Ângulos e polígonos

Em dezembro de 2025, a prova do PAS 1 desenhou a seção transversal do Templo Mayor de Tenochtitlán como um trapézio: topo $CD$ de 50 m, altura de 42 m, ângulos de 60° e 45° na base. O item 24 afirmava que os ângulos dos vértices $D$ e $C$, lá em cima, mediam 120° e 135°. Quem enxergou a figura certa não precisou de conta: o topo de uma pirâmide escalonada é paralelo ao chão, cada lado inclinado é uma reta que atravessa duas paralelas, e os dois ângulos apoiados no mesmo lado inclinado somam 180°. Certo, em uma linha. No mesmo caderno de geometria cabem a colmeia, que fecha com hexágonos, o piso de banheiro, que fecha com quadrados, e o piso de pentágonos regulares que ninguém nunca viu, porque três cantos de 108° dão 324° e deixam uma fresta de 36°.

Esta página é sobre isso: o que um ângulo é e como se mede; o que uma transversal faz com duas paralelas; por que os ângulos de um triângulo somam 180° e o que o ângulo externo conta; como nomear, contar as diagonais e somar os ângulos de um polígono; o que os regulares e os quadriláteros notáveis garantem; e por que só três polígonos regulares pavimentam o plano. Semelhança e o teorema de Tales, que usam os ângulos entre paralelas como hipótese, estão em Teorema de Tales e semelhança; as relações métricas do triângulo retângulo ficam em Teorema de Pitágoras e Trigonometria no triângulo; as áreas, em Áreas de figuras planas; régua e compasso, em Construções geométricas.

Ângulo é abertura, não comprimento

Duas semirretas de mesma origem formam um ângulo; a medida descreve a abertura entre elas, e alongar os traços no papel não muda nada. Uma volta completa mede 360°; meia-volta (ângulo raso), 180°; um quarto de volta (ângulo reto), 90°. Menor que 90° é agudo; entre 90° e 180°, obtuso. O grau se subdivide em 60 minutos ($1^\circ = 60'$) e o minuto em 60 segundos ($1' = 60''$): $37{,}5^\circ = 37^\circ 30'$, e $90^\circ - 37^\circ 30' = 52^\circ 30'$. Para subtrair $28^\circ 45'$ de $90^\circ$, escreva $90^\circ = 89^\circ 60'$ e faça $89^\circ 60' - 28^\circ 45' = 61^\circ 15'$.

Exemplo resolvido 1: montar a equação da medida. Um ângulo excede o seu complemento em 20°. Quanto mede?

Estratégia: chame o ângulo de $x$; o complemento é $90^\circ - x$; “excede em 20°” é $x = (90^\circ - x) + 20^\circ$.

Resolução: $2x = 110^\circ$, $x = 55^\circ$. O complemento é 35°.

Conferência: $55 + 35 = 90$ e $55 - 35 = 20$. Se o enunciado dissesse suplemento, a equação seria $x = (180^\circ - x) + 20^\circ$ e a resposta, 100°. Trocar os dois nomes é o erro mais barato deste assunto, e a banca o planta com gosto.

Se duas retas se cortam e um dos quatro ângulos mede 62°, o oposto também mede 62° e os outros dois medem 118°: só há duas medidas num cruzamento, uma aguda e uma obtusa, suplementares entre si. Guarde isso, porque é o que uma transversal repete.

Uma transversal repete o cruzamento no outro

Uma reta $t$ que corta duas retas $r$ e $s$ forma quatro ângulos em cada cruzamento, oito ao todo. Quando $r \parallel s$, o segundo cruzamento é uma cópia deslizada do primeiro, e os oito ângulos têm só duas medidas: $\alpha$ e $180^\circ - \alpha$. Os nomes dizem onde cada ângulo está.

