deu as medidas de A última ceia (4,60 m por 8,80 m) e pediu a área de uma reprodução de 22 cm de largura “na mesma proporção” do original; em 2025, pediu quantos centímetros separam Natal do atol das Rocas num mapa 1:5 000 000. As três perguntas são a mesma: duas figuras com a mesma forma têm todas as medidas de comprimento na mesma razão.

Esta página é sobre essa ideia e o que sai dela: o teorema de Tales (paralelas fatiam transversais em segmentos proporcionais), a semelhança de figuras e de triângulos (quando vale, como reconhecer, em que ordem escrever), a razão $k$ e o que ela faz com perímetros ($k$), áreas ($k^2$) e volumes ($k^3$), e as configurações que a prova repete: sombra e estaca, “borboleta”, escala de mapa e maquete, reprodução de obra. Os ângulos entre paralelas, que a semelhança usa como hipótese, estão em Ângulos e polígonos; o triângulo retângulo e suas relações métricas, que são semelhança com outro nome, ficam para Teorema de Pitágoras e Trigonometria no triângulo.

Razão é divisão; proporção é igualdade de razões

Antes de qualquer triângulo, três palavras precisam estar limpas.

A escala de um mapa, de uma planta ou de uma maquete é uma razão entre o desenho e o objeto. Numa maquete 1:200, cada centímetro medido no modelo corresponde a 200 cm (2 m) da construção, seja qual for a unidade escolhida, contanto que seja a mesma dos dois lados da razão; um muro que ocupa 6 cm na maquete tem $6 \times 200 = 1\,200$ cm $= 12$ m na obra. No sentido inverso, do real para o papel, divide-se: 267 km em escala 1:5 000 000 são $26\,700\,000 \text{ cm} / 5\,000\,000 = 5{,}34$ cm (o item 95 do PAS 2025, resposta B). A conta que mais derruba candidato não é a divisão, é a conversão de unidade antes dela: quilômetro para centímetro são cinco zeros ($1 \text{ km} = 100\,000$ cm).

A norma de acessibilidade NBR 9050, que a prova de 2023 transcreveu, escreve inclinações como razões: uma rampa “1:12” sobe 1 unidade a cada 12 de avanço horizontal, e $i = h/c = 1/12 \approx 8{,}33\%$. Quanto menor o segundo número, mais íngreme a rampa: 1:10 é mais inclinada que 1:20. Um item afirmava que os valores 1:10, 1:12, 1:16 e 1:20 indicam que, quanto mais alto o desnível, maior deve ser a razão $h/c$: é o contrário, e o item era E.

Uma razão com nome próprio, que a prova usa como pretexto para conta de proporção: dois segmentos (ou dois números) estão em razão áurea quando o quociente do maior pelo menor é $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, a raiz positiva de $\varphi^2 = \varphi + 1$. Com $\sqrt{5} \approx 2{,}236$, $\varphi \approx 1{,}618$. Não há teoria nova: em 2017, a prova disse que o Sol e a Lua de uma pintura de Frida Kahlo tinham diâmetros em razão áurea, deu 14 cm para o Sol e perguntou se a Lua passava de 9 cm ($14/\varphi \approx 8{,}65$, E); no item seguinte, afirmou que dividir os dois números pelo mesmo valor preserva a razão áurea (C: $\frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b}$). Em 2018 e 2024, o mesmo $\varphi$ voltou no Partenon e nas torres de Reims, sempre com $\sqrt{5}$ dado no comando.

Tales: paralelas fatiam transversais na mesma proporção

Exemplo resolvido 1: completar o feixe. Na figura, $AB = 4$, $BC = 6$ e $DE = 10$. Quanto vale $EF$?

Estratégia: nomear os pontos e dizer entre quais paralelas cada segmento está. $AB$ e $DE$ ficam entre $r$ e $s$; $BC$ e $EF$, entre $s$ e $t$.

Resolução: $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF} \Rightarrow \dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{EF} \Rightarrow 4 \cdot EF = 60 \Rightarrow EF = 15$.

Conferência: pela razão com o total, $AB/AC = 4/10 = 0{,}4$ e $DE/DF = 10/25 = 0{,}4$. Fecha. Repare que a transversal $v$ é “esticada” em relação a $u$ pelo fator $10/4 = 2{,}5$, e $6 \times 2{,}5 = 15$: o teorema de Tales é, no fundo, um fator único aplicado a todos os pedaços.

