Trigonometria no triângulo

Medir diretamente uma altura pode ser difícil, mas medir uma distância no chão e um ângulo pode ser viável. A trigonometria conecta ângulos e comprimentos. O ponto de partida é a semelhança: triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo mantêm as mesmas razões entre lados, independentemente do tamanho.

Antes de escolher uma fórmula, faça um esboço e marque o ângulo de referência. Os nomes “oposto” e “adjacente” dependem desse ângulo; a hipotenusa, por sua vez, continua sendo o lado oposto ao ângulo reto.

Seno, cosseno e tangente

Num triângulo de lados 3, 4 e 5, escolhendo o ângulo oposto ao lado 3, temos seno $3/5$, cosseno $4/5$ e tangente $3/4$. Para o outro ângulo agudo, os catetos trocam de papel.

A escolha da razão deve combinar o que você conhece com o que deseja descobrir. Se conhece hipotenusa e quer o cateto oposto, use seno. Se conhece cateto adjacente e quer o oposto, use tangente. Isso evita introduzir uma medida desconhecida desnecessária.

Ângulos notáveis

Os valores de 45° vêm de um triângulo retângulo isósceles: com catetos 1, sua hipotenusa mede $\sqrt2$. Os valores de 30° e 60° vêm de dividir um triângulo equilátero de lado 2 pela altura: os catetos resultantes medem 1 e $\sqrt3$, com hipotenusa 2.

Como os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares, $\sin\theta=\cos(90°-\theta)$. Além disso, dividir Pitágoras pelo quadrado da hipotenusa fornece $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$.

Altura, avanço e percurso são diferentes

Uma rampa retilínea de 10 m faz 30° com a horizontal. O comprimento da rampa é a hipotenusa. O desnível é $10\sin30°=5$ m, enquanto o avanço horizontal é $10\cos30°=5\sqrt3$ m.

Se o dado fosse avanço horizontal de 10 m, a altura seria $10\tan30°=10\sqrt3/3$ m. A palavra “distância” isolada pode ser ambígua: confira qual segmento do desenho o enunciado está medindo.

A inclinação percentual de um trecho é $100h/d$, com desnível $h$ e avanço horizontal $d$. Portanto, uma inclinação de 10% corresponde a tangente 0,1, não a um ângulo de 10°. Dobrar o ângulo também não dobra, em geral, seu seno nem sua tangente.

E se o triângulo não for retângulo?

As razões entre catetos e hipotenusa não se aplicam diretamente a triângulos sem ângulo reto. Podemos traçar uma altura para criar triângulos retângulos ou usar relações gerais.

A lei dos cossenos é

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$

onde $A$ é o ângulo entre os lados $b$ e $c$, oposto ao lado $a$. Ela é útil quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. Com $b=3$, $c=5$ e $A=60°$, obtemos $a^2=9+25-15=19$, logo $a=\sqrt{19}$.

A lei dos senos relaciona cada lado ao seno do ângulo oposto:

$$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.$$

Ela ajuda quando conhecemos um par lado–ângulo oposto e dados adicionais. Com $A=30°$, $B=45°$ e $a=4$, temos $b=4\sin45°/\sin30°=4\sqrt2$.

Conferir antes de arredondar

No triângulo retângulo, seno e cosseno de ângulos agudos ficam entre 0 e 1, então os catetos devem ser menores que a hipotenusa. Em qualquer triângulo, o maior lado fica oposto ao maior ângulo. Preserve valores exatos quando possível e verifique se a calculadora está em graus ao trabalhar com ângulos expressos em graus.