Leis de Kepler e órbitas

Marte anda para a frente no céu durante meses, freia, recua algumas semanas e volta a avançar. Foi para explicar esse laço que Ptolomeu empilhou círculos sobre círculos, e foi tentando encaixar Marte em círculos que Kepler desistiu deles: com os dados de Tycho Brahe na mão, a melhor órbita circular ainda errava a posição do planeta em 8 minutos de arco, um quarto do diâmetro da Lua, e Kepler sabia que Tycho não errava tanto. Em 1609 ele publicou a resposta: a órbita é uma elipse, o Sol está num foco, e o planeta anda mais depressa quando está mais perto do Sol. Dez anos depois veio a terceira peça, a que amarra o tamanho da órbita ao tempo de uma volta: elevado ao quadrado, o período cresce como o cubo do semieixo maior.

Essas três frases descrevem tudo que orbita: os oito planetas, o cometa Halley que passou em 1986 e volta em 2061, as quatro luas que Galileu viu em Júpiter, o satélite de TV a 36 000 km de altura, os planetas de outras estrelas que a sonda Kepler detectou pela sombra que fazem ao cruzar o disco da estrela. E são frases que a prova cobra com proporções, sem $G$: um planeta a 4 UA do Sol leva 8 anos para dar a volta; um satélite com um quarto do raio tem um oitavo do período; a distância Sol–Marte sai do período de 684 dias. Esta página constrói as três leis, deduz a terceira a partir da gravitação de Newton e mostra onde cada uma vale e onde a prova arma a cilada. A força que curva a órbita, $F = GMm/r^2$, e os satélites em órbita circular (velocidade, geoestacionário, GPS) estão na página vizinha gravitação universal; a aceleração centrípeta vem do movimento circular uniforme. Aqui essas ideias entram só pelo nome.

Antes das leis: o que é uma elipse

Uma elipse é o que sai quando você prende as duas pontas de um barbante em dois pregos, estica o barbante com a ponta do lápis e gira. Os pregos são os focos; a soma das distâncias de qualquer ponto da curva aos dois focos é constante (o comprimento do barbante). Se os dois pregos estiverem no mesmo lugar, sai uma circunferência: o círculo é a elipse de focos coincidentes.

Exemplo resolvido (os dois extremos). Uma órbita tem $a = 10$ UA e $e = 0{,}2$. Então $c = ea = 2$ UA, $r_p = 10 - 2 = 8$ UA e $r_a = 10 + 2 = 12$ UA. Conferência: $r_p + r_a = 20 = 2a$. A distância do Sol ao outro foco, vazio, é $2c = 4$ UA. Repare que a distância média entre planeta e Sol, tomada sobre os dois extremos, é $(8 + 12)/2 = 10 = a$: por isso as tabelas chamam $a$ de “distância média ao Sol”.

As órbitas dos planetas são quase circulares, e é por isso que os livros as desenham redondas sem grande erro: a Terra tem $e = 0{,}017$, Vênus $0{,}007$, Marte $0{,}093$, Mercúrio $0{,}206$. Para a Terra, $c = 0{,}017 \times 1{,}496 \times 10^{8}$ km $= 2{,}5$ milhões de km: o Sol fica 2,5 milhões de km fora do centro da órbita, e a distância Terra–Sol oscila entre 147,1 milhões de km (periélio, início de janeiro) e 152,1 milhões (afélio, início de julho). Já os cometas exageram: Halley tem $e = 0{,}967$.

Na prova. A 2.ª etapa de 2009 deu as excentricidades de Urano (0,0047) e de Netuno (0,0086) e as distâncias médias ao Sol, $2{,}87 \times 10^{9}$ km e $4{,}5 \times 10^{9}$ km, e afirmou que “a distância entre o Sol e o outro foco da elipse é menor para a órbita de Urano que para a de Netuno”. A distância entre os focos é $2c = 2ea$: Urano, $2 \times 0{,}0047 \times 2{,}87 \times 10^{9} = 2{,}7 \times 10^{7}$ km; Netuno, $2 \times 0{,}0086 \times 4{,}5 \times 10^{9} = 7{,}7 \times 10^{7}$ km. Certo. Duas contas de multiplicar, e a definição de excentricidade no meio.

