Geometria da esfera

A esfera reúne duas perguntas diferentes: quanto espaço seu interior ocupa e como medir trajetos sobre sua superfície. Uma bola ideal ajuda a visualizar ambas, mas a escolha da fórmula depende do objeto medido. Área, volume, corda e arco descrevem grandezas distintas. Um mapa plano pode representar a superfície esférica, porém não preserva simultaneamente todas as suas relações métricas.

Superfície, sólido e seções

A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto dos pontos à distância R de O. O sólido esférico inclui também o interior. Um plano que atravessa esse interior produz uma seção em forma de disco; na superfície, a interseção é a circunferência que limita esse disco.

Se d é a distância do centro ao plano, o raio da seção é $r=\sqrt{R^2-d^2}$, para $0\le d<R$. A relação vem de um triângulo retângulo: raio da esfera, distância perpendicular ao plano e raio da seção. Se d=R, há tangência em um ponto. Se d>R, não há interseção.

Em uma esfera de raio 5 cm cortada por um plano a 3 cm do centro, a seção tem raio 4 cm e área $16\pi$ cm². O raio do sólido continua sendo 5 cm. Mudar a inclinação do plano não transforma a seção em elipse; uma circunferência pode apenas parecer elíptica no desenho em perspectiva.

Círculos máximos e paralelos

Quando o plano passa pelo centro, d=0 e o raio da seção coincide com R. Sua circunferência é chamada círculo máximo na linguagem da geometria esférica. O equador é um exemplo; um meridiano junto de seu antimeridiano forma outro círculo máximo. Um meridiano isolado é uma semicircunferência entre os polos.

No modelo de Terra esférica, o paralelo de latitude $\varphi$ tem raio $R\cos\varphi$. Fora do equador e dos polos, esse raio é menor que R. Por isso, usar $2\pi R$ para o comprimento de qualquer paralelo produz erro. No polo, o paralelo se reduz a um ponto.

Para latitude 60°, o raio do paralelo é R/2. Percorrer 90° de longitude ao longo dele corresponde a um quarto dessa circunferência: comprimento $\pi R/4$. Isso descreve o trajeto restrito ao paralelo, não necessariamente o menor caminho entre as extremidades pela superfície.

Arco e menor caminho

Um arco de círculo máximo com ângulo central $\theta$ em radianos mede $\ell=R\theta$, tomando $\theta\ge0$ como a medida do arco percorrido. Se o ângulo está em graus, converta-o ou use a fração correspondente de $2\pi R$.

Entre dois pontos distintos e não antipodais, o menor trajeto sobre uma esfera segue o arco menor do único círculo máximo que os contém. Para pontos antipodais, o comprimento mínimo é $\pi R$, mas há infinitos semicírculos máximos com esse comprimento: o percurso mínimo não é único. A corda entre os pontos atravessa o interior e não é um caminho permitido quando o movimento deve permanecer na superfície.

Comparar o paralelo com o caminho mínimo

Considere dois pontos na latitude 45° norte, separados por 120° de longitude. O paralelo tem raio $R\cos45^\circ=R/\sqrt2$. O trajeto por ele ocupa um terço de sua volta e mede $2\pi R/(3\sqrt2)\approx1{,}481R$.

O círculo máximo que passa pelos dois pontos tem arco menor com ângulo central aproximado de 75,52°, ou 1,318 radiano: seu comprimento é aproximadamente $1{,}318R$. Esse ângulo não é a diferença de longitudes, medida em torno do eixo polar. O arco mínimo passa mais perto do polo, como mostra o diagrama comparativo. A projeção faz o paralelo parecer uma linha reta; medir a figura com régua não fornece a distância real sobre a esfera.

Um modelo de voo em altitude constante

Considere uma trajetória circular acima da esfera, mantendo altitude h e o mesmo ângulo central $\theta$ do trajeto no solo. Os comprimentos são $R\theta$ e $(R+h)\theta$. A diferença vale $h\theta$.

Se o raio adotado é 6000 km, o ângulo é 60° e a altitude é 9 km, o arco no solo mede $2000\pi$ km. O arco elevado mede $2003\pi$ km; o excesso é $3\pi$ km, aproximadamente 9,42 km usando $\pi=3{,}14$. Esse cálculo supõe duas trajetórias concêntricas ideais; não descreve automaticamente uma rota operacional de avião.

Área, volume e sólidos inscritos

A área da superfície esférica é $4\pi R^2$ e o volume do sólido é $4\pi R^3/3$. Uma semiesfera tem metade do volume e área curva $2\pi R^2$. Se a superfície total inclui o disco que fecha a base, some $\pi R^2$: o total é $3\pi R^2$.

Para R=3 cm, o volume é $36\pi$ cm³ e a área é $36\pi$ cm². A coincidência numérica não torna iguais as grandezas ou unidades. Uma esfera inscrita em cilindro reto tangencia as bases e a lateral; o cilindro tem raio R e altura 2R. A esfera ocupa dois terços de seu volume. Inscrita em cubo de aresta 2R, ocupa a fração $\pi/6$ do volume do cubo.

Percentuais e quantidades repetidas usam o volume unitário antes de combinar resultados. Uma esfera de raio 30 cm tem volume $36\,000\pi$ cm³; 5% correspondem a $1800\pi$ cm³. Já 300 pequenas esferas de diâmetro 1 cm somam $300\cdot4\pi(0{,}5)^3/3=50\pi$ cm³. O raio é metade do diâmetro, e essa redução entra ao cubo.

Por que o mapa altera medidas

A superfície esférica não pode ser aberta inteira em um plano sem deformação. Projeções cartográficas escolhem propriedades a conservar: uma projeção conforme preserva ângulos localmente; uma equivalente preserva áreas. Isso não garante preservação geral de distâncias. A geometria do mapa deve ser interpretada segundo a projeção, e uma linha reta nele não representa necessariamente um arco mínimo na esfera.