Por que é verdade. Há duas demonstrações que valem conhecer, porque as duas voltam em outros teoremas. A primeira usa áreas e cabe em um triângulo. Tome um triângulo $ADC$ com $B$ sobre o lado $AC$ e $E$ sobre o lado $AD$, com $BE \parallel CD$. Os triângulos $ABE$ e $CBE$ têm a mesma altura relativa às bases $AB$ e $BC$ (a distância de $E$ à reta $AC$), então $\dfrac{[ABE]}{[CBE]} = \dfrac{AB}{BC}$. Do mesmo modo, $\dfrac{[ABE]}{[DBE]} = \dfrac{AE}{ED}$. Mas $[CBE] = [DBE]$, porque os dois triângulos têm a mesma base $BE$ e a mesma altura, já que $C$ e $D$ estão na mesma paralela a $BE$. Logo $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AE}{ED}$: é Tales. A segunda demonstração é a que Euclides usa nos casos comensuráveis: dividir $AB$ em $m$ partes iguais e $BC$ em $n$ partes iguais do mesmo tamanho, traçar paralelas por todos os pontos de divisão e observar que elas cortam $v$ em segmentos também iguais entre si (dois trapézios com lados paralelos iguais e o mesmo ângulo são congruentes); então $DE$ e $EF$ ficam divididos em $m$ e $n$ partes iguais, e a razão é a mesma $m/n$. Para segmentos incomensuráveis (razão irracional), o argumento se completa por aproximação, que é o que a demonstração por áreas dispensa.

Uma consequência com nome próprio, só para reconhecer: o teorema da bissetriz interna diz que a bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes ($\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ para a bissetriz de $\hat{A}$ que chega em $D$). Prova-se com uma paralela à bissetriz e Tales. A prova do PAS não o cobrou em vinte anos; fica aqui como parente.

Mesma forma, outro tamanho: o que é semelhança

A escala é a razão de semelhança entre o desenho e o objeto. Uma foto ampliada “sem deformar” é semelhante à original; uma foto esticada só na largura não é, e é isso que a prova de 2023 chamou de “mesma proporção entre largura e altura”. A homotetia é o nome da transformação que produz figuras semelhantes a partir de um centro: cada ponto $P$ vai para $P'$ na reta $OP$, com $OP' = k \cdot OP$. É a lanterna que projeta a sombra ampliada de uma mão na parede, e é o que uma copiadora faz ao ampliar 141% (o fator $\sqrt{2}$ que leva A4 a A3, mantendo a proporção da folha).

Quando dois triângulos são semelhantes: AA, LAL, LLL

Para polígonos em geral é preciso conferir ângulos e lados. Para triângulos, basta menos, porque o terceiro ângulo é forçado pela soma 180° e a forma fica rígida com poucos dados.

A ordem dos vértices carrega a informação. Escrever $ABC \sim DEF$ diz que $A$ corresponde a $D$, $B$ a $E$, $C$ a $F$; logo $AB$ corresponde a $DE$, $BC$ a $EF$ e $AC$ a $DF$. O jeito seguro de achar a correspondência é pelos ângulos: o lado oposto ao ângulo de um arco corresponde ao lado oposto ao ângulo de um arco. Quando a figura vem “de cabeça para baixo” ou espelhada, a impressão visual engana; os ângulos não.

O teorema fundamental da semelhança é Tales dentro do triângulo: uma reta paralela a um lado de um triângulo, cortando os outros dois lados, determina um triângulo semelhante ao original. Se $DE \parallel BC$ com $D$ em $AB$ e $E$ em $AC$, então $ADE \sim ABC$ (AA: ângulo $\hat{A}$ comum e ângulos correspondentes iguais nas paralelas), e $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$. É daqui que vem a base média: marque o ponto médio de dois lados de um triângulo e ligue-os; o segmento obtido fica paralelo ao terceiro lado e tem metade do comprimento dele, porque o triângulo pequeno que ele recorta é semelhante ao original com $k = \tfrac{1}{2}$. Um triângulo de perímetro 36 cm tem o triângulo dos pontos médios com perímetro 18 cm, e área um quarto da original.

Exemplo resolvido 2: descobrir a correspondência antes de montar a conta. Um triângulo tem lados 5, 7 e 9. Outro triângulo, semelhante a ele, tem o maior lado medindo 13,5. Quanto medem os outros dois?

Estratégia: em triângulos semelhantes, o maior lado corresponde ao maior lado (está oposto ao maior ângulo), o menor ao menor.

Resolução: $k = 13{,}5/9 = 1{,}5$. Os outros lados medem $5 \times 1{,}5 = 7{,}5$ e $7 \times 1{,}5 = 10{,}5$.