Primeira lei: o Sol num foco, não no centro

A frase tem duas metades e a prova testa as duas. A primeira, “elíptica”, derruba os círculos de Ptolomeu e de Copérnico; a segunda, “num dos focos”, derruba a versão preguiçosa da lei, que põe o Sol no centro da elipse. Se o Sol estivesse no centro, periélio e afélio seriam iguais e não haveria estação do ano em que a Terra está mais perto do Sol. Há: 3,3% mais perto em janeiro. A diferença é pequena porque $e$ é pequeno, e é justamente por ser pequena que a órbita da Terra parece um círculo desenhado por alguém que errou a posição do centro.

A lei vale para o que orbita o Sol, planetas, asteroides e cometas, e vale igual para o que orbita qualquer outro corpo: a Lua em torno da Terra, as luas de Júpiter, um satélite artificial, um planeta em torno de outra estrela. Newton mostrou por que: uma força atrativa que cai com $1/r^2$ produz, para um corpo preso, exatamente uma elipse com o centro atrator no foco. A elipse não é uma coincidência de dados; é a assinatura geométrica do inverso do quadrado.

Segunda lei: áreas iguais em tempos iguais

Observe a Terra em janeiro e em julho. Em janeiro ela está mais perto do Sol e anda a 30,3 km/s; em julho, mais longe, a 29,3 km/s. Kepler não tinha velocímetro; tinha posições de Marte em datas conhecidas, e notou que a régua certa não era o arco percorrido, e sim a área varrida pelo segmento que liga o planeta ao Sol.

Exemplo resolvido (a razão de velocidades). Na órbita de $a = 10$ UA e $e = 0{,}2$ da seção anterior, $r_p = 8$ e $r_a = 12$ UA: $v_p/v_a = 12/8 = 1{,}5$. O planeta passa pelo periélio 50% mais rápido do que pelo afélio. Para a Terra, $(1 + 0{,}017)/(1 - 0{,}017) = 1{,}035$: 30,3 contra 29,3 km/s, os números do início da seção. Para o cometa Halley, $(1 + 0{,}967)/(1 - 0{,}967) = 60$: 54,6 km/s ao rasar o Sol, 0,9 km/s lá no afélio, mais lento que um carro na estrada.

Por que a lei vale. A gravidade puxa o planeta sempre ao longo do segmento Sol–planeta: é uma força central. Uma força central não tem braço em relação ao Sol, não produz torque, e por isso o momento angular do planeta em relação ao Sol, $L = m\,v_\perp\, r$, não muda. A área varrida por segundo é $\tfrac{1}{2} r\, v_\perp$, ou seja, $L/2m$: constante. A lei das áreas é a conservação do momento angular vestida de geometria. Não é preciso mais que isso aqui; a página de colisões trata da conservação da quantidade de movimento linear, a irmã dessa lei.

Na prova. A 3.ª etapa de 2019, num bloco sobre satélites, afirmou que “o módulo da aceleração centrípeta sobre o satélite será máximo no afélio e mínimo no periélio de sua órbita”. Errado, e pelo avesso: a aceleração é $GM/r^2$, maior onde $r$ é menor, isto é, no periélio. No periélio o satélite está mais rápido e mais acelerado; no afélio, mais lento e menos acelerado. A banca escreveu os dois nomes e trocou a ordem.

Terceira lei: o quadrado do período, o cubo do semieixo

Kepler levou dez anos para achar a terceira lei, e ela é a única das três que compara planetas diferentes. A pergunta era simples: por que Saturno, a 9,5 UA, leva 29,5 anos para dar a volta, e a Terra, a 1 UA, leva 1 ano? Nem $T \propto a$ (daria 9,5 anos), nem $T \propto a^2$ (daria 90). A resposta é $T \propto a^{3/2}$: $9{,}5^{1{,}5} = 29{,}3$.

