Áreas de figuras planas

O pedreiro precisa orçar o piso de uma sala em L: seria um retângulo de 6 m por 4 m, não fosse o canto de 3 m por 2 m que a parede do banheiro tomou. Nenhum livro traz uma “fórmula do L”, e ele não sente falta dela. Pode imaginar o retângulo inteiro e descontar o canto ($24 - 6 = 18$); pode serrar o L num corte vertical e somar dois retângulos ($3 \times 4 + 3 \times 2 = 18$); pode serrar na horizontal ($3 \times 2 + 6 \times 2 = 18$). Três contas, um só resultado, e cada conta serve de prova real das outras. Em 2025, a prova do PAS 1 pediu a área da seção transversal do Templo Mayor, um trapézio de que se conheciam a altura, o lado de cima e os dois ângulos da base, com o limiar a 2,5% do valor real. Em 2013, a área de um losango inscrito num retângulo de 16 cm por 12 cm, com o limiar a 1 cm² do valor. Em 2010, a área de um desmatamento desenhado em malha quadriculada de 100 m. Em 2019, a soma das áreas de duas faces trapezoidais do Teatro Nacional. Nenhuma dessas figuras vem com a fórmula pronta; todas se resolvem recortando e recolando pedaços conhecidos.

Esta página é sobre isso: o que área mede e em que unidade, de onde vêm as fórmulas do retângulo ao segmento circular, como decompor uma figura sem fórmula, o que acontece com a área quando a figura é ampliada, e onde a banca planta os erros. Os ângulos e polígonos e o teorema de Pitágoras, que fornecem as alturas, têm páginas próprias; a semelhança e a trigonometria no triângulo entram como ferramentas; os volumes são o passo seguinte.

Área é contar quadrados: o conceito e as unidades

Medir a área de uma figura é dizer quantas vezes um quadrado-padrão cabe nela. Se o quadrado tem 1 m de lado, a unidade é o metro quadrado (m²); se tem 1 cm, o centímetro quadrado (cm²). Um retângulo de 6 m por 4 m recebe 4 fileiras de 6 quadrados de 1 m: 24 m². Toda a teoria das áreas é a arte de contar esses quadrados quando eles não cabem inteiros, ou quando a figura não é um retângulo.

Duas observações ajudam a não se perder. Área não é perímetro: o perímetro é o contorno, medido em metros; a área é o interior, medida em metros quadrados. E área não depende da posição: girar, transladar ou refletir a figura não muda quantos quadrados cabem nela. É esse segundo fato que autoriza tudo o que vem a seguir.

Retângulo e quadrado: a origem de todas as fórmulas

Um retângulo de base $b$ e altura $h$ tem área $b \cdot h$, porque são $h$ fileiras de $b$ quadrados. O quadrado de lado $\ell$ é o caso $b = h$: área $\ell^2$, e é daí que vem o nome “elevar ao quadrado”. Quando $b$ e $h$ não são inteiros, a fórmula continua valendo (um retângulo de 2,5 m por 1,2 m tem 3 m²), o que se vê subdividindo o quadrado-padrão em quadradinhos menores.

Repare no que acontece ao dobrar o lado do quadrado: de $\ell$ para $2\ell$, a área vai de $\ell^2$ para $4\ell^2$. Dobrou o lado, dobrou o perímetro, mas a área quadruplicou. Isso não é uma curiosidade do quadrado; é a regra de toda figura, como a seção sobre semelhança mostra. Guarde desde já: comprimento anda com $k$, área anda com $k^2$.

Recortar e recolar: paralelogramo, triângulo, trapézio e losango

Todas as fórmulas seguintes nascem do retângulo por reconfiguração: cortar um pedaço da figura e recolá-lo em outro lugar não muda a área.

Paralelogramo. Corte o triângulo retângulo de uma ponta e encaixe-o na outra: sobra um retângulo de mesma base $b$ e mesma altura $h$. Área $b \cdot h$. A altura é a distância entre os dois lados paralelos, medida perpendicularmente; o lado inclinado é sempre maior que ela.