Conferência: o perímetro do segundo, $7{,}5 + 10{,}5 + 13{,}5 = 31{,}5$, é $1{,}5 \times 21$, o perímetro do primeiro vezes $k$. Quem faz $13{,}5/5$ ou $13{,}5/7$ monta a proporção com lados que não se correspondem, e a conta não fecha em nenhuma conferência.

Comprimentos vão com k, áreas com k², volumes com k³

O porquê está na fórmula de qualquer área: ela é um produto de duas dimensões lineares. Se base e altura multiplicam por $k$, o produto $b \cdot h$ multiplica por $k \cdot k$. Um triângulo semelhante com razão 3 tem lados triplicados, perímetro triplicado e área nove vezes maior. A prova de 2009 testou exatamente isso no azulejo de Athos Bulcão: um triângulo pequeno dentro de um quadrado, e a afirmação de que sua área era $1/32$ da área do azulejo; a conta com os lados dava $1/16$, e o item era E.

Exemplo resolvido 3: a planta 1:100. Na planta de um apartamento, desenhada em escala 1:100, a sala aparece como um retângulo de 6 cm por 4,5 cm. Quantos metros quadrados tem a sala de verdade?

Estratégia: há dois caminhos independentes, e a resposta só está segura quando os dois coincidem: converter cada lado para a medida real e multiplicar, ou multiplicar a área medida no papel por $k^2$.

Resolução (pelos lados): $6 \times 100 = 600$ cm $= 6$ m; $4{,}5 \times 100 = 450$ cm $= 4{,}5$ m; área $= 6 \times 4{,}5 = 27$ m². Resolução (pela área): no papel, $6 \times 4{,}5 = 27$ cm²; real $= 27 \times 100^2 = 27 \times 10\,000 = 270\,000$ cm² $= 27$ m² (porque $1$ m² $= 10\,000$ cm²).

Conferência: os dois caminhos fecham em 27 m², e há um bônus de leitura: em 1:100 cada centímetro quadrado do papel é exatamente um metro quadrado de piso. Quem multiplica os 27 cm² por 100 encontra 2 700 cm² $= 0{,}27$ m², área de um tapete de porta, não de uma sala: a ordem de grandeza denuncia o erro antes de qualquer conferência.

O $k^3$ dos volumes é a ponte para a geometria espacial: duas pirâmides semelhantes com alturas na razão 2 têm volumes na razão 8, e um tronco de pirâmide cuja base menor tem metade do lado da maior tem altura igual à metade da altura da pirâmide inteira (foi o item 50 do PAS 2013, sobre a Pirâmide da Lua de Teotihuacan: $h = 2h_1$, C). Em 2017, a mesma Pirâmide da Lua (altura 42 m, base de 1 600 m², logo lado 40 m) ganhou uma irmã semelhante com a base da Pirâmide do Sol (lado 225 m): $k = 225/40$, altura $42k \approx 236$ m, e a razão altura/lado da base se conserva (1,05 nas duas), enquanto altura/área da base não, porque a área vai com $k^2$ (item 58, tipo C).

Sombra e estaca: a altura que ninguém sobe para medir

A anedota que acompanha o nome do teorema: no século VI a.C., Tales de Mileto teria calculado a altura da Grande Pirâmide sem escalá-la, fincando uma estaca ao lado e comparando, num mesmo momento, a sombra da estaca com a sombra do monumento. Como os raios de sol chegam praticamente paralelos, o ângulo que eles fazem com o solo é um só, para a estaca e para a pirâmide; cada um dos dois triângulos tem um ângulo reto e esse mesmo ângulo de inclinação, o que basta para a semelhança por AA.

Exemplo resolvido 4: item de limiar com sombra. No pátio de uma escola, um mastro de 1,5 m de altura lança uma sombra de 0,9 m; no mesmo instante, o bloco de salas de aula, no mesmo piso nivelado, lança uma sombra de 15 m. Julgue: a altura do bloco é superior a 24 m.

Estratégia: o mastro fornece a razão altura/sombra do momento; o bloco obedece à mesma razão.

Resolução: $1{,}5/0{,}9 = 5/3$; $H = \dfrac{5}{3} \times 15 = 25$ m. Como $25 > 24$: Certo.

Conferência: $25/15 = 5/3$, igual a $1{,}5/0{,}9$. A folga sobre o limiar é de um metro, confortável; se fosse de centímetros, a conta mereceria ser refeita antes de marcar. Quem inverte um dos lados, $1{,}5/15 = 0{,}9/H$, encontra $H = 9$ m e julga errado um item certo.