A última coluna é a lei: oito planetas, oito distâncias, oito períodos, um único número. Uma unidade astronômica (UA) é a distância média Terra–Sol, $1{,}496 \times 10^{8}$ km, 8,3 minutos-luz; usar UA e anos é o que faz $K$ valer 1 para o Sol e transforma a terceira lei em conta de cabeça. (Um ano-luz são 63 000 UA: as distâncias às estrelas não entram nesta conta, e a seção dos exoplanetas explica por que a lei funciona lá do mesmo jeito.)

Exemplo resolvido (planeta a 4 UA). $T^2 = a^3 = 4^3 = 64$, logo $T = 8$ anos. Sem calculadora: $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. É o padrão da prova: escolher números cujo cubo e cuja raiz saem inteiros. Guarde os pares que fecham: $a = 4 \Rightarrow T = 8$; $a = 9 \Rightarrow T = 27$; $a = 1/4 \Rightarrow T = 1/8$; $a = 16 \Rightarrow T = 64$.

Exemplo resolvido (PAS 3 2013, item 74). “Considerando que o período de translação de Marte na órbita solar é de 684 dias, infere-se, a partir das Leis de Kepler derivadas da teoria da gravitação, que a distância entre o Sol e Marte é maior que três vezes a distância entre o Sol e a Terra.” Em anos, $T = 684/365 = 1{,}87$; $T^2 = 3{,}51$; $a^3 = 3{,}51$, e como $1{,}5^3 = 3{,}375$ e $1{,}6^3 = 4{,}1$, $a \approx 1{,}52$ UA. Uma vez e meia a distância da Terra, não três. Errado. Quem pensou “$T \approx 2$ anos, então $a \approx 2$ UA” já erraria por excesso e ainda ficaria abaixo de 3; quem confundiu $T^2 = a^3$ com $a = T^2$ acharia 3,5 UA e marcaria certo. O item foi desenhado para separar quem sabe onde ficam o quadrado e o cubo.

Exemplo resolvido (razões, sem $K$). Dois satélites da Terra, $S_1$ com raio $r$ e $S_2$ com raio $4r$. Da mesma constante, $T_2^2/T_1^2 = (4r/r)^3 = 64$, $T_2 = 8\,T_1$. Se $S_1$ é o satélite rasante, com 84 minutos a $r = 6\,400$ km, $S_2$ leva 11,2 horas a $r = 25\,600$ km: praticamente a órbita do GPS (26 600 km, 12 h). Conferência de sentido: mais alto, mais demorado; a razão saiu maior que 1. A constante nunca foi calculada.

De onde vem a constante: Newton fecha a conta

Kepler achou $T^2/a^3$ constante e não sabia por quê. Newton soube. Para uma órbita circular, a única força é a gravitação, e ela faz o papel da força centrípeta que o movimento circular uniforme exige. É a dedução mais curta e mais cobrada da gravitação inteira.

Três leituras dessa fórmula valem mais do que decorá-la.

A constante é uma ficha do corpo central. Para o Sol, $K_{\odot} = 4\pi^2/(6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}99 \times 10^{30}) = 2{,}97 \times 10^{-19}$ s²/m³; para a Terra, $K_T = 4\pi^2/(6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}) = 9{,}9 \times 10^{-14}$ s²/m³; para Júpiter, 318 vezes mais massivo que a Terra, $K_J = K_T/318 = 3{,}1 \times 10^{-16}$ s²/m³. Corpo central mais pesado, constante menor, períodos mais curtos para o mesmo raio. E como $m$ cancelou, um grão de poeira e um satélite de 5 toneladas na mesma órbita têm o mesmo período.