Duas consequências que a prova cobra sozinhas. (1) Se duas retas formam ângulo reto com uma terceira, elas não se encontram, isto é, são paralelas: a terceira reta funciona como transversal, e os correspondentes medem 90° e 90°. Em 2024, a prova mostrou a fachada da Catedral de Reims com “três linhas paralelas entre si e perpendiculares às torres” e afirmou que as torres eram paralelas. Certo, sem conta. (2) Todo trapézio esconde a figura das paralelas: as bases são $r$ e $s$, e cada lado oblíquo é uma transversal. Os dois ângulos apoiados no mesmo lado oblíquo são colaterais internos e somam 180°.

Exemplo resolvido 2: o trapézio da banca (PAS 1 2025, item 24). Seção transversal com topo $CD$ paralelo à base $AB$, ângulos de 60° em $A$ e 45° em $B$. Os ângulos em $D$ e $C$ medem 120° e 135°?

Estratégia: $AD$ é transversal das paralelas $AB$ e $DC$; os ângulos em $A$ e $D$ são colaterais internos. O mesmo vale para $BC$ com $B$ e $C$.

Resolução: $\hat{D} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$; $\hat{C} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. A ordem “respectivamente, 120° e 135°” bate com $D$ e $C$. Certo.

Conferência: a soma dos quatro ângulos do quadrilátero deve dar 360°: $60 + 45 + 120 + 135 = 360$. Fecha.

Por que os ângulos de um triângulo somam 180°

A soma dos ângulos internos de um triângulo é consequência direta das paralelas. Tome o triângulo $ABC$ e trace por $A$ a reta paralela a $BC$. Nos dois lados de $A$ aparecem cópias de $\hat{B}$ e de $\hat{C}$, como alternos internos das transversais $AB$ e $AC$; junto com $\hat{A}$, elas preenchem exatamente um ângulo raso. Logo $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$. É a ideia de reconfiguração, mover pedaços sem mudar medidas, a mesma que mais adiante funda as fórmulas de área.

Exemplo resolvido 3: haste e cabo (PAS 1 2018, item 83). Um mecanismo de construção do Partenon: a haste, presa ao solo em $b$, faz ângulo $\beta$ com a horizontal; o cabo, preso ao solo em $a$, à esquerda de $b$, sobe até a ponta da haste fazendo ângulo $\alpha$ com a horizontal; $\theta$ é o ângulo entre cabo e haste, no topo. O item: “se $\alpha = \beta/2$, então $\theta$ será superior a $\beta/2$”.

Estratégia: o triângulo tem vértices $a$, $b$ e o topo. O ângulo $\beta$ que a haste faz com o chão fica do lado oposto a $a$, entre a haste e o prolongamento de $ab$: é o ângulo externo do triângulo no vértice $b$. Pelo teorema do ângulo externo, $\beta = \alpha + \theta$.

Resolução: $\theta = \beta - \alpha = \beta - \dfrac{\beta}{2} = \dfrac{\beta}{2}$. Igual, não superior. Errado.

Conferência: pela soma interna, o ângulo interno em $b$ é $180^\circ - \beta$, e $\alpha + (180^\circ - \beta) + \theta = 180^\circ$ dá o mesmo $\theta = \beta - \alpha$. O item foi escrito para quem calcula com pressa e lê “superior” como “igual ou superior”.

A soma 180° vale em qualquer unidade: em radianos, $\pi$ rad correspondem a 180°, e a prova do PAS 2 de 2023 deu um triângulo com $\cos \hat{A} = -\tfrac{1}{2}$ (logo $\hat{A} = 120^\circ$) e perguntou se os outros dois ângulos somavam menos de $\pi/2$ rad: somam $60^\circ = \pi/3$ rad, Certo. A conversão fica para Ciclo trigonométrico; aqui basta saber que $\pi$ rad $= 180^\circ$.