A mesma figura aparece deitada: largura de um rio. Da margem, mira-se uma árvore na outra margem e marcam-se estacas formando dois triângulos com um ângulo comum e um par de paralelas (ou dois ângulos retos); a largura inacessível sai da proporção com as distâncias medidas na margem acessível. Aparece também com visada de topos: em 2010, a prova pôs uma pessoa de 1,70 m olhando alinhados o topo de um monólito de 4,3 m e o topo de outro de 9 m, em Stonehenge, e pediu a distância até o mais alto. A linha de visada é a transversal; as alturas acima dos olhos ($4{,}3 - 1{,}7 = 2{,}6$ e $9 - 1{,}7 = 7{,}3$) são os catetos verticais dos dois triângulos semelhantes, e as distâncias horizontais estão na mesma razão $7{,}3/2{,}6 \approx 2{,}8$. A altura do observador sempre se subtrai: quem esquece os 1,70 m monta a proporção errada.

A “borboleta” e os triângulos encaixados

Duas configurações respondem pela maioria dos itens de semelhança “crua”, sem sombra nem escala.

Na borboleta, dois segmentos paralelos são ligados por duas “diagonais” que se cruzam. Os ângulos em $O$ são opostos pelo vértice (iguais) e os ângulos em $A$ e $D$ são alternos internos (iguais): AA. A correspondência é a que cruza: o vértice $A$ do triângulo de cima corresponde ao vértice $D$ do de baixo, porque os dois estão na mesma diagonal. Na figura, $OD/OA = CD/AB = 10/6$, logo $OD = 3 \times 10/6 = 5$; e $OC/OB$ vale a mesma razão $5/3$. É a geometria de um par de trilhos vistos de uma passarela, de um espelho plano (imagem e objeto) e da câmara escura, em que o tamanho da imagem invertida está na razão das distâncias ao furo.

Nos triângulos encaixados, uma paralela a um lado corta os outros dois (teorema fundamental) ou dois triângulos compartilham um ângulo e têm um par de lados paralelos ou perpendiculares. A pergunta que resolve o item é: quais dois ângulos são iguais, e por quê? Sem paralela declarada, sem ângulo reto declarado e sem ângulo comum, não há AA, e o desenho “parecer” semelhante não vale nada. O item 57 do PAS 2021 fez essa pegadinha numa pirâmide: dois triângulos retângulos, $OAB$ com catetos 1 e $\sqrt{\varphi}$, e $ABC$ com catetos $\varphi$ e 1; como as razões entre os catetos ($\sqrt{\varphi}$ e $\varphi$) são diferentes, não são semelhantes, e o item era E. Dois triângulos retângulos só são semelhantes se os catetos estiverem na mesma razão (LAL com o ângulo reto) ou se compartilharem um ângulo agudo (AA).

O triângulo retângulo é o caso em que a semelhança rende mais: a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois outros, cada um semelhante ao original (os três têm o ângulo reto e compartilham um agudo). Daí saem as relações métricas $h^2 = mn$, $b^2 = am$, $c^2 = an$ e, somando as duas últimas, o teorema de Pitágoras. Essa trilha tem página própria: Teorema de Pitágoras. E as razões trigonométricas são semelhança batizada: tome duas ladeiras que formam o mesmo ângulo com a horizontal, uma curta e uma longa; os triângulos retângulos que elas definem são semelhantes, de modo que o quociente entre o desnível vencido e o deslocamento horizontal não depende do tamanho da ladeira, só do ângulo. Esse quociente recebe o nome de tangente, em Trigonometria no triângulo.

Ler a figura como a banca escreve

O item de geometria do PAS vem pendurado numa obra ou numa foto (Stonehenge em 2010, o azulejo de Athos Bulcão em 2009, a Pirâmide da Lua em 2013, A última ceia em 2023, o Templo Mayor em 2025), e o texto dá tudo o que a figura precisa. Protocolo em cinco passos:

1. Copie a figura para o rascunho, em tamanho que caiba escrever em cima, e transfira para ela cada informação do enunciado: comprimentos, ângulos, retas declaradas paralelas, pontos médios, pontos “alinhados”. Se um dado do texto não encontrou lugar no desenho, falta algo na leitura: em geometria, a banca não gasta frase com dado supérfluo.
2. Cace os ângulos iguais: paralelas (correspondentes, alternos), ângulo comum, ângulos retos, opostos pelo vértice. Ache dois e você tem AA.
3. Escreva a correspondência de vértices na ordem ($ABC \sim DEF$) antes de qualquer fração; só então monte a proporção com lados que se correspondem.
4. Decida se a pergunta é sobre comprimento ou área e aplique $k$ ou $k^2$.
5. Faça a conta até o fim e compare com o limiar do item; um limiar calibrado perto do valor real (o 3 570 m² de 2025, o 40 m de 2010) pune quem estima.