Ela pesa o corpo central. Vire a fórmula: $M = 4\pi^2 a^3/(G T^2)$. Com o período e a distância de qualquer coisa que orbite um astro, você obtém a massa do astro. Com a Terra ($a = 1{,}496 \times 10^{11}$ m, $T = 3{,}156 \times 10^{7}$ s): $M_{\odot} = 39{,}5 \times 3{,}35 \times 10^{33}/(6{,}67 \times 10^{-11} \times 9{,}96 \times 10^{14}) = 2{,}0 \times 10^{30}$ kg. Foi assim que se pesou o Sol, Júpiter (pelas luas), a Terra (pela Lua) e, hoje, as estrelas que têm planetas.

Ela contém a órbita circular da gravitação. Da primeira linha, $v = \sqrt{GM/r}$: velocidade fixada pelo raio, independente da massa do satélite, mais alto mais lento. É a fórmula que a página de gravitação universal explora para o geoestacionário e o GPS; aqui ela só passou.

Na prova. A 3.ª etapa de 2016 mostrou a órbita da Terra com periélio e afélio marcados e afirmou que “a constante de proporcionalidade da terceira lei de Kepler, aplicada na situação da figura apresentada, pode ser definida como $\dfrac{4\pi^2}{G \cdot M}$, em que $M$ é a massa do Sol e $G$, a constante de gravitação universal”. Certo, e é exatamente a linha final da dedução. O item ao lado, no mesmo bloco, lembrava que planeta e Sol trocam forças de mesmo módulo: par de ação e reação, também certo.

Exemplo resolvido (o período da Lua). $r = 3{,}84 \times 10^{8}$ m, $K_T = 9{,}9 \times 10^{-14}$ s²/m³: $T^2 = 9{,}9 \times 10^{-14} \times (3{,}84 \times 10^{8})^3 = 9{,}9 \times 10^{-14} \times 5{,}66 \times 10^{25} = 5{,}6 \times 10^{12}$, $T = 2{,}37 \times 10^{6}$ s $= 27{,}4$ dias. O calendário lunar diz 27,3. A conta fecha com a mesma constante que fixa a Estação Espacial em 92 minutos.

Mesma constante só para o mesmo corpo central

A terceira lei compara órbitas em torno do mesmo astro. Essa condição é a mais esquecida e a mais cobrada. Tudo que orbita a Terra cai sobre uma reta $T^2 \times r^3$; tudo que orbita Júpiter cai sobre outra reta, 318 vezes mais inclinada; tudo que orbita o Sol, sobre uma terceira. Misturar um satélite da Terra com uma lua de Júpiter na mesma proporção dá um número sem sentido.

Exemplo resolvido (luas de Júpiter). Europa e Io: $r_E/r_I = 671\,000/421\,700 = 1{,}59$; $(1{,}59)^{3/2} = 1{,}59 \times 1{,}26 = 2{,}01$; $T_E = 2{,}01 \times 1{,}77 = 3{,}55$ dias. Bate. Ganimedes e Io: $r_G/r_I = 2{,}54$, $2{,}54^{1{,}5} = 4{,}05$, $T_G = 7{,}2$ dias. Bate de novo. Galileu viu as quatro em janeiro de 1610 e as acompanhou noite após noite; os períodos que ele mediu já obedeciam à lei que Kepler publicaria em 1619, e era o mesmo sistema solar em miniatura que Kepler precisava para acreditar que a lei era geral.

Exemplo resolvido (PAS 1 2011, item 64). “O raio da órbita de um satélite geoestacionário é 12,4% do raio da órbita lunar”, com o período lunar tomado como 27 dias. Mesmo corpo central, a Terra: $(r_{\text{geo}}/r_{\text{Lua}})^3 = (T_{\text{geo}}/T_{\text{Lua}})^2 = (1/27)^2$, logo $r_{\text{geo}}/r_{\text{Lua}} = (1/27)^{2/3} = (1/3)^2 = 1/9 = 11{,}1\%$. Errado. O número 27 foi escolhido porque $\sqrt[3]{27} = 3$; a banca deixa a raiz cúbica pronta e testa se você a enxerga.

