Variância e desvio padrão

A média não revela, sozinha, como os dados se espalham. Os conjuntos 4, 5, 6 e 1, 5, 9 têm média 5, mas o segundo apresenta valores mais distantes do centro. Variância e desvio padrão quantificam essa diferença. Antes de calcular, identifique se a pergunta descreve o conjunto inteiro ou usa uma amostra para estimar a dispersão de uma população.

Por que elevar os desvios ao quadrado?

O desvio de uma observação é $x_i-\bar{x}$. No conjunto 4,5,6, os desvios são −1,0,1 e sua soma é zero. Isso acontece para qualquer conjunto finito quando usamos sua média aritmética: desvios positivos e negativos se compensam.

Somar os desvios sem transformação não mede a dispersão. A variância utiliza quadrados, que são não negativos e dão maior peso a afastamentos grandes. Existem outras medidas, como amplitude e desvio absoluto, mas elas respondem de maneira diferente aos dados. A amplitude usa somente o maior e o menor valor, podendo ignorar grande parte da distribuição.

Variância descritiva ou populacional

Para descrever um conjunto completo com n observações de mesmo peso, a variância é $\sigma^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2/n$, em que $\mu$ é a média desse conjunto. O desvio padrão é $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$.

Considere 2,4,4,6. A média é 4; os desvios são −2,0,0,2; os quadrados somam 8. A variância descritiva é 8/4=2, e o desvio padrão é $\sqrt2\approx1{,}414$. Conferir que os desvios somam zero ajuda a detectar erro na média ou nas subtrações antes de continuar.

Se os dados representam comprimentos em metros, a variância está em metros quadrados e o desvio padrão, em metros. O quadrado da unidade na variância vem da operação matemática; não significa que a medida passou a representar a área de um objeto.

Estimação amostral: por que aparece n−1?

Ao usar uma amostra aleatória para estimar a variância de uma população, é comum empregar $s^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/(n-1)$, para $n>1$. Como a média populacional é desconhecida e foi estimada pelos próprios dados, a soma dos desvios fica restrita a zero: restam n−1 graus de liberdade.

Sob amostragem independente de uma mesma distribuição com variância finita, essa correção torna $s^2$ um estimador não viesado da variância populacional. Isso não significa que o desvio padrão s seja automaticamente não viesado, pois extrair a raiz é uma transformação não linear.

Para a amostra 2,4,4,6, a variância amostral corrigida é $8/3\approx2{,}667$, e o desvio padrão correspondente é $\sqrt{8/3}\approx1{,}633$. Os mesmos dados geram resultados diferentes porque as duas contas têm objetivos diferentes. Não escolha o denominador apenas porque o texto usa informalmente a palavra “amostra”: confira a definição solicitada.

Deslocar e multiplicar os dados

Somar uma constante a todas as observações desloca a média pela mesma constante, mas preserva cada desvio. A variância e o desvio padrão não mudam. Se somarmos 10 a 2,4,4,6, obtemos 12,14,14,16, com média 14 e os mesmos desvios −2,0,0,2.

Multiplicar todos os dados por k multiplica a variância por $k^2$ e o desvio padrão por $|k|$. O módulo importa quando k é negativo: dispersão não pode se tornar negativa. Ao converter metros em centímetros, o desvio padrão é multiplicado por 100 e a variância por 10000.

Com dados de pesos positivos, desvio padrão zero significa que todos os valores são iguais. Um valor pequeno, porém, precisa ser interpretado em relação à unidade, à escala e ao fenômeno: não existe um limite universal que separe conjuntos “estáveis” de “instáveis”.

Coeficiente de variação e seus limites

Para dados em escala de razão, com zero significativo e média positiva, o coeficiente de variação é $CV=\sigma/\mu$, ou $s/\bar{x}$ na versão amostral, geralmente expresso em porcentagem. Uma média de 20 e desvio 4 produz CV=20%; uma média de 100 e desvio 10 produz CV=10%.

Ele compara dispersão relativa, mas não deve ser aplicado indiscriminadamente a qualquer unidade. Temperaturas em graus Celsius, por exemplo, têm origem convencional: converter para Kelvin muda o CV sem mudar a dispersão física. Média zero torna a divisão impossível; médias próximas de zero tornam a razão muito sensível. Mesmo com condições adequadas, comparar fenômenos diferentes exige uma pergunta que dê sentido à comparação.

Revise média, moda e mediana para separar a localização do centro do espalhamento dos dados.