Quando o item é do tipo B (resposta numérica), ele encadeia semelhança e área: em 2023, a razão altura/largura de A última ceia é $4{,}60/8{,}80 = 46/88$; a altura da reprodução de 22 cm de largura é $22 \times 46/88 = 11{,}5$ cm; a área é $22 \times 11{,}5 = 253$ cm². Quem subtraiu em vez de dividir (“a altura é 4,20 m menor que a largura”) não fechou o gabarito.

Os erros que a banca planta

• Montar a proporção com lados não correspondentes. No azulejo de 2009, os triângulos $ABE$ e $DCB$ eram semelhantes (os dois retângulos isósceles), mas a proporção afirmada, $AB/BC = BE/BD$, comparava cateto com hipotenusa de um lado e hipotenusa com cateto do outro: E. A correspondência sai dos ângulos, não da posição no papel.
• Achar que perímetro e área escalam igual. Perímetro é comprimento: vai com $k$. Área vai com $k^2$. Área $1/32$ do azulejo, quando os lados davam $1/16$: E.
• Confundir Tales com semelhança quando não há paralela. Tales exige o feixe de paralelas; sem elas, as razões dos segmentos não são iguais. Dois triângulos com um lado comum e “cara de semelhantes” não são nada até que dois ângulos iguais sejam apontados.
• Usar diferença em vez de razão. “Mesma proporção” é o mesmo quociente. Reprodução de 22 cm de largura de um quadro 8,80 × 4,60 tem altura $22 \times 46/88 = 11{,}5$ cm, não $22 - 4{,}2$.
• Inverter a razão no meio do caminho. Da figura pequena para a grande, $k = 1{,}5$; da grande para a pequena, $2/3$. Escolha uma direção e mantenha até o fim.
• Esquecer a altura do observador. Na visada de topos, subtraia a altura dos olhos de todas as alturas antes de montar a proporção.
• Esquecer a conversão de unidades na escala. 267 km são $2{,}67 \times 10^7$ cm; 1 m² são 10 000 cm²; 1 km² são 1 000 000 m² (100 hectares).
• Ler “1:12” como uma rampa mais íngreme que “1:10”. Quanto maior o denominador, mais suave a rampa: $1/12 < 1/10$.

O essencial em meia página

• Razão é quociente; proporção é igualdade de razões ($ad = bc$); escala é razão de semelhança ($1:n$ significa $k = 1/n$ do real para o desenho). Manter a proporção entre duas medidas é conservar o quociente delas, nunca a diferença.
• Tales: paralelas cortam transversais em segmentos proporcionais, $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF}$, sempre entre as mesmas paralelas. Demonstra-se por áreas ($[CBE] = [DBE]$) ou por divisão em partes iguais.
• Semelhança: ângulos iguais e lados proporcionais; razão $k$; $k = 1$ é congruência. Triângulos: AA, LAL, LLL. A ordem $ABC \sim DEF$ diz quem corresponde a quem.
• Teorema fundamental: paralela a um lado gera triângulo semelhante; base média = metade do lado, paralela a ele; triângulo dos pontos médios tem $k = 1/2$ e área $1/4$.
• Escalas de grandeza: comprimentos e perímetros $\times k$; áreas $\times k^2$; volumes $\times k^3$. Planta 1:100: comprimentos $\times 100$, áreas $\times 10\,000$ (1 cm² de papel = 1 m² de piso).
• Sombra: $\dfrac{H}{S} = \dfrac{h}{s}$ (raios paralelos, mesmo instante, terreno plano). Visada de topos: subtraia a altura dos olhos.
• Borboleta ($AB \parallel CD$, diagonais cruzando em $O$): $OAB \sim ODC$, correspondência cruzada $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow C$.
• Triângulo retângulo: a altura cria dois triângulos semelhantes ao original; daí Pitágoras e as relações métricas; razões trigonométricas são semelhança com nome.
• Protocolo: redesenhe, cace ângulos iguais, escreva a correspondência, decida $k$ ou $k^2$, faça a conta até o limiar.