E o que a lei não exige. Ela não exige que o corpo seja um planeta: vale para cometas, asteroides, satélites artificiais, luas, planetas de outras estrelas e, com a correção de massa, para estrelas duplas. Não exige órbita circular: vale para qualquer elipse, com $a$. Exige só que o corpo central seja o mesmo e que o corpo que orbita tenha massa desprezível diante dele; quando as duas massas são comparáveis, $M$ vira $M + m$ e a constante muda um pouco (para a Terra e a Lua, 1,2%; para o Sol e Júpiter, 0,1%).

Cometas e órbitas de transferência: a elipse em ação

Os planetas quase não deixam ver a elipse; os cometas a exibem. O cometa Halley tem $a = 17{,}8$ UA e $e = 0{,}967$: periélio a $17{,}8 \times 0{,}033 = 0{,}59$ UA, entre as órbitas de Mercúrio e Vênus; afélio a $17{,}8 \times 1{,}967 = 35$ UA, além de Netuno. Terceira lei: $T = 17{,}8^{1{,}5} = 75$ anos; as passagens reais oscilam entre 75 e 76 anos porque Júpiter e Saturno perturbam a órbita. Segunda lei: $v_p/v_a = 35/0{,}59 = 60$; a 54,6 km/s no periélio, a menos de 1 km/s no afélio. O cometa passa meses perto do Sol, quando é visível, e décadas se arrastando na parte externa da órbita. Última passagem pelo periélio: 9 de fevereiro de 1986. Próxima: julho de 2061.

Exemplo resolvido (o período pela geometria). Um cometa tem periélio a 1 UA e afélio a 15 UA. Semieixo maior: $a = (1 + 15)/2 = 8$ UA. Excentricidade: $e = c/a = (8 - 1)/8 = 0{,}875$. Período: $T = 8^{1{,}5} = 8 \times 2{,}83 = 22{,}6$ anos. Velocidades: $v_p/v_a = 15$. Conferência: $r_p = a(1 - e) = 8 \times 0{,}125 = 1$ UA. Fecha.

As sondas espaciais usam a mesma elipse como estrada. Para ir da Terra a Marte gastando o mínimo de combustível, a sonda entra numa órbita de transferência: uma elipse com o Sol no foco, periélio na órbita da Terra (1 UA) e afélio na órbita de Marte (1,52 UA). O semieixo maior é a média, $a = 1{,}26$ UA; o período da elipse completa, $1{,}26^{1{,}5} = 1{,}42$ anos; a viagem é meia volta, $0{,}71$ ano, uns 8,5 meses. É o tempo que as sondas de Marte levam, e o motivo de as janelas de lançamento se repetirem a cada 26 meses: Marte precisa estar no lugar certo quando a sonda chegar ao afélio. A terceira lei, de novo, e sem $G$.

Uma última palavra sobre energia, só para ligar as páginas. A energia mecânica de um corpo em órbita elíptica vale $E = -GMm/2a$: depende só do semieixo maior. Duas órbitas com o mesmo $a$ têm a mesma energia e o mesmo período, por mais diferentes que sejam as excentricidades; e ao longo da elipse a energia cinética cresce no periélio exatamente o que a potencial diminui, a conservação de energia da página energia aplicada ao céu. Para subir de órbita, a sonda precisa ganhar energia (a órbita maior é menos negativa) e, ao chegar, estará mais lenta.

Exoplanetas: a terceira lei a 1 400 anos-luz

Desde 1995 sabemos que outras estrelas têm planetas; hoje são mais de 5 000 confirmados. Não os vemos: a estrela ofusca tudo. A sonda Kepler, da NASA, lançada em 2009, achou mais de 2 600 deles por um método que é pura segunda e terceira lei aplicadas à luz.