Triângulo. Duas cópias do mesmo triângulo, uma girada de $180^\circ$, encaixam-se num paralelogramo de base $b$ e altura $h$. O triângulo é a metade: $\dfrac{b \cdot h}{2}$. Qualquer lado serve de base, desde que a altura seja a relativa a ele, isto é, a perpendicular baixada do vértice oposto. Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm a mesma área, mesmo que tenham formas diferentes; e triângulos de mesma altura têm áreas proporcionais às bases. Foi isso que a prova de 2014 perguntou: com $E$ no eixo $x$ entre $O$ e $D$ e $ED = \tfrac{2}{3}\,OD$, os triângulos $BDE$ e $BEO$ têm a mesma altura ($BO$) e bases $ED$ e $EO = \tfrac{1}{3}\,OD$, logo a área de $BDE$ é o dobro da de $BEO$. Item C.

Trapézio. Com bases paralelas $B$ (maior) e $b$ (menor) e altura $h$, a diagonal corta o trapézio em dois triângulos de mesma altura $h$ e bases $B$ e $b$. Somando: $\dfrac{B\,h}{2} + \dfrac{b\,h}{2} = \dfrac{(B + b)\,h}{2}$. Outra leitura: duas cópias do trapézio, uma invertida, formam um paralelogramo de base $B + b$ e altura $h$; o trapézio é a metade.

Losango. As diagonais $d_1$ e $d_2$ de um losango são perpendiculares e cortam-se ao meio. O retângulo de lados $d_1$ e $d_2$ formado por elas contém o losango, e os quatro triângulos de fora são congruentes aos quatro de dentro. Logo o losango é a metade do retângulo: $\dfrac{d_1\,d_2}{2}$. A fórmula vale para qualquer quadrilátero cujas diagonais sejam perpendiculares, como a “pipa”.

Exemplo resolvido 1: o trapézio dado por ângulos. Uma seção transversal tem a forma de um trapézio de altura 42 m, topo de 50 m e ângulos da base de $60^\circ$ e $45^\circ$. Calcule a área, com $\sqrt{3} \approx 1{,}7$.

Estratégia: falta a base maior. Baixe as duas alturas a partir das pontas do topo: o trapézio vira um retângulo de 50 por 42 e dois triângulos retângulos de altura 42, um com ângulo de $60^\circ$ e outro com $45^\circ$. A tangente dá as bases dos triângulos.

Resolução: no triângulo de $60^\circ$, $\operatorname{tg} 60^\circ = \dfrac{42}{x}$, então $x = \dfrac{42}{\sqrt{3}} = \dfrac{42\sqrt{3}}{3} = 14\sqrt{3} \approx 23{,}8$ m. No de $45^\circ$, $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$, então $y = 42$ m. Base maior: $50 + 23{,}8 + 42 = 115{,}8$ m. Área: $\dfrac{(115{,}8 + 50) \cdot 42}{2} = 82{,}9 \cdot 42 = 3\,481{,}8$ m².

Conferência: por decomposição, $50 \cdot 42 + \dfrac{23{,}8 \cdot 42}{2} + \dfrac{42 \cdot 42}{2} = 2\,100 + 499{,}8 + 882 = 3\,481{,}8$. Fechou. É a conta do item 25 do PAS 2025, que afirmava “superior a 3.570 m²”: E, por menos de 90 m². Estimar de cabeça não decide um limiar a 2,5%; a conta completa, sim.

Polígonos regulares: perímetro vezes apótema sobre dois

Um polígono regular de $n$ lados, ligado ao centro, vira $n$ triângulos congruentes de base $\ell$ (o lado) e altura $a$, o apótema, distância do centro a cada lado. Área total: $n \cdot \dfrac{\ell \cdot a}{2} = \dfrac{p \cdot a}{2}$, com $p = n\ell$ o perímetro. Enfileirar os triângulos, alternando ponta para cima e ponta para baixo, monta um paralelogramo de base $p/2$ e altura $a$: a mesma conta, vista como recorte-e-cola.

O caso mais cobrado é o hexágono regular, porque os seis triângulos são equiláteros (ângulo central $360^\circ/6 = 60^\circ$, dois lados iguais ao raio): área $6 \cdot \dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\ell^2\sqrt{3}}{2}$. Um ladrilho hexagonal de 20 cm de lado tem $\dfrac{3 \cdot 400 \cdot 1{,}73}{2} \approx 1\,038$ cm², pouco mais de um décimo de metro quadrado. No quadrado, o apótema é $\ell/2$ e a fórmula devolve $\ell^2$; no triângulo equilátero, o apótema é um terço da altura.

