Função quadrática

Uma função quadrática relaciona uma variável ao seu quadrado. Ela aparece em modelos de altura de um lançamento, área de terrenos e receita de vendas. O objetivo é aprender a passar da fórmula ao gráfico e interpretar o resultado no contexto do problema.

A fórmula e seus coeficientes

O coeficiente $b$ participa da posição do eixo de simetria, junto com $a$. Não se pode dizer que ele determina sozinho se a parábola está “à direita” ou “à esquerda”. Já aumentar $c$, mantendo $a$ e $b$, desloca todo o gráfico para cima.

Por exemplo, em $f(x)=x^2-6x+5$, temos $a=1$, $b=-6$ e $c=5$. Antes de resolver qualquer equação, sabemos que a parábola tem concavidade para cima e passa por $(0,5)$.

Raízes e discriminante

As raízes são os valores de $x$ para os quais $f(x)=0$. Elas correspondem às interseções do gráfico com o eixo horizontal:

$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$$

• Se $\Delta>0$, há duas raízes reais distintas.
• Se $\Delta=0$, há uma raiz real dupla: a parábola toca o eixo no vértice.
• Se $\Delta<0$, não há raízes reais. A função continua existindo; seu gráfico não encontra esse eixo.

No exemplo $x^2-6x+5$, o discriminante vale $36-20=16$. As raízes são $(6-4)/2=1$ e $(6+4)/2=5$. Podemos escrever a mesma função na forma fatorada: $f(x)=(x-1)(x-5)$.

Quando há raízes reais, a soma é $-b/a$ e o produto é $c/a$. Essas relações permitem conferir o resultado ou reconhecer uma fatoração simples sem repetir toda a fórmula resolvente.

Vértice, máximo e mínimo

O vértice é o ponto em que a parábola muda de crescimento para decrescimento, ou o contrário. Suas coordenadas são:

$$x_v=-\frac{b}{2a},\qquad y_v=f(x_v)$$

Para a função do exemplo, $x_v=3$ e $y_v=9-18+5=-4$. O ponto $(3,-4)$ é um mínimo, pois $a>0$. O eixo de simetria é a reta vertical $x=3$.

Na forma de vértice, a expressão fica $f(x)=a(x-x_v)^2+y_v$. Como um quadrado nunca é negativo, essa forma deixa o máximo ou mínimo evidente. No exemplo, $f(x)=(x-3)^2-4$.

Crescimento, imagem e sinal

Para $a>0$, a função decresce até o vértice e cresce depois dele. Para $a<0$, cresce até o vértice e decresce depois. Considerando domínio real, a imagem é $[y_v,+\infty)$ no primeiro caso e $(-\infty,y_v]$ no segundo.

Estudar o sinal é descobrir quando o gráfico está acima, abaixo ou sobre o eixo horizontal. Com duas raízes distintas, a função tem o sinal de $a$ fora do intervalo entre as raízes e o sinal oposto dentro dele.

Assim, $x^2-6x+5<0$ para $1<x<5$. Se a desigualdade fosse $\leq0$, incluiríamos as raízes: $1\leq x\leq5$. Com discriminante negativo, a função tem sempre o sinal de $a$; com discriminante zero, tem esse sinal, exceto na raiz, onde vale zero.

Modelagem: interpretar antes de responder

Considere a altura de uma bola, em metros, modelada por $h(t)=-5t^2+20t$, com $t$ em segundos, durante o voo. A concavidade é para baixo. A altura máxima ocorre em $t_v=-20/(2\cdot(-5))=2$ s e vale $h(2)=20$ m. As raízes 0 e 4 indicam os instantes em que a bola está no nível de lançamento.

Agora suponha uma receita $R(p)=p(100-2p)$, em reais, para preço $p$ em reais e quantidade vendida $100-2p$. O domínio economicamente admissível é $0\leq p\leq50$. O vértice fornece preço de 25 reais e receita de 1 250 reais. Receita não é lucro: para obter lucro, é preciso subtrair os custos.

Como conferir a resolução

Identifique o que se pede: raiz, sinal, posição do vértice ou valor máximo. Faça um esboço com concavidade, raízes e intercepto vertical. Substitua as raízes para verificar se a função zera e confirme a simetria. Por fim, devolva o resultado com a unidade e o significado do contexto.