Exemplo resolvido (Kepler-452b). O planeta faz a estrela Kepler-452 piscar a cada 385 dias, $T = 1{,}054$ ano. A estrela tem $1{,}04$ massa solar. $a^3 = 1{,}04 \times 1{,}054^2 = 1{,}155$, $a = 1{,}05$ UA. Quase a distância Terra–Sol, em torno de uma estrela quase igual ao Sol: foi por isso que a NASA o chamou de “primo da Terra” em 2015. A estrela está a 1 400 anos-luz de nós, e essa distância não entrou na conta: a terceira lei relaciona o planeta ao seu sol, não a nós.

Exemplo resolvido (TRAPPIST-1e). Estrela anã com $0{,}09$ massa solar; o planeta e transita a cada 6,1 dias, $T = 0{,}0167$ ano. $a^3 = 0{,}09 \times 0{,}0167^2 = 2{,}5 \times 10^{-5}$, $a = 0{,}029$ UA, 4,4 milhões de km, treze vezes mais perto da estrela do que Mercúrio do Sol. Só não é uma fornalha porque a estrela é fraca. A constante mudou porque o corpo central mudou: $K = 1/M$ em unidades solares, onze vezes maior que a do Sol.

Na prova. A 3.ª etapa de 2017 descreveu a sonda Kepler (“a passagem de um planeta em frente a uma estrela produz uma pequena alteração periódica no brilho captado pelo fotômetro”) e afirmou que “os dados obtidos por meio da técnica usada pela sonda Kepler permitem calcular o período de todos os planetas que orbitam a estrela, e não apenas o período do planeta observado”. A banca gabaritou certo, e a leitura que fecha é a terceira lei: o período e a distância do planeta observado fixam $T^2/a^3$ para aquela estrela, e a constante vale para todos os planetas do sistema; conhecida a distância de outro planeta, seu período sai da mesma proporção. O item ao lado, tipo B, pedia $g$ na superfície de um planeta pela densidade, e está na página de gravitação.

Como as leis nasceram dos dados de Marte

A história inteira, de Ptolomeu a Newton, com datas, instrumentos e o protocolo de anacronismo que a banca cobra, está na página história da astronomia. Aqui só o essencial de como as três leis vieram ao mundo, porque explica o que elas são.

Tycho Brahe passou vinte anos, de 1576 a 1597, medindo posições de planetas a olho nu com instrumentos gigantes, antes da luneta, e chegou a uma precisão de um a dois minutos de arco, dez vezes melhor que qualquer catálogo anterior. Ao morrer, em 1601, deixou os dados nas mãos do seu assistente, Johannes Kepler. Kepler pegou Marte, o planeta cujo laço no céu era mais rebelde, e tentou por anos ajustar uma órbita circular excêntrica. A melhor delas errava a posição de Marte em 8 minutos de arco. Um astrônomo anterior teria absorvido o erro; Kepler escreveu que “sobre esses 8 minutos construiremos uma reforma da astronomia inteira”, porque confiava que Tycho não errava 8 minutos. Trocou o círculo pela elipse, e a elipse fechou. Publicou a primeira e a segunda leis na Astronomia Nova (1609); a terceira, em Harmonices Mundi (1619), depois de procurar durante uma década a proporção entre distâncias e períodos.

Kepler descreveu; não explicou. Em 1687, no Principia, Newton mostrou que uma força central proporcional a $1/r^2$ produz necessariamente as três leis: elipses com o centro atrator no foco (primeira), conservação do momento angular (segunda) e $T^2 = 4\pi^2 a^3/GM$ (terceira). O caminho também foi inverso: foi a terceira lei de Kepler que disse a Newton que a força devia cair com o quadrado da distância. Se $T^2 \propto r^3$ e a centrípeta é $4\pi^2 r/T^2$, então a força vai com $r/r^3 = 1/r^2$.

