Volume de pirâmides e cones

Pirâmides e cones afunilam em direção a um vértice. Suas seções paralelas à base diminuem de tamanho ao se aproximar desse ponto. Por isso, seu volume não é o mesmo de um prisma ou cilindro de igual base e altura: corresponde a um terço. Entender a origem dessa redução também ajuda a resolver cortes, troncos e problemas de preenchimento parcial.

Base e altura perpendicular

Uma pirâmide possui base poligonal e vértice fora do plano da base. Sua altura h é a distância perpendicular desse vértice ao plano. O volume é $V=A_bh/3$. Não importa se a projeção do vértice está no centro, fora do centro ou fora do polígono: para uma base e altura dadas, o volume é o mesmo.

No cone circular, a base é um disco de raio r e o volume é $V=\pi r^2h/3$. O cone não é um poliedro e sua base não é um polígono. A fórmula análoga decorre da comparação das áreas de seções, sem exigir que se classifique o cone como uma pirâmide.

Por que aparece um terço

Um prisma triangular pode ser dividido adequadamente em três pirâmides de volumes iguais. A comparação desses volumes usa bases e alturas relacionadas; não significa que qualquer divisão em três pedaços gere partes iguais. O resultado fundamenta o fator 1/3 para pirâmides.

Em pirâmides com mesma altura e bases de mesma área, as seções paralelas às bases, a uma mesma distância do vértice, têm áreas iguais. A semelhança faz a área variar com o quadrado da razão linear. Pelo princípio de Cavalieri, os volumes coincidem. A mesma comparação permite relacionar um cone a uma pirâmide de base equivalente e mesma altura.

Calcular e conferir uma pirâmide

Uma pirâmide tem base retangular de 6 cm por 4 cm e altura perpendicular de 9 cm. A área da base é 24 cm². Logo, $V=24\cdot9/3=72$ cm³. O prisma de mesma base e altura teria 216 cm³: exatamente três vezes mais.

Se a base fosse um triângulo com base de 6 cm e altura relativa de 4 cm, sua área seria 12 cm² e o volume seria 36 cm³. A diferença está no cálculo de $A_b$, não no fator da pirâmide. Nomeie as duas alturas quando houver triângulos: altura da base e altura do sólido.

Cone reto: geratriz não é altura

Em um cone circular reto, a geratriz g liga um ponto da circunferência da base ao vértice e satisfaz $g^2=r^2+h^2$. A altura é perpendicular à base; a geratriz acompanha a superfície lateral. A fórmula de volume usa h.

Se r=3 cm e g=5 cm, então h=4 cm e o volume é $12\pi$ cm³. Usar g no lugar de h daria $15\pi$ cm³, valor incorreto. Essa relação pitagórica com um único r e g pressupõe cone reto; em um cone oblíquo, as geratrizes podem ter comprimentos diferentes.

Dobrar apenas h, mantendo a base, dobra o volume. Dobrar apenas r em um cone circular quadruplica o volume. Dobrar todas as medidas lineares de um sólido semelhante multiplica o volume por oito.

Cortes paralelos e razão cúbica

Ao cortar um cone ou pirâmide por um plano paralelo à base, a ponta que contém o vértice é semelhante ao sólido original. Se a altura da ponta é uma fração k da altura total, seu raio ou lados correspondentes também têm razão k, a área tem razão $k^2$ e o volume tem razão $k^3$.

Um corte na metade da altura deixa a ponta com 1/8 do volume total. O tronco abaixo dela conserva 7/8. Ter metade da altura não significa ter metade do volume, pois as seções da ponta são menores.

Para um recipiente cônico com vértice para baixo e líquido ocupando altura h a partir do vértice, a fração de capacidade ocupada é $(h/H)^3$, sendo H a altura total. Essa expressão não vale diretamente quando a base larga está no fundo: nesse caso, compare o volume total com a ponta vazia.

Tronco: completar e subtrair

Considere um tronco de cone reto com raios R=4 cm e r=2 cm e altura 3 cm. Completando o cone, seja x a altura da ponta retirada. A semelhança dá $2/4=x/(x+3)$, logo x=3 cm e a altura total é 6 cm.

O cone grande tem volume $32\pi$ cm³; o pequeno, $4\pi$ cm³. A diferença é $28\pi$ cm³. A fórmula compacta $V=\pi h(R^2+Rr+r^2)/3$ confirma o resultado, mas completar o cone explica a origem das medidas.