Teorema de Tales e semelhança

Uma maquete e uma construção real têm tamanhos diferentes, mas podem preservar a mesma forma. Uma fotografia ampliada sem deformação mantém ângulos e proporções. A semelhança descreve essa relação: medidas lineares correspondentes são multiplicadas por um mesmo fator.

O teorema de Tales fornece uma das ferramentas para encontrar esse fator. Ele relaciona os segmentos determinados por retas paralelas em duas transversais e permite substituir uma medida inacessível por outras que podem ser observadas diretamente.

Tales: segmentos correspondentes são proporcionais

Se $AB=4$, $BC=6$ e $DE=10$, então $4/6=10/EF$, de onde $EF=15$. Também podemos comparar cada intervalo com o total: $AB/AC=DE/DF$. Nesse caso, $AC=10$ e $DF=25$, mantendo $4/10=10/25$.

Um erro comum é misturar um segmento parcial de uma transversal com um total da outra. Antes de montar a proporção, dê nomes aos pontos e indique entre quais paralelas cada medida está. O paralelismo precisa ser uma informação conhecida ou demonstrada, não apenas uma impressão do desenho.

Quando dois triângulos são semelhantes?

Triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Três critérios permitem reconhecer isso:

• AA: dois ângulos correspondentes iguais; o terceiro também será igual porque a soma é 180°.
• LAL de semelhança: dois pares de lados proporcionais e o ângulo entre eles igual.
• LLL de semelhança: os três pares de lados proporcionais.

A ordem dos vértices importa. Escrever $ABC\sim DEF$ indica que $A$ corresponde a $D$, $B$ a $E$ e $C$ a $F$. Portanto, $AB$ corresponde a $DE$, e não a qualquer lado escolhido por parecer próximo no papel.

Congruência é o caso particular em que a razão de semelhança vale 1. Semelhança permite ampliar ou reduzir; congruência conserva também o tamanho.

Comprimentos multiplicam por k; áreas por k²

A explicação vem de $A=bh/2$ para triângulos: se base e altura multiplicam por $k$, o produto multiplica por $k^2$. Uma ampliação de fator 3 triplica o perímetro e multiplica a área por 9. Uma redução de fator $1/2$ conserva um quarto da área.

A razão deve ter uma direção definida. Se uma figura tem lado 6 e a outra lado correspondente 9, da primeira para a segunda $k=9/6=1{,}5$. No sentido inverso, $k=2/3$. Inverter a razão em apenas uma parte do cálculo produz inconsistência.

A base média de um triângulo

O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede sua metade. O triângulo menor, junto ao vértice comum, tem razão linear $1/2$ em relação ao original.

Se a base original mede 18, a base média mede 9. Se a área total é 80, a área do triângulo menor é 20, não 40. A região restante é um trapézio de área 60. Esse exemplo mostra por que distinguir medida linear de área é indispensável.

Medir alturas pelas sombras

Uma haste vertical de 1,5 m projeta sombra de 2 m. Ao mesmo tempo, em terreno horizontal, um poste vertical projeta sombra de 12 m. Considerando os raios solares paralelos, os triângulos formados são semelhantes por AA: ambos têm ângulo reto e o mesmo ângulo de incidência.

Logo, $H/12=1{,}5/2$, e a altura do poste é 9 m. Medir as sombras em horários diferentes ou num terreno com inclinações diferentes pode invalidar essa proporção; as condições do modelo explicam por que ele funciona.

Escalas e unidades

Uma escala 1:200 significa que 1 unidade no desenho corresponde a 200 da mesma unidade no objeto real. Uma parede de 3 cm na planta representa 600 cm, ou 6 m. Uma área de 3 cm² na planta representa $3\cdot200^2=120000$ cm², isto é, 12 m².

Confira o resultado pela direção da transformação: uma ampliação deve aumentar comprimentos e áreas. Um esboço com correspondências e unidades explícitas costuma ser mais útil que memorizar muitas proporções sem referência geométrica.