Na prova. Em 2009 a 2.ª etapa montou um item de epistemologia sobre Kepler: no seu tempo “houve o rompimento com o postulado proposto por filósofos da Antiguidade Clássica de que os movimentos dos astros ocorriam em circunferências”, e a retomada neopitagórica da harmonia matemática da natureza serviria de base para esse rompimento. Certo: Kepler procurava harmonias numéricas e foi essa confiança na matemática exata que o fez levar a sério os 8 minutos. Datas, autores e instrumentos, com a luneta que Kepler não usou para as leis e Galileu usou para Júpiter, ficam para a página de história.

Como a banca pergunta

Kepler aparece no PAS por três portas, e cada uma tem um padrão.

1. Terceira lei como proporção. O item dá dois períodos ou duas distâncias e pede a razão da outra grandeza, com números que fecham: $(1/27)^{2/3} = 1/9$ (2011/64), $(1/4)^{3/2} = 1/8$ (PAS 3 2019/95), $684$ dias $\Rightarrow$ $1{,}5$ UA, não 3 (PAS 3 2013/74), “mesma altura, mesmo período” (2025/45). Escreva $T_1^2/T_2^2 = a_1^3/a_2^3$ e olhe se os corpos orbitam o mesmo astro.
2. A constante e a dedução. $K = 4\pi^2/GM$ com $M$ do corpo central (PAS 3 2016/110); a massa do satélite cancela (2025/45 a 47); a velocidade vai com $\sqrt{M}$ da Terra (2025/47).
3. Geometria e leitura da elipse. Sol no foco, distância entre focos $2ea$ (PAS 2 2009/97); velocidade e aceleração máximas no periélio (PAS 3 2019/96, errado por dizer afélio); a sonda Kepler e o método do trânsito (PAS 3 2017/119); a ruptura com os círculos (PAS 2 2009/94). A banca gosta de imprimir a elipse com periélio e afélio marcados e de pendurar dois ou três itens nela.

Quando o gráfico aparece, é $T^2$ contra $a^3$ (uma reta pela origem, inclinação $K$) ou $\log T$ contra $\log a$ (uma reta de inclinação $3/2$). Tabela de planetas com $a$ e $T$: calcule $T^2/a^3$ para dois deles e veja que dá o mesmo. Se der diferente, ou os corpos centrais são diferentes ou a tabela tem erro proposital.

O texto-base costuma ser uma notícia ou uma obra da lista: a sonda Kepler (2017), o telescópio James Webb (2024), a corrida espacial (2025), a órbita da Terra com periélio e afélio (2016), Marte e os modelos do céu (2013). Os dados de $G$, $M$ e $R$ vêm no comando, e a maioria dos itens não precisa deles.

Os erros que a prova planta

1. Sol no centro da elipse. Está no foco, a $c = ea$ do centro. O outro foco está vazio.
2. “Mais rápido no afélio.” Máxima velocidade e máxima aceleração são no periélio, onde $r$ é menor. A 3.ª etapa de 2019 trocou os dois de lugar.
3. Velocidade constante em órbita elíptica. O que se conserva é a velocidade areolar (áreas iguais em tempos iguais), não a linear. Só na órbita circular a velocidade é constante em módulo.
4. $T \propto a$ (ou $T \propto a^2$). É $T^2 \propto a^3$: dobrar $a$ multiplica $T$ por 2,8; quadruplicar multiplica por 8. Marte a 1,52 UA leva 1,88 anos, não 1,52.
5. Raio no lugar do semieixo maior. Na elipse entra $a$, metade do eixo maior, $(r_p + r_a)/2$. Só na órbita circular $a = r$.
6. A mesma constante para corpos centrais diferentes. $K = 4\pi^2/GM$ muda com a massa do astro central: Terra, Júpiter e Sol têm constantes diferentes. Só compare órbitas em torno do mesmo corpo.
7. “A lei vale só para planetas.” Vale para cometas, asteroides, luas, satélites artificiais e exoplanetas: para qualquer corpo de massa pequena em órbita de um corpo central.
8. Altura no lugar do raio. Para satélites da Terra, $r = R + h$, medido do centro. 800 km de altitude é $r = 7\,200$ km.
9. Achar que a massa do satélite altera o período. Ela cancela: $T$ depende só de $a$ e de $M$. Dois satélites na mesma órbita têm o mesmo período, qualquer que seja a massa (2025/45, certo).
10. Pensar que as estações do ano vêm da excentricidade. O periélio é em janeiro; verão e inverno vêm da inclinação do eixo da Terra, não da distância ao Sol.

