Conjuntos

Organizar uma turma por esportes preferidos, selecionar arquivos por tipo ou descrever os valores permitidos numa equação são tarefas de conjuntos. A ideia central é reconhecer quais elementos satisfazem uma condição. Quando os grupos se sobrepõem, essa linguagem também impede contagens duplicadas.

Um conjunto pode ser apresentado por uma lista, como $A=\{2,4,6\}$, ou por uma propriedade. A ordem e as repetições não mudam o conjunto: $\{2,4,6\}=\{6,2,4,2\}$. Em uma pesquisa, porém, pessoas diferentes continuam sendo elementos diferentes, mesmo quando dão respostas iguais.

Elemento não é subconjunto

Escrevemos $4\in A$ para dizer que 4 pertence a $A$. Já $B\subseteq A$ significa que todo elemento de $B$ também pertence a $A$. Assim, $\{2,6\}\subseteq A$, mas $4$ e $\{4\}$ não representam o mesmo objeto: um é número, o outro é conjunto.

O conjunto universo $U$ delimita a discussão. Em uma pesquisa escolar, pode ser a turma inteira; numa inequação, pode ser o conjunto dos reais. Uma afirmação como “não está em $A$” só fica completamente definida quando sabemos quais elementos estão sendo considerados.

Quatro operações que respondem a perguntas diferentes

Se $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{3,4\}$, a união é $\{1,2,3,4\}$, a interseção é $\{3\}$ e $A\setminus B=\{1,2\}$. A diferença depende da ordem: $B\setminus A=\{4\}$.

O “ou” da união é inclusivo: aceita quem está nos dois grupos. A expressão “exatamente um” pede outra seleção: os elementos de $A\setminus B$ juntamente com os de $B\setminus A$.

Como preencher um diagrama de Venn

Imagine 50 estudantes: 28 praticam natação, 20 praticam corrida e 8 praticam ambas. Comece pela interseção, colocando 8. Somente natação corresponde a $28-8=20$; somente corrida, a $20-8=12$. Há $20+8+12=40$ em pelo menos uma modalidade e $50-40=10$ em nenhuma.

Uma conferência útil é somar as regiões disjuntas: somente $A$, interseção, somente $B$ e nenhum. O resultado deve ser o total do universo, e nenhuma região pode ter quantidade negativa. Se isso ocorrer, os dados são incompatíveis ou foram interpretados incorretamente.

Para três conjuntos, a mesma lógica produz

$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C).$$

O termo triplo volta porque foi retirado em excesso. No desenho, preencha primeiro a região dos três e depois as interseções exclusivas de cada par.

Intervalos também são conjuntos

O intervalo $[2,5)$ contém os reais $x$ tais que $2\le x<5$. O colchete inclui a extremidade; o parêntese exclui. Em $(-\infty,3]$, o infinito não é um número incluído: indica que o conjunto não tem limite inferior.

A interseção de $[1,5]$ com $(3,8)$ é $(3,5]$. Já a união é $[1,8)$. Desenhar as duas faixas numa reta numérica ajuda a conferir quais fronteiras entram.

Um roteiro para resolver

Traduza as palavras do enunciado em operações. Identifique o universo, comece pelas sobreposições e só depois calcule os grupos exclusivos. Ao terminar, confira o total e responda à pergunta exata: “ambos”, “pelo menos um” e “somente um” geralmente produzem três números diferentes.