Polinômios

Um polinômio em uma variável é uma soma finita de termos com expoentes inteiros não negativos. Neste guia, os coeficientes pertencem aos números reais, salvo quando mencionamos raízes complexas. Exemplos são $3x^2-2x+7$, a constante 5 e a expressão nula. Já $1/x$ e $\sqrt{x}$ não são polinômios em x, pois seus expoentes não atendem à definição.

Grau e polinômio nulo

Após reunir termos semelhantes, o grau de um polinômio não nulo é o maior expoente com coeficiente diferente de zero. Em $4x^3-4x^3+2x-1$, os termos cúbicos se cancelam; o grau é 1, não 3. Uma constante não nula tem grau zero.

O polinômio nulo possui todos os coeficientes iguais a zero e não tem grau definido na convenção escolar usual. Algumas teorias atribuem grau menos infinito por conveniência, mas ele não deve receber grau zero como uma constante não nula. O coeficiente líder é o do maior expoente efetivo; o termo independente é sempre p(0).

Duas expressões polinomiais representam o mesmo polinômio quando seus coeficientes correspondentes coincidem. Um valor igual em um único ponto não estabelece identidade: $x$ e $x^2$ coincidem em 0 e 1, mas são polinômios diferentes.

Avaliar e reconhecer raízes

Calcular p(a) significa substituir x por a, respeitando parênteses e potências. Para $p(x)=x^3-2x+5$, temos $p(-1)=-1+2+5=6$. Um número r é raiz quando p®=0. Verificar uma raiz conhecida exige apenas essa substituição, não a resolução de todas as raízes.

Um polinômio não nulo de grau n tem no máximo n raízes reais distintas. No conjunto complexo, um polinômio de grau $n\ge1$ possui exatamente n raízes contadas com multiplicidade. O polinômio nulo é exceção: todo número é raiz, e as afirmações de contagem pelo grau não se aplicam a ele.

Com coeficientes reais, raízes não reais aparecem em pares conjugados. Isso ajuda a distinguir “sem raízes reais” de “sem raízes”: $x^2+1$ não zera nos reais, mas possui raízes i e −i nos complexos.

Somar, subtrair e multiplicar

Na adição, reúna termos de mesmo expoente. Na subtração, distribua o sinal negativo por todos os termos do segundo polinômio. Por exemplo, $(2x^2+x-3)-(x^2-4x+1)=x^2+5x-4$.

Na multiplicação, cada termo de um fator multiplica todos os termos do outro. Temos $(x-2)(x+3)=x^2+x-6$. Para polinômios não nulos com coeficientes reais, o grau do produto é a soma dos graus. O grau da soma pode cair por cancelamento; não existe a mesma garantia de adição de graus.

Uma potência de soma também exige cuidado: $(x+2)^2=x^2+4x+4$, não $x^2+4$. Expandir uma forma fatorada oferece uma conferência útil, mas conservar os fatores pode facilitar a identificação de raízes e sinais.

Divisão: quociente e resto

Para divisor d(x) não nulo, existe uma escrita única $p(x)=d(x)q(x)+r(x)$, com resto zero ou grau do resto menor que o grau do divisor, trabalhando sobre reais ou complexos. Se o grau do dividendo é menor que o do divisor, o quociente é zero e o resto é o próprio dividendo.

Ao dividir $x^3-2x+5$ por $x-2$, obtemos quociente $x^2+2x+2$ e resto 9. A verificação é $(x-2)(x^2+2x+2)+9=x^3-2x+5$. Não podemos afirmar sempre que o grau do quociente é a diferença dos graus: essa regra pressupõe dividendo não nulo com grau pelo menos igual ao do divisor.

Teorema do resto e teorema do fator

Na divisão por $x-a$, substituir x=a na identidade da divisão elimina o produto e mostra que o resto é p(a). No exemplo, p(2)=8−4+5=9. Para um divisor $ux+v$, com $u\ne0$, o resto é $p(-v/u)$.

Se p(a)=0, o fator x−a divide p. Em $(x-2)^2(x+1)$, a raiz 2 tem multiplicidade dois e −1 tem multiplicidade um. Há duas raízes distintas e três contadas com multiplicidade. Em polinômios reais, uma raiz de multiplicidade ímpar muda o sinal local da função; uma de multiplicidade par não muda.

A função quadrática é um caso importante de função polinomial; as operações aqui permitem estudar graus maiores preservando a mesma disciplina de substituição e verificação.