Círculo, setor, coroa e segmento

O círculo de raio $r$ tem área $\pi r^2$ e contorno $2\pi r$. Uma maneira de ver a área: corte o círculo em muitos setores finos e enfileire-os alternados, como os triângulos do polígono regular; o “paralelogramo” resultante tem base $\pi r$ (metade do contorno) e altura $r$. O número $\pi \approx 3{,}14$ é quase sempre fornecido pela prova (em 2010, o item da órbita do satélite CBERS não o deu, e 3,14 era a aproximação esperada); não use mais casas do que o comando dá.

Exemplo resolvido 2: o canteiro com chafariz. Um canteiro quadrado de 10 m de lado tem no centro um chafariz circular de 3 m de raio, cercado por um passeio em forma de coroa circular de 1 m de largura. O resto é grama. Calcule a área do passeio e a da grama, com $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: três figuras encaixadas: quadrado (100 m²), círculo externo do passeio (raio $3 + 1 = 4$ m) e chafariz (raio 3 m). Passeio = coroa; grama = quadrado menos círculo externo.

Resolução: coroa: $\pi(4^2 - 3^2) = 3{,}14 \times 7 = 21{,}98$ m². Grama: $100 - 3{,}14 \times 16 = 100 - 50{,}24 = 49{,}76$ m².

Conferência: chafariz $3{,}14 \times 9 = 28{,}26$; somando as três regiões, $28{,}26 + 21{,}98 + 49{,}76 = 100$. Fechou no quadrado. Quem calcula a coroa como $\pi(4 - 3)^2 = 3{,}14$ m² erra por um fator 7: a coroa de 1 m de largura em torno de um círculo de 3 m é muito mais que um círculo de 1 m de raio.

Decompor vale mais que decorar: figuras compostas e hachuradas

A figura da prova quase nunca é uma das dez da tabela. É um L, um trapézio com um semicírculo em cima, um quadrado com um círculo dentro, uma coroa cortada por um ângulo, uma região hachurada entre curvas. Não existe fórmula para cada uma; existe um protocolo com três movimentos.

1. Decomposição: corte a figura em pedaços conhecidos, ao longo de segmentos que a própria figura sugere (alturas, diagonais, prolongamentos de lados), e some.
2. Complementação: complete a figura até um retângulo ou um círculo, calcule a figura grande e subtraia as sobras. A região hachurada é quase sempre “figura grande menos figura pequena”.
3. Recorte-e-cola: mova um pedaço para onde ele fecha uma figura conhecida. Quatro quartos de círculo nos cantos de um quadrado são um círculo inteiro; duas metades de segmento circular fazem um segmento.

Exemplo resolvido 3: a região entre quatro quartos de círculo. Num quadrado de 10 cm de lado, traçam-se quatro arcos de circunferência de raio 5 cm, cada um centrado num vértice, ligando os pontos médios dos lados adjacentes. Calcule a área da região central, fora dos quatro arcos, com $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: complementação com recorte-e-cola. Cada arco delimita um quarto de círculo de raio 5 no canto; os quatro quartos, juntos, são um círculo inteiro de raio 5. Região central = quadrado menos esse círculo.

Resolução: $10^2 - \pi \cdot 5^2 = 100 - 78{,}5 = 21{,}5$ cm².

Conferência: a região central tem de ser positiva e menor que o quadrado (é), e os quatro quartos de círculo, com $78{,}5$ cm², ocupam pouco mais de três quartos do quadrado, o que bate com o desenho: dois arcos vizinhos se encontram exatamente no ponto médio do lado comum, e a região central é a estrela de quatro pontas que sobra entre eles. Se a conta desse negativo, os raios estariam errados.

Na malha quadriculada, o mesmo protocolo vira contagem. Em 2010, o polígono do desmatamento tinha vértices em $A = (1, 2)$, $B = (6, 6)$, $C = (8, 2)$, $D = (10, 2)$, $E = (9, 0)$, $F = (4, 0)$ e $G = (2, 2)$, em quadrados de 100 m. A reta $y = 2$ corta a região em um triângulo $ABC$ acima (base $AC = 7$, altura 4, área 14) e um trapézio $GDEF$ abaixo (bases 8 e 5, altura 2, área 13): 27 quadrados, ou $27 \times 10\,000 = 270\,000$ m². O item afirmava “superior a 290.000 m²”: E, por dois quadradinhos.