Triângulos têm nome pelos lados e pelos ângulos, e nem toda trinca fecha

Dois itens reais são só classificação lida numa figura. Em 2015, a torre de um cata-vento sustentava três pás $DA$, $DB$, $DC$ com ângulos iguais entre si, ou seja, 120° cada; o item afirmava que, se $DA$ fizesse com o suporte vertical um ângulo entre 0° e 30°, nenhuma das outras pás estaria paralela ao solo. Uma pá paralela ao solo faz 90° com o suporte; as outras duas fazem $120^\circ \pm$ (o ângulo de $DA$), isto é, algo entre 90° e 150°, sem incluir os extremos. Certo. Na 2.ª etapa de 2018, as pontas de três pás de 50 m formavam um triângulo equilátero, e o item dizia que o lado passava de 80 m: cada lado é a distância entre duas pontas separadas por 120° a 50 m do centro, $50\sqrt{3} \approx 86{,}6$ m. Certo. A conta $\ell = R\sqrt{3}$ é a do triângulo equilátero inscrito, adiante.

Polígonos: nomes, diagonais e a soma dos ângulos

Um polígono é uma linha fechada formada por segmentos que não se cruzam; os segmentos são os lados, os extremos são os vértices, e um polígono de $n$ lados tem $n$ vértices e $n$ ângulos internos. É convexo quando todo segmento que liga dois pontos seus fica dentro dele (equivalente: nenhum ângulo interno passa de 180°); caso contrário, côncavo. Os nomes vêm do grego: triângulo (3), quadrilátero (4), pentágono (5), hexágono (6), heptágono (7), octógono (8), eneágono (9), decágono (10), undecágono (11), dodecágono (12), pentadecágono (15), icoságono (20).

Uma diagonal liga dois vértices não consecutivos. De cada vértice saem $n - 3$ diagonais (não se liga a si mesmo nem aos dois vizinhos, que já são lados); somando pelos $n$ vértices, cada diagonal é contada duas vezes, uma em cada extremo.

Em 2005, a prova do PAS 1 mostrou um pentagrama e afirmou: “visto que o pentágono pode ser decomposto nos triângulos $ABC$, $ACD$ e $ADE$, conclui-se que a soma dos ângulos internos do pentágono é igual a 540°”. É a triangulação pelo vértice $A$, três triângulos, $3 \cdot 180^\circ$: Certo.

Exemplo resolvido 4: descobrir $n$ a partir das diagonais e da soma. (a) Um polígono convexo tem 44 diagonais; quantos lados tem? (b) Outro tem soma dos ângulos internos igual a 1 260°; qual é?

Estratégia: montar a equação com a fórmula e resolver em $n$ inteiro, $n \geq 3$.

Resolução: (a) $\dfrac{n(n-3)}{2} = 44 \Rightarrow n^2 - 3n - 88 = 0 \Rightarrow n = \dfrac{3 + \sqrt{9 + 352}}{2} = \dfrac{3 + 19}{2} = 11$ (a raiz negativa, $-8$, não serve). Undecágono. (b) $(n-2) \cdot 180 = 1\,260 \Rightarrow n - 2 = 7 \Rightarrow n = 9$. Eneágono.

Conferência: $11 \cdot 8/2 = 44$; $7 \cdot 180 = 1\,260$. Se a soma dada fosse 1 300°, não haveria polígono: $1\,300/180$ não é inteiro, e é assim que a banca fabrica um item errado.

Dar a volta: os externos somam 360° em qualquer polígono convexo

Caminhe pelo contorno de um polígono convexo. Em cada vértice você gira um pouco para continuar pelo lado seguinte; o giro é exatamente o ângulo externo daquele vértice (entre um lado e o prolongamento do anterior). Ao voltar ao ponto de partida, você deu uma volta completa: os giros somam 360°. Algebricamente, em cada vértice interno e externo são suplementares, então

$$S_e = n \cdot 180^\circ - S_i = n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ.$$