O essencial em meia página

• Elipse: semieixo maior $a$, distância focal $c$, excentricidade $e = c/a$ ($0 \le e < 1$; $e = 0$ é o círculo). Periélio $r_p = a(1 - e)$, afélio $r_a = a(1 + e)$, $r_p + r_a = 2a$. Distância entre focos $2c = 2ea$.
• 1.ª lei: órbita elíptica, Sol num foco. Terra $e = 0{,}017$ (147 e 152 milhões de km); Halley $e = 0{,}967$.
• 2.ª lei: áreas iguais em tempos iguais; velocidade areolar constante; mais rápido no periélio, mais lento no afélio; $v_p r_p = v_a r_a$, $v_p/v_a = (1 + e)/(1 - e)$. É a conservação do momento angular (força central).
• 3.ª lei: $T^2/a^3 = K$ para o mesmo corpo central. Em anos e UA, $T^2 = a^3$ para o Sol: $a = 4 \Rightarrow T = 8$; $a = 9 \Rightarrow T = 27$; $a = 1/4 \Rightarrow T = 1/8$. Marte: 1,52 UA, 1,88 anos. $T \propto a^{3/2}$, nunca $T \propto a$.
• Dedução: $GMm/r^2 = mv^2/r$, $v = 2\pi r/T$ $\Rightarrow$ $T^2 = (4\pi^2/GM)\,r^3$. $K = 4\pi^2/GM$ depende só da massa do corpo central; $m$ cancela. Vira balança: $M = 4\pi^2 a^3/GT^2$ (Sol: $2 \times 10^{30}$ kg).
• Mesmo corpo central: satélites da Terra ($K_T = 9{,}9 \times 10^{-14}$ s²/m³; rasante 84 min, GPS 12 h, geo 24 h, Lua 27,3 d) numa reta; luas de Júpiter ($K_J = K_T/318$; Io 1,77 d, Europa 3,55 d, Ganimedes 7,15 d, Calisto 16,7 d) em outra. Vale para cometas, luas, satélites, exoplanetas, não só planetas.
• Cometas e transferências: Halley $a = 17{,}8$ UA, $T = 75$ anos, $v_p/v_a = 60$, volta em 2061. Terra–Marte: elipse com $a = 1{,}26$ UA, $T = 1{,}42$ anos, viagem de meia volta em 8,5 meses. $E = -GMm/2a$ depende só de $a$.
• Exoplanetas: trânsito dá $T$ (intervalo entre quedas de brilho) e tamanho (profundidade); 3.ª lei com a massa da estrela dá $a$: $a^3 = MT^2$ em unidades solares. Kepler-452b: 385 dias, 1,05 UA.
• História mínima: Tycho mede (1576–1597, sem luneta); Kepler ajusta Marte, 8 minutos de arco derrubam o círculo; Astronomia Nova 1609 (1.ª e 2.ª), Harmonices Mundi 1619 (3.ª); Newton 1687 deduz as três de $1/r^2$.
• Itens: 2011/64 (E, 1/9), 2025/45 ©; PAS 2 2009/97 © e 94 ©; PAS 3 2013/74 (E, 1,5 UA), 2016/110 (C, $4\pi^2/GM$), 2017/119 (C, trânsito), 2019/95 (C, $T/8$) e 96 (E, periélio).
• Vizinhos: força e $g$, satélites circulares, geoestacionário e GPS em gravitação universal; aceleração centrípeta em movimento circular uniforme; modelos do céu e cronologia em história da astronomia; efeito diferencial da Lua em marés; conservação de energia em energia; a elipse como cônica em cônicas.