Área na malha, no plano cartesiano e no mapa

Malha quadriculada. Conte os quadradinhos inteiros ($I$) e os cortados pela borda ($P$). A área está entre $I$ e $I + P$; a estimativa usual é $I + P/2$. Se a figura é um polígono de vértices na malha, não estime: decomponha em retângulos, triângulos e trapézios com lados na malha, como no exemplo do desmatamento. Multiplique pela área de um quadradinho só no final; se ele tem 100 m de lado, cada um vale $10\,000$ m² $= 1$ ha.

Plano cartesiano. Vértices em coordenadas dão bases e alturas por subtração: o triângulo $A = (1, 1)$, $B = (7, 1)$, $C = (4, 6)$ tem base $AB = 6$ (mesma ordenada) e altura $6 - 1 = 5$ (diferença de ordenadas até $C$), área 15. Quando nenhum lado é horizontal nem vertical, complete o retângulo que contém o triângulo e subtraia os três triângulos retângulos dos cantos, ou use a fórmula do “cadarço” (determinante), que a página de distâncias na geometria analítica desenvolve.

Plantas, mapas e escalas. Uma escala $1 : n$ reduz cada comprimento por $n$ e cada área por $n^2$. Na planta $1 : 50$, uma sala desenhada com 8 cm por 6 cm mede $4$ m por $3$ m: $12$ m², e não $48/50$. O caminho seguro é converter os comprimentos antes de multiplicar; o atalho é multiplicar a área do papel por $n^2$: $48\ \text{cm}^2 \times 2\,500 = 120\,000\ \text{cm}^2 = 12\ \text{m}^2$. Em 2023, a prova pediu a área de uma reprodução de A última ceia (4,60 m por 8,80 m) com 22 cm de largura: a altura acompanha a proporção, $22 \times \dfrac{4{,}60}{8{,}80} = 11{,}5$ cm, e a área é $22 \times 11{,}5 = 253$ cm².

Semelhança: $k$ nos lados, $k^2$ nas áreas

Se duas figuras são semelhantes com razão $k$ entre comprimentos correspondentes, a razão entre suas áreas é $k^2$. O quadrado de lado 2 contém quatro quadrados de lado 1; o triângulo ampliado com $k = 3$ contém nove cópias do original. A regra vem da fórmula: qualquer área é “comprimento vezes comprimento”, e cada comprimento foi multiplicado por $k$. Vale para círculos ($\pi (kr)^2 = k^2 \pi r^2$), para polígonos, para figuras irregulares, para mapas.

Duas consequências aparecem na prova. Ampliar 50% ($k = 1{,}5$) multiplica a área por $2{,}25$, ou seja, aumenta 125%, não 50%. E dobrar a área exige $k = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ nos comprimentos: uma pizza com o dobro da área de uma de 30 cm tem cerca de 42 cm de diâmetro, não 60. Na direção contrária, o triângulo dos pontos médios de um triângulo qualquer é semelhante ao original com $k = 1/2$ e tem um quarto da área, não a metade; num azulejo de Athos Bulcão da prova de 2009, um triângulo construído sobre metades e quartos das diagonais do quadrado ocupava $1/16$ da área, e o item que dizia $1/32$ era E. A semelhança tem página própria; aqui basta a regra do quadrado.

Ler a figura como a banca desenha

O item de área do PAS vem pendurado numa obra, num mapa, numa planta: o trapézio é a seção de um templo, o losango está inscrito num retângulo, as faces são de um teatro, o polígono é um desmatamento, o quadrilátero é uma face de cubo numa gravura de Escher. O protocolo:

1. Identifique a figura e anote cada dado que o enunciado oferece: comprimentos, ângulos, pares de lados paralelos, “ponto médio”, “inscrito”, “regular”. Em 2013, a figura marcava os vértices do losango nos pontos médios dos lados do retângulo de 16 por 12 (8 + 8 e 6 + 6), o que já dizia que as diagonais do losango mediam 16 e 12: área $\dfrac{16 \cdot 12}{2} = 96$ cm², e o item “inferior a 95 cm²” era E por 1 cm².
2. Escolha o caminho: fórmula direta, decomposição ou complementação. Em 2019, as faces $B$ e $C$ do Teatro Nacional eram trapézios de bases 25 e 45 com altura 35, e bases 38 e 100 com altura 65: $\dfrac{70 \cdot 35}{2} + \dfrac{138 \cdot 65}{2} = 1\,225 + 4\,485 = 5\,710$; dividido por 10, 571.
3. Procure a altura, que raramente está desenhada. Baixe-a; ela sai por Pitágoras ou por uma razão trigonométrica (seno do ângulo entre dois lados, tangente do ângulo da base).
4. Resolva até o fim e compare com o limiar (“superior a”, “inferior a”). A banca coloca o limiar perto do valor: 95 contra 96, 3 570 contra 3 482, 290 000 contra 270 000. Estimativa não decide.
5. Confira com um segundo caminho ou com uma cota: a figura tem de caber no retângulo que a contém, e o resultado tem de estar na unidade pedida.

Um caso em que a leitura da figura é a questão inteira: em 2022, num recorte de Metamorphosis I de Escher, o quadrilátero $ABCD$ era uma face de cubo em perspectiva, um losango com $AD = \ell$ e ângulo de $60^\circ$ em $A$ (porque $D\hat{A}E = 30^\circ$ e $B\hat{A}E = 90^\circ$). Área do losango com lado $\ell$ e ângulo $60^\circ$: $\ell \cdot \ell \cdot \operatorname{sen} 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}\,\ell^2}{2}$. A fórmula “lado vezes lado vezes seno” é a mesma do triângulo, dobrada.

Os erros que a banca planta

1. Perímetro no lugar de área. Um mede contorno, em m; o outro mede interior, em m². Mesmo perímetro não significa mesma área.
2. Lado inclinado como altura. A altura é perpendicular à base. Paralelogramo de lados 8 e 5 com altura 4: área 32, não 40.
3. Esquecer o $/2$ do triângulo, do losango e do trapézio, ou dividir só uma das bases.
4. “Dobrei o lado, dobrou a área.” Não: a área quadruplica. Ampliar 50% aumenta a área em 125%.
5. Converter unidade uma vez só. $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$, não 100; $1\ \text{km}^2 = 100$ ha, não 10. Na escala $1 : 50$, a área real é $2\,500$ vezes a do papel.
6. $\pi(R - r)^2$ para a coroa. É $\pi(R^2 - r^2)$.
7. Fração errada do setor. O ângulo é a fração de $360^\circ$; e o arco pedido pode ser o longo, não o curto.
8. Usar $\pi$ com mais casas do que o comando, ou não usar o $\sqrt{3}$ fornecido. O limiar do item foi calibrado com a aproximação dada.
9. Achar que a figura sem fórmula não tem solução. Tem: decompor, completar, recortar e colar.

O essencial em meia página

• Área é quantos quadrados-padrão cabem na figura; unidade ao quadrado, conversão ao quadrado ($1$ m² $= 10^4$ cm²; $1$ ha $= 10^4$ m²; $1$ km² $= 100$ ha).
• Origem: retângulo $b \cdot h$. Paralelogramo $b \cdot h$ (recorte-e-cola); triângulo $\dfrac{b\,h}{2}$ (metade); trapézio $\dfrac{(B + b)\,h}{2}$ (dois triângulos); losango $\dfrac{d_1\,d_2}{2}$ (metade do retângulo das diagonais); polígono regular $\dfrac{p \cdot a}{2}$; equilátero $\dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$; dois lados e ângulo, $\dfrac{1}{2}ab\,\operatorname{sen}\gamma$.
• Círculo $\pi r^2$; setor $\dfrac{\theta}{360^\circ}\pi r^2$; coroa $\pi(R^2 - r^2)$; segmento $=$ setor $-$ triângulo.
• Figura sem fórmula: decomponha, complete e subtraia, ou recorte e recole. Malha: conte e decomponha; coordenadas: bases e alturas por subtração.
• Semelhança: comprimentos $\times k$, áreas $\times k^2$. Escala $1 : n$ multiplica áreas por $n^2$.
• Área e perímetro são independentes. Compare cada um por si.
• Na prova: marque os dados, ache a altura, resolva até o fim com a aproximação fornecida, compare com o limiar, confira por um segundo caminho.