O pentagrama (a estrela de cinco pontas obtida traçando as diagonais do pentágono regular) foi cobrado em 2005 e de novo na 3.ª etapa de 2016, e as duas vezes a resposta saiu daqui. No pentágono regular cada ângulo interno mede 108°; tome dois lados vizinhos e feche-os com a diagonal que une suas pontas: nasce um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice é o próprio 108°, de modo que os dois ângulos da base medem $(180^\circ - 108^\circ)/2 = 36^\circ$ cada: uma diagonal faz 36° com o lado. Cada ponta da estrela é um triângulo isósceles de ângulos 36°, 72°, 72°, e o ângulo da ponta mede 36°, o mesmo que o externo do decágono. Em 2005, “se $\alpha$ é o ângulo $E\hat{D}A$, $\beta$ é $D\hat{B}E$ e $\gamma$ é $B\hat{D}C$, então $\alpha + \beta + \gamma > 130^\circ$” era Errado (são três ângulos de 36°, soma 108°), e “o ângulo $E\hat{D}A$ é superior a 40°” também Errado. Em 2016, o ângulo da ponta $p_1$ da estrela “é superior a 40°”: Errado, 36°.

E o polígono côncavo? A soma dos internos continua $(n-2) \cdot 180^\circ$ para qualquer polígono simples (a triangulação existe, só não parte de um único vértice). Mas no vértice reentrante o ângulo interno passa de 180°, e “externo $= 180^\circ -$ interno” daria um número negativo; a fórmula do externo e a soma 360° são feitas para convexos. Uma seta de papel (quadrilátero côncavo) tem um ângulo interno de, digamos, 240°: os outros três somam $360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$, e ninguém deve chamar $180^\circ - 240^\circ$ de ângulo externo.

Regulares: um centro, uma circunferência por dentro e outra por fora

Todo polígono regular tem um centro, equidistante dos vértices e dos lados. A circunferência de centro nesse ponto que passa pelos vértices é a circunscrita, de raio $R$; a que tangencia os lados é a inscrita, de raio $r$, chamado apótema. Ligando o centro aos vértices, o polígono se corta em $n$ triângulos isósceles iguais, cada um com ângulo central $360^\circ/n$; o apótema é a altura desses triângulos. O regular de $n$ lados tem $n$ eixos de simetria (pelos vértices e pelos pontos médios dos lados, alternados) e volta a coincidir consigo mesmo a cada giro de $360^\circ/n$ em torno do centro.

Um item de 2011 mostrava o pentágono regular da molécula de vitamina C e destacava nele o triângulo $ABC$, cujos lados $CA$ e $CB$ são lados do pentágono e cuja base $AB$ é uma diagonal, com altura $h$ traçada do vértice $C$ até $AB$; afirmava que $h$ era metade do lado. Os ângulos da base desse triângulo medem 36°; se $h$ fosse metade do lado, o ângulo oposto a $h$ no triângulo retângulo formado seria 30° (o cateto que é metade da hipotenusa é o de 30°). Como é 36°, $h$ é maior que metade do lado: Errado. Nenhuma tabela trigonométrica foi necessária, só a comparação com 30°.

Quadriláteros notáveis: o que cada nome garante

Quadrilátero é qualquer polígono de quatro lados; soma dos internos, 360°. Os notáveis são os que têm paralelismos.

Na prova, o quadrilátero entra como figura de um objeto (a seção de um dique, um azulejo de Athos Bulcão, um tronco de pirâmide) e a pergunta é qual propriedade se pode garantir. Ter quatro lados iguais garante losango, não quadrado; ter diagonais iguais só garante retângulo se a figura já for paralelogramo (um trapézio isósceles também tem diagonais iguais); ter um par de lados paralelos garante trapézio, e nada mais sobre os outros dois lados.

Ladrilhar o plano: em cada vértice, 360°

Tente montar um piso com peças iguais de um só formato regular. Com azulejos quadrados dá certo, como em qualquer cozinha; com triângulos equiláteros também, e com hexágonos regulares as abelhas já provaram que dá. Agora experimente com pentágonos regulares de papel: ao encostar o terceiro no mesmo canto, abre-se uma cunha que peça nenhuma preenche. A regra que decide cada caso é uma só: num ponto em que vários ladrilhos se tocam pelos vértices, os ângulos reunidos ali têm de completar a volta inteira, 360°, nem mais nem menos. O quadrado traz 90° e cabe quatro vezes; o triângulo traz 60° e cabe seis; o hexágono traz 120° e cabe três; o pentágono traz 108°, três vezes dão 324° e os 36° restantes ficam vazios.

