Teorema de Pitágoras

Uma escada encostada numa parede vertical, a diagonal de uma tela retangular e um deslocamento em duas direções perpendiculares formam triângulos retângulos. Neles, conhecer dois lados permite calcular o terceiro por meio do teorema de Pitágoras.

A condição decisiva é o ângulo reto. O teorema não relaciona três comprimentos quaisquer nem se aplica a todo triângulo. Antes de escrever a fórmula, identifique onde está o ângulo de 90° e quais segmentos formam o triângulo usado no raciocínio.

Hipotenusa e catetos

Os catetos são os dois lados que formam o ângulo reto. Girar o desenho não muda os nomes: a hipotenusa não precisa estar inclinada no papel, e um cateto não precisa estar na horizontal. A posição em relação ao ângulo reto é o que importa.

Se os catetos medem 6 e 8, temos $c^2=36+64=100$, logo $c=10$. Tomamos a raiz positiva porque estamos calculando um comprimento. A solução algébrica −10 não tem significado como medida de lado.

Por que somamos quadrados?

O teorema compara as áreas dos quadrados construídos sobre os três lados: a área do quadrado da hipotenusa é a soma das áreas dos quadrados dos catetos. Não afirma que o comprimento maior seja a soma dos outros dois.

Uma demonstração por decomposição usa quatro cópias do triângulo dentro de um quadrado de lado $a+b$. Disponha os triângulos pelos cantos, deixando no centro um quadrado de lado $c$. Os ângulos centrais são retos porque os dois ângulos agudos do triângulo somam 90°.

A área total pode ser calculada de dois modos:

$$(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$$

Expandindo, $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Cancelar os termos $2ab$ fornece $a^2+b^2=c^2$. A fórmula surge de uma igualdade de áreas.

Quando falta um cateto

Se a hipotenusa mede 13 e um cateto mede 5, o outro satisfaz $b^2=13^2-5^2=169-25=144$. Assim, $b=12$.

A operação muda porque isolamos outro termo da mesma equação. Não se deve decorar “sempre somar os quadrados”: somamos os quadrados dos catetos para obter o quadrado da hipotenusa; subtraímos quando buscamos um cateto.

Diagonais e números irracionais

A diagonal de um retângulo de lados $L$ e $H$ mede $d=\sqrt{L^2+H^2}$. Em um quadrado de lado $l$, isso resulta em $d=l\sqrt2$. A diagonal de um quadrado de lado 1 tem comprimento $\sqrt2$, um número irracional que aparece naturalmente numa construção geométrica.

Nem todo problema produz um resultado inteiro. Se os catetos medem 2 e 3, a hipotenusa é $\sqrt{13}$. Essa é uma resposta exata. Uma aproximação decimal só é necessária quando o contexto pede, e deve ser feita no final para evitar acúmulo de arredondamentos.

Distância entre pontos e trajetos

Do ponto $(1,2)$ ao ponto $(5,5)$, as diferenças horizontal e vertical são 4 e 3. A distância em linha reta é $\sqrt{4^2+3^2}=5$. Já um trajeto que anda 4 unidades na horizontal e 3 na vertical tem comprimento 7. Distância direta e distância percorrida podem ser diferentes.

Em um modelo de escada de 5 m com base a 3 m da parede, a altura alcançada é $\sqrt{25-9}=4$ m, supondo parede vertical e chão horizontal. São essas condições que garantem a perpendicularidade; o cálculo não é uma instrução prática de segurança para posicionar equipamentos.

A recíproca ajuda a reconhecer o ângulo reto

Se três comprimentos positivos formam um triângulo e o quadrado do maior é igual à soma dos quadrados dos outros dois, o triângulo é retângulo. Os lados 8, 15 e 17 satisfazem $64+225=289$, então o ângulo oposto ao lado 17 é reto.

Ao conferir uma solução, veja se a hipotenusa encontrada é maior que cada cateto, se todas as medidas usam a mesma unidade e se a substituição recupera a igualdade. Um resultado menor que um cateto para a hipotenusa denuncia um erro antes mesmo de refazer toda a conta.