Regularidade não é exigência para pavimentar: qualquer triângulo ladrilha o plano (duas cópias giradas de 180° formam um paralelogramo, e paralelogramos se empilham), e qualquer quadrilátero, mesmo côncavo, também, porque em cada vértice se reúnem os quatro ângulos dele, que somam 360°. Para que um único ladrilho gere o pavimento inteiro, é preciso levá-lo de uma posição a outra sem deformá-lo, e os movimentos que fazem isso têm nome: isometrias. São três os tipos básicos: a translação (a peça desliza, mantendo a orientação), a rotação (a peça gira em torno de um ponto) e a reflexão (a peça é espelhada em relação a uma reta). Uma isometria conserva todos os comprimentos e todos os ângulos; a peça na posição nova é congruente à peça na posição antiga. Em 2022, a prova pendurou seis itens na xilogravura Metamorphosis I, de M. C. Escher, e um deles enunciava corretamente o que é uma isometria e, na oração seguinte, negava que a gravura as contivesse: Errado, pois o padrão de Escher nasce justamente de deslizar e espelhar uma mesma peça repetidas vezes. Padrão “definição certa, conclusão errada”.

Ler a figura com ângulos marcados como a banca escreve

O item de geometria do PAS vem pendurado numa obra ou numa foto (o Templo Mayor em 2025, Reims em 2024, o cata-vento de Osório em 2015, o pentagrama em 2005), e o texto dá tudo o que a figura precisa. Protocolo:

1. Copie a figura para o rascunho, maior do que no caderno, e transfira para ela cada informação que o texto fornece: medidas, ângulos, paralelismos declarados (“o topo é paralelo à base”, “perpendiculares às torres”), igualdades (“ângulos iguais entre as pás”).
2. Cace transversais. Toda paralela cortada por um lado oblíquo é um par de colaterais (soma 180°) e um par de alternos (iguais). Toda perpendicular comum é um par de paralelas.
3. Liste as somas disponíveis: 90° (complementares, agudos do triângulo retângulo), 180° (suplementares, colaterais, triângulo, reto no cruzamento), 360° (volta, quadrilátero, externos, vértice de ladrilhamento), $(n-2) \cdot 180^\circ$ (internos do polígono). O ângulo pedido sai de uma equação com uma dessas.
4. Desconfie da palavra, não do item. “Correspondentes aos vértices” pode ser só “dos vértices”; “regular” tem de estar escrito para dividir a soma por $n$; “convexo” tem de estar escrito para somar externos.
5. Só afirme o que a figura garante. Em 2024, três pontos de equilíbrio do sistema Sol-Terra formavam um triângulo, e o item dizia que ele era retângulo. $L_4$ está no vértice de um triângulo equilátero sobre o segmento Sol-Terra; $L_1$ e $L_3$ estão sobre a reta Sol-Terra, um perto da Terra e outro além do Sol. Nenhum dos três ângulos é reto (o de $L_1$ só seria se $L_1$ estivesse exatamente sob $L_4$, no meio do segmento, e a figura o colocava a uma distância $R$ da Terra bem menor que a metade), e o item era Errado: parecer retângulo não é ser retângulo.

Os erros que a banca planta

• Trocar complementar por suplementar. Colaterais internos e ângulos do trapézio no mesmo lado oblíquo somam 180°, não 90°. Os dois agudos do triângulo retângulo, esses sim, são complementares.
• Alternos internos como colaterais (e vice-versa). Alternos (lados opostos da transversal) são iguais; colaterais (mesmo lado) somam 180°. Desenhe a letra Z para os alternos e a letra C (ou U) para os colaterais.
• Somar os externos como $(n-2) \cdot 180^\circ$. Os externos de qualquer convexo somam 360°; a fórmula com $n$ é dos internos.
• Ângulo externo em côncavo. No vértice reentrante, $180^\circ -$ interno é negativo; a soma 360° e $a_e = 360^\circ/n$ valem para convexos (e $a_e = 360^\circ/n$ só para regulares).
• Diagonal contando vizinhos. De cada vértice saem $n - 3$ diagonais, não $n - 1$ nem $n - 2$; o total é $n(n-3)/2$, e o triângulo tem zero.
• “Todo losango é quadrado.” Não: só o losango com um ângulo reto. Também não vale “quatro lados iguais, logo quadrado”, nem “diagonais iguais, logo retângulo” fora do paralelogramo.
• Dividir a soma por $n$ sem a palavra “regular”. Um hexágono qualquer soma 720°; só o regular tem 120° em cada vértice.
• Assumir paralelismo pela aparência. Duas retas “que parecem paralelas” não autorizam alternos nem colaterais; procure a declaração no texto ou uma perpendicular comum.
• Ler o ângulo da ponta da estrela como 108°. O interno do pentágono é 108°; a ponta do pentagrama mede 36°, e a diagonal faz 36° com o lado.
• Confundir “superior a” com “igual ou superior a”. No item da haste de 2018, $\theta$ era exatamente $\beta/2$, e o item dizia “superior”: Errado.

O essencial em meia página

• Ângulo é abertura; 1° = 60′, 1′ = 60″. Complementares somam 90°, suplementares 180°, replementares 360°. Opostos pelo vértice são iguais; a bissetriz divide ao meio.
• Paralelas + transversal: oito ângulos, duas medidas. Correspondentes, alternos internos e alternos externos: iguais. Colaterais (internos ou externos): somam 180°. Recíproca = critério de paralelismo. Duas perpendiculares à mesma reta são paralelas.
• Trapézio: ângulos no mesmo lado oblíquo somam 180° (colaterais). Templo Mayor: $60 \to 120$, $45 \to 135$.
• Triângulo: internos somam 180° (paralela pelo vértice); externo = soma dos dois internos não adjacentes; externos somam 360°. Isósceles: ângulos da base iguais; retângulo: agudos complementares. Desigualdade triangular: $|b - c| < a < b + c$.
• Polígono convexo de $n$ lados: $d = \dfrac{n(n-3)}{2}$; $S_i = (n-2) \cdot 180^\circ$; $S_e = 360^\circ$ sempre. Regular: $a_e = 360^\circ/n$, $a_i = 180^\circ - a_e$ (60°, 90°, 108°, 120°, 135°, 144°, 150°). Para achar $n$, vá pelo externo.
• Pentagrama: diagonal e lado do pentágono regular fazem 36°; a ponta da estrela mede 36°.
• Regulares: centro, circunferências inscrita (apótema) e circunscrita ($R$); ângulo central $360^\circ/n$; hexágono tem lado $R$, quadrado $R\sqrt{2}$, triângulo $R\sqrt{3}$.
• Quadriláteros: paralelogramo (opostos iguais, consecutivos suplementares, diagonais se cortam ao meio) → retângulo (diagonais iguais) e losango (diagonais perpendiculares e bissetrizes) → quadrado. Trapézio: um par de paralelas. Todo quadrado é losango; não todo losango é quadrado.
• Ladrilhamento: em cada vértice, 360°. Sozinhos, só triângulo equilátero (6 por vértice), quadrado (4) e hexágono regular (3); o pentágono (3 × 108 = 324) deixa uma fresta de 36°; o octógono precisa de quadrados nos vãos (semirregular). Isometrias (deslizar, girar, espelhar) preservam medidas.
• Protocolo: redesenhe, cace transversais e perpendiculares comuns, escolha a soma (90, 180, 360, $(n-2)180$), leia “regular”, “convexo” e “superior a